Existence and Besov regularity of the density for a class of SDEs with Volterra noise
利用一种基于分部积分法的简单方法，证明了加性Gaussian Volterra过程驱动的随机微分方程解的存在性和密度的Besov正则性.我们假设弱正则性条件的漂移。讨论了高斯Volterra噪声的几个例子。
2018-07-30 math.PR
Weak error for SDEs with additive stable noise and singular drift: choose the test function in the same space as the drift!
CERMICS, ENPC, Institut Polytechnique de Paris, CNRS（巴黎高等土木工程学校，巴黎理工学院，法国国家科学研究中心）；MATHRISK team-project, Inria Paris（Inria 巴黎数学风险项目组）
本文研究了具有加性稳定噪声和奇异漂移的SDE的弱误差，强调在相同空间中选择测试函数以提高收敛率。
2026-04-22 math.PR
Convergence rate of numerical scheme for SDEs with a distributional drift in Besov space
University of Leeds（利兹大学）；University of Turin（都灵大学）
本文提出了一种处理具有分布漂移的SDEs的数值方案，并证明了其在Besov空间中的收敛性及收敛率上界。
2025-08-03 cs.NA math.NA math.PR
Weak Error on the densities for the Euler scheme of stable additive SDEs with Besov drift
Université d’Evry Val d’Essonne-Paris Saclay（埃夫里-弗拉西耶巴黎萨克雷大学）；Università di Torino（都灵大学）
针对漂移项为分布意义且属于混合 Lebesgue-Besov 空间的稳定加性 SDE，研究 Euler-Maruyama 离散化的密度弱误差收敛率，得到依赖于参数的收敛速度。
2026-07-03 math.AP math.PR
Some Parabolic Pdes Whose Drift is an Irregular Random Noise in Space
考虑一类新的随机抛物型偏微分方程，其中随机项由不规则噪声漂移组成，不一定是高斯的，并给出了相应的解释.在冻结漂移（随机过程）的实现之后，我们研究了相关的抛物型方程的存在唯一性（在某种适当的意义上），并研究了概率解释。
2007-12-04 math.PR
Heat kernel estimates for stable-driven SDEs with distributional drift
本文研究了带有Besov分布漂移的α-稳定过程驱动的SDE，通过光滑化和Duhamel展开结合Besov空间性质，证明了鞅解密度在特定条件下具有双侧热核界和梯度估计。
2024-10-11 math.PR
An Euler scheme for McKean SDEs with Besov drift: convergence rate and implementation
University of Leeds（利兹大学）；University of Turin（都灵大学）；Wrocław University of Science and Technology（弗罗茨瓦夫科技大学）
本文提出了一种适用于具有Besov漂移的麦肯SDE的欧拉方案，通过平滑分布漂移与PDE近似，证明了强收敛性并推导了收敛速率。
2026-03-03 cs.NA math.NA math.PR
Elliptic PDEs with distributional drift and backward SDEs driven by a c{à}dl{à}g martingale with random terminal time
本文引入了半线性椭圆型偏微分方程的一个推广概念，其中相应的二阶偏微分算子$L$具有广义漂移。研究了一类$C^1$广义解的存在唯一性.生成器$L$与马尔可夫过程$X$相关联，该过程是具有分布漂移的随机微分方程的解。如果半线性偏微分方程允许边界条件，它的解自然地与一个具有随机终端时间的倒向随机微分方程（BDEs）相联系，其中前向过程是$X$。由于$X$是正向鞅的弱解，因此鞅自然地表现为由鞅驱动。本文还讨论了当驱动过程是一般c{à}dl{à}g鞅时，具有随机终时的Battlefield的唯一性.
