The one-visibility Localization game
本文提出单可见性定位博弈及其参数 $ζ_1$，通过等周不等式建立下界，给出 $k$-叉树上的常数因子界、$K_h$-minor 自由图的 $O(\sqrt{n})$ 界及笛卡尔网格的精确值，并利用路径宽度和支配数提供上界。
2023-01-09 cs.DM math.CO
The Localization Game on Directed Graphs
在图上玩的定位游戏中，一组警察使用距离探测器来确定一个隐形强盗的位置。我们提出了一个扩展的游戏和它的主要参数，本地化数，有向图。我们提出了几个有向图的局部化数的界，包括通过强分支的紧界，使用超图上的线性规划问题的界，以及路宽和DAG宽度的界。给出了一类局部化数为$(1-o(1))n/2$的$n$阶有向图.我们研究了随机和拟随机竞赛图的局部化数，并将我们的结果应用于双正则竞赛图，其中包括Paley竞赛图。
2022-08-16 math.CO
Localization Game for Random Graphs
我们考虑了在图上玩的本地化游戏，其中警察试图通过利用距离探针来确定一个看不见的强盗的确切位置。给定图$G$的对应图参数$ζ(G)$称为局部化数。在本文中，我们改进了稠密随机图确定$ζ(G)$的渐近行为的界限。此外，我们扩展到稀疏图的参数。
2020-09-03 math.CO
The directional localization game on graphs
University of Rhode Island（罗德岛大学）
本文提出定向定位游戏，研究弦图、笛卡尔积图等图类的定向定位游戏，并基于退化度和树宽界定图的定向定位数。
2026-09-03 math.CO
The localization capture time of a graph
定位博弈是一个类似于《警察与强盗》的追逃对策，在这个博弈中，强盗是隐形的，警察发送距离探测器试图确定强盗的位置。我们提出了一个新的图形参数，称为捕获时间，它可以测量本地化游戏持续多久，假设最佳的发挥。我们猜想，捕获时间是线性的顺序的图，并表明，猜想成立的图家庭，如树和区间图。研究了树的捕获时间的界及其在树的诱导子图和更一般的图上的单调性。我们给出了射影平面的关联图的捕获时间的上界。最后，我们使用树宽对本地化数量和捕获时间进行了新的限制。
2021-05-20 cs.DM math.CO
The Slow-coloring Game on Sparse Graphs: $k$-Degenerate, Planar, and Outerplanar
\emph{slow-coloring game}由Lister和Painter在图形$G$上播放。最初，$G$的所有顶点都未着色。在每一轮中，Lister标记未着色顶点的非空集合$M$，而Painter为$G$中独立的$M$子集着色。游戏结束时，所有的顶点着色。游戏的分数是由Lister标记的所有集合的大小之和。Painter的目标是最小化得分，而Lister试图最大化it. We提供的策略Painter对各类图，其顶点可以划分成一个有界数量的集合诱导森林，包括$k$ -退化，非循环$k$ -着色，平面，和outerplanar图。例如，我们表明，在一个$n$顶点图$G$，画家可以保持得分最多$\frac{3k+4}4n$时$G$是$k$ -退化，$3.9857n$时$G$是无环$5$ -可着色，$3n$时$G$是平面的哈密尔顿对偶，$\frac{8n+3m}5$时$G$是$4$ -可着色与$m$边缘（因此$3.4n$时$G$是平面的），$\frac73n$时$G$是outerplanar。
2018-09-15 math.CO
Bounds for the game coloring number of planar graphs with a specific girth
