An Elementary Proof of the Hanson-Wright Inequality
本文针对独立次高斯向量二次型的Hanson-Wright不等式，提出一种无需Bourgain凸解耦、仅利用次高斯性质与高斯旋转不变性的更初等证明，并获得改进常数。
2025-08-31 math.PR
On the anti-concentration functions of some familiar families of distributions
本文研究常见分布族的反集中函数，给出其显式表达式，并证明均匀、指数、高斯和学生t分布的反集中函数不恒为零，而二项、泊松、Gamma等分布族恒为零。
2024-04-03 math.PR
Anti-concentration and the Exact Gap-Hamming Problem
我们证明了两个独立的随机向量的内积的反集中界，并使用这些界来证明通信复杂度的下界。我们表明，如果$A,B$是立方体$\{\pm 1\}^n$与$|A| \cdot |B| \geq 2^{1.01 n}$的子集，$X \in A$和$Y \in B$是独立和均匀的采样，然后内积$\langle X,Y \rangle$采取任何固定值的概率最多$O(1/\sqrt{n})$。事实上，我们证明了以下更强的“平滑”声明：$$ \max_{k } \big| \Pr[\langle X,Y \rangle = k] - \Pr[\langle X,Y \rangle = k+4]\big| \leq O(1/n).$$我们使用这些结果来证明，确切的间隙汉明问题需要线性通信，解决了一个开放的问题，在通信的复杂性。我们还得出反集中的结构分布与低熵。如果$x \in \mathcal{Z}^n$没有零坐标，并且$B \subseteq \{\pm 1\}^n$对应于维度为$0.51n$的$\mathcal{F}_2^n$的子空间，则$\max_k \Pr[\langle x,Y \rangle = k] \leq O(\sqrt{\ln (n)/n})$。
2022-01-04 math.PR
A Linear Programming Inequality with Applications to Concentration of Measure
证明了一类线性规划的最大值的一个初等不等式.这直接导致了任意相依随机变量的鞅差的一个界，提供了最近的一些浓度的测量结果的推广。该线性规划不等式可能具有独立的兴趣。
2006-10-24 math.FA math.PR
Anti-concentration of inhomogeneous random walks
给出了非阿贝尔群中非齐次随机游动的反集中性的一个刻画.在应用中，我们将经典的Erdos-Littlewood-Offord和Sarkozy-Szemeredi的边界扩展到非阿贝尔的情况。
2017-01-03 math.CO math.PR
Large ball probability, Gaussian comparison and anti-concentration
我们推导出了希尔伯特空间中两个高斯元素击中球的概率之间的Kolmogorov距离的紧非渐近界。这些界限的关键属性是，它们是无量纲的，并取决于核（Schatten-1）的元素的协方差算子之间的差异和均值漂移的范数的范数。通过Kullback-Leibler散度，得到的界显著改进了基于Pinsker不等式的界.我们还建立了希尔伯特空间中非中心高斯元的平方范数的反集中界。本文提出了一些例子激励我们的结果和应用所获得的界限统计推断和高维CLT。
2018-03-07 math.PR
Anti-concentration with respect to random permutations
本文研究了随机排列下随机和的集中性问题，提出了新的集中性结果。
2026-01-07 math.CO math.PR
Real zeroes of random polynomials, II: Descartes' rule of signs and anti-concentration on the symmetric group
在第一部分的续集中，我们提出了一种不同的方法来界定具有实独立同分布系数或更一般地可交换系数的随机多项式的实零点的预期数量。我们表明，真正的零点的平均数不增长速度比对数的程度。我们的方法的主要成分是笛卡尔的符号规则和一个新的反浓度不等式的对称群。本文可以独立于本系列的第一部分阅读。
2016-01-19 math.CO math.PR
On concentration properties of disordered Hamiltonians
我们提出了一个初步的方法来集中无序哈密顿。假设极限自由能$F$相对于逆温度$β$的可微性，我们证明了在自由能和吉布斯平均下，哈密顿量集中在能级$F'(β)$附近.