2015-06-02 math.PR
Weighted Besov spaces on Heisenberg groups and applications to the Parabolic Anderson model
本文研究Heisenberg群上路径意义的抛物Anderson模型，利用加权Besov空间、仿积与热流性质给出噪声协方差的最优可解条件。
2025-01-08 math.FA math.PR
A non-local singular non-linear Fokker-Planck PDE
University of Torino（都灵大学）；ENSTA Paris（巴黎国立高等先进技术学院）
本文研究非局部奇异非线性福克-普朗克偏微分方程的解的存在性和唯一性，通过分析其发散系数的结构，证明了解的连续性，并应用于非局部奇异麦肯斯随机微分方程的well-posedness研究，同时建立了质量守恒和正性保持性。
2026-05-12 math.PR
Euler--Maruyama scheme for $α$-stable SDE with distributional drift
School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）
本文研究了由对称非退化α-稳定过程驱动的随机微分方程，分析了欧拉方案在有界漂移情况下的量化估计及负阶贝索空间漂移下的弱收敛速率。
2026-04-09 math.PR
McKean-Vlasov PDE with Irregular Drift and Applications to Large Deviations for Conservative SPDEs
本文精细分析了具有奇异相互作用和平方根漂移项的McKean-Vlasov PDE，在随机重整化动力学解框架下建立了Dean-Kawasaki方程的小噪声大偏差，并应用于涨落Ising-Kac-Kawasaki动力学，揭示了宏观涨落理论与涨落流体力学间的一致性。
2024-07-26 math.PR
Nonlocal elliptic equation in Hölder space and the martingale problem
在Besov-Hölder空间中研究了具有奇异漂移的非局部椭圆型方程的适定性.作为应用，我们证明了相应的鞅问题的存在唯一性。证明了鞅解的一维分布在某个Besov空间中是有密度的。
2019-10-12 math.AP math.PR
The reconstruction theorem in Besov spaces
正则性结构理论建立了一个抽象的模型化分布框架，概括了通常的Hölder函数，并允许人们对几个不适定的随机偏微分方程给出一个意义。该理论的一个关键结果是所谓的重构定理：它定义了一个连续线性算子，将“模型化分布”的空间映射到通常的分布空间。本文将这一定理推广到具有非整数正则指标的整个Besov空间类$\mathcal{B}^γ_{p,q}$。然后，我们表明，这些空间的行为非常像他们的经典同行通过获得相应的嵌入定理和Schauder型估计。
2017-09-04 math.AP math.FA math.PR
Ergodic BSDEs and related PDEs with Neumann boundary conditions under weak dissipative assumptions
研究了一类与Neumann边界条件下的偏微分方程相关的遍历倒向随机微分方程。漂移的随机性由弱耗散假设下的前向过程给出，具有可逆且有界的扩散矩阵。此外，这个前向过程反映在$\R^d$的凸子集不一定有界。我们研究的联系，这样的EBSDES与偏微分方程，我们将我们的研究结果的遍历最优控制问题。
2015-01-15 math.PR
A non-linear parabolic PDE with a distributional coefficient and its applications to stochastic analysis
考虑$\mathbb R^d$上的一类非线性抛物型偏微分方程，非线性项中含有分布系数。分布是一个元素的Besov空间具有负的正则性和非线性是二次型的未知量的梯度。在适当的参数条件下，我们证明了一个温和的解的局部存在性和唯一性的偏微分方程，并调查性质，如连续性的初始条件和blow-up时间。我们证明了一个整体的存在性和唯一性的结果，假设进一步的非线性性质。最后，我们考虑的应用程序的偏微分方程的随机分析，特别是一类非线性向后随机微分方程的分布驱动程序。
2019-06-27 math.AP math.PR