设${\rm col_g}(G)$为给定图$G.$的对策色数定义图族$\mathcal{H}$为${\rm col_g}(\mathcal{H}) := \max\{{\rm col_g}(G):G \in \mathcal{H}\}.$设$\mathcal{P}_k$为围长至少为$k.$的可平面图族我们证明了${\rm col_g}(\mathcal{P}_7) \leq 5.$这一结果推广了Wang和Zhang {WZ 11}（我们还证明了这些边界是尖锐的，通过构建一个图$G$，其中$G \in {\rm col_g}(\mathcal{P}_k) \geq 5$对于每个$k \leq 8$，使得${\rm col_g}(G)=5.$作为结果，${\rm col_g}(\mathcal{P}_k) = 5$对于$k =7,8.$
2016-10-10 math.CO
Defective 3-Paintability of Planar Graphs
一个$d$ -有缺陷的$k$ -在图$G$上绘画的游戏由两个玩家来玩：Lister和Painter。最初，每个顶点都是未着色的，并且具有$k$标记。在每一轮中，Lister标记一组选定的未着色顶点$M$，并从每个标记的顶点中移除一个标记。作为响应，Painter对$M$的子集$X$中的顶点进行着色，这会诱导出最大度为$d$的子图$G[X]$。如果在某轮结束时，有一个未着色的顶点没有更多的标记，则利斯特赢得游戏。否则，所有顶点最终都会着色，Painter将赢得游戏。我们说$G$是$d$ -有缺陷的$k$ -如果画家在这个游戏中有一个获胜的策略，那么它是可画的。本文证明了每个可平面图都是3-亏损3-可画的，并给出了一个非2-亏损3-可画的可平面图的构造.
2017-06-06 math.CO
Pursuit-evasion games on latin square graphs
我们研究了拉丁方图上的各种追逐-逃避参数，包括copnumber，度量维数和局部化数。研究了拉丁方图的copn数，给出了$k$-MOLS图copn数的$(n),$界.如果是$n>(k+1)^2,$，则cop数为$k+2.$.给出了拉丁方图的度量维数和局部化数的上界.反循环拉丁方的度量维数表明其下界接近于紧。最近关于拉丁方的覆盖和部分断面的结果给出了$n.$阶拉丁方图的局部化数的$n+O\left(\frac{\log{n}}{\log{\log{n}}}\right)$的上界
2021-09-29 cs.DM math.CO
The Localization Game On Cartesian Products
本地化游戏由两名玩家玩：一名警察和一队$k$警察，以及一名强盗。游戏初始化由强盗选择一个顶点$r \in V$，警察不知道。之后，游戏将以回合制进行。在每个回合开始时，Cop探测$k$顶点，并返回一个距离矢量。如果警察可以从矢量中确定$r$的确切位置，则强盗被定位，警察获胜。否则，强盗可以留在PDMATHAMO，或者移动到$r$附近的$r'$。然后Cop再次探测$k$顶点。游戏继续以这种方式进行，如果强盗可以在有限数量的回合中找到，警察就赢了。本地化数$ζ(G)$定义为最小正整数$k$，对于该最小正整数，无论强盗的移动如何，警察都具有获胜策略。在本文中，我们主要研究在笛卡儿积上的对策。我们证明了$ζ( G \square H) \geq \max\{ζ(G), ζ(H)\}$和$ζ(G \square H) \leq ζ(G) + ψ(H) - 1$，其中$ψ(H)$是$H$的一个双重可分解集.我们还表明，$ζ(C_m \square C_n)$是大多数等于2。
2020-10-15 math.CO
Cops and robbers on planar directed graphs
Aigner和Fromme通过证明在每个连通的可平面图中，三个警察足以赢得对单个强盗的自然追捕游戏的优雅而尖锐的结果，开始了对图的警察数的系统研究。这个博弈由Nowakowski和Winkler提出，在组合文学中通常被称为“警察和强盗”。我们将这项研究扩展到有向可平面图，并建立从无向设置分离。我们展示了一个尺规作图法，它表明一个更复杂的强盗策略可以无限期地逃避一个特定的强连通平面有向图上的三个警察。
