AI 中文总结
本文研究酉 Shimura 簇的奇点与 Kodaira 维数，证明在特定条件下存在至多典范奇点的环面紧化，并利用 Arthur 公式证明有限多对参数给出非一般型簇，同时改进并证明奇点界的最优性。
AI 中文摘要
我们研究与虚二次域 $E$ 上签名 $(p,q)$ 的 Hermite 形式相关的 Shimura 簇的几何，其中 $2\leq p\leq q$。我们证明当 $p\geq w_E$ 且 $(p,q)\neq(2,2),(2,3)$ 时（其中 $w_E:=\\#\mathscr{O}_E^\times$），存在一个至多具有典范奇点的环面紧化。作为应用，将此奇点分析与 Arthur 的重数公式相结合，我们证明满足上述条件且 $p+q\equiv1\pmod{w_E}$ 的仅有限多对 $(p,q)$ 给出非一般型的酉 Shimura 簇。我们的方法还将 Gritsenko--Hulek--Sankaran（Invent. Math., 2007）关于 $\mathrm{O}^+(2,n)$ 的奇点界改进到 $n\geq6$ 的范围，并证明该界是精确的。
英文摘要
We study the geometry of Shimura varieties associated with a Hermitian form of signature $(p,q)$ over an imaginary quadratic field $E$, where $2\leq p\leq q$. We prove that when $p\geq w_E$ and $(p,q)\neq(2,2),(2,3)$, where $w_E:=\#\mathscr{O}_E^\times$, there exists a toroidal compactification with at worst canonical singularities. As an application, combining this singularity analysis with Arthur's multiplicity formula, we prove that only finitely many pairs $(p,q)$ satisfying the above conditions and $p+q\equiv1\pmod{w_E}$ give rise to unitary Shimura varieties that are not of general type. Our method also improves the singularity bound of Gritsenko--Hulek--Sankaran (Invent.\ Math., 2007) for $\mathrm{O}^+(2,n)$ to the range $n\geq6$ and shows that this bound is sharp.
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