Non-equilibrium large deviations and parabolic-hyperbolic PDE with irregular drift
保守的相互作用粒子系统，如零程过程，关于它们的流体动力学极限和它们各自的速率函数的大偏差导致骨架方程的分析;具有不规则漂移的退化抛物-双曲偏微分方程。我们开发了一个强大的适定性理论，这样的偏微分方程在能量临界空间的重整化解的概念和方程的动力学形式的基础上。我们通过证明重整化解等价于经典弱解来建立这些性质，扩展了[DiPerna，Lions; Ann. Math.，1989]，[Ambrosio; Invent.数学，[2004]关于非线性的定义相互作用粒子系统中的大偏差的结果的相关性被证明的应用程序的识别l.s.c.限制速率函数的包络，零噪声大偏差保守（奇异）SPDE，和速率函数的$Γ$收敛。其中第一个解决了零范围过程的大偏差中的一个长期存在的公开问题。第二种是在宏观涨落理论的非平衡统计力学方法和涨落流体力学之间建立严格的非正式联系。
2022-03-15 math.AP math.PR
Space-Distribution PDEs for Path Independent Additive Functionals of McKean-Vlasov SDEs
设P2（Rd）是Rd上具有有限二阶矩的概率测度空间。在积空间Rd*P2（Rd）上的可加泛函的路径独立性被刻画为具有通常的空间变量导数和Lions分布导数.这些偏微分方程是用[2]中的概率参数求解的。特别是，杀死漂移项的Girsanov变换的路径独立性与Rd*P2（Rd）上的非线性偏微分方程相关联，其中包括先前针对经典偏微分方程导出的相应结果作为特殊情况。
2018-06-05 math.PR
Rough linear PDE's with discontinuous coefficients - existence of solutions via regularization by fractional Brownian motion
我们考虑两个相关的线性偏微分方程受分数布朗运动扰动。我们允许漂移是不连续的，在这种情况下，相应的确定性方程是不适定的。然而，噪声将被证明有一个正则化的影响，在这个意义上，我们可以证明的分数布朗运动的几乎所有的路径的解的存在性方程。
2018-06-25 math.PR
Auxiliary SDEs for homogenization of quasilinear PDEs with periodic coefficients
研究了具有周期系数、高振荡漂移和高振荡非线性项的拟线性抛物型偏微分方程组的均匀化性质。为此，我们提出了一种基于正倒向随机微分方程理论的概率方法，并引入了辅助随机微分方程的新概念。''
2004-10-06 math.PR
Pathwise uniqueness by noise for singular stochastic PDEs
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
本文通过噪声正则化方法，解决了奇异随机偏微分方程中具有微分形式漂移项的路径唯一性问题，为流体动力学和相分离模型等提供了新的唯一性结果。
2026-11-03 math.AP math.PR
Regularisation by fractional noise for one-dimensional differential equations with distributional drift
该研究针对带Besov空间分布漂移、Hurst参数不超过1/2的分数布朗运动驱动的一维随机微分方程，通过非线性Young积分框架构造解，证明弱解存在性，结合漂移正则化建立轨道唯一性与强解存在性，明确了不同Hurst参数下的解的存在性条件。
2023-08-14 math.PR
Small noise asymptotic expansions for stochastic PDE's driven by dissipative nonlinearity and Lévy noise
研究了受时空Lévy噪声扰动的反应扩散发展方程.相应的Kolmogorov算子是作用在希尔伯特空间中的严格负型$C_0$ -半群的无穷小生成元和一个至多多项式增长的非线性项的和，该非线性项不一定是Lipschitz的，并且使得整个系统是耗散的.相应的伊藤随机方程描述了希尔伯特空间上具有耗散非线性、非全局Lipschitz漂移和Lévy噪声的过程。在非线性的光滑性假设下，给出了噪声前小参数的各阶渐近性，并给出了噪声前各阶渐近性的估计。应用程序的非线性SPDEs的线性项的漂移给出了一个拉普拉斯算子在有界域。作为一个特例，我们给出了神经生物学中FitzHugh Nagumo型SPDE方程在外部脉冲噪声作用下的小噪声渐近展开.