2015-07-03 math.CO
Progress on the localization number of a graph
我们强调新的结果的本地化数的图，一个参数来自本地化图搜索游戏。在介绍了游戏，并提供了现有的结果的概述，我们描述了最近的本地化数量的结果。我们描述了设计的关联图、极性图和Kneser图的局部化数的界或精确值。
2021-03-19 math.CO
Localization Game for Random Geometric Graphs
局部化博弈是在图$G=(V,E)$上进行的两人组合博弈。警察用$|S_1|=k$选择一组顶点$S_1 \subseteq V$。然后，强盗选择一个顶点$v \in V$，其位置对警察是隐藏的，但警察学习强盗的当前位置与$S_1$中的顶点之间的图距离。如果这些信息足以定位劫匪，警察立即获胜;否则警察选择另一组具有$|S_2|=k$的顶点$S_2 \subseteq V$，劫匪可以移动到相邻的顶点。新的距离被呈现给劫匪，如果警察可以根据他们迄今为止积累的所有信息推断出劫匪的新位置，那么他们就赢了;否则，新一轮开始。如果劫匪有策略避免被抓，那么她就赢了。定位数被定义为最小整数$k$，使得警察赢得游戏。在本文中，我们确定的随机几何图$G \in \mathcal G(n,r)$略高于连通性阈值的本地化数（多对数因子）。
2022-09-05 math.CO math.PR
The $k$-visibility Localization Game
本文提出警察可见性受限的 $k$-可见性定位博弈，研究参数 $ζ_k$，给出其与支配、最大度和等周不等式相关的界，并分析树、细分树及笛卡尔网格图。
2023-11-02 math.CO
Some remarks on the Game of Cycles
圈博弈是由Francis Su提出的可平面图上的一个公平博弈。在这个简短的说明中，我们解决了一些关于游戏的问题，并提出了一些进一步的问题。
2023-03-15 math.CO
Keeping Avoider's graph almost acyclic
我们考虑有偏见的$(1:b)$避免者-执行者游戏在单调和严格的版本。特别是，我们表明，Avoider可以保持他的图是一个森林的每一个，但也许是最后一轮的游戏，如果$b \geq 200 n \ln n$。由此我们得到了非平面性博弈、非$k$ -可着色性博弈和$K_t$ -小博弈的阈值偏差的最优上界，从而解决了一个问题，改进了Hefetz，Krivelevich，Stojaković和Szabó的结果.此外，我们还对非平面博弈的下界进行了改进。
2014-03-06 math.CO
The game of Overprescribed Cops and Robbers played on graphs
我们考虑了当更多的警察加入到游戏中时，对警察和强盗游戏长度的影响。在“过度规定的警察和强盗”中，随着警察的增加，抓捕时间（假设最佳玩法的最小游戏长度）单调减少。我们给出了捕获时间的全部范围内的任何数量的警察在树上，并分类捕获时间的渐近数量的警察在网格，超立方体，和二项式随机图。研究了边数等于或大于边数的可平面图的捕获时间。
2016-11-23 cs.DM math.CO
The localization number of designs
研究了设计关联图的局部化数。在图上玩的定位游戏中，警察试图通过距离探测器确定一个看不见的强盗的位置。图$G$的局部化数，写作$ζ(G)$，是确保抢劫者被捕获所需的最小警察数。给出了平衡不完全区组设计关联图局部化数的界。给出了射影平面和仿射平面的关联图的局部化数的精确值。给出了Steiner系统和横截设计的界。
2020-05-26 cs.DM math.CO
A note on the localization number of random graphs: diameter two case
