Quasi-Polish spaces and spaces of filters in second-order arithmetic
Mathematical Institute, Tohoku University（东北大学数学研究所）
本文在第二阶算术中形式化了准波兰空间等等价表示，并系统分析了它们之间的转换关系。
2026-09-30 math.LO
A model of second-order arithmetic satisfying AC but not DC
我们发现，有一个$β$模型的二阶算术中的选择方案持有，但依赖的选择方案失败的$Π^1_2$断言，证实了斯蒂芬辛普森的猜想。作为推论，我们得到的反射原理，说明每个公式反映到一个传递集，可以失败的模型${\rm ZFC}^-$。这项工作是由第三作者获得的结果的前两个作者的重新发现。
2018-08-15 math.LO
Normal Forms and Uniform Reflection under the Arithmetical Church Thesis
本研究在算术丘奇论题下细化二阶算术的解析分层，得到更精细区分量词交替的范式，并以此证明Frittaion分离定理中的选择假设不可省略。
2026-08-05 math.LO
A note on fragments of uniform reflection in second order arithmetic
我们认为片段的一致反映的公式在层次分析理论的二阶算术。主要结果是：对于任何二阶算术理论$T_0$，扩展了${\sf RCA}_0$并可由$Π^1_{k+2}$语句公理化;对于任何$n\geq k+1$，\[ T_0+ \mathrm{RFN}_{\varPi^1_{n+2}}(T) \ = \ T_0 + \mathrm{TI}_{\varPi^1_n}(\varepsilon_0), \] \[ T_0+ \mathrm{RFN}_{\varSigma^1_{n+1}}(T) \ = \ T_0+ \mathrm{TI}_{\varPi^1_n}(\varepsilon_0)^{-}, \]，其中$T$是用全归纳扩充的$T_0$，而$\mathrm{TI}_{\varPi^1_n}(\varepsilon_0)^{-}$表示无参数$\varPi^1_n$公式的超限归纳直到$\varepsilon_0$的模式.
2022-07-24 math.LO
Peano Arithmetic may not be interpretable in the monadic theory of orders
古列维奇和谢拉证明了皮亚诺算术不能用短链的一元二阶理论来解释（因此，也不能用实数线的一元二阶理论来解释）。我们在这里表明，它是一致的，没有解释，即使在单子二阶理论的所有链。
1993-08-15 math.LO
The maximal linear extension theorem in second order arithmetic
证明了RCA_0上的良偏序极大线性扩张定理与ATR_0上的良偏序极大线性扩张定理是等价的。类似地，良偏序的极大链定理等价于RCA_0上的ATR_0。
2011-01-18 math.LO
Characterising Complexity Classes by Inductive Definitions in Bounded Arithmetic
著名的描述性特征的P和PSPACE重述的库克-阮风格的二阶有界算术。本文引入二阶有界算术上的归纳定义公理。我们表明，P可以捕获的公理的暴胀归纳定义，而PSPACE可以捕获的公理的非暴胀归纳定义。
2014-01-20 math.LO
Cousin's lemma in second-order arithmetic
Cousin引理是一个紧性原理，在研究规范积分时自然产生，它是勒贝格积分的推广。我们研究的公理强度的表哥引理的各种类别的功能，使用弗里德曼和辛普森的逆向数学在二阶算术。证明了在$\mathsf{RCA}_0$上：（i）连续函数的Cousin引理等价于$\mathsf{WKL}_0$ ;（ii）Baire类1函数的Cousin引理等价于$\mathsf{ACA}_0$ ;（iii）Baire类2函数或Borel函数的Cousin引理都等价于$\mathsf{ATR}_0$（模某种归纳）.
