某些 Hermitian 对称超对的 Shimura 算子
Shimura operators for certain Hermitian symmetric superpairs
AI总结：
本文给出 Sahi-Zhang 结果的超模拟，定义超 Shimura 算子并证明其与插值超对称多项式成比例，在 p=q=1 时用拟球面性证明猜想。
摘要：
我们给出了 S. Sahi 和 G. Zhang 关于 Shimura 算子与某些插值对称多项式之间关系的结果的部分超模拟。特别地，我们研究了对 $(\mathfrak{gl}(2p|2q), \mathfrak{gl}(p|q)\oplus\mathfrak{gl}(p|q))$，在 $\mathfrak{U}(\mathfrak{g})^\mathfrak{k}$ 中定义了超 Shimura 算子，并利用一种新方法证明了在 Harish-Chandra 同态下的像与 Sergeev 和 Veselov 的 Type $BC$ 插值超对称多项式成比例，前提是一族不可约 $\mathfrak{g}$-模是球面的。我们利用 Kac 模的拟球面性概念在 $p=q=1$ 时证明了这一猜想，并给出了（拟）球面向量的显式坐标。
英文摘要：
We give a partial super analog of a result obtained by S. Sahi and G. Zhang relating Shimura operators and certain interpolation symmetric polynomials. In particular, we study the pair $(\mathfrak{gl}(2p|2q), \mathfrak{gl}(p|q)\oplus\mathfrak{gl}(p|q))$, define the super Shimura operators in $\mathfrak{U}(\mathfrak{g})^\mathfrak{k}$, and using a new method, prove that their images under the Harish-Chandra homomorphism are proportional to Sergeev and Veselov's Type $BC$ interpolation supersymmetric polynomials, under the assumption that a family of irreducible $\mathfrak{g}$-modules are spherical. We prove this conjecture using the notion of quasi-sphericity for Kac modules when $p=q=1$, and give explicit coordinates of (quasi-)spherical vectors.
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