2012-12-23 math.PR
Well-posedness of stochastic heat equation with distributional drift and skew stochastic heat equation
研究了随机反应扩散方程$$ \partial_tu_t(x)=\frac12 \partial^2_{xx}u_t(x)+b(u_t(x))+\dot{W}_{t}(x), \quad t>0,\, x\in D $$，其中$b$是Besov空间$\mathcal{B}^β_{q,\infty}({\mathbb R})$上的广义函数，$D\subset{\mathbb R}$和$\dot W$是${\mathbb R}_+\times D$上的时空白噪声.我们引入了方程解的概念，得到了当$β-1/q\ge-1$，$β>-1$和$q\in[1,\infty]$满足时，方程强解的存在唯一性.这一类包括方程$b$的措施，特别是，$b=δ_0$，它对应于倾斜的随机热方程。对于$β-1/q > -3/2$，我们得到了弱解的存在性.我们的结果将Bass和Chen（2001）的工作扩展到随机偏微分方程的框架，并将Gyöngy和Pardoux（1993）的结果推广到分布漂移。为了建立这些结果，我们通过基于Lê~（2020）中引入的随机缝合引理的新策略来利用白噪声的正则化效应。
2022-02-11 math.PR
Stochastic ODEs and stochastic linear PDEs with critical drift: regularity, duality and uniqueness
本文考虑临界$L^{p}$空间中带漂移的线性随机迁移和连续方程。在这种情况下，噪声防止冲击的传输方程和奇异性的连续性方程的密度，从光滑的初始条件。具体来说，我们首先证明了Sobolev正则解的结果，这是错误的相应的确定性方程。需要达到临界情况下的技术是新的，并基于满足的抛物型方程的解决方案的一阶导数的时刻，相反，以前的作品基于随机流。该方法扩展到高阶导数下的漂移项更规律。然后利用对偶方法证明了线性随机连续方程和迁移方程弱解的唯一性，以及相应的随机微分方程（sDE）的适定性结果（粗略地说，流的存在唯一性及其$C^α$正则性，当初始数据具有扩散律时sDE的强唯一性）.最后，我们给出了两类例子：一方面，我们给出了适定的sDE，当相应的ODE是不适定的，另一方面，我们给出了一个反例在超临界的情况下。
2019-10-29 math.AP math.PR
Global well-posedness of the dynamic $Φ^4$ model in the plane
我们证明了动力学$Φ^4$模型在平面上的整体适定性。该模型是一个非线性随机偏微分方程，只能在“重正化”的意义上解释。解在适当的负正则加权Besov空间中取值。
2015-01-25 math-ph math.MP math.PR
Rough linear transport equation with an irregular drift
研究线性迁移方程\[ \frac{\partial}{\partial t} u ( t,x ) +b ( t,x ) \cdot \nabla u ( t,x ) + \nabla u ( t,x ) \cdot \frac{\partial}{\partial t} X ( t ) =0, \hspace{2em} u ( 0,x ) =u_{0} ( x ) \]，其中$b$是有限正则向量场，$X$是向量值Hölder连续驱动项.使用控制粗糙路径的理论，我们给出了一个意义的弱形式的偏微分方程和解决该方程的光滑矢量场$b$。在分数布朗运动的情况下，显示出由噪声正则化的现象。
2015-01-13 math.PR
A model of invariant control system using mean curvature drift from Brownian motion under submersions
给定一个浸没$ϕ: M \to N$，其中$M$是黎曼的，我们构造一个随机过程$X$上$M$，使图像$Y:=ϕ(X)$是一个（反向的，缩放的）中曲率流的纤维的浸没。模型实例是映射$π: GL(n) \to GL(n)/O(n)$，其象等价于$n$ -by- $n$正定矩阵空间$\pdef$，且所述MCF具有确定性象.我们能够明确地计算纤维w.r.t.的中曲率（以及因此的漂移项）。这个地图，（i）在对角化和（ii）在矩阵条目，写作中曲率作为轨道的对数体积的梯度。因此，我们可以在几个常见的齐次空间上，如Poincaré上半平面和Bures-Wasserstein几何上，在$\pdef$上，明确地写出布朗运动，在这些空间上，我们可以看到布朗运动的特征值过程，这让人想起Dyson的布朗运动.通过自然$GL(n)$作用选择背景度量，我们得到了$GL(n)$ -齐次空间$GL(n)/O(n)$上的不变控制系统.我们研究了利用中曲率流发展随机算法的可行性。关键词：中曲率流，梯度流，布朗运动，黎曼浸没，随机矩阵，特征值过程，正定矩阵几何，随机算法，齐次空间上的控制理论
