Voronoi Percolation: Topological Stability and Giant Cycles
George Mason University（乔治梅森大学）
研究高维 Voronoi 渗流的拓扑稳定性，通过微增 p 实现离散化并保持拓扑性质，推广 Bollobás-Riordan 定理，证明 2i 维环面上 i 维巨环涌现的尖锐相变。
2026-06-12 math-ph math.AT math.MP
Percolations on random maps I: half-plane models
本文研究了作为均匀平面三角剖分或四边形剖分的局部极限的半平面随机格上的Bernoulli变换。利用这些随机格点的空间马尔可夫性或剥离过程的特征，我们证明了一个令人惊讶的简单的通用公式，用于计算这些图上键和面的临界阈值。我们的技术还允许我们计算非临界和临界指数相关的渗流集群，如体积和周长。
2013-01-22 math.PR
Corner percolation with preferential directions
角点渗流（Corner Percolation）是一个由巴林特·托特（Bálint Tóth）提出的Z^2上的相关键渗流模型，其中每个顶点正好有两个相互垂直的入射边。Gábor Pete在2008年证明了在最大熵概率测度下，所有连通分支几乎必然是有限圈。我们在这里考虑一个制度，其中西和北方向是首选的概率分别为p和q，（p，q）不同于（1/2，1/2）。我们证明了几乎必然存在无穷多个无穷连通分支，它们实际上是无穷多条路。此外，它们都具有相同的渐近斜率（2 q-1）/（1- 2 p）。
2022-12-08 math.PR
Universal aspects of critical percolation on random half-planar maps
本文研究了半平面随机格点上的一大类Bernoulli渗流模型，这些模型是由均匀平面三角剖分或四边剖分的局部极限得到的。我们首先计算的确切值的网站渗流阈值在四边形的情况下，使用所谓的剥离技术。然后，我们推广了天使的结果的比例限制的交叉概率，这是一个自然的模拟卡迪公式（非随机）平面格。我们的主要结果是，这些概率是普遍的，在这个意义上，他们不依赖于渗流模型，也不对地图的脸的程度。
2015-12-18 math.PR
A Note on Bootstrap Percolation Thresholds in Plane Tilings using Regular Polygons
在\emph{$k$-bootstrap percolation}中，我们固定$p\in (0,1)$、整数$k$和平面图$G$。最初，我们以概率$p$独立地感染$G$的每个面。被感染的脸会永远被感染，如果一个健康的（未感染的）脸至少有$k$被感染的邻居，那么它就会被感染。对于固定的$G$和$p$，\emph{percolation threshold}是最大的$k$，使得最终所有面部都被感染，概率至少为$1/2$。对于一个大类的无限图，我们表明，这个阈值是独立的$p$。我们考虑了正多边形在平面上平铺时的自举渗流。这种平铺中的\emph{vertex type}是满足公共顶点的面的循环顺序。首先，我们确定每个阿基米德晶格的渗流阈值。更一般地，令$\mathcal{T}$通过正多边形表示平面平铺$T$的集合，使得如果$T$包含顶点类型的一个实例，则$T$包含该类型的无限多个实例。我们发现，没有平铺在$\mathcal{T}$具有阈值4或更多。此外，阈值为3的$\mathcal{T}$中仅有的镶嵌是四个阿基米德晶格。最后，我们描述了一个大的$\mathcal{T}$的阈值为2的子类。
2019-06-11 math.CO math.PR
First-passage percolation in random planar maps and Tutte's bijection
我们考虑大型随机平面映射，并研究通过分配独立同分布长度的边缘获得的第一次通过渗透距离。我们考虑的情况下，四边形和一般平面地图。在这两种情况下，第一通道渗流距离表现在大规模像一个常数倍通常的图形距离。我们应用我们的方法与$n$面临的四边形和一般平面地图与$n$边缘之间的经典Tutte双射的度量性质。证明了当$n \to \infty$时，四边形剖分上的图距离与相应的一般平面地图上的图距离在大尺度上是等价的。
2019-06-24 math.PR
Phase Transition and Fluctuation Results for First-Passage Percolation on Spread-Out Cycle Graphs
Department of Mathematics, University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学系）
该研究分析了ℓ-扩展一维周期图上首通渗的两种几何区域（介观、宏观）的渐近行为，确定了临界连通性阈值，实现了从高斯波动到极值波动的范围插值。
2026-09-02 math.PR
Entropy and singularity of spectral and pivotal sets in planar percolation
Einstein Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem（希伯来大学爱因斯坦数学研究所）
