Harnack inequality and Liouville-type theorems for Ornstein-Uhlenbeck and Kolmogorov operators
我们证明了，与一个纯粹的分析技术，一类Ornstein-Uhlenbeck运营商${\mathcal L_0}$在$\mathbb{R}^N$的一个单边刘维尔定理，作为一个刘维尔定理在“$t=- \infty$“相应的Kolmogorov运营商${\mathcal L_0} - \partial_t$在$\mathbb{R}^{N+1}$。反过来，这最后一个结果被证明是一个推论的全球Harnack不等式的非负解$({\mathcal L_0} - \partial_t) u = 0$似乎有一个独立的利益在自己的权利。我们强调，我们的刘维定理${\mathcal L_0}$不能得到一个基于递归的概率方法，如果$N>2$。我们提供了一个自包含的证明刘维定理涉及经常性Ornstein-Uhlenbeck随机过程的附录。
2020-04-15 math.AP math.PR
The Harnack inequality and related properties for solutions to elliptic and parabolic equations with divergence-free lower-order coefficients
讨论了二阶椭圆型和抛物型方程的低阶系数如何为“坏”的问题，以保证解的一些定性性质，如强最大值原理、Harnack不等式、Liouville定理等.答案是在勒贝格空间和Morrey空间。
2010-11-08 math.AP
Simple blow-up solutions of singular Liouville equations
本文证明在球面Harnack不等式成立时，奇异Liouville方程存在具有非消失系数函数的爆破解，强化了Wei-Zhang的消失定理。
2023-05-12 math.AP
Harnack Theory and Rigidity for Singular and Degenerate Fully Nonlinear Elliptic Equations with Hamiltonians
Ho Chi Minh University of Education（胡志明市教育大学）；Ton Duc Thang University（崇正大学）
本文研究带哈密顿项的奇异与退化完全非线性椭圆方程粘性解的相关性质，建立其整体正则性、Harnack不等式、Liouville刚性及主特征值的统一理论。
2026-08-11 math.AP
Parabolic Harnack estimates for anisotropic slow diffusion
证明了一类具有慢各向异性空间扩散的抛物型方程正解的Harnack不等式.在确定其自然标度后，我们将问题归结为Fokker-Planck方程，并构造了自相似的Barenblatt解。我们利用平移不变性，通过自迭代法得到原点附近的正性，并推导出正性的各向异性展开式。这最终会产生一个尺度不变的Harnack不等式在各向异性几何决定的扩散系数的速度。作为推论，我们推导出Hölder连续性，椭圆Harnack不等式和Liouville定理。
2021-05-04 math.AP
A weak Harnack inequality for fractional evolution equations with discontinuous coefficients
研究了时间阶小于1的散度型线性时间分数阶扩散方程.它只是假设系数是可测的和有界的，并且它们满足一致的抛物性条件。作为主要结果，我们建立了这类问题的非负弱上解的一个具有最优临界指数的弱Harnack不等式。证明依赖于新的先验估计的时间分数问题，并使用莫泽的迭代技术和抽象引理的Bjueri和Giusti，后者允许通过BMO，以避免相当技术上涉及的方法。作为弱Harnack不等式的应用，我们建立了强最大值原理，弱解在t = 0处的连续性，以及一个Liouville型定理.
2010-09-24 math.AP
Vanishing Estimates for Liouville equation with quantized singularities
在本文中，我们继续我们之前关于具有量子化奇异性的奇异刘维方程的工作中发起的研究。本文的主要目的是证明只要在奇异源附近冒泡解违反球面Harnack不等式，系数函数的一阶导数必然趋于零.
2022-02-21 math.AP
Differential Harnack inequalities for semilinear parabolic equations on Riemannian manifolds I: Bakry-Émery curvature bounded below
本文提出一种统一方法，将Bakry-Émery曲率有下界的黎曼流形上半线性抛物型方程的微分Harnack不等式推导转化为求解常微分方程组，并由此得到对数型方程和Yamabe型方程的精确估计及Liouville型定理。
2023-08-18 math.AP
A priori estimates and Liouville type results for quasilinear elliptic equations involving gradient terms
本文利用$m>1$，$p,q>0$和$M\in\mathbb R$研究了$\mathbb R^N$的整环$Ω$中$-Δ_mu=|u|^{p-1}u+M|\nabla u|^q$正解的局部和整体性质.根据\cite{BV,Vron1}中的一些思想，利用直接Bernstein方法结合Keller-Osserman估计，我们得到了几个先验估计以及Liouville型定理.利用Serrin的经典结果证明了一个局部Harnack不等式.