研究了稠密随机图上的局部化对策。在这个博弈中，一个{ \em警察} $x$试图通过询问$y$到集合序列$W_1,W_2,\ldots,W_\ell$中每个顶点的图距离来定位一个{ \em强盗} $y$。我们证明了高概率的上限和下界的最小尺寸的每个$W_i$，这将保证$x$将能够找到$y$。
2019-05-14 math.CO
The Game of Tumbleweed is PSPACE-complete
风滚草是一个流行的两个球员完美的信息新的领土游戏在著名的智力运动奥林匹克。我们定义了一个广义版本的游戏，其中董事会的大小是任意的，所以是可能的中性石头的数量。我们的结果是：对于一个给定的配置，决定哪一个玩家有一个获胜的策略的复杂性是PSPACE完全的。这个证明是通过从T. J. Schaefer的布尔公式游戏中的对数空间归约得到的，已知它是PSPACE-完全的。我们将非平面的Schaefer游戏嵌入到平面的Tumbleweed板中，而不使用适当的“桥”，由于板的拓扑结构，这是不可能的。相反，我们的新技术使用了一个移动紧张的比赛，迫使球员只根据玩嵌入式4-CNF游戏的协议移动。
2022-06-19 cs.CC math.CO
Guarding isometric subgraphs and Cops and Robber in planar graphs
本文引入子图中宽阴影概念刻画所有1-可保护图，并证明在最多两名警察同时移动的限制下3名警察可在任何平面图中捕获强盗，从而证明了Yang的猜想并加强了Aigner和Fromme的经典结果。
2024-06-03 cs.DM math.CO
A theoretical expansion of the Sprout game
本研究针对Sprout游戏猜想缺乏理论证明的问题，通过拓展Brussels Sprout游戏提出广义版本，研究多类图下的游戏性质并完成特定情形的nimber刻画，为解决Sprout猜想提供潜在思路。
2023-11-04 math.CO
Hat guessing number of planar graphs is at least 22
我们分析了确定性的帽子游戏的版本。在本文中，我们提出了新的建设者，即定理，允许建立获胜的战略，在不同的图上的圣人。使用这种技术，我们计算的帽子猜测数${\text{HG}}_s(G)$的路径和“牵牛花”，并提出了一个可平面图$G$，其中${\text{HG}}_1(G) \ge 22$。
2023-01-24 math.CO
Bounds on the localization number
我们考虑的本地化游戏上的图，其中一组警察试图确定一个无形的强盗的确切位置，利用距离探针。图$G$的相应优化参数称为局部化数，并写为$ζ(G)$。我们解决了一个猜想的\cite{nisse1}的本地化数的色数的函数提供了一个上界。特别是，我们证明了每一个图与$ζ(G) \le k$退化小于$3^k$，因此，满足$χ(G) \le 3^{ζ(G)}$。我们进一步表明，这个简并界是紧的。我们还证明了在外平面图中的局部化数至多为2，并且我们确定了超立方体的局部化数，直到一个加性常数。
2020-01-24 cs.DM math.CO
Baker game and polynomial-time approximation schemes
贝克设计了一种技术，以获得近似计划的许多优化问题限制在平面图;她的技术后来扩展到更一般的图形类。特别地，使用Baker的技巧和次结构定理，Dawar等人给出了多项式时间近似方案（PTAS），用于当限制到适当的次闭图类时，所有可在一阶逻辑中表达的单调优化问题。我们定义了一个贝克游戏形式化的概念反复应用贝克的技术穿插顶点删除，证明单调优化问题表达的一阶逻辑承认PTAS时，限制在图类中，贝克游戏可以赢得一个恒定数量的回合，并证明没有使用的小结构定理，所有适当的小封闭类的图形有此属性。
2019-01-07 cs.DM math.CO
Playing Games with Cacti