2021-05-06 math.LO
Comparing Hume's Principle, Basic Law V and Peano Arithmetic
本文提出了休谟原理和基本定律V的模型的新结构与有限的理解量。在这些结构中使用的技术是从超算术理论和领域的模型论中提取的，并且在二阶皮亚诺算术的各个子系统中形式化这些技术允许人们对这些理论的可解释性强度设置上限和下界，从而将这些理论与二阶算术的规范子系统进行比较。本文的主要结果是：（i）基本定律V的超算术部分有一个相容的推广，它解释了二阶皮亚诺算术的超算术部分;（ii）休谟原理的超算术部分不能解释二阶皮亚诺算术的超算术部分，因此在这个特殊意义上不存在弗雷格定理的谓词版本。
2014-07-02 math.LO
Pathwise-random trees and models of second-order arithmetic
本文研究路径随机树的可计算性与测度性质，通过三类构造与不可能性结果，构造出分离弱 König 引理之下紧致性原理的二阶算术模型。
2024-05-22 math.LO
Bisimulations in second-order arithmetic
Mathematical Institute, Tohoku University（东北大学数学研究所）
研究模态逻辑中Hennessy-Milner定理和van Benthem特征定理在二阶算术中的逻辑强度，证明前者等价于ACA₀，后者三种变体分别可证于RCA₀、PRA或等价于一阶逻辑弱完备定理。
2026-07-03 math.LO
Completeness theorems for modal logic in second-order arithmetic
本文在二阶算术框架下研究模态命题逻辑完备性定理的逻辑强度，证明弱完备性定理在 $\mathrm{RCA}_0$ 中可证，且强完备性定理分别等价于 $\mathrm{ACA}_0$ 和 $\mathrm{WKL}_0$。
2025-03-03 math.LO
Admissible extensions of subtheories of second order arithmetic
本文研究逆数学中若干理论的可容许扩张，即在满足原理论公理的自然数结构之上，叠加受KP公理支配的超限层次集合论世界。
2023-06-22 math.LO
Frame definability in second-order arithmetic
Mathematical Institute, Tohoku University（东北大学数学研究所）
该文研究模态逻辑框架可定义性的反数学强度，证明估值扩张引理等相关原则与二阶算术子系统$\text{ACA}^{+}_0}$等价，还考察了CTL、LTL对应原则的强度。
2026-08-25 math.LO
Hindman's Theorem: An Ultrafilter Argument in Second Order Arithmetic
Hindman定理是组合定理的一个典型例子，其证明使用了超滤子的拓扑结构。我们展示了如何证明，包括拓扑参数的超过滤器的方法，可以转化为二阶算术。
2009-06-21 math.CO math.LO
Cyclic proofs for arithmetical inductive definitions
该研究针对算术归纳定义的循环证明理论，通过元数学论证结合二阶算术中递归序数理论的形式化，证明了循环系统与归纳系统能力等价，解决了闭包序数超出元理论证明论序数的难题。
2023-06-14 math.LO
On Non-standard Models of Arithmetic with Uncountable Standard Systems
20世纪60年代，Dana Scott给出了可数非标准算术模型的标准系统的递归理论刻画，即，以非标准模型编码的标准自然数集合。后来，奈特和纳德尔证明了斯科特的刻画也适用于基数为$\aleph_1$的非标准算术模型。但问题是，基数的限制是否可以从上述特征中删除，仍然是一个长期存在的问题，称为斯科特集问题。本文给出了两种利用非平凡不可数标准系统构造算术非标准模型的方法。第一个导致一个新的证明上述定理的骑士和纳德尔，第二个证明存在的模型与非平凡的标准系统的基数的连续。第二种构造在一定的集合论假设下也给出了Scott集合问题的部分答案。
2020-07-12 math.LO
Coding is hard
本文证明在二阶算术中用标准表示编码紧度量空间会显著提升相关基本定理的逻辑强度，使其至少蕴含 Feferman 投影原理甚至完全二阶算术或可数选择，并建立了若干等价关系及高阶推广。
2025-01-30 math.LO
Two remarks on proof theory of first-order arithmetic
在这个说明中，让我们给两个意见证明理论PA。首先，在PA中引入可导关系，使可证$Σ_{1}$ -公式的有界证明集成立。第二，Paris-Harrington的证明，他们的独立性的结果是重新制定显示的“一致性”证明PA的组合原则的基础上。
2020-12-31 math.LO
Lebesgue numbers and Atsuji spaces in subsystems of second order arithmetic
在二阶算术子系统的框架下研究完备可分度量空间的性质。特别是我们认为勒贝格和Atsuji空间。前者是使得每个开覆盖U都有一个勒贝格数，即一个正数q，使得对于空间的每个点x，都存在一个U的元素，它包含中心为x、半径为q的球;后者是使得每个连续函数到另一个完全可分度量空间是一致连续的。主要结果是：“每个紧空间是Lebesgue空间”等价于WKL_0，“每个完备Lebesgue空间是紧空间”和“每个完备Atsuji空间是紧空间”等价于ACA_0，“每个Lebesgue空间是Atsuji空间”在RCA_0中可证;“每个Atsuji空间都是Lebesgue”这一命题在ACA_0中是可证明的，但我们不知道它是否等价于ACA_0。证明了“到闭集的距离是一个连续函数“等价于Pi^1_1-CA_0;证明了“存在一个完备的可分度量空间，它是完备的，Heine-Borel紧的”等价于Pi^1_1-CA_0。Lebesgue，Atsuji）”都等价于WKL_0。
1996-02-13 math.LO
A transfer principle for second-order arithmetic, and applications