2017-06-26 math-ph math.MP math.PR
Anti-concentration for polynomials of independent random variables
证明了任意次数独立随机变量多项式的反集中结果。我们的结果推广了经典的线性多项式的Littlewood-Offord结果，改进了几个较早的估计。我们讨论两个不同领域的应用。在复杂性理论中，我们证明了计算奇偶校验的接近最优的下界，解决了复杂性理论中由Razborov和Viola提出的挑战，也解决了关于OR函数的问题。在随机图论中，我们得到了关于随机图中固定图的拷贝数的一般反集中结果。
2015-08-07 cs.CC math.PR
Anti-concentration inequalities for log-concave variables on the real line
本文针对实直线上的对数凹随机变量，在离散与连续情形下证明了精确的反集中不等式，采用初等优化方法恢复并推广了已有结果。
2025-05-09 cs.IT math.IT math.PR
Hyperbolic Concentration, Anti-concentration, and Discrepancy
理论界是理论计算机科学中的一个基本工具。它在随机算法设计和随机类型分析中有着广泛的应用。离散性理论，它处理寻找一个双染色的集合系统，使每个集合的染色是平衡的，有大量的应用在近似算法设计。Schiff界[Che 52]暗示了任何含有$n$集合和$n$元素的集合系统的随机双染色都将以高概率存在差异$O(\sqrt{n \log n})$，而Spencer [Spe 85]的著名结果表明存在$O(\sqrt{n})$差异解.双曲多项式的研究可以追溯到20世纪初，当时Gårding [Går 59]用于解决偏微分方程。近年来，双曲多项式在控制理论、最优化、实代数几何等领域有了更多的应用，特别是Marcus，Spielman，Srivastava [MSS 15]的突破性成果，利用双曲多项式理论证明了与偏差理论密切相关的Kadison-Singer猜想[KS 59]。本文给出了双曲多项式的一系列新结果：* 给出了双曲锥中任意向量Rademacher和随机向量的两个近似最优双曲Beschoff界。* 我们证明了一个双曲反集中的界限。* 本文推广了向量在次迷向位置上的双曲Kadison-Singer定理[Brä 18]，并证明了对任意常双曲秩向量的双曲Spencer定理.经典的矩阵分解和差异结果是基于行列式多项式的。据我们所知，本文是第一个工作，表明无论是浓度或反浓度的双曲多项式的结果。我们希望…
2022-07-13 cs.DM math.PR
Anti-Concentration Inequalities for the Difference of Maxima of Gaussian Random Vectors
本文推导了两个高斯随机向量最大值之差的无维度反集中界，在退化协方差下成立且条件尖锐，并应用于推导离散经验过程最大化器的中心极限定理。
2024-08-23 math.PR math.ST stat.TH
A Rényi entropy interpretation of anti-concentration and noncentral sections of convex bodies
Centro de Investigacion en matemáticas (CIMAT)（墨西哥数学研究中心）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of Leeds（利兹大学）
本文通过雷尼熵解释了反集中现象，并给出了各向同性凸体非中心截面体积的精确界。
2025-01-25 math.FA math.MG math.PR
Comparison and anti-concentration bounds for maxima of Gaussian random vectors
Slepian型不等式和Sudakov-Fernique型不等式在概率论中，特别是在经验过程和极值理论中起着重要的作用，它们比较了高斯随机向量在协方差阵的某些限制下的最大期望.在这里，我们给出了明确的比较的期望的光滑函数和分布函数的最大值的高斯随机向量没有任何限制的协方差阵。我们还建立了高斯随机向量的最大值的反集中不等式，由此导出了高斯最大值的Lévy集中函数的一个有用的上界.该界限是无量纲的，适用于具有任意协方差阵的向量。这种反浓度不等式在建立高斯随机向量最大值之间的柯尔莫哥洛夫距离的界限中起着至关重要的作用。这些结果在数理统计中有直接的应用。作为应用的例子，我们建立了独立随机向量和的最大值的条件乘子中心极限定理，其中向量的维数可能远大于样本容量.
