Superlinear free-discontinuity models: relaxation and phase-field approximation
Universität Bonn（波恩大学）；Università di Firenze（佛罗伦萨大学）；Università di Genova（热那亚大学）
针对体密度和面密度分别对大梯度和小跳跃幅度呈超线性增长的自由间断能量，发展了变分法的直接方法，建立了下半连续性和松弛结果，并提出了相场近似。
2026-06-17 math.AP
Lower semicontinuity and existence results for anisotropic TV functionals with signed measure data
Universität Hamburg（汉堡大学）
本文研究了带有符号测度数据的各向异性TV函数的下确界连续性与存在性问题，通过等周条件和实例分析揭示了相关数学性质。
2026-01-27 math.AP
$Γ$-convergence for free-discontinuity problems in linear elasticity: Homogenization and relaxation
我们分析了$Γ$收敛序列的自由不连续泛函中产生的线弹性固体的表面不连续性，包括断裂，损伤，或材料空隙的现象建模。我们证明了紧性的$Γ$ -收敛和表示的$Γ$ -限制在一个积分形式定义的空间上的广义特殊函数的有界变形（$GSBD^p$）。我们确定的被积函数的渐近细胞公式，并证明了非相互作用的性质之间的体积和表面的贡献。最后，我们研究了相应的边值问题序列，并证明了极小值和极小元的收敛性。特别是，我们的技术可以表征松弛的泛函$GSBD^p$，并涵盖了经典的情况下，定期均匀化。
2020-10-14 math.AP
On the relaxation of functionals with contact terms on non-smooth domains
我们提供的整表示公式的松弛$BV(Ω; \mathbb{R}^M)$相对于强收敛$L^1(Ω; \mathbb{R}^M)$的功能与边界接触能量项。这种表征是有效的一个大类的表面能密度，并为域满足温和的规则性假设。出于一些经典的例子，下半连续性失败，我们分析了在何种程度上的几何集进入松弛过程。
2020-10-08 math.AP
Curvature penalization of strongly anisotropic interfaces models and their phase-field approximation
Universit\'e Paris Saclay, CNRS, Laboratoire de math\'ematiques d'Orsay, 91405, Orsay, France；Universit\'e Paris Saclay, INRIA, CNRS, Laboratoire de math\'ematiques d'Orsay, 91405, Orsay, France；CMAP, CNRS, \'Ecole polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, 91120 Palaiseau, France
本文针对强各向异性界面模型，通过添加Willmore型高阶项实现正则化，证明了周长泛函和Mumford-Shah泛函的下半连续性及相场近似的$\Gamma$-收敛性，并处理了裂纹尖端等奇异结构。
2025-10-15 math.AP
Lower semicontinuity for integral functionals in the space of functions of bounded deformation via rigidity and Young measures
在有界变形函数空间$\BD(Ω)$中，对于形式为$$\Fcal(u) := \int_Ωf \bigl(x, \Ecal u \bigr) \dd x + \int_Ωf^\infty \Bigl(x, \frac{\di E^s u}{\di \abs{E^s u}} \Bigr) \dd \abs{E^s u} + \int_{\partial Ω} f^\infty \bigl(x, u|_{\partial Ω} \odot n_Ω\bigr) \dd \Hcal^{d-1}$$，$u \in \BD(Ω)$的泛函，建立了一个一般的弱 * 下半连续性结果.主要的新颖性是，我们允许非零康托部分的对称化衍生物$Eu$。证明是通过广义Young测度的Jensen型不等式和良好的爆破结构完成的，这是基于局部刚性参数的一些微分包含涉及对称梯度。这种策略使我们能够在不需要$\BD(Ω)$中的Alberti型定理的情况下建立下半连续性结果，这是目前所没有的.我们还包括存在性和松弛结果变分问题的$\BD(Ω)$，以及一个完整的讨论，一些微分包含对称梯度在二维。
2011-01-15 math.AP math.FA
Functionals defined on piecewise rigid functions: Integral representation and $Γ$-convergence
