We describe the spaces of the positive and tropical points of the moduli space $\mathcal{P}_{PGL_2,Σ}$ introduced by Goncharov--Shen [GS19] as certain Teichmüller and lamination spaces, respectively, with additional data of pinnings. In the case where the surface $Σ$ has no punctures, we obtain the formulae relating various functions on the Teichmüller space with pinnings: $λ$-lengths, cross ratio coordinates, and Wilson lines. A topological description of the tropicalized amalgamation map is given in terms of $\mathcal{P}$-laminations.
Based on our topological study of these "$\mathcal{P}$-type" spaces, we investigate the compatibility of the Fock--Goncharov duality maps $\mathbb{I}_\mathcal{A}$, $\mathbb{I}_\mathcal{X}$ constructed by [FG06,FG07,MSW13,GS15] under the extended ensemble map. We also discuss the amalgamation of bracelet bases.
A Commentary on Teichm{ü}ller's paper ``Vollst{ä}ndige L{ö}sung einer Extremalaufgabe der quasikonformen Abbildung'' (Complete solution of an extremal problem of the quasiconformal mapping)
我们评论Teichm{ü}ller的文件“Vollst {ä}ndige L{<$}sung einer Extremalaufgabe之quasikonformen Abbildung”“（完整的解决方案的ex-tremal问题的quasiconformal映射），发表于1941年。Teichm{ü}ller在五边形（边界上有五个区别点的圆盘）情形下给出了极值拟共形映射存在性的一个证明.本文的最终版本将出现在第六卷的Teichmüller理论手册的一章。
In this paper, the Teichm{ü}ller spaces of surfaces appear from two points of views: the conformal category and the hyperbolic category. In contrast to the case of surfaces of topologically finite type , the Teichm{ü}ller spaces associated to surfaces of topologically infinite type depend on the choice of a base structure. In the setting of surfaces of infinite type, the Teichm{ü}ller spaces can be endowed with different distance functions such as the length-spectrum distance, the bi-Lipschitz distance, the Fenchel-Nielsen distance, the Teichm{ü}ller distance and there are other distance funct…
Tangent spaces of the Teichm{ü}ller space of the torus with Thurston's weak metric
本文证明了环面上平坦结构的Teichm{ü}ller空间上的Thurston非对称度量的类似是弱Finsler，并给出了Teichm{ü}ller空间的切空间中每一点处的单位球面的几何描述.然后，我们引入了一类弱Finsler度量，它们插值于Thurston的非对称度量和环面的Teichm{ü}ller度量（与双曲度量一致）之间.我们描述了这个族中度量的无穷小单位球，本文的最终版本将发表在Annales Academietum\ Scientiarum Fennicetum\ Mathematica上。
On the early history of moduli and Teichm{ü}ller spaces
我们综述了Riemann模空间和Teichm{ü}ller空间的一些主要贡献。我们的报告具有历史性，但重点是数学思想链。我们从黎曼曲面的介绍开始，以黎曼模空间和Teichm{ü}ller空间的一些基本结构的发现结束。我们指出几个事实，这似乎是未知的许多代数geometers和分析工作的理论。我们感兴趣的时期始于1851年的黎曼，结束于20世纪60年代初，当时Ahlfors和Bers证实了Teichm{üller的结果是正确的。本文是为Linda Keen，Irwin Kra和Rubi Rodriguez编辑的《Lipman Bers，a life in Mathematics》一书撰写的（美国数学学会，2015）。这是专门为纪念李普曼Bers谁首先是一个复杂的分析师，并花了很大一部分他的生命和精力工作的分析结构Teichm{ü}ller空间。他的工作分析，但不可分割的几何和拓扑结构。在这篇综述中，我们强调了这一工作与Riemann，Poincar{é}，Klein，Brouwer，Siegel，Teichm{üller，Weil，Grothendieck等人的工作之间的联系和逻辑依赖。我们解释了这些想法背后的动机。在这样做的时候，我们指出了几个事实，这似乎是未知的许多泰希勒理论家。
A Commentary on Teichm{ü}ller's paper "Untersuchungen über konforme und quasikonforme Abbildungen" (Investigations on conformal and quasiconformal mappings) (to appear in Vol. VII of the \emph{Handbook of Teichmüller theory}
这是一个评论Teichm Ller的文件Unter-suchungen Lüber konforme und quasikonforme Abbildungen（Inves-tigations on conformal and quasiconformal mapping）出版于1938年。该文件包含的基本成果在共形几何，特别是一个引理，被称为模，它确保几乎圆形的某些轨迹定义为互补组成部分的简单连通地区的黎曼领域，和另一个引理，我们称之为主要引理，它确保圆形接近无穷大的图像圆的一个准siconformal映射。这两个结果在值分布理论中有着广泛的应用，它们允许有效地利用双连通域和拟共形映射的模。Te-ichm{ü}ller的论文还包含了双连通域共形不变量理论的深入发展。本文的最终版本将出现在\emph{Handbook of Teichm{ü}ller theory}（欧洲数学学会出版社，2020）的第七卷中。
The combinatorial structure of the unit tangent spheres and cotangent spheres of Teichm{ü}ller space with Thurston's Finsler metric
Gakushuin University（学习院大学）；Max-Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）；Institut de Recherche Mathématique Avancée, CNRS et Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学法国国家科学研究中心高级数学研究所）
Limit points of lines of minima in Thurston's boundary of Teichmueller space
给定在双曲曲面中填充该曲面的两个测量的叠层μ和nu，Kerckhoff [Lines of Minima in Teichmueller space，Duke Math J.65（1992）187-213]定义了一条相关的最小线，沿着该最小线，μ和nu的长度函数的凸组合被最小化。这是Teichmueller空间中的一条线，可以被认为类似于双曲空间中由无穷远处的两点确定的测地线。我们表明，当亩是唯一遍历，这条线收敛到投影层[亩]，但当亩是合理的，这条线不收敛到[亩]，而是重心的支持亩。Masur [Two boundaries of Teichmueller space，Duke Math.J.49（1982）183-190]证明了关于Teichmueller测地线行为的类似结果。
格罗滕迪克的Esquisse d 'un纲领经常被提及，因为它包含了关于dessins d' enfants、Teichm{üller}塔以及绝对伽罗瓦群对这些对象或它们的etale基本群的作用的思想。但这个程序包含了其他几个重要的想法。特别是，由表面拓扑和模空间的黎曼曲面的动机，格罗滕迪克呼吁有重铸的拓扑，以使其适合的对象，半代数和半解析几何，特别是研究的Mumford-Deligne紧化的模空间。本文提出了流形、子流形以及它们之间映射的新概念。我们在本章中回顾这些思想，因为它们与模理论和Te-ichm{ü}ller空间有关。我们还简要地提到格罗滕迪克的想法和早期的理论开发的惠特尼，Lojasiewicz和Hironaka，特别是托姆，并与最近的理论o-最小结构。本文的最终版本将出现在第六卷的Teichmüller理论手册的一章。本卷是献给亚历山大格罗滕迪克的记忆。