循环游戏是一个两人公平的数学游戏，由Francis Su在他的书Mathematics for Human Flourishing（2020）中介绍。游戏在简单的可平面图上进行，玩家轮流使用汇源规则标记边缘。在Alvarado等人的研究中，作者使用镜像反转策略来确定谁能够在具有某些类型的对称性的图上获胜。在本文中，我们分析了特定类型的仙人掌图的镜像反转策略的修改版本的游戏。
2023-02-16 math.CO
Multi-layered planar firefighting
考虑一个火在图中蔓延的模型;最初一些顶点在燃烧，在每个给定的时间步，火从燃烧的顶点蔓延到它们的邻居。消防员问题是一个纸牌游戏，其中允许玩家在每个时间步保护一些未燃烧的顶点（通过有效删除它们）以控制火势的蔓延。为了阻止火势无限蔓延，平均每回合必须保护多少个顶点？在这里，我们考虑的问题$\mathbb{Z}^2\times [h]$的最近邻邻接和强邻接。我们确定这些图的临界保护率分别为$1.5h$和$3h$。这确立了这样一个事实，即对所有层并行使用最优二维策略是渐进最优的。
2021-05-08 cs.DM math.CO
Cops and Robbers on 1-Planar Graphs
研究1-平面图上的警察与强盗追逃博弈，证明一般1-平面图警察数无界，极大1-平面图警察数为3，并刻画了外1-平面图的警察数。
2023-09-07 cs.DM math.CO
Constructing Geometric Graphs of Cop Number Three
警察和强盗的博弈是一个图上的追逐博弈，一组被称为警察的特工试图到达另一个被称为强盗的特工的相同位置。警匪片已经在包括几何表示图在内的几类图上进行了研究。例如，已经证明了弦图，包括几何图，具有至多15个cop数。另一方面，很少有人知道几何图的任何铜数小于15，只有一个例子的几何图的铜数3，有多达1440个顶点。本文给出了一种构造方法，将最大度平面图$\le 5$细分为至少具有相同copnumber的几何可平面图.事实上，我们的构造表明，有无穷多个平面几何图的cop数为3。我们还提出了另一种建设，包括在集团替代旁边细分的最大程度的平面图$\le 9$的边缘，导致几何，但不一定是平面的，至少相同的COP数的图形作为起始图形。
2019-03-17 math.CO
On the hat guessing number of a planar graph class
本文借助 Erdős 超图边密度定理与新的顶点分解论证，证明外平面图的帽子猜测数小于 $2^{125000}$，并定义分层平面图类，证明其帽子猜测数有界。
2025-09-28 math.CO
Centroidal localization game
网络中的一个重要问题是通过使用放置在战略位置的距离检测器来定位（不可见）移动实体。例如，图$G$的度量维度是放置在某些顶点$\{v_1,\cdots,v_k\}$中的检测器的最小数量$k$，使得检测器与实体的位置$r$之间的距离$d(v_i,r)$的向量$(d_1,\cdots,d_k)$允许唯一地确定$r \in V(G)$。在更现实的设置中，不是获得精确的距离信息，而是给定放置在$\{v_1,\cdots,v_k\}$中的设备，我们仅获得实体的位置$r$和设备之间的相对距离（对于每个$1\leq i,j\leq k$，提供是$d(v_i,r) >$、$<$还是$=$到$d(v_j,r)$）。图形$G$的质心尺寸是在此设置中定位实体所需的最小设备数量。我们考虑后一个问题的自然推广，其中顶点可能会被顺序探测，直到移动实体的位置。在每一个转弯处，探测顶点的集合$\{v_1,\cdots,v_k\}$，然后给出顶点$v_i$和实体的当前位置$r$之间的相对距离。如果未定位，则移动实体可以沿着一个边缘移动。设$ζ^* (G)$是最小$k$，使得实体最终位于图$G$中，无论它做什么。证明了对每棵树$T$都有$ζ^* (T)\leq 2$，并给出了图$G$和$H$的卡积中$ζ^*(G\square H)$的一个上界.我们的主要结果是：对于任何外平面图$G$，都有$ζ^* (G)\leq 3$…
2018-12-06 cs.DM math.CO
Primal-Dual Cops and Robber