2022-06-25 math.AP
Laplacian Vanishing Theorem for Quantized Singular Liouville Equation
本文针对带量化奇异源的奇异Liouville方程建立拉普拉斯消失定理，给出非简单爆破情形下系数函数拉普拉斯趋于零的结论，是该类方程的首个二阶估计，具有重要应用价值。
2024-10-31 math.AP
Regularity and a Liouville theorem for a class of boundary-degenerate second order equations
在极小正则性假设下，研究了一类二维二阶边界退化椭圆型方程。在退化边界上证明了一个最大值原理和一个Harnack不等式，并假设局部有界，证明了连续性.在全局定义的非负解，我们提供了强大的约束在无穷远的行为，并证明了一个刘维尔型定理的整个解决方案的封闭半平面。所讨论的偏微分方程类包括许多来自数学金融的偏微分方程、Keldysh型和Tricomi型偏微分方程以及来自Kähler几何的完全非线性四阶Abreu方程的二阶约化。
2019-12-16 math.AP
Critical $p$-Laplace equations with monotone coefficients: Liouville classification and a Schoen-type Harnack inequality
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；Institute of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所）
本文研究具单调系数的临界p-拉普拉斯方程，完成其正整体解的刘维尔分类，建立Schoen型哈纳克不等式，为经典半线性方法提供拟线性对应及替代证明。
2026-11-02 math.AP math.DG
Harnack inequality for non-uniformly elliptic equations in non-divergence form
Department of Mathematics, University of Chicago（芝加哥大学数学系）
研究非均匀退化椭圆方程解的正则性，证明在p>d-1时的振荡改进和李乌维尔定理，以及足够大的p时的哈纳克不等式，并获得新的log-L^ε弱哈纳克不等式和新的对数局部最大原理。
2026-04-14 math.AP
On Divergence-free Drifts
研究了低正则系数抛物型和椭圆型算子的Liouville定理和Harnack不等式的有效性和失效性。我们特别感兴趣的运营商的形式$\partial_t - Δ+b\cdot\nabla$和$-Δ+b\cdot\nabla$与发散自由漂移$b$。证明了当$b\in L_\infty(BMO^{-1})$分别为$b\in BMO^{-1}$，并提供了一个反例，这样的结果表明我们的条件的漂移的尖锐性。我们的结果推广到具有椭圆对称部分和BMO反对称部分的发散型算子。我们还证明了在二维椭圆问题的解决方案的连续模的存在，取决于非尺度不变的规范$\|b\|_{L_1}$。另一方面，在三维中，具有$L_1$漂移的有界解可能是不连续的。
2010-10-28 math.AP
Gradient Estimates And Liouville Theorems For A Class of Nonlinear Elliptic Equations
本文首先研究了定义在完备非紧黎曼流形$(M, g)$上的可视为Lichnerowicz型方程的$Δu+λ_{1}u\ln u +λ_{2}u^{b+1}=0$的正解，得到了不依赖于解的界和距离函数的Laplacian的正解的梯度估计.然后，我们将我们的技巧推广到一类更一般的半线性椭圆型方程$Δu(x)+uh(\ln u)=0$，并在适当的分析条件下得到了类似的结果。此外，我们还得到了当$Ric(g)\geq 0$时这类方程的Liouville型定理，并建立了一些Harnack不等式作为推论。
2021-01-30 math.AP
Harnack inequality for singular or degenerate parabolic equations in non-divergence form
研究带可测主系数的非散度型奇异/退化抛物方程，引入加权抛物柱体与权平均振荡小性条件，结合摄动法与抛物ABP极值原理，证明Krylov-Safonov型Harnack不等式，得到Hölder正则性与Liouville型定理。
2024-10-10 math.AP
A Harnack inequality for weak solutions of the Finsler $γ$-Laplacian
我们研究了Finsler $γ$ -Laplacian算子的正则性，这类退化椭圆型偏微分方程自然地出现在各向异性几何问题中。精确地说，任何严格凸家庭的$C^{1}$ -规范$\{ ρ_{x}\}$上的$\mathbb{R}^{n}$和$γ> 1$，我们认为$W^{1,γ}(Ω)$解决方案的各向异性PDE $$ \displaystyle \int_Ω \left \langle ρ_{x}(Du)^{γ-1} (D ρ_{x})(Du), D φ\right \rangle = \int_Ω \vec{F} \cdot D φ+ f φ\qquad \forall φ\in W^{1,γ^{\prime}}_{0}(Ω). $$在温和的假设$|ξ|^{-1} ρ_{x}( ξ) \in [ν, Λ]$的所有$(x,ξ) \in Ω\times \mathbb{R}^{n}$和一些$0 < ν\le Λ< \infty$我们执行Moser迭代，验证子和超级解决方案满足单侧$\| \cdot \|_{\infty}$界，这意味着解决方案是局部有界的。当$u$是非负的，这也意味着一个（弱）Harnack不等式。如果$f, \vec{F} \equiv 0$弱解也受益于强极大值原理和刘维尔型定理。