2022-09-01 math.PR
SDEs with singular coefficients: The martingale problem view and the stochastic dynamics view
该研究针对带负Besov空间分布漂移和随机初值的奇异系数SDE，从鞅问题视角证明其适定性与相关性质，又从随机动力学视角构造关联SDE并证明解的等价性。
2024-03-07 math.PR
Strong well-posedness of McKean-Vlasov stochastic differential equation with H{ö}lder drift
本文证明了具有奇异漂移的McKean-Vlasov型随机系统的路径唯一性，甚至在测度变元中也是如此，并且系统的Lipschitz扩散矩阵是一致非退化的.我们的证明是基于Zvonkin变换\cite{zvonkin\_transformation\_1974}等相关PDE的正则化性质，它是在空间$[0,T]\times \R^d\times \mathcal{P}\_2(\R^d)$上陈述的，其中$T$是正数，$d$表示维数方程，$\mathcal{P}\_2(\R^d)$是$\R^d$上具有有限二阶矩的概率测度空间。特别地，在测量方向上展现出平滑效果。我们的方法是基于McKean-Vlasov过程的跃迁密度的参数展开。
2016-03-03 math.PR
Walk-on-Spheres Monte Carlo and deep neural network approximations of elliptic PDEs with drift and killing
University of Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文基于改进球面行走算法，提出带漂移和杀伤项的椭圆型PDE解的蒙特卡罗估计量与深度神经网络近似方法，证明其样本复杂度和参数规模均为多项式级，扩展了相关复杂度分析的适用范围。
2026-08-11 cs.LG cs.NA math.AP
Strong regularization by noise for a class of kinetic SDEs driven by symmetric α-stable processes
该论文研究对称α-稳定过程驱动的退化动力学随机微分方程，在Hölder正则漂移条件下建立强适定性，部分恢复最优阈值，并针对多维和一维情形分别采用一阶和二阶Zvonkin变换及Watanabe-Yamada技术。
2025-07-09 math.PR
Strong regularization by Brownian noise propagating through a weak H{ö}rmander structure
在适当的H{<$}lder正则性条件下，建立了一类弱H{<$}rmander型退化偏微分方程的强唯一性.我们的方法依赖于Zvonkin变换，它需要表现出良好的平滑性能的基础抛物型偏微分方程与粗糙，这里H{<$}lder，漂移系数和源项。这种正则化效应是通过扰动技术（前向参数化方法）建立的，该方法也严重依赖于Besov空间上适当的对偶性质。对于所采用的方法，我们展示了一些尖锐的阈值上的H{<$}lder指数的强唯一性举行。
2020-09-29 math.AP math.PR
Weak uniqueness by noise for singular stochastic PDEs
该研究针对希尔伯特空间上的奇异SPDEs，提出仅需漂移项定义在索伯列夫型子空间、无需霍尔德连续性的框架，借助有色或更粗糙噪声证明温和解弱唯一性，可推广至多类具体算例。
2024-06-19 math.AP math.PR
Weak Solutions of SPDEs in the space of Tempered distributions
本文利用Girsanov定理，在缓增分布空间中为系数满足单调型不等式的随机偏微分方程构造弱解，并借助相关随机微分方程及Novikov条件实现。
2023-12-27 math.PR
Sensitivity of SDE Solutions to Perturbations of the Diffusion and Drift
Texas State University（德克萨斯州立大学）
