单可见性定位博弈
The one-visibility Localization game
AI总结：
本文提出单可见性定位博弈及其参数 $ζ_1$，通过等周不等式建立下界，给出 $k$-叉树上的常数因子界、$K_h$-minor 自由图的 $O(\sqrt{n})$ 界及笛卡尔网格的精确值，并利用路径宽度和支配数提供上界。
摘要：
我们引入了定位博弈的一种变体，其中警察仅具有可见性一，以及相应的优化参数——单可见性定位数 $ζ_1$。通过使用等周不等式建立下界，我们给出了 $k$-叉树（$k\ge 2$）上 $ζ_1$ 的上下界，这些界相差一个乘法常数，表明该参数在 $k$-叉树上无界。我们为阶数为 $n$ 的 $K_h$-minor 自由图提供了 $O(\sqrt{n})$ 的界，并通过确定笛卡尔网格的单可见性定位数（精确到四个值）表明其达到该界。我们利用路径宽度和支配数给出了 $ζ_1$ 的上界，并基于树的深度和阶数给出了树上的上界。最后，我们提出了一些开放问题。
英文摘要：
We introduce a variant of the Localization game in which the cops only have visibility one, along with the corresponding optimization parameter, the one-visibility localization number $ζ_1$. By developing lower bounds using isoperimetric inequalities, we give upper and lower bounds for $ζ_1$ on $k$-ary trees with $k\ge 2$ that differ by a multiplicative constant, showing that the parameter is unbounded on $k$-ary trees. We provide a $O(\sqrt{n})$ bound for $K_h$-minor free graphs of order $n$, and we show Cartesian grids meet this bound by determining their one-visibility localization number up to four values. We present upper bounds on $ζ_1$ using pathwidth and the domination number and give upper bounds on trees via their depth and order. We conclude with open problems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