本文证明平面临界渗流中谱集与关键集的香农熵与总影响量可比，并揭示二者渐近互异，重叠衰减指数为11/12，最小对称差距离与总影响量可比。
2026-09-15 math.PR
Duality of random planar maps via percolation
讨论了临界Boltzmann平面映射的对偶性质，使得一个典型面的度在一个具有参数$α\in(1,2]$的稳定分布吸引区域中.我们考虑了在稀态和类属态$α\in (3/2,2]$中Boltzmann映射上的临界Bernoulli键渗流模型，并证明了起源的开渗流集团本身是在稠密态$α\in (1,3/2)$中的Boltzmann映射，参数为\[α':= \frac{2α+3}{4α-2}.\]。这是Miller最近建立的Schramm-Loewner演化和共形环系综的对偶性质$κ\leftrightarrow 16/κ$在随机平面映射中的对应，谢菲尔德和沃纳。作为一个副产品，我们确定的渗滤集群的边界条件，有一个大的周长的标度限制。对亚临界和超临界渗流的情况也进行了讨论。特别是，我们建立了尖锐的相变，通过尾部分布的大小的渗流集团。
2018-02-05 math.PR
Homological percolation on a torus: plaquettes and permutohedra
本文构建环面上的高维同调渗流模型，证明巨型同调循环存在尖锐相变，并在中间维数得到临界阈值 $p_c=1/2$，推广 Kesten 的经典结果。
2023-09-29 math-ph math.AT math.MP
Percolation in Random Graphs: A Finite Approach
我们提出了一种方法来计算有限大小的Erdos-Renyi有向图的临界渗流阈值使用最小哈密顿圈。我们得到了一个解析精确的结果，有效的非渐近的所有图形的大小，它的规模根据无限随机图使用一个巨大的连通组件的出现标记的渗滤过渡的结果。我们的方法是通用的，可以适用于所有的图形模型，其中的代数制定的邻接矩阵。
2014-05-09 cond-mat.stat-mech math.PR
There is no isolated interface edge in very supercritical percolation
我们考虑伯努利键渗流模型在一个盒子$Λ$（不一定平行于晶格的方向）在政权的渗流参数接近$1$。我们以盒子的两个相对的面是不连通的为条件来构造这个构形。我们将此配置与一个无约束的渗流配置。界面边缘是在两种配置中不同的边缘。我们证明，通常情况下，每个接口的边缘是在一个距离的另一个接口的边缘或枢轴边缘的顺序$\ln|Λ|$。我们得到的法律，这是远离切割和接口的边缘估计。
2019-07-03 math.PR
Percolation Thresholds in Hyperbolic Lattices
我们使用入侵渗透来计算双曲平面的细分$\{P,Q\}$的键渗透阈值和位点渗透阈值$p_c$（无限簇的存在性）和$p_u$（无限簇的唯一性）的数值，其中$Q$面在每个顶点处相交，并且每个面都是一个$P$ -gon。我们的值精确到小数点后六位或七位，使我们能够探索它们对$P$和$Q$的函数依赖性，并数值计算临界指数。我们还证明了严格的上限和下限为$p_c$和$p_u$，可以用来找到作为$P$和$Q$的函数的两个阈值的缩放。
2017-10-10 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math.PR
Duality and Outermost Boundaries in Generalized Percolation Lattices
在本文中，我们考虑一个连通的可平面图$G$和施加的条件，导致$G$具有渗流格状细胞结构。假设$G$的每个胞元是被占用的或空的，我们描述了$G$中星连通分支和正连通分支的最外边界。然后，我们考虑的对偶图的$G$和施加的条件下，对偶也是一个渗流格。最后，利用$G$及其对偶，我们构造了围绕被占据组分的空胞环，并研究了矩形中的左右交叉和键渗流。
2021-08-15 math.CO math.PR
Corner percolation on $\mathbb{Z}^2$ and the square root of 17
我们考虑一个由Bálint Tóth引入的四顶点模型：一个在$\mathbb{Z}^2$上的依赖键渗流模型，其中每个边都以1/2的概率存在，每个顶点正好有两个相互垂直的入射边.我们证明了所有的组件是有限的循环几乎肯定，但期望直径的循环包含的起源是无限的。此外，我们推导出以下临界指数：尾概率$\mathbb{P}$（原点$>$ $n$的循环的直径）$\approx$ $n^{-γ}$和期望$\mathbb{E}$（具有直径$n)\approx n^δ$的典型循环的长度，具有$γ=(5-\sqrt{17})/4=0.219...$和$δ=(\sqrt{17}+1)/4=1.28....$ $δ=(\sqrt{17}+1)/4=1.28....$的值来自奇异六阶ODE，而关系式$γ+δ=3/2$对应于模型中自然高度函数的标度极限是其水平集具有Hausdorff维数为3/2的可加布朗运动的事实。我们还包括许多开放的问题，例如，在某些线性熵模型的共形不变性。
2008-09-24 math-ph math.MP math.PR
