Pak Tung Ho, Jinwoo Shin, Zetian Yan
The weighted Yamabe flow was the geometric flow introduced to study the weighted Yamabe problem on smooth metric measure spaces. Carlotto, Chodosh and Rubinstein have studied the convergence rate of the Yamabe flow. Inspired by their result, we study in this paper the convergence rate of the weighted Yamabe flow.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Let $(M^n,g,e^{-ϕ}dV_g,e^{-ϕ}dA_g,m)$ be a compact smooth metric measure space with boundary with $n\geqslant 3$. In this article, we consider several Yamabe-type problems on a compact smooth metric measure space with or without boundary: uniqueness problem on the weighted Yamabe problem with boundary, characterization of the weighted Yamabe solitons with boundary and the existence of positive minimizers in the weighted Escobar quotient.
Einstein metrics and Yamabe invariants of weighted projective spaces
利用Hitchin-Thorpe不等式的轨道形式证明了某些加权射影空间不允许轨道Einstein度量。证明了加权射影空间的轨道Yamabe不变量的几个估计。
We introduce a Yamabe-type flow \begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial g}{\partial t} &=(r^m_ϕ-R^m_ϕ)g \\ \frac{\partial ϕ}{\partial t} &=\frac{m}{2}(R^m_ϕ-r^m_ϕ) \end{array} \right. ~~\mbox{ in }M ~~\mbox{ and }~~ H^m_ϕ=0 ~~\mbox{ on }\partial M \end{align*} on a smooth metric measure space with boundary $(M,g, v^mdV_g,v^mdA_g,m)$, where $R^m_ϕ$ is the associated weighted scalar curvature, $r^m_ϕ$ is the average of the weighted scalar curvature, and $H^m_ϕ$ is the weighted mean curvature. We prove the long-time existence and convergence of this flow.
Convergence of the Weighted Yamabe Flow
本文在光滑度量测度空间上引入加权Yamabe流，并证明当维数n≥3时该流具有长时间存在性与收敛性。
The Exponential Convergence of the CR Yamabe Flow
本文研究了CR Yamabe不变量为零的CR Yamabe流。利用CR Poincaré不等式和一个Gagliardo-Nirenberg型插值不等式证明了该流具有长时间解，且解指数收敛于具有平坦伪Hermitian数量曲率的接触形式.
We study the Yamabe flow on compact Riemannian manifolds of dimensions greater than two with minimal boundary. Convergence to a metric with constant scalar curvature and minimal boundary is established in dimensions up to seven, and in any dimensions if the manifold is spin.
A non-convergence phenomenon for the CR Yamabe flow
本文在三维CR流形上构造了一个接触形式，使得CR Yamabe流不收敛，基于Rossi球面上伪厄米质量的负性，表明质量正性是CR Yamabe流收敛的关键条件。
The Yamabe equation on manifolds of bounded geometry
研究了有界几何开流形上的Yamabe问题，证明了在适当的假设下，存在Yamabe度量，即具有常数数量曲率的共形度量.为此，我们使用加权Sobolev嵌入。
Convergence of the Yamabe flow on singular spaces with positive Yamabe constant
本文研究具有正Yamabe常数的分层奇异空间上规范化Yamabe流的收敛性，在低能量条件下证明收敛，并建立集中-紧性二分法及分析Viaclovsky不收敛例子。
Convergence of the CR Yamabe Flow
考虑实维数$2n+1$的紧致严格伪凸CR流形$M$上的CR Yamabe流.证明了当$n=1$或$M$为球面时CR Yamabe流的收敛性.
Yamabe Flow with prescribed scalar curvature
本文研究了具有负数量曲率的紧致黎曼流形上对应于指定数量曲率问题的Yamabe流。在适当的条件下，证明了在给定的数量曲率函数下，该流的长时间存在性和收敛性。
The existence and uniqueness of infinite combinatorial Yamabe flows
本文研究欧氏几何下无限三角化曲面上的组合Yamabe流，建立了短时间存在唯一性及扩展流的长时间存在性，并证明了平面六边形三角化下的收敛性。
A Yamabe-type problem on smooth metric measure spaces
我们描述并部分解决了自然Yamabe型光滑度量测度空间的问题之间的Yamabe问题和寻找Perelman的$ν$ -熵极小的问题插值。这个问题减少了在所有维度上的欧几里得空间的家庭的Gagliardo-尼伦伯格-Sobolev不等式研究的德尔皮诺和Dolbeault极小的特征。我们证明了极小元总是存在于紧致流形上，只要所谓的加权Yamabe常数严格小于它在欧几里得空间上的值。我们还表明，严格的不等式举行的一大类光滑度量测度空间，但我们也将给出一个例子，表明加权Yamabe常数的极小并不总是存在。
We study the Yamabe flow on asymptotically flat manifolds with non-positive Yamabe constant $Y\leq 0$. Previous work by the second and third named authors \cite{ChenWang} showed that while the Yamabe flow always converges in a global weighted sense when $Y>0$, the flow must diverge when $Y\leq 0$. We show here in the $Y\leq 0$ case however that after suitable rescalings, the Yamabe flow starting from any asymptotically flat manifold must converge to the unique positive function which solves the Yamabe problem on a compactification of the original manifold.
