Iterating reflection over intuitionistic arithmetic
University of Leeds（利兹大学）
本文研究了直觉算术上反射的迭代，提出了统一反射的新证明方法，并扩展了Feferman完备性定理的应用。
2025-10-22 math.LO
On a Hierarchy of Reflection Principles in Peano Arithmetic
我们研究了皮亚诺算术PA的反射原理，这些原理是基于证明和可证明性的。PA中的任何这样的反射原理都等价于$\Box P\!\rightarrow\! P$（$\Box P$代表“$P$是可证明的”）或对于某些$k\geq 0$的$\Box^k u\!\!:\!\!P\!\rightarrow\! P$（$t:P$声明“$t$是$P$的证明”）。反射原则就其演绎强度$$u\!\!:\!\!P\!\rightarrow\! P\ \ \prec\ \ \Box u\!\!:\!\!P\!\rightarrow\! P\ \ \prec\ \ \Box^2 u\!\!:\!\!P\!\rightarrow\! P \ \ \prec\ \ldots\ \prec\ \ \Box P\!\rightarrow\! P.$$而言，构成了一个不可折叠的层次结构
2014-05-11 math.LO
Normal Forms and Uniform Reflection under the Arithmetical Church Thesis
本研究在算术丘奇论题下细化二阶算术的解析分层，得到更精细区分量词交替的范式，并以此证明Frittaion分离定理中的选择假设不可省略。
2026-08-05 math.LO
A note on fragments of uniform reflection in second order arithmetic
我们认为片段的一致反映的公式在层次分析理论的二阶算术。主要结果是：对于任何二阶算术理论$T_0$，扩展了${\sf RCA}_0$并可由$Π^1_{k+2}$语句公理化;对于任何$n\geq k+1$，\[ T_0+ \mathrm{RFN}_{\varPi^1_{n+2}}(T) \ = \ T_0 + \mathrm{TI}_{\varPi^1_n}(\varepsilon_0), \] \[ T_0+ \mathrm{RFN}_{\varSigma^1_{n+1}}(T) \ = \ T_0+ \mathrm{TI}_{\varPi^1_n}(\varepsilon_0)^{-}, \]，其中$T$是用全归纳扩充的$T_0$，而$\mathrm{TI}_{\varPi^1_n}(\varepsilon_0)^{-}$表示无参数$\varPi^1_n$公式的超限归纳直到$\varepsilon_0$的模式.
2022-07-24 math.LO
Predicativity through transfinite reflection
皮亚诺算术被认为是可证明的等价于初等算术上的反射。我们证明了一个表征的谓词分析的幌子ATR 0在更强的反射原则。
2015-01-13 math.LO
Positive provability logic for uniform reflection principles
我们处理的片段模态逻辑组成的公式的影响，建立了从变量和常数“真”的合取和钻石。较弱的语言允许人们将菱形解释为算术中的统一反射模式，可能具有不受限制的逻辑复杂性。我们用自然数和ω表示一个算术完全演算，其中ω对应于完全一致反射模式，而n<ω对应于它对算术n+1公式的限制.这种演算被证明是完整的w.r.t.一个合适的类有限Kripke模型和可判定的多项式时间。
2013-07-15 math.LO
A Uniform Characterization of $Σ_1$-Reflection over the Fragments of Peano Arithmetic
我们表明，理论$IΣ_1$的$Σ_1$ -归纳证明了以下声明：对于所有的$n\geq 2$，统一的$Σ_1$ -反射原则的理论$IΣ_n$是等价于整体的功能$F_{ω_n}$在阶段$ω_n$的快速增长的层次。所采用的方法是一个形式化的无限证明论。文献中包含了几个证明，将量化置于元理论中的$n$之上（也证明了单独的情况$n=0,1$）。相反，作者不知道有明确的论证可以让我们在内化量化的同时保持元理论低至$IΣ_1$。很有可能以前已经考虑过这一点。我们的目的仅仅是对这一重要结果进行详细的阐述。
2015-12-16 math.LO
Pi^0_1 ordinal analysis beyond first order arithmetic