2014-04-13 math.PR math.ST stat.TH
Obtaining Measure Concentration from Markov Contraction
非乘积、非Haar测度的浓度界是最近才得到的：Marton在1996年通过耦合方法得到了收缩马尔可夫链的第一个这样的结果。接下来的工作，除了少数例外，也使用了耦合。虽然这种技术作为一种理论工具无疑是有用的，但它并不总是简单的应用。作为一种替代耦合，我们使用的基本马尔可夫收缩引理，以获得简单的，有用的，显然是新颖的浓度结果为各种马尔可夫型过程。我们的技术包括将概率表示为矩阵乘积，并将马尔可夫收缩应用于这些表达式;因此，它是相当普遍的，并有可能在这方面产生进一步的结果。
2012-07-08 math.FA math.PR
Anti-concentration of random variables from zero-free regions
本文给出了随机变量的集中度与其概率母函数的根的分布之间的联系。令$X$是在$\{0,\ldots,n\}$中取值的随机变量，其中$X$具有$\mathbb{P}(X = 0)\mathbb{P}(X = n) > 0$和概率生成函数$f_X$。我们证明了如果$f_X$的所有零$ζ$满足$|\arg(ζ)| \geq δ$和$R^{-1} \leq |ζ| \leq R$，则\[ \operatorname{Var}(X) \geq c R^{-2π/δ}n, \]，其中$c > 0$是一个绝对常数。我们表明，这一结果是尖锐的，高达$R$的指数中的因子$2$。因此，我们能够推导出不一定是独立同分布和的随机变量的Littlewood-Offord型定理。随机变量。
2022-10-07 math.CO math.PR
On the number of Hadamard matrices via anti-concentration
组合线性代数中的许多问题都需要一个欠定线性方程组$Ax = b$的解的个数的上界，其中向量$x$的坐标被限制为在基础域的某个小子集（例如$\{\pm 1\}$）中取值。限制这个量的经典方法是使用Odlyzko的秩约束观测或Halász的向量反集中不等式。前者给出了一个更强的结论，除非方程的数量明显小于变量的数量;即使在这种情况下，Halász不等式的假设也很难在实践中得到验证。在本文中，使用一种新的方法的反集中问题的向量和，我们得到了新的Halász型不等式击败Odlyzko界，甚至在设置的方程的数量是可比的变量的数量。除了更强之外，我们的不等式还具有相当容易验证的假设。我们提出了两个应用我们的不等式组合（随机）矩阵理论：（i）我们得到了第一个非平凡的上界的$n\times n$ Hadamard矩阵的数量，（ii）我们改进了最近的界Deneanu和Vu的随机$\{\pm 1\}$矩阵的正态性概率。
2018-08-22 math.CO math.PR
Anti-concentration of Suprema of Gaussian Processes and Gaussian Order Statistics
本文导出了可分中心化高斯过程上确界与高斯随机场顺序统计量集中函数的匹配上下界，证明其反集中性质等价于单一高斯变量，并推导了相应方差的渐近上下界以应用于高维统计问题。
2023-10-18 math.PR math.ST stat.TH
Sharp Anti-Concentration Inequalities for Extremum Statistics via Copulas
该研究推导了d个同分布随机变量最大值集中函数的精确界，提出凸对角截面copula类以得到更紧上界，建立了新的反集中不等式并改进了相关结果，可应用于高维统计推断。
2025-08-01 math.PR math.ST stat.TH
Tight lower bounds for anti-concentration of Rademacher sums and Tomaszewski's counterpart problem
本文证明有限Rademacher和的反集中性概率下界为7/32，证实Hitczenko与Kwapień1994年猜想，改进已有结果，还完全确定相关下确界函数，证实Lowther猜想并部分回答Keller和Klein的问题。
2023-06-13 math.CO math.PR
Adjacency matrices of random digraphs: singularity and anti-concentration