Fractional conformal Laplacians and fractional Yamabe problems
基于渐近双曲度量的散射算子与一致退化椭圆边值问题的Dirichlet-to-Neumann算子之间的关系，我们构造了分数阶Yamabe问题，它包含了Escobar研究的边界Yamabe问题.我们观察到一个有趣的Hopf型最大值原理以及加权迹Sobolev不等式的分析与基础流形的共形结构之间的相互作用，这推广了经典Yamabe问题和边界Yamabe问题中的现象.
Yamabe Flow: steady solitons and type II singularities
研究了Yamabe流的完全非紧共形平坦解到Yamabe定常孤子的收敛性。我们还证明了II型奇点的存在，无论是在有限时间$T$或作为$t \to +\infty$的发展。
Generalized Yamabe Flows
本文提出广义 Yamabe 流，证明其长时间存在性，并建立负数量曲率下的收敛性，预期其他情形亦成立。
Convergence of scalar-flat metrics on manifolds with boundary under a Yamabe-type flow
研究了具有边界的大于2维紧致黎曼流形的共形流。收敛到一个标量平坦的度量与常数中曲率的边界上是建立在7维，并在任何维度，如果流形是自旋或如果它满足一个通用的条件。
We study the Yamabe flow starting from an asymptotically flat manifold $(M^n,g_0)$. We show that the flow converges to an asymptotically flat, scalar flat metric in a weighted global sense if $Y(M,[g_0])>0$, and show that the flow does not converge otherwise. If the scalar curvature is nonnegative and integrable, then the ADM mass at time infinity drops by the limit of the total scalar curvature along the flow.
In this paper, we show that the sub-Laplacian of an asymptotically flat pseudo-hermitian manifold defined on a suitable weighted Folland-Stein spaces is an isomorphism. It turns out that the CR positive mass problem is resolved, and hence CR Yamabe problem.
Yamabe flow and ADM Mass on asymptotically flat manifolds
本文研究了ADM质量和Einstein-Hilbert泛函在Yamabe流下的行为。通过加权空间对Yamabe流的研究，证明了在$n$维、$n\geq 3$、渐近平坦流形上Yamabe流下，ADM质量和Einstein-Hilbert泛函是定义良好的且单调非增的.在维数为$n=3$或4的情况下，我们得到了ADM质量在Yamabe流下是不变的，Yamabe流是渐近平坦流形上Einstein-Hilbert泛函的梯度流
Motivated by Luo's combinatorial Yamabe flow on closed surfaces \cite{L1} and Guo's combinatorial Yamabe flow on surfaces with boundary \cite{Guo}, we introduce combinatorial Calabi flow on ideally triangulated surfaces with boundary, aiming at finding hyperbolic metrics on surfaces with totally geodesic boundaries of given lengths. Then we prove the long time existence and global convergence of combinatorial Calabi flow on surfaces with boundary. We further introduce fractional combinatorial Calabi flow on surfaces with boundary, which unifies and generalizes the combinatorial Yamabe flow and…
We prove a convergence theorem on the moduli space of constant $σ_{2}$ metrics for conic 4-spheres. We show that when a numerical condition is convergent to the boundary case, the geometry of conic 4-spheres converges to the boundary case while preserving capacity.