通过信息论不确定性量化界、函数不等式和精心选择的耦合辅助SDE，提出一种方法，对随机微分方程解关于漂移和扩散变化的敏感性进行非渐近界估计，并适用于时间平均和指数折扣可观测量的期望，以及线性抛物型PDE，对不变测度的1-Wasserstein距离给出最优缩放界。
2026-06-04 math.PR
Fractional operators with singular drift: Smoothing properties and Morrey-Campanato spaces
研究一类含奇异漂移的非退化L{é}vy型算子的迁移扩散方程的光滑性.我们的主要论点是基于对偶方法，通过Hardy空间的分子分解，我们得到一些相关的抛物型PDE的H{<$}lder连续性。只要奇异漂移属于合适的Morrey-Campanato空间，该空间的L{é}vy算子的正则化性质足以获得全局H{ö}lder连续性，则该性质就得到满足。
2016-01-05 math.AP math.FA math.PR
On a class of exponential changes of measure for stochastic PDEs
本文针对半线性随机偏微分方程，基于无穷小生成元定义指数测度变换，推导Girsanov型条件，证明过程满足带漂移的新SPDE，并推广扩散桥与引导过程至无限维。
2025-02-27 math.PR
Global solutions to reaction-diffusion equations with super-linear drift and multiplicative noise
设$ξ(t\,,x)$表示时空白噪声，考虑$ξ(t\,,x)$上的反应扩散方程\[ \dot{u}(t\,,x)=\tfrac12 u"(t\,,x) + b(u(t\,,x)) + σ(u(t\,,x)) ξ(t\,,x), \]，具有齐次Dirichlet边界条件和适当的初始数据，当存在$\varepsilon>0$使得对所有$|z|$的大值都有$\vert b(z)\vert \ge|z|(\log|z|)^{1+\varepsilon}$时.当$σ\equiv 0$，这是众所周知的，这样的偏微分方程经常有非平凡的固定的解决方案。相比之下，Bonder和Groisman（2009）最近证明了当PDMATHAMT为非零常数时存在有限时间爆破。本文证明了当$\vert b(z) \vert =O(|z|\log_+|z|)$为$|z|\to\infty$时，带噪声的反应扩散方程是“典型”适定的，从而证明了Bonder-Groisman条件是不可改进的.我们用两种本质上不同的方式来解释“典型地”这个词，而不改变我们断言的结论。
2017-06-07 math.PR
About semilinear low dimension Bessel PDEs
本文研究低维 $0<\delta<1$ 下由 Bessel 型生成元驱动的半线性 PDE，并在漂移仅为 Schwartz 分布时，于 $L^2$ 对偶弱意义下证明了解的存在唯一性。
2024-04-04 math.AP math.PR
On the well-posedness of SPDEs with singular drift in divergence form
本文证明了一类具有乘性Wiener噪声和漂移的二阶随机偏微分方程强解的存在性和唯一性，其形式为$\operatorname{div} γ(\nabla \cdot)$，其中$γ$是$\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$中的极大单调图，它是一个凸函数的次微分，满足关于它在无穷远处行为的非常温和的假设.适定性结果补充了我们最近的工作arXiv：1612.08260中的相应结果，其中在附加假设$γ$是单值的情况下，构造了具有更好的可积性和正则性的解.然而，这里给出的证明是独立的。
2017-01-28 math.AP math.PR
Homogenization of periodic linear degenerate PDEs
众所周知，在“周期均匀化”的名义下，在漂移的中心条件下，R^d上的周期扩散过程在扩散重标度下收敛于d维布朗运动。现有的证明都依赖于扩散的一致椭圆性或亚椭圆性假设。在本文中，我们大大削弱了这些假设，以允许扩散系数甚至消失的开集。因此，不再是有效扩散系数矩阵必须是非退化的情况。事实证明，只要满足一些非常弱的正则性条件，有效扩散率矩阵的范围可以从周期扩散的不变测度的支撑的形状中读出。特别是，这给出了一些容易验证的条件，有效扩散矩阵是满秩的。我们还讨论了我们的结果的应用，一类椭圆和抛物偏微分方程的均匀化。
2007-02-11 math.AP math.PR
Stochastic optimal control problems with measurable coefficients and $L_d$-drift