Convergence of percolation on uniform quadrangulations with boundary to SLE$_{6}$ on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity
设$Q$是一个自由Boltzmann四边形，其边界由临界（$p=3/4$）面渗流构形修饰.证明了$Q$上的弦渗流探索路径在两个有标记的边界边之间收敛于一个独立的$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力圆盘（等价于一个布朗圆盘）上的弦$_6$的标度极限.收敛拓扑是Gromov-Hausdorff-Prokhorov一致拓扑，曲线修饰度量测度空间的Gromov-Hausdorff拓扑的自然模拟。我们还获得了类似的比例极限结果的面渗流的均匀无限半平面四边形与简单边界，并为网站渗流的均匀三角形与简单边界。我们的证明方法是强大的，并在一定的技术步骤，扩展到任何渗流模型的随机平面地图，可以通过剥离探索。
2021-02-10 math-ph math.CO math.CV
Site Percolation on Pseudo-Random Graphs
我们考虑伪随机$d-$正则图上的顶点渗流。第二作者先前的研究建立了从小组分到线性（在$\frac{n}{d}$中）尺寸组分的相变的存在，在$p=\frac{1}{d}$。在超临界状态下，我们的主要结果恢复了最大组分的大小的尖锐渐近，并表明所有其他组分通常要小得多。此外，我们考虑了最大分支的其他典型性质，如边数，长圈的存在性和膨胀。在亚临界区域，我们加强了可能组分尺寸的上界。
2022-11-29 math.CO math.PR
Sharp Phase Transition for the Formation of Infinite Tubes
School of Mathematical Sciences, Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院数学科学学院）
研究了高维空间中管状结构逃逸到无穷远的相变问题，通过管状渗透现象分析临界概率，并证明了管状单臂事件的尖锐阈值特性。
2026-05-14 math.PR
Full Connectivity: Corners, edges and faces
我们发展了一个簇展开的概率全连通的高密度随机网络在有限的几何形状。与较低密度下的渗流现象相反，以前在很大程度上被忽视的边界效应不仅相关，而且占主导地位。我们推导出一般的分析公式，表现出持久性的普遍性，在不同的形式渗流理论，并提供数值验证。我们还展示了我们的方法的简单性，在三个简单但有指导意义的例子，并讨论其应用到不同的模型的实际好处。
2012-01-15 cond-mat.dis-nn cs.DM math-ph
Tree embeddings and nonuniqueness in site percolation
University of Connecticut（康涅狄格大学）
论文证明了在适当嵌入的平面图上伯努利站点渗透的非唯一性定理，并提出了超越平面性的通用连通性原则。研究发现，对于最小度数至少为7的无限连通图G，临界概率p_c^site(G)小于1/2，并在特定概率范围内存在无限多无限开放簇。
2026-07-05 math.CO math.PR
Separating cycles and isoperimetric inequalities in the uniform infinite planar quadrangulation
我们研究的几何性质的无限随机格称为均匀无限平面四边形或UIPQ。我们建立了一个精确的形式的猜想Krikun说，一个循环的最小尺寸，分离球的半径$R$为中心的根顶点从无穷大线性增长$R$。因此，我们推导出一定的等周边界表明，任何连通集$A$的边界大小组成的一个有限的工会的面的UIPQ和包含根顶点是有界的（随机）常数倍$|A|^{1/4}(\log|A|)^{-(3/4)-δ}$，其中体积$|A|$是在$A$的面数。
2018-06-11 math.PR
Geodesics Toward Corners in First Passage Percolation
对于二维空间中的稳态首次通过渗流，Damron和Hanson（Commun.数学物理，2014），Ahlberg and Hoffman（preprint，2016），and others.然而，主要的结果不包括测地线的极限形状$\mathcal{B}$，两个方面满足的角落的方向。我们构造了一个具有以下性质的例子：（i）极限形状是八边形，（ii）半无限测地线只存在于四个轴方向，（iii）在每个轴方向上有多个这样的测地线。因此，$\partial \mathcal{B}$的在某测地线方向上的点的集合不具有作为其凸包的全部$\mathcal{B}$。
2018-06-16 math-ph math.MP math.PR
Unified bijections for planar hypermaps with general cycle-length constraints