本文给出了Beklemishev提出的Peano算术（PA）的Pi^0_1序分析的一个基本部分的概述。该分析主要在多模态可证明性逻辑GLP中执行。我们反映了这种分析超出PA的方式。这方面的一个主要困难是找到所谓的归约性质的适当推广。归约属性将反射原则与反射规则联系起来。在本文中，我们证明了一个结果，简化了反射规则。此外，我们看到，对于序数分析，不需要完全归约性质。这后一个观察也被认为是开辟了一些强基理论相对于序分析的应用。
2012-12-11 math.LO
Proof Schemata for Theories equivalent to $PA$: on the Benefit of Conservative Reflection Principles
归纳通常形式化为LK演算的规则或公理扩展。虽然这种对微积分的扩展简单而优雅，但证明转换和分析可能相当困难。具有归纳规则的理论，例如皮亚诺算术，没有{ \em Herbrand}定理。在这项工作中，我们扩展了现有的元理论形式主义，所谓的证明图式，递归公式的归纳特别适合于证明分析，皮亚诺算术。这种关系在\PA和另一种证明形式主义之间提供了一个有意义的保守反射原则。证明图式已被证明有一个变种的Herbrand定理的经典逻辑，可以提升到我们的新的形式主义相当于原始的递归算术的子系统。
2018-04-01 math.LO
Reflection algebras and conservation results for theories of iterated truth
我们考虑扩展的语言皮亚诺算术transmittiterated真理定义满足一致塔斯基双条件。如果没有进一步的公理，这些理论被认为是原始算术系统的保守扩展。然而，更强的系统可以通过在它们之上添加归纳公理或反射公理来获得。这类理论可以解释一些著名的二阶算术的谓词可约片段，如迭代算术理解。我们得到尖锐的结果，这些系统的证明理论的强度，使用可证明性逻辑的方法。反射原理自然地定义了作用于我们的迭代真值基本理论的可公理化扩展的半格上的一元算子。这个代数的顶元素所产生的子结构为被研究的理论类提供了一个规范的序数记号系统。使用这些符号，我们获得了对应于超算术层次的不同逻辑复杂性水平的迭代反射原理的保守性关系，即，Schmerl公式的类似物。这些关系，反过来，提供了我们的系统和一些相关的谓词可还原理论的证明理论分析。特别是，我们统一计算的序数特征的标准措施，他们的证明理论的强度，如可证明的良序，类可证明递归函数，和$Π_1^0$ -序数。
2019-10-30 math.LO
Slow Reflection
我们描述了一个“慢”版本的皮亚诺算术（$\mathbf{PA}$）的层次结构的均匀反射原则。这些原则在皮亚诺算术中是不可证明的（即使通过通常的较低复杂度的反射原则进行扩展），并引入了一个新的可证明的全函数。同时证明了在$\mathbf{PA}+\operatorname{Con}(\mathbf{PA})$中$\mathbf{PA}$加慢反射的一致性。我们推出一个猜想S.- D. Friedman、Rathjen和Weiermann：慢一致性的超限迭代在$\mathbf{PA}$和$\mathbf{PA}+\operatorname{Con}(\mathbf{PA})$（其中$\operatorname{Con}(\mathbf{PA})$指的是通常的一致性声明）之间生成了一个精确的$\varepsilon_0$阶段的层次结构。
2017-06-29 math.LO
Carnapian Frameworks and Categoricity of Arithmetic via Inferential $ω$-logics
本文探讨了通过推理 ω-逻辑实现算术范畴性的哲学问题，提出认知模型主义以解释数学概念的构建过程，并反驳了 ω-逻辑对算术概念的依赖。
2026-04-27 math.LO
A model of second-order arithmetic satisfying AC but not DC
我们发现，有一个$β$模型的二阶算术中的选择方案持有，但依赖的选择方案失败的$Π^1_2$断言，证实了斯蒂芬辛普森的猜想。作为推论，我们得到的反射原理，说明每个公式反映到一个传递集，可以失败的模型${\rm ZFC}^-$。这项工作是由第三作者获得的结果的前两个作者的重新发现。
2018-08-15 math.LO
Reflection principles, propositional proof systems, and theories