研究具有可测系数和$L_d$-漂移的受控SDEs，利用强Markov选择原理建立无限和有限时间区间下值函数的粘性解正则性及非线性半群性质，涵盖缺乏唯一性的框架。
2025-09-17 math.AP math.PR
Multidimensional Stable driven McKean-Vlasov SDEs with distributional interaction kernel -- a regularization by noise perspective
University of Nantes（南特大学）；HSE University（高等经济大学）；Université d’Evry Val d’Essonne（埃夫里-瓦勒德埃松大学）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；CNRS (UMR 8071)（法国国家科学研究中心）
研究加性稳定噪声和奇异交互核的McKean-Vlasov SDEs的弱与强适定性，通过Lebesgue-Besov空间定量刻画非线性如何超越线性SDE的阈值，并实现噪声尺度缩放阈值。
2026-07-03 math.AP math.PR
Numerical method for nonlinear Kolmogorov PDEs via sensitivity analysis
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文通过敏感性分析研究非线性柯莫戈罗夫偏微分方程，揭示其对小非线性扰动的敏感性，并基于此开发高效的数值方法，通过Feynman-Kac表示高效求解高维问题。
2026-04-14 cs.NA math.NA math.OC
A PDE approach to quantitative asymptotic stability of the optimal filter in the linear detectable setting
California Institute of Technology（加州理工学院）
本文通过研究Zakai方程，利用规范变换分离有限维随机与无限维确定性动力学，在线性可检测条件下建立了最优滤波器在χ^p-散度、全变差范数和2-Wasserstein距离下的定量渐近指数稳定性。
2026-10-05 math.AP math.OC math.PR
Solving high-dimensional Hamilton-Jacobi-Bellman PDEs using neural networks: perspectives from the theory of controlled diffusions and measures on path space
Universität Potsdam（波茨坦大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Brandenburgische Technische Universität Cottbus-Senftenberg（勃兰登堡工业大学科特布斯-森夫滕贝格）
扩散过程的最优控制与求解某些Hamilton-Jacobi-Bellman方程的问题密切相关。最近的机器学习启发的方法对高维偏微分方程的基础上，我们调查的潜力$\textit{iterative diffusion optimisation}$技术，特别是考虑应用在重要性采样和罕见事件模拟，并专注于没有扩散控制的问题，线性控制漂移和运行成本，依赖于二次控制。更一般地说，我们的方法适用于非线性抛物型偏微分方程具有一定的平移不变性。一个适当的损失函数的选择是在算法设计的一个核心要素，我们开发了一个原则性的框架的基础上路径措施之间的分歧，包括各种现有的方法。出于连接到前向-后向随机微分方程，我们提出并研究了新的$\textit{log-variance}$分歧，相应的蒙特卡罗估计显示出良好的性能。所开发的方法的承诺举例说明了一系列的高维和亚稳态数值例子。
2023-01-29 cs.LG cs.NA math.NA
Population Stabilization in Branching Brownian Motion With Absorption
利用偏微分方程方法，研究了具有漂移和吸收的分支布朗运动。众所周知，存在着一种临界漂移，它将几乎必然消亡的过程和以正概率存活的过程区分开来。在这项工作中，我们考虑低阶项的临界漂移，确保一个非负的，有界的预期粒子数和收敛的期望，这个期望到一个有限的数量，$α_0\geq 0$，这是积极的一些初始数据。特别是，我们表明，在平均意义上，粒子的预期数量稳定到$α_0$像$O(\log(t)/t)$当且仅当$O(t^{-1/2})$校正项的乘法因子是$3\sqrtπ t^{-1/2}$。否则，收敛就像$O(1/\sqrt{t})$。我们指出了这项工作和最近的工作调查的前端位置的扩展在Fisher-KPP的初值问题之间的一些连接。