设${\mathcal D}_{n,d}$是所有$d$ -正则有向图在$n$顶点上的集合.设$G$是从${\mathcal D}_{n,d}$中均匀随机选取的图，$M$是它的邻接矩阵.我们证明了$M$是可逆的概率至少$1-C\ln^{3} d/\sqrt{d}$为$C\leq d\leq cn/\ln^2 n$，其中$c, C$是正的绝对常数。为此，我们建立了PDMATHAMN-正则有向图的一些性质。其中之一，Littlewood-Offord型抗浓度特性，具有独立利益。令$J$是具有$|J|\approx n/d$的$G$的顶点的子集。令$δ_i$为顶点$i$连接到$J$的事件的指示符，并定义$δ= (δ_1, δ_2, ..., δ_n)\in \{0, 1\}^n$。则对于每个$v\in\{0,1\}^n$，$δ=v$的概率是指数小的。即使图的一部分被“冻结”，此属性也有效。
2016-10-18 math.CO math.PR
Uniform spectral gaps, non-abelian Littlewood-Offord and anti-concentration for random walks
Oren Becker Department of Pure Mathematics；Mathematical Statistics Centre for Mathematical Sciences Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WA, United Kingdom；Emmanuel Breuillard Mathematical Institute Oxford OX1 3LB, United Kingdom
本文研究了随机游走在半单代数群上的反集中问题，通过证明一致谱间隙和非阿贝尔利特伍德-奥弗德不等式，揭示了随机游走的扩张性质。
2025-12-17 math.CO math.GR math.OA
The anti-concentration phenomenon with respect to random permutations
Yale University（耶鲁大学）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；UNSW Sydney（新南威尔士大学悉尼分校）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Hong Kong University（香港大学）
本文研究了在对称群上随机排列的反集中现象，分析了离散和连续情况下的集中概率，并应用结果到随机多项式和随机矩阵中。
2026-03-20 math.CO math.PR
Anti-concentration of polynomials: dimension-free covariance bounds and decay of Fourier coefficients
我们研究的形式$f(X)$的随机变量，当$f$是一个度$d$多项式，和$X$是一个随机向量上的$\mathbb{R}^{n}$，动机对协方差结构的更深入的理解$X^{\otimes d}$。对于应用程序，主要的兴趣是从下面绑定$\mathrm{Var}(f(X))$，假设对$f$的系数进行适当的归一化。我们的第一个结果适用于当$X$有独立的坐标，我们建立无量纲的界限。我们还表明，假设的独立性可以放松，我们的界限进行到各向同性$L_{p}$球上的统一措施。此外，在欧几里德球的情况下，我们提供了一个正交分解的$\mathrm{Cov}(X^{\otimes d})$。最后，我们利用反浓度和傅里叶系数的衰减之间的联系，证明了一个高维的类似的van der Corput引理，从而部分回答了Carbery和Wright提出的一个问题。
2022-07-14 math.CA math.FA math.PR
Matrix anti-concentration inequalities with applications
在矩阵范数的多项式界和全局小球概率界$$\inf_{x,y\in S^{m-1}}\mathbb{P}\left(\left|x^* M y\right|>m^{-O(1)}\right)\ge \frac{1}{2}.$$下，给出了具有联合高斯项的$m\times m$随机矩阵$M$的最小奇异值的多项式下界.在$M$是自伴的假设下，全局小球概率界可以用一个较弱的形式代替.建立了两个矩阵反集中不等式，它们给出了独立半正定自伴随矩阵和的最小奇异值的下界以及具有独立高斯系数的独立随机矩阵的线性组合的最小奇异值的下界.两者都是在全局小球概率假设下。作为一个主要的应用，我们证明了一个更好的奇异值界的Krylov空间矩阵，这导致了一个更快，更简单的算法求解稀疏线性系统。我们的算法运行在$\tilde{O}\left(n^{\frac{3ω-4}{ω-1}}\right)=O(n^{2.2716})$时间，其中$ω<2.37286$是矩阵乘法指数，改进了以前的最快的一个在$\tilde{O}\left(n^{\frac{5ω-4}{ω+1}}\right)=O(n^{2.33165})$时间的彭和Vempala。
2021-12-02 cs.DS math.PR