研究平面图上警察在相邻面移动、强盗在相邻顶点移动的博弈变体，证明当且仅当最大度 $Δ\leq 4$ 时常数名警察足以抓捕强盗。
2024-01-10 cs.DM math.CO
The Hats game. The power of constructors
我们分析以下确定性帽子博弈的一般版本。几个戴着彩色帽子的圣人占据了一个图的顶点。每个圣人可以有一顶$k$颜色的帽子。每个圣人都试图猜测自己的帽子的颜色，只是根据观察他的邻居的帽子，而不交换任何信息。如果一个预先确定的猜测策略保证每个颜色分配至少有一个正确的个人猜测，那么它就是获胜的。我们提出了一个可平面图的例子，其中的圣人赢得了$k = 14$。我们也给出了一个简单的证明定理的帽子游戏的“风车”图。
2021-02-14 math.CO
Creating triangles in Constructor-Blocker games
研究 Constructor-Blocker 博弈中最大化三角形数量的广义 Turán 问题，考虑禁止短路径/圈或平面性约束，给出精确渐近或上下界。
2025-10-07 math.CO
The topology of competitively constructed graphs
我们考虑一个简单对策，$k$ -正则图游戏，在该游戏中，玩家轮流添加边到一个最初的空图的约束，顶点的度不能超过$k$。我们展示了这个游戏的一个尖锐的拓扑阈值：对于$k=3$的情况下，玩家可以确保得到的图是平面的，而对于$k=4$的情况下，玩家可以强制出现任意大的集团未成年人。
2014-01-22 math.CO
Computational Properties of Slime Trail
我们研究了组合博弈Slime Trail，这个博弈是在一个图上进行的，起点在一个节点上。每个玩家的目标是到达自己的目标节点之一。每回合当前玩家移动棋子并删除它们来自的节点。我们表明，游戏是PSPACE完全的平面图上播放时。
2017-12-12 cs.CC math.CO
Infinite Matroids and Determinacy of Games
解决了Diestel和Pott的一个问题，构造了一大类无限拟阵。这些结果可以用来提供反例反对良拟序猜想到无限拟阵的自然扩张，并证明平面无限拟阵类不具有泛拟阵.这些拟阵的存在与集合论有联系，因为它对应于某些博弈的确定性。为了表明我们的建设给拟阵，我们引入了一个新的非常简单的公理化类可数驯服拟阵。
2013-01-25 math.CO math.LO
The Game of Cycles
Su（2020）提出的循环游戏是在一个简单的连通可平面图及其有界单元上进行的，玩家根据一个给游戏赋予拓扑味道的汇源规则轮流用箭头标记边。游戏的目的是产生一个循环细胞-一个细胞周围的箭头都在一个方向循环-或作出最后可能的举动。我们分析了两个玩家的游戏，各类图，并确定谁有一个获胜的策略。我们还建立了一个拓扑性质的游戏：每一个边缘标记的董事会必须有一个循环细胞。
2020-04-02 math.CO math.GN
The Cops & Robber game on series-parallel graphs
警察和强盗游戏是在无向有限图上进行的。$k$警察和一个强盗位于顶点上，并轮流沿边移动。如果在一次移动后，警察和强盗在同一个顶点上，警察就赢了。如果警察有一个获胜的策略，那么这个图就叫做$k$ -copwin。已知可平面图是3-copwin（Aigner & Fromme，1984），外可平面图是2-copwin（Clarke，2002）。在这篇短文中，我们证明了串并联（即，没有$K_4$次图的图是2-共赢的。在警察与强盗博弈的文献中，这是一个众所周知的技巧，定义了对警察可能的策略施加限制的博弈变体（参见Clarke，2002）。为了我们的证明，我们定义了“有出口的警察和强盗博弈”。我们的证据为警察提供了一个获胜的策略。
2008-01-18 math.CO
Every planar graph is $1$-defective $(9,2)$-paintable