2014-10-07 math.AP math.PR
Lower bounds on the top Lyapunov exponent for linear PDEs driven by the 2D stochastic Navier-Stokes equations
研究二维随机Navier-Stokes方程驱动的线性PDE的顶部Lyapunov指数，通过射影过程的谱中位数动力学分析，证明其被扩散参数的负幂次方下界界定，部分回答了Doering和Miles猜想。
2024-11-15 math.AP math.DS math.PR
$\mathsf{GL}_N(\mathbb{C})$ Brownian motion and stochastic PDE on entire functions
研究$\mathsf{GL}_N(\mathbb{C})$布朗运动奇异值的全边缘缩放极限，证明极限路径解无限系统SDE，具有Gibbs重采样性质，并推导随机偏微分方程。
2026-05-07 math-ph math.MP math.PR
PDEs for the joint distributions of the Dyson, Airy and Sine processes
在一篇著名的论文中，戴森指出，一个n \times n随机埃尔米特矩阵的谱，根据一个Ornstein-Uhlenbeck过程扩散，演化为n个非碰撞的布朗运动一起举行的漂移项。厄米特随机矩阵的普遍边标度和体标度，应用于戴森过程，导致艾里和正弦过程。特别是，艾里过程是一个连续的平稳过程，描述了戴森布朗运动的最外层粒子的运动，当粒子的数量变大时，空间和时间被适当地重新缩放。本文回答了Kurt Johansson提出的一个问题，即求Airy过程在两个不同时刻的联合分布的偏微分方程。类似地，我们找到了正弦过程的联合分布所满足的偏微分方程。这取决于找到戴森过程的联合分布的PDE，其本身是基于耦合高斯埃尔米特矩阵的特征值的联合概率。然后对Dyson过程的偏微分方程进行渐近分析，与边缘和体积重新缩放一致。当t_2-t_1 \to \infty时，利用偏微分方程可以计算这些过程在不同时刻t_1和t_2的联合分布和相关性的渐近行为，如本文对Airy过程所示。本文还包含了一个严格的证明，扩展的Hermite内核，管理的联合概率的戴森过程，收敛到扩展的Airy和Sine内核后，适当的重新标度。
2005-09-06 math-ph math.MP math.PR
Approximation properties of Residual Neural Networks for Kolmogorov PDEs
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
近年来，由[He，K.，张，X.，Ren，S.，和Sun，J.，Proceedings of the IEEE conference on computer vision and pattern recognition（2016），770-778]在大量应用中变得非常流行，包括图像分类和分割。它们为训练非常深的神经网络提供了一个新的视角，而不会遇到消失梯度问题。在这篇文章中，我们证明了ResNets能够近似具有常数扩散和可能的非线性漂移系数的Kolmogorov偏微分方程（PDE）的解，而不会遭受维数灾难，也就是说近似ResNets的参数数量最多以近似精度$\varepsilon > 0$和所考虑PDE $d\in\mathbb{N}$的维数的倒数多项式增长。我们在[Jentzen，A.，Salimova，D.，和Welti，T.，Commun.数学科学19，5（2021），1167-1205] -他对前馈神经网络（FNN）显示了类似的结果-ResNets。与FNN相比，ResNets的Euler-Maruyama近似结构大大简化了近似ResNets的构造。此外，与上述工作相反，在我们使用ResNets的证明中，不需要存在表示身份映射的FNN（或ResNet），这扩大了适用的激活函数集。
2021-10-30 cs.LG cs.NA math.AP
From rank-based models with common noise to pathwise entropy solutions of SPDEs
本文研究带公共噪声的秩基模型的平均场极限，证明经验累积分布函数收敛于随机偏微分方程的解，并建立鞅问题解与逐路径熵解之间的等价关系。
2024-06-11 math.AP math.PR q-fin.MF
