Lower semicontinuity for integral functionals in the space of functions of bounded deformation via rigidity and Young measures
在有界变形函数空间$\BD(Ω)$中，对于形式为$$\Fcal(u) := \int_Ωf \bigl(x, \Ecal u \bigr) \dd x + \int_Ωf^\infty \Bigl(x, \frac{\di E^s u}{\di \abs{E^s u}} \Bigr) \dd \abs{E^s u} + \int_{\partial Ω} f^\infty \bigl(x, u|_{\partial Ω} \odot n_Ω\bigr) \dd \Hcal^{d-1}$$，$u \in \BD(Ω)$的泛函，建立了一个一般的弱 * 下半连续性结果.主要的新颖性是，我们允许非零康托部分的对称化衍生物$Eu$。证明是通过广义Young测度的Jensen型不等式和良好的爆破结构完成的，这是基于局部刚性参数的一些微分包含涉及对称梯度。这种策略使我们能够在不需要$\BD(Ω)$中的Alberti型定理的情况下建立下半连续性结果，这是目前所没有的.我们还包括存在性和松弛结果变分问题的$\BD(Ω)$，以及一个完整的讨论，一些微分包含对称梯度在二维。
2011-01-15 math.AP math.FA
Syzygies, constant rank, and beyond
本文研究了常系数线性PDE组中常秩条件与primary decomposition概念间的联系，并在PDE无常秩时，推进了PDE约束场序列上积分泛函弱下半连续性的研究。
2022-02-14 math.AC math.AP
Relaxation and optimization for linear-growth convex integral functionals under PDE constraints
本文给出了线性增长泛函\[ \mathcal F[u] := \int_Ωf(x,u(x)) \, \text{d}x, \qquad u:Ω\subset \mathbb R^N\to \mathbb R^d, \]的广义极小的充要条件，其中$u$是满足一般PDE约束的可积函数.我们的分析是基于两个想法：有界向量值Radon措施$\mathcal M(Ω;\mathbb R^d)$空间的子空间的松弛参数，并在$\mathcal M(Ω;\mathbb R^N) \times {\rm L}^\infty(Ω;\mathbb R^N)$中引入集值配对。通过这些手段，我们能够显示放松问题的极小值和极大值之间的内在关系，其对偶制定也被称为鞍点条件。特别是，我们的结果可以应用于BV，BD的松弛和最小化问题。
2017-02-07 math.AP
Structure versus regularity of set-valued maps in convex generalized Nash equilibrium problems in Banach spaces
Weierstraß Institute for Applied Analysis and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用分析与随机性研究所）；Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
本文研究了Banach空间中凸广义纳什均衡问题的均衡存在性，提出用图凸性替代下半连续性假设，并扩展了Rosen的唯一性条件。
2026-02-24 math.AP math.OC
Liftings, Young measures, and lower semicontinuity
这项工作引入提升及其相关的杨措施作为新的工具来研究序列的渐近行为对$(u_j,Du_j)j$为$(u_j)_j \in \mathrm{BV}(Ω;\mathbb{R}^m)$弱 * 收敛。这些工具，然后用来证明一个整表示定理的功能\[ \mathcal{F}\colon u\to\int_Ωf(x,u(x),\nabla u(x)) \;\mathrm{dx},\quad u\in\mathrm{W}^{1,1}(Ω;\mathbb{R}^m),\quad Ω\in\mathbb{R}^d\text{ open}, \]放松到空间$\mathrm{BV}(Ω; \mathbb{R}^m)$。这种类型的下半连续性结果首先由Fonseca和Müller [Arch. Ration.机械肛门123（1993），1-49]后来被许多作者改进，但我们的定理在比目前文献中存在的假设更自然、本质上最优的假设下是有效的，主要要求$f$在最终变量中是Carathéodory和拟凸。其关键思想是提升提供了在弱收敛下同时在$x$和$u$变量中定位$\mathcal{F}$的正确方法。因此，我们能够实现一个最佳的测量理论爆破过程。
2020-03-30 math.AP math.FA