假设$L$是图$G$的$k$ -列表分配。$G$的$d$ -缺陷$m$ -折叠$L$ -着色$ϕ$将$m$颜色的集合$ϕ(v)$分配给每个顶点$v$，使得对于每个顶点$v$的$ϕ(v) \subseteq L(v)$和对于每个颜色$i$，集合$\{v: i \in ϕ(v)\}$导出最大度为$d$的子图.本文考虑图的在线列表$d$ -亏损$m$ -折叠着色，其中列表赋值$L$是在线给出的，着色是在线构造的.准确地说，$d$ -有缺陷的$(k,m)$ -在图形$G$上绘画游戏由两个玩家玩：Lister和Painter。最初，每个顶点都有$k$令牌，并且没有颜色。在每一轮中，Lister选择一组顶点$M$，并从每个选定顶点中移除一个标记。Painter给$M$的一个子集$X$着色，它导致一个最大度至多为$d$的子图$G[X]$。如果$v$已经接收到$m$颜色，则顶点$v$是完全着色的。如果在某轮结束时，有一个顶点没有剩下更多的标记并且没有完全着色，则Lister获胜。否则，在某轮中，所有顶点都完全着色，Painter获胜。我们说$G$是$d$ -有缺陷的$(k,m)$ -如果画家在这个游戏中有一个获胜的策略，就可以绘制。本文证明了每一个可平面图都是$1$ -亏$(9,2)$ -可画的.
2016-05-14 math.CO
Locally finite graphs and their localization numbers
本文研究局部有限树上的定位博弈，构造出定位数可为任意正整数的局部有限树，并证明端数有限或可数的局部有限树定位数至多为2，还证明任何局部有限图都包含一个细分使单个警察能捕获强盗。
2024-04-03 math.CO
e-Valuate: A Two-player Game on Arithmetic Expressions -- An Update
Tata Consultancy Services（塔塔咨询服务公司）
e-Valuate是一款关于算术表达式的游戏。参与者扮演着最大化和最小化给定表达式的不同角色。最大化者提出价值，最小化者用价值代替他选择的变量。当表达式被完全实例化时，它的值将与某个极大极小值进行比较，如果参与者使用他们的最优策略，则会产生该值。获胜者将根据这一比较结果宣布。我们使用一个对策树来表示游戏的状态，并展示了如何使用反向归纳法和α-β剪枝来有效地计算极大极小值。alpha-beta剪枝的有效性取决于评估节点的顺序。进一步的改进可以通过使用换位表来防止对相同节点的重新评估来获得。我们提出了一个启发式的节点排序。我们展示了如何使用的启发式和换位表导致改进的性能，通过比较每个方法修剪的节点数。我们描述了这个游戏的一些特定领域的变体。第一个是图论公式，其中两个玩家通过着色相关集合来共享图的一组元素，每个玩家都希望最大化他的份额。被共享的集合可以是顶点、边或面的集合（对于可平面图）。这一点的一个应用是共享由可平面图包围的区域，其中每个玩家的目标是最大化他的份额的面积。另一种变体是平铺游戏，其中玩家交替地将多米诺骨牌放置在$8 \times 8$棋盘上以构建最大部分平铺。我们表明，瓷砖$x$的大小满足$22 \le x \le 32$证明，任何最大的部分瓷砖至少需要$22$多米诺骨牌。
2014-09-12 cs.AI math.CO
The First Order Definability of Graphs with Separators via the Ehrenfeucht Game
我们说一个一阶公式$Φ$定义了一个图$G$，如果$Φ$在$G$上为真，而在每个与$G$不同构的图$G'$上为假。令$D(G)$是这样的公式的最小量词秩。证明了：若$G$是有界度树或Hamilton（等价2连通）外平面图，则有$D(G)=O(\log n)$，其中$n$表示$G$的阶.这个界限是最佳的常数因子。如果$h$是常数，对于不含次$K_h$和度$O(\sqrt n/\log n)$的连通图，我们证明了有界$D(G)=O(\sqrt n)$ .这一结果适用于平面图，更一般地，有界亏格的图。
2004-01-26 math.CO math.LO