Long-time existence of the edge Yamabe flow
本文研究了一类具有不完全边奇异性和负Yamabe不变量的紧致黎曼流形的规范Yamabe流。我们的主要结果包括唯一性，长时间存在性和收敛性的边缘Yamabe流开始的度量与处处负的数量曲率。我们的方法包括新的最大值原理结果的奇异边缘空间，而不使用障碍函数。此外，我们的统一界的解决方案，建立了一个新的分析，而不以任何方式使用或重新开发Krylov-Safonov估计在奇异设置。作为一个应用，我们得到了解决Yamabe问题的不完全边缘度量负Yamabe不变流技术。我们的方法为研究其他流动，如中曲率流以及多孔介质方程的奇异设置奠定了基础。
The goal of this paper is to study Yamabe flow on a complete Riemannian manifold of bounded geometry with possibly infinite volume. In the case of infinite volume, standard volume normalization of the Yamabe flow fails and the flow may not converge. Instead, we consider a curvature normalized Yamabe flow, and assuming negative scalar curvature, prove its long-time existence and convergence. This extends the results of Suárez-Serrato and Tapie to a non-compact setting. In the appendix, we specify our analysis of a particular example of manifolds with bounded geometry, namely manifolds with fibe…
Convergence rate of the prescribed curvature flow
受Carlotto等人关于Yamabe流收敛速率研究的启发，本文针对流形上的预定标量曲率问题，研究了预定标量曲率流的收敛速率。
We answer affirmatively a question of Aviles posed in 1983, concerning the construction of singular solutions of semilinear equations without using phase-plane analysis. Fully exploiting the semilinearity and the stability of the linearized operator in any dimension, our techniques involve a careful gluing in weighted $L^\infty$ spaces that handles multiple occurrences of criticality, without the need of derivative estimates. The above solution constitutes an \emph{Ansatz} for the Yamabe problem with a prescribed singular set of maximal dimension $(n-2)/2$, for which, using the same machinery,…
A compactness theorem of the fractional Yamabe problem, Part I: The non-umbilic conformal infinity
假设$(X, g^+)$是一个渐近双曲流形，$(M, [\bar{h}])$是它的共形无穷远点，$ρ$是与$\bar{h}$和$\bar{g} = ρ^2 g^+$相关的测地线边界定义函数。对于任意的$γ\in (0,1)$，只要$ρ$的标量曲率$R[g^+]$收敛到$(X, g^+)$的标量曲率$R[g^+]$到$-n(n+1)$足够快，且$M$的第二基本形式永不消失，我们证明了$γ$ -Yamabe问题的解集在$C^2(M)$中是紧的.由于这里进行的爆破分析中的大多数参数与$X$上的几何假设无关，我们的证明也为分数Yamabe问题的其他可能的紧性定理提供了一个一般方案。
Slowly converging Yamabe flows
本文利用极限度量的Morse理论性质刻画了收敛的体积归一化Yamabe流的收敛速率。如果极限度量是Yamabe泛函的可积临界点（例如，当临界点是非退化的时，这成立），则我们证明了流以指数速度收敛。在一般情况下，我们利用一个合适的Lojasiewicz-Simon不等式证明，最慢的流将收敛多项式。当极限度量满足Adams-Simon型条件时，我们证明了存在流以多项式速率精确收敛到它。最后，我们通过构造明确的例子来表明这种情况确实发生了;这些似乎是几何流的缓慢收敛解的第一个例子。
A dual Yamabe flow and related integral flows
研究黎曼流上涉及Riesz势的非线性积分流，通过引入对偶Q曲率分析HLS临界区域的集中紧性现象，并在积分核匹配Green函数时将其视为对偶Yamabe流，证明了其在单位球及局部共形平坦流形上的收敛性。
Convergence rate of the $Q$-curvature flow
受Yamabe流收敛速率研究启发，本文研究$Q$-曲率流的收敛速率，给出6维下慢收敛的$Q_6$-曲率流例子，指出其与2维下指数收敛的情形存在差异。