在条件集理论中，许多来自诸如泛函分析、概率论或测度论等领域的经典定理被提升到条件框架中，通常被应用于诸如数理经济学或优化等领域。这种定理可以通过经典证明的“条件化”来证明的频繁经验表明，一个一般的转移原理是在背景中的，并且制定和证明这样一个转移原理将产生大量有用的经典结果的进一步条件版本，除了提供一个统一的方法来处理已知的结果之外。在本文中，我们制定和证明这样一个转移原则的基础上二阶算术，这是足够的结果，逆向数学的大部分经典数学，包括实分析，测度论和可数代数，并排除只有更偏远的领域，如范畴论，集论拓扑或不可数集合论，例如参见\cite{simpson2009subsystems}的介绍。然后，该转移原理被用来对数学的各个领域中的中心结果的条件版本给出简短而容易的证明，包括以前没有被手工证明的定理，例如佩亚诺存在定理，Urysohn引理和Markov-Kakutani不动点定理。此外，我们比较了在一个条件模型中的某些结构的解释与它们在一个标准模型中的含义。
2019-01-13 math.LO
Jensen $\varDelta^1_3$ reals by means of ZFC$^-$ or second order Peano arithmetic
本文解决 Jensen 构造在二阶 Peano 算术或 ZFC$^-$ 内重现的难题，通过在 forcing 构造中仅消灭可定义反链来规避 CCC 证明障碍，并定义了极小 $\varPi^1_2$ 单例模型。
2023-05-21 math.LO
Determinacy and reflection principles in second-order arithmetic
本文在二阶算术中证明了决定性公理变体与反射原理之间的等价关系，扩展了Kołodziejczyk和Michalewski的结果，并重述了Montalbán和Shore的相关研究。
2023-05-19 math.LO
Constructive Mathematical Truth
我们定义了算术和直觉分析的构造性真理，并研究了它的性质。我们还证明了一组建设性的真（一阶）算术语句是Pi-1-2和Sigma-1-2硬，我们猜想它是完整的二阶算术。一个语句是构造真的当且仅当它是在连续函数可实现下由构造函数实现的。
2006-06-01 math.LO
Learning, Realizability and Games in Classical Arithmetic
在这篇论文中，我们提供了数学证据，学习的概念可以用来给一个新的和直观的计算语义的经典证明中的各种片段的谓词算术。首先，我们将Kreisel修正的可实现性扩展到一阶算术的经典片段，即Heyting算术加上EM 1（排除中间公理仅限于Sigma^0_1公式）。我们引入了一个新的可实现性语义，我们称之为“基于交互式学习的可实现性”。我们的实现者是自我纠正的程序，它们从错误中学习，并随着时间的推移而进化。其次，我们扩展类的学习为基础的实现者的PCF的经典版本PCF类，然后，比较Coquand游戏语义的可实现性的概念，并证明了充分的合理性和完整性的结果。特别是，我们发现有一个一对一的实现者和递归获胜策略之间的对应关系，在1-回溯版本的塔斯基游戏。第三，我们提供了一个完整的和充分详细的建设性分析的学习，因为它出现在基于学习的实现HA+ EM 1，Avigad的更新程序和Peano算术PA的替代方法。我们提出了新的建设性的技术来约束学习过程的长度，我们应用它们来重新证明-通过我们的理论-哥德尔的经典结果，可证明的总功能PA可以表示在哥德尔的系统T。最后，我们给出了一个公理化的学习，需要计算解释谓词经典二阶算术。我们的工作是Avigad的推广，并将更新过程的概念推广到超限情形。超限更新过程必须学习不可计算函数的超限序列的值，以便从经典证明中提取证据。
2011-06-02 math.LO
Uniformity of Consistency in Arithmetic and Gödel's Second Incompleteness Theorem: Ein Märchen
University of Vienna（维也纳大学）
本文探讨了足够强的可数理论中一致性的统一验证方法，通过选择器证明实现计算统一性，但无法内部化为哥德尔第二不完全性定理的统一一致性句子。
2026-07-14 math.LO
On Measure Quantifiers in First-Order Arithmetic (Long Version)
我们研究通过赋予一阶算术语言二阶测度量词而获得的逻辑。这种新的量化允许我们表示，在被量化变量的所有可能解释的某一部分中，论证公式为真。我们表明，一阶算术与测量量词是能够形式化的简单结果，从概率论，最重要的是，代表每一个递归随机函数。此外，我们引入了一个可实现的解释，这个逻辑中的程序有机会从康托空间的甲骨文。
2021-04-25 cs.LO math.LO
Herbrand Consistency of Some Arithmetical Theories
利用对数收缩有界公式的证元的技巧，证明了某些算术理论在有界归纳下的Herbrand相容性的Gödel第二不完全性定理，由于Z. Adamowicz [Herbrand consistency and bounded arithmetic，\textit{Fundamenta Mathematicae} 171（2002）279- 292].在那篇论文中，它表明，一个人不能总是缩小证明的有界公式数学，但在Herbrand的一致性存在，理论${\rm IΔ_0+Ω_m}$与$m\geqslant 2$，任何证明的任何有界公式可以缩短数学。这直接意味着理论$T\supseteq {\rm IΔ_0+Ω_2}$在$T$本身中的Herbrand相容性的不可证明性。本文将上述结果推广到${\rm IΔ_0+Ω_1}$。在裁剪了${\rm IΔ_0}$的Herbrand相容性定义后，我们证明了${\rm IΔ_0}$的相应定理.因此，哥德尔第二不完全性定理的Herbrand版本适用于理论${\rm IΔ_0+Ω_1}$和${\rm IΔ_0}$。
2016-12-10 cs.LO math.LO
Computability of Separation Axioms in Countable Second Countable Spaces
本文直接计算拓扑指标集复杂性，为各 Tychonoff 分离公理及 Polish 性、Cantor–Bendixson 秩等性质确定精确算术完备性层级，弥补逆数学精度不足。
2025-07-24 math.GN math.LO