Optimal Concentration of Information Content For Log-Concave Densities
给出了具有对数凹密度的随机向量的变熵以及信息量偏离其均值的精确界的一个初等证明。这些界限显著改进了Bobkov和Madiman（{ \it Ann. Probab.}，39（4）：1528- 1543，2011）。
2015-10-26 cs.IT math.FA math.IT
Concentration inequalities for order statistics
本文讨论了独立同分布随机变量样本的顺序统计量的非渐近方差和尾界。当采样分布属于最大吸引区域时，这些边界被检查为渐近紧。如果抽样分布具有非递减的风险率（包括高斯分布），我们得到了顺序统计量的指数Efron-Stein不等式：一个连接中心顺序统计量的对数矩母函数和Efron-Stein（刀切）方差估计的指数矩的不等式.我们利用这个一般关系导出高斯样本顺序统计量的方差和尾界。这些界限不在Tsirelson-Algimov-Sudakov高斯浓度不等式的范围内。证明是基本的，结合了雷尼的顺序统计量表示和由M推广的所谓熵方法。勒杜
2012-07-31 math.PR math.ST stat.TH
Anti-concentration of polynomials: $L^{p}$ balls and symmetric measures
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；University of Washington（华盛顿大学）
研究多项式在对数凹随机向量上的方差界，揭示在特定条件下方差下界与维度无关的反集中性质，拓展了经典乘积测度之外的分析范围。
2026-03-24 math.CA math.FA math.PR
Optimizing Noise for $f$-Differential Privacy via Anti-Concentration and Stochastic Dominance
本文为 $f$-差分隐私的加性噪声建立反集中不等式，证明规范噪声分布尾部近最优且为次指数，提出离散规范噪声分布并证明其存在性、构造方法及随机最小性，为优化隐私机制性能提供理论支撑。
2024-11-11 cs.CR math.PR math.ST
Random walks on hyperbolic spaces: Concentration inequalities and probabilistic Tits alternative
本文的目的是双重的：在第一部分中，我们证明了双曲空间上非初等随机游动的位移在漂移附近的Azuma-Hoeffding型集中不等式。对于一个适当的双曲空间$M$，我们得到明确的界限，只依赖于$M$，支持的大小的措施，在经典的情况下，独立随机变量的总和，并在范数的驱动概率测度的左正则表示的组的等距。我们得到了双曲群的一致界和秩为1的简单线性群的有效界。在第二部分中，利用我们的浓度不等式，我们给出了定量的有限时间估计的概率，两个独立的随机游动的等距群的双曲空间生成一个自由的非阿贝尔子群。我们的浓度结果遵循一个更一般的，但不太明确的声明，我们证明为cocycles满足一定的上同调方程。例如，这也使我们能够获得亚高斯浓度边界周围的顶部李雅普诺夫指数的随机矩阵产品在任意维度。
2022-02-03 math.GR math.MG math.PR
Regularization under diffusion and anti-concentration of the information content
在Ornstein-Uhlenbeck半群$\{U_t\}$下，任何非负的可测$f : \mathbb R^n \to \mathbb R_+$表现出比马尔可夫不等式和质量守恒所暗示的更好的一致尾界：对于每个$α\geq e^3$，和$t > 0$，\[ γ_n\left(\left\{x \in \mathbb R^n : U_t f(x) > α\int f\,dγ_n\right\}\right) \leq C(t) \frac{1}α \sqrt{\frac{\log \log α}{\log α}}\]其中$γ_n$是$n$ -维高斯测度，$C(t)$是只依赖于$t$的常数。这肯定了Talagrand卷积猜想（1989）的高斯极限情况。这是一个更普遍的现象。假设$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_+$是{ \em semi-log-convex}，对于某些$β> 0$，对于所有$x \in \mathbb{R}^n$，$\nabla^2 \log f(x)$的特征值至少是$-β$。然后$f$满足尾界渐近优于马尔可夫不等式所隐含的。
2017-10-10 math.FA math.MG math.PR