分析了定义在\emph{piecewise rigid functions}上的泛函的整表示和$Γ$ -收敛性质，即，函数是分段仿射的Caccioppoli分区，其中每个组件的衍生物是常数，并在没有秩一连接的集合中。这样的泛函帐户界面能在变分建模的材料，局部显示出刚性的行为。我们的结果是基于本地化技术的$Γ$收敛和仔细适应的全球方法放松（Bouchitté等。1998年，2001年），这个新的设置，在相当一般的假设。他们构成了第一步的调查下半连续性，放松和均匀化的自由不连续性问题的空间（广义）功能的有界变形。
2020-02-03 math.AP
Liftings, Young measures, and lower semicontinuity
这项工作引入提升及其相关的杨措施作为新的工具来研究序列的渐近行为对$(u_j,Du_j)j$为$(u_j)_j \in \mathrm{BV}(Ω;\mathbb{R}^m)$弱 * 收敛。这些工具，然后用来证明一个整表示定理的功能\[ \mathcal{F}\colon u\to\int_Ωf(x,u(x),\nabla u(x)) \;\mathrm{dx},\quad u\in\mathrm{W}^{1,1}(Ω;\mathbb{R}^m),\quad Ω\in\mathbb{R}^d\text{ open}, \]放松到空间$\mathrm{BV}(Ω; \mathbb{R}^m)$。这种类型的下半连续性结果首先由Fonseca和Müller [Arch. Ration.机械肛门123（1993），1-49]后来被许多作者改进，但我们的定理在比目前文献中存在的假设更自然、本质上最优的假设下是有效的，主要要求$f$在最终变量中是Carathéodory和拟凸。其关键思想是提升提供了在弱收敛下同时在$x$和$u$变量中定位$\mathcal{F}$的正确方法。因此，我们能够实现一个最佳的测量理论爆破过程。
2020-03-30 math.AP math.FA
Relaxation of one-dimensional nonlocal supremal functionals in the Sobolev setting
本研究给出了Sobolev空间中非局部上确界泛函序列弱*下半连续的密度充要条件，并证明一维情形下其下半连续包络可通过密度的分别水平凸包络得到，丰富了变分法松弛理论。
2023-07-25 math.AP
Symmetric div-quasiconvexity and the relaxation of static problems
我们考虑静态平衡的问题，其中主要的未知数是应力场和解决方案最大限度地提高了平衡约束的补充能量。这类泛函序列下连续的一个充分必要条件是对称的${\rm div}$ -拟凸性，它是Fonseca和Müller的$A$ -拟凸性的一个特例，其中$A = {\rm div}$作用在$R^{n\times n}_{sym}$上。我们特别考虑的例子的静态问题的塑性极限分析，并寻求其放松的非凸弹性域的非标准情况下的特征。我们表明，对称的${\rm div}$ -拟凸包络的弹性域可以明确的各向同性材料的弹性域取决于压力$p$和Mises有效剪应力$q$。然后，包络遵循$(p,q)$平面中的秩$2$外壳构造.值得注意的是，由于平衡约束，松弛弹性域仍然可以是强非凸的，这表明弹性域的凸性不是塑性存在的必要条件。
2019-07-10 math.AP
On the relaxation of integral functionals depending on the symmetrized gradient
我们证明结果的松弛和弱 * 下连续性的形式\[ \mathcal{F}[u] := \int_Ω f \bigg( \frac{1}{2} \bigl( \nabla u(x) + \nabla u(x)^T \bigr) \bigg)\,\mathrm{d} x, \qquad u : Ω\subset \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, \]的积分泛函在空间$\mathrm{BD}(Ω)$的有界变形的功能或超过Temam-Strang空间\[ \mathrm{U}(Ω):=\bigl\{u\in \mathrm{BD}(Ω): \ \mathrm{div} \ u\in \mathrm{L}^2(Ω)\bigr\}, \]取决于增长和形状的被积函数$f$。这样的泛函是有趣的，例如在亨基塑性和相关模型的研究。
2020-03-01 math.AP math.FA
Integral representation and $Γ$-convergence for free-discontinuity problems with $p(\cdot)$-growth
在变指数满足对数-Hölder连续性假设下，基于弛豫全局方法的变指数版本，证明了 $GSBV^{p(\cdot)}$ 空间上自由间断能量的积分表示与 $Γ$-收敛，并揭示了体贡献与表面贡献间的非相互作用性质。
2023-08-05 math.AP
Characterizing BV- and BD-ellipticity for a class of positively 1-homogeneous surface energy densities
本文针对仅依赖跳跃高度和跳跃法向且对第一个变量正1-齐次的表面能密度，证明BV-椭圆性等价于双凸性，并证明BD-椭圆性等价于对称双凸性。
2024-02-23 math.AP math.OC