Relaxation of one-dimensional nonlocal supremal functionals in the Sobolev setting
本研究给出了Sobolev空间中非局部上确界泛函序列弱*下半连续的密度充要条件，并证明一维情形下其下半连续包络可通过密度的分别水平凸包络得到，丰富了变分法松弛理论。
2023-07-25 math.AP
Functionals defined on piecewise rigid functions: Integral representation and $Γ$-convergence
分析了定义在\emph{piecewise rigid functions}上的泛函的整表示和$Γ$ -收敛性质，即，函数是分段仿射的Caccioppoli分区，其中每个组件的衍生物是常数，并在没有秩一连接的集合中。这样的泛函帐户界面能在变分建模的材料，局部显示出刚性的行为。我们的结果是基于本地化技术的$Γ$收敛和仔细适应的全球方法放松（Bouchitté等。1998年，2001年），这个新的设置，在相当一般的假设。他们构成了第一步的调查下半连续性，放松和均匀化的自由不连续性问题的空间（广义）功能的有界变形。
2020-02-03 math.AP
On the relaxation of integral functionals depending on the symmetrized gradient
我们证明结果的松弛和弱 * 下连续性的形式\[ \mathcal{F}[u] := \int_Ω f \bigg( \frac{1}{2} \bigl( \nabla u(x) + \nabla u(x)^T \bigr) \bigg)\,\mathrm{d} x, \qquad u : Ω\subset \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, \]的积分泛函在空间$\mathrm{BD}(Ω)$的有界变形的功能或超过Temam-Strang空间\[ \mathrm{U}(Ω):=\bigl\{u\in \mathrm{BD}(Ω): \ \mathrm{div} \ u\in \mathrm{L}^2(Ω)\bigr\}, \]取决于增长和形状的被积函数$f$。这样的泛函是有趣的，例如在亨基塑性和相关模型的研究。
2020-03-01 math.AP math.FA
Relaxation of variational problems in the space of functions with bounded $\mathcal{B}$-variation: interaction with measures and lack of concentration phenomena
本文研究 $BV^{\mathcal{B}}$ 空间中线性增长变分泛函的松弛，证明积分表示并刻画其与极限测度的相互作用、集中条件及相应的下半连续性结果。
2025-07-24 math.AP
Neumann-Neumann Waveform Relaxation Method for Hyperbolic PDE with Time Delay
Indian Institute of Technology Bhubaneswar（印度理工学院布巴内斯瓦尔分校）
针对带时滞双曲偏微分方程，提出Neumann-Neumann波形松弛方法，通过傅里叶分析和拉普拉斯变换证明收敛性，并给出数值示例。
2026-09-11 cs.NA math.AP math.NA
Notes on a PDE System for Biological Network Formation
我们提出了新的分析和数值结果的椭圆抛物型偏微分方程组提出的胡和蔡，该模型的生物运输网络的形成。该模型描述的压力场使用达西型方程和压力力作用下的电导网络的动态。材料结构中的随机性由线性扩散项表示，电导弛豫由代数衰减项表示。分析部分扩展了Haskovec，Markowich和Perthame关于弱和温和的解决方案的存在性的结果，整个范围内的有意义的松弛指数。此外，我们证明有限时间灭绝或故障的解决方案在空间一维设置为一定范围内的松弛指数。我们还构造固定的解决方案的情况下，消失的扩散和临界值的松弛指数，使用变分制剂和惩罚的方法。分析部分由大量的数值模拟补充。我们提出了一种基于混合有限元的离散化方法，并研究了不同参数值下网络结构的定性性质。此外，我们数值表明，一些分析结果证明了空间一维设置可能是有效的，也在几个空间维度。
2015-10-13 math.AP
An Analysis of Constraint-Relaxation in PDE-Based Inverse Problems
针对PDE约束优化逆问题的非线性挑战，本文提出其松弛表述的通用分析与离散化框架，证明松弛表述可简化为加权非线性最小二乘问题，权重矩阵为PDE解的Gram矩阵且部分可从测量估计，为统一数据驱动降阶模型提供途径。
2024-11-29 math.AP math.OC
Measure-based approach to mesoscopic modeling of optimal transportation networks