本文给出了平面超映射的一般双射方法，主要结果有两个。首先，我们得到了所有由面度约束和围长约束定义的映射或超映射类的统一双射。对于任何这样的类，我们关联双射的一类平面树的特点是当地的限制。这统一并极大地推广了映射和超映射的几个双射。其次，我们提出了另一个层次的推广的双射的方法，考虑类的非均匀围长约束的地图。更确切地说，我们认为"良好充电的地图"，这是地图的"收费"（实数）的顶点和面孔的分配，与限制的任何循环的地图的长度至少等于由循环包围的顶点和面孔的电荷之和。我们得到了一个荷超映射与一类具有局部约束的平面树之间的双射。
2019-06-12 math.CO math.PR
Large-N Limit of Crossing Probabilities, Discontinuity, and Asymptotic Behavior of Threshold Values in Mandelbrot's Fractal Percolation Process
研究了$d \geq 2$维上的Mandelbrot渗流过程.该过程通过迭代过程产生随机分形集，该过程开始于将单位立方体$[0,1]^d$划分为$N^d$子立方体，并分别以概率$p$或$1-p$独立地保留或丢弃每个子立方体。然后在所有尺度下在保留的子立方体内重复该步骤。当$p$变化时，就所有$d \geq 2$的路径而言，以及就所有$d \geq 3$的$(d-1)$ -维“片”而言，存在渗透相变。对于任何$d \geq 2$，我们认为随机分形集产生的路径渗流临界值$p_c(N,d)$，并表明，它包含一个路径连接两个相对的面的立方体$[0,1]^d$的概率趋于一作为$N \to \infty$。作为直接的结果，我们得到，上述概率具有不连续性，作为$p$的函数，在$p_c(N,d)$为所有$N$足够大。这在以前只对$d=2$（对任何$N \geq 2$）证明过。对于$d \geq 3$，我们证明了类似的结果，片渗流。在二维中，Chayes和Chayes证明了$p_c(N,2)$收敛于正方形晶格上的位点渗透的临界密度$p_c$，即$N \to \infty$。假设存在的相关长度指数$ν$的网站渗流的正方形格子，我们建立的收敛速度的对数因子。特别是，我们的研究结果意味着，$p_c(N,2)-p_c=(\frac{1}{N})^{1/ν+o(1)}$作为$N \to \infty$，显示出…
2008-02-22 math-ph math.MP math.PR
Constrained percolation, Ising model and XOR Ising model on planar lattices
我们研究了平面格点上的约束渗流模型，包括$[m,4,n,4]$格点和双曲平面的正方形格点，满足一定的4度面局部约束，并研究了无限簇的存在性.这些格上的约束渗流模型与欧氏平面或双曲平面上的正则平铺上的Ising模型和XOR Ising模型密切相关。特别地，我们得到了在具有自由边界条件的双曲平面的顶点可迁三角形镶嵌上的铁磁伊辛模型的无限“$+$“和“$-$“团簇的数目的完整图像，其中包含了耦合常数的所有可能值.我们的结果表明，对于双曲平面上顶点可迁三角形镶嵌的Ising模型，其随机团簇表示可能没有无限开团簇，而Ising模型有无限多个无限“$+$“团簇和无限多个无限“$-$“团簇.我们还研究了异或伊辛模型的无限“$+$“和“$-$“簇在欧氏平面和双曲平面的规则镶嵌上的不同行为。一个副产品，我们证明的结果是，临界随机集群模型与$q\geq 1$和有线边界条件上的准传递，非顺从，幺模图几乎肯定没有无限开集群。
2020-01-28 math-ph math.MP math.PR
Computing and Sampling Restricted Vertex Degree Subgraphs and Hamiltonian Cycles
设$G=(V,E)$是嵌入平面的二分图（或$n$ -有洞环面）. $G$的两个子图相差一个{ \it $Z$ -transformation}，如果它们的对称差由单个面的边界边组成-并且如果每个子图包含该面的边的交替集。对于给定的$ϕ: V \mapsto \mathbb Z^+$，$S_ϕ$是$G$的子图的集合，其中每个$v\in V$具有度$ϕ(v)$。如果$S_ϕ$的两个元素通过$Z$ -变换而不同，则称它们相邻。我们确定$S_ϕ$的连通分量，并为其每个元素分配{ \it高度函数}。如果$ϕ$是2，并且$G$是一个网格图，则$S_ϕ$包含将$G$的顶点划分为圈。我们证明，我们总是可以应用一系列的$Z$ -转换，以减少总的周期数提供了足够的“松弛”在相应的高度功能。这允许我们在多项式时间内确定$G$可以被划分成的最小循环数，只要$G$具有有限数量的非正方形面。特别地，我们在$O(|V|^2)$步骤中确定了多角图的Hamilton性。该算法扩展到$n$ -有洞环面嵌入图，具有类似网格的属性。我们还提供了马尔可夫链的采样和近似计数的$G$的哈密顿圈。
2001-02-27 math.CO math.PR
Detection of first homology via random geometric graphs in the thermodynamic regime
University of Washington（华盛顿大学）
该研究针对紧致黎曼流形上的随机几何图，提出仅需 O(n) 条边的方法，在热力学超临界 regime 下可高概率推断其一阶同调群，确定了正确尺度并证明结果最优。
2026-08-27 math.AT math.PR