反射原理是这样的陈述，即如果一个句子是可证明的，那么它就是真的。反射原理已经被研究用于一阶理论，但它们在命题证明复杂性中也起着重要作用。在本文中，我们将重新审视一些结果的反射原则的命题证明系统使用更精细的规模的反射原则。我们将使用的结果，证明下界的决议证明是困难的决议。这首先出现在最近的文章Atserias和穆勒作为一个关键引理，并推广和简化了一些衍生文件。我们也将调查一些结果有关的算术理论和证明系统与他们有关。我们将展示一个关于有限一致性陈述的证明复杂性的猜想和一个关于与理论相关的证明系统的陈述之间的联系。
2020-07-29 math.LO
Plato and the foundations of mathematics
柏拉图在数学上以其以理想对象为基础的柏拉图主义哲学而闻名。柏拉图的洞穴寓言提供了一个强有力的视觉说明的想法，我们只能获得这些理想对象的阴影或反射。一个好奇的头脑可能会想知道什么是当前的数学基础，如反向数学和相关的哥德尔层次，是反映。在本文中，我们确定了一个层次的高阶算术映射到大五的逆向数学下的规范嵌入高阶到二阶算术。概念上令人愉悦，后者映射用可数的“代码”取代了不可数的对象，即在二阶算术中形式化数学的实践。这种高阶层次可以在希尔伯特-伯奈斯的Grundlagen（二阶算术的精神祖先）中定义，而相关的嵌入保持等价。此外，与基于不连续性的柯伦巴赫的层次结构相反，我们的层次结构可以用布劳威尔的直觉主义数学的（经典有效的）连续性公理来表述。此外，序列的高阶对应物由网提供，也就是摩尔-史密斯序列，而规范积分是黎曼积分的正确推广。由于所有这些原因，我们将我们的更高层次称为柏拉图层次。
2020-08-13 math.LO
Reducing $ω$-model reflection to iterated syntactic reflection
在数理逻辑中，有两种看似不同的原则，称为“反射原则”。语义反射原理断言，如果一个公式在整个宇宙中成立，那么它在一个集合大小的模型中成立。句法反射原则断言，来自某个复杂性类的每个可证明句子都是真的。本文在二阶算术的背景下研究这两种反射原理之间的联系。我们证明，对于一个大的理论，$ω$模型反射是等价的索赔，均匀$Π^1_1$反射沿可数良序的任意迭代是$Π^1_1$ -声音。这个结果产生了强度在$\mathsf{ACA}_0$和$\mathsf{ATR}$之间的理论的一致序分析。我们分析的主要技术新颖性是引入了理论$T$的证明论扩张器的概念，它是可数序数上的算子，将$\prec$的序类型映射到$T+\mathsf{WO}(\prec)$的证明论序数。我们得到精确的结果证明理论扩张器的增长作为可证明的$ω$模型反射的函数。这种方法使我们能够同时获得不仅$Π^0_1$，$Π^0_2$，和$Π^1_1$序数，但也逆数学定理的良序原则。
2022-06-14 math.LO
On the conservation results for local reflection principles
本文将Beklemishev的局部反射原理保守性定理推广到满足可推导性条件D2的非标准可证性谓词，并构造了使该定理成立与不成立的Rosser谓词。
2023-11-29 math.LO
A Reflection Calculus for Bar Induction and the Linearity of Consistency Strength Ordering
Ghent University（根特大学）；Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院斯捷克洛夫数学研究所）
本文提出反射演算的扩展RC_BI，分析ACA₀的相关扩展理论，证明其可靠性与完备性，借助模态语义确立相关理论类的预良序性，实现BI及其片段的序数分析并提出新型序数记号系统。
2026-10-14 math.LO
Lévy-Montague reflection is $Π^1_1$-conservative over $\mathsf{WKL}_0$
Ghent University（根特大学）；Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院列别捷夫数学研究所）
该研究证明Lévy-Montague反射方案Rfn在Π¹₁上对WKL₀、RCA₀保守，在Π⁰₂上对PRA保守，其结果为在对PRA保守的理论内形式化Feferman的范畴论论证开辟了道路。
2026-08-10 math.LO
Uniformity of Consistency in Arithmetic and Gödel's Second Incompleteness Theorem: Ein Märchen
University of Vienna（维也纳大学）
本文探讨了足够强的可数理论中一致性的统一验证方法，通过选择器证明实现计算统一性，但无法内部化为哥德尔第二不完全性定理的统一一致性句子。
2026-07-14 math.LO