We introduce two flow approaches to the Loewner--Nirenberg problem on comapct Riemannian manifolds $(M^n,g)$ with boundary and establish the convergence of the corresponding Cauchy--Dirichlet problems to the solution of the Loewner--Nirenberg problem. In particular, when the initial data $u_0\in C^{4,α}(M)$ is a solution or a strict subsolution to the equation $(1.1)$, the convergence holds for both the direct flow $(1.3)-(1.5)$ and the Yamabe flow $(1.10)$. Moreover, when the background metric satisfies $R_g\geq0$, the convergence holds for any positive initial data $u_0\in C^{2,α}(M)$ for th…
Symmetry Breaking and Moduli for Ancient Yamabe Flows on the Sphere
对于每个n≥3，构造了单位球面上不可数多个II型古Yamabe流，它们互不共形等价且非旋转对称，具有不定Ricci曲率，后向极限为有限个球面的楔和。
The Gursky-Streets equations
Gursky-Streets在$σ_2$ -Yamabe问题的背景下，在紧致黎曼四维流形的固定共形类中的共形度量空间上引入了形式黎曼度量。Gursky-Streets度量的测地线方程是一个完全非线性退化椭圆型方程，Gursky-Streets证明了扰动方程的一致$C^{0, 1}$正则性. Gursky-Streets应用Guan-Wang流的结果和抛物光滑化证明了$σ_2$ -Yamabe问题的解是唯一的。其中一个关键因素是Chang-Yang的$\cF$ -泛函在（光滑）测地线上的凸性，这是基于Gursky-Streets度量和B. Andrews关于具有正里奇曲率的流形。本文建立了Gursky-Streets方程的一致$C^{1, 1}$正则性。作为应用，我们可以严格地建立基于Gursky-Streets度量的几何结构，特别是$\cF$ -泛函沿$C^{1, 1}$测地线的凸性.这特别给出了$σ_2$ -Yamabe问题解的唯一性的一个直接证明。
On the deformation of ball packings
本文研究了$(M,\mathcal{T})$上球填充的几何性质，其中$\mathcal{T}$是三维流形$M$上的三角剖分.我们引入了一个组合Yamabe不变量$Y_{\mathcal{T}}$，依赖于$M$的拓扑结构和$\mathcal{T}$的组合数学。我们证明了$Y_{\mathcal{T}}$是可达的当且仅当存在常曲率填充，并且组合Yamabe问题可以通过极小化Cooper-Rivin-Glickenstein泛函来求解.然后研究了由Glickenstein引入的组合Yamabe流\cite{G0} - \cite{G2} .我们首先证明了一个小的能量收敛定理，它说，流将收敛到一个常曲率度量，如果初始能量是在定量的方式接近一个常曲率度量的能量。我们还将证明：虽然流动可能在有限时间内发展出奇点，但是存在一种自然的方式来扩展流动的解，使得它在所有时间都存在。此外，如果三角剖分$\mathcal{T}$是规则的（即，每个顶点周围的四面体的数量都是相等的），那么组合Yamabe流指数快速收敛到常曲率包装。
A probabilistic method for gradient estimates of some geometric flows
一般来说，梯度估计对于导出不同几何流中的收敛结果是非常重要和必要的，并且大多数是通过解析方法得到的。本文利用随机方法分别系统地给出了里奇流、中曲率流、强迫中曲率流和Yamabe流下几个重要几何量的梯度估计.我们的结论为概率工具在几何分析中的应用提供了又一个简化证明的例子。
Prescribing hyperbolic bordered surfaces via combinatorial flows
本文研究了双曲带边曲面的分数组合Calabi流，利用Lyapunov理论证明其全局存在且指数收敛至规定边界长度的共形因子，并引入广义组合Yamabe流，提出了一种可加速收敛的带边曲面搜索算法。
The Webster scalar curvature flow on CR sphere. Part I
这是两篇论文中的第一篇，我们在其中证明了Webster数量曲率流的一些性质。更准确地说，我们建立了流的解的长时间存在性，L^p收敛性和爆破分析。作为副产品，我们证明了CR Yamabe流的CR球上的收敛性。本文的结果将用于证明第二篇文章的主要结果，即在CR球面上规定Webster数量曲率。
A generalization of Escobar-Riemann mapping type problem on smooth metric measure spaces
在这篇文章中，我们介绍了一个类似的问题，Yamabe型问题考虑的情况下，J。推广了带边界光滑度量测度空间的Escobar-Riemann映射问题。最后一个问题将被称为Escobar-Riemann映射型问题。为此目的，我们考虑Bolley在[1]中导出的Sobolev迹不等式的推广.这个迹不等式允许我们引入埃斯科瓦尔商及其下确界。这个下确界我们称之为埃斯科瓦尔加权常数。带边界流形中光滑度量测度空间的Escobar-Riemann映射型问题是寻找一个能达到Escobar加权常数的函数。进一步，当Escobar加权常数为负时，我们解决了后一个问题.最后，我们得到了一个Aubin型不等式，它将紧光滑度量测度空间的加权Escobar常数与Bolley在. al.
Global Convergence of the Gursky-Malchiodi $Q$-curvature Flow
本文证明了Gursky-Malchiodi Q-曲率流在任意初始能量下的全局收敛性，通过建立非局部Lojasiewicz-Simon不等式并构造测试气泡来解决Q-曲率和Paneitz算子的复杂性。
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