本文提出基于联合概率测度的最优输运网络介观框架，分析能量泛函性质，并推导Wasserstein与Fisher-Rao梯度流及对应平衡测度。
2024-01-21 math.AP
Deep Relaxation: partial differential equations for optimizing deep neural networks
University of California, Los Angeles（加利福尼亚大学洛杉矶分校）；McGill University（麦吉尔大学）；Université Paris IX Dauphine（巴黎第九大学）
在本文中，我们建立了用于训练深度神经网络和非线性偏微分方程（PDE）的非凸优化方法之间的联系。松弛技术在统计物理已经成功地用于在这方面产生的重新解释为粘性的Hamilton-Jacobi偏微分方程的解决方案。使用随机控制解释允许我们证明，修改后的算法执行更好的预期，随机梯度下降。众所周知的PDE规律性的结果，使我们能够分析放松的能量景观的几何形状，确认经验证据。偏微分方程是来自一个随机均匀化问题，这是在该算法的实施。该算法在实际应用中具有良好的可扩展性，可以有效地解决现代神经网络的高维问题。
2017-06-01 cs.LG math.AP math.OC
Hypocoercivity in Phi-entropy for the Linear Relaxation Boltzmann Equation on the Torus
本文研究了空间非齐次线性弛豫Boltzmann方程在Boltzmann熵及相关熵泛函$p$ -熵下的平衡收敛性。Villani证明了在\cite{V09}熵hypovivity一类偏微分方程的Hörmander总和的平方形式。这是一个开放的问题，以证明这样的结果，不共享这种形式的运营商。我们证明了线性松弛Boltzmann方程的指数快速收敛到平衡态的显式熵率。在我们的证明中出现的关键新想法是使用我们的解决方案的投影的熵的全导数来补偿使用非线性熵时出现的额外误差项。我们还将线性弛豫Boltzmann和动力学Fokker-Planck的假充性的证明推广到$p$ -熵泛函的情形。
2019-07-26 math-ph math.AP math.MP
Well-posedness of the time-periodic Jordan-Moore-Gibson-Thompson equation
本文研究时间周期 JMGT 方程，在混合边界条件下证明有无梯度非线性时的适定性、源到状态映射的 Lipschitz 可微性，并严格建立弛豫时间趋于零的奇异极限。
2024-09-09 math.AP
Parameter identification for nonlocal phase field models for tumor growth via optimal control and asymptotic analysis
本文研究了一类耦合非局部Cahn-Hilliard反应扩散偏微分方程系统的参数辨识问题。本文借助于偏微分方程系统的最优控制理论，研究了辨识相关参数的反问题。待识别的参数起控制的作用，并引入一个合适的跟踪型成本泛函来解释一些先验知识的参数和控制本身之间的差异。分析进行了几个类别的模型，每一个依赖于一个特定的放松（抛物线或粘性类型）上执行的原始系统。一阶必要的最优性条件得到的完全放松的系统，在二维和三维的情况下。然后，非松弛模型的最优控制问题是通过渐近参数，通过显示各自的伴随系统的收敛性和最小化问题，作为每一个放松系数消失。这允许获得所需的必要最优性条件，从而解决参数识别问题，对于物理相关的双阱势的情况下的原始PDE系统。
2020-09-23 math.AP math.OC
The gap between a variational problem and its occupation measure relaxation
CNRS（法国国家科学研究中心；系统分析与实验室）；LAAS（布拉格捷克理工大学电气工程学院）；Faculty of Electrical Engineering, Czech Technical University in Prague（挪威北极大学数学与统计系）；Department of Mathematics and Statistics, UiT The Arctic University of Norway
本文研究变分问题与最优控制问题在单变量情况下的极值一致性，证明了在单变量情况下经典极值与松弛极值一致，并通过反例说明多变量情况下可能存在正差距，同时指出松弛占据测度在某些情况下更具概念优势。
2026-04-30 math.AP math.OC
A variational theory for integral functionals involving finite-horizon fractional gradients
本文通过构造平移算子建立经典、分数阶与非局部梯度之间的联系，证明拟凸性等价于非局部积分泛函的弱下半连续性，并利用 Gamma 收敛得到松弛、均匀化及分数阶参数趋于经典局部模型的严格局部化结果。
2023-04-14 math.AP math.FA math.OC