2022-05-06 math.AP
$L^p$-Liouville theorems on complete smooth metric measure spaces
研究了具有Bakry-Émery里奇曲率的完备光滑度量测度空间$(M,g,e^{-f}dv)$的一些函数论性质.我们推导了$f$ -热方程的Moser抛物Harnack不等式，从而得到了$f$ -热核的高斯上下界.我们还利用Bakry-Émery Ricci曲率的下界和函数$f$的界证明了$L^p$ -Liouville定理，该定理推广了经典Ricci曲率的情况和$N$ -Bakry-Émery里奇曲率的情况。
2013-07-31 math.AP math.DG
One-side Liouville Theorem for hypoelliptic Ornstein--Uhlenbeck operators having drifts with imaginary spectrum
本文证明了线性漂移项具虚谱的次椭圆Ornstein-Uhlenbeck方程非负解的刘维尔定理，回答了Priola和Zabczyk的问题，方法基于Kolmogorov方程解在t=-∞处的刘维尔性质，而该性质源于新抛物型Harnack型不等式。
2025-04-18 math.AP math.PR
Li-Yau, Hamilton gradient and Hessian estimates for nonlinear weighted parabolic equations and applications
本文研究了加权黎曼流形上非线性加权抛物型方程正解的几个估计。因此，我们得到新的李-丘型和Hamilton型梯度估计产生几个后果。我们还得到了该方程的Hessian估计和一些推论。在这里讨论的估计的应用是Harnack型不等式，Liouville型定理和当地时间反向Harnack不等式。
2023-03-24 math.AP math.DG
Estimates for Liouville equation with quantized singularities
对于具有奇异源的刘维尔方程，如果奇异源被量子化，方程的解释及其影响是最重要的：每个狄拉克质量的强度是PDMATHAMM的倍数。然而，研究量子奇异源周围的冒泡解是特别具有挑战性的：在奇异源附近，球形Harnack不等式可能不成立，冒泡解的多个局部极大值都涌向奇异源.在这篇文章中，我们试图提供一个完整的理解，在这个核心困难的爆破图片，我们建立了两个主要类型的结果：首先，我们证明，不仅系数函数的一阶导数趋于零的奇异源，二阶导数也有一个消失的估计。其次，我们得到逐点估计的冒泡的解决方案近似的整体解决方案，这在一些重要的项目中有至关重要的应用。由于奇异源附近的冒泡解在几何和物理中非常常见，因此本文中的估计似乎也可以应用于许多具有各种背景的相关方程和系统。
2021-01-13 math.AP
Nonlocal parabolic De Giorgi classes
Department of Mathematics of the University of Bologna（博洛尼亚大学数学系）；Institute of Natural Sciences, Nihon University（日本大学自然科学研究院）
本文研究非局部抛物De Giorgi类函数的局部行为，证明了局部Hölder连续性及Liouville型刚性性质，并应用该方法证明了非局部Trudinger方程的非局部Harnack不等式。
2026-07-21 math.AP
Gradient estimates for $u_t=ΔF(u)$ on manifolds and some Liouville-type theorems
本文首先证明了多孔介质型方程：$$u_t=ΔF(u),$$和$F'(u) > 0$在具有里奇曲率的完备黎曼流形上正解的局部Hamilton型梯度估计.第二部分研究了快扩散方程和多孔介质方程：$$u_t=Δ(u^p),\qquad p>0,$$，在$p$的更大范围内得到了它们的局部化Hamilton型梯度估计，比文献中的Aronson-Bénilan估计、Harnack不等式和Cauchy问题的局部化Hamilton型梯度估计要大.利用FDE和PME的局部梯度估计，在具有非负里奇曲率的非紧完备流形上证明了FDE和PME整体正解的Liouville型定理，推广了Yaus著名的正调和函数的Liouville定理.
2011-02-08 math.AP math.DG
Liouville theorems and gradient estimates of a nonlinear elliptic equation for the V-Laplacian
School of Mathematics and Statistics Xinyang Normal University（信阳师范大学数学与统计学院）
本文研究了V-拉普拉斯非线性椭圆方程的梯度估计、利奥维勒定理及哈纳克不等式，扩展了相关结论。
2026-01-07 math.AP math.DG
The strong form of the Ahlfors-Schwarz lemma at the boundary and a rigidity result for Liouville's equation
该研究证明带最优误差项的边界版强Ahlfors-Schwarz引理，推广相关边界Schwarz引理，还借助新的边界Harnack不等式得到共形度量的精确刚性结果，强化了Liouville方程的经典结论。
2024-03-06 math.AP math.CA math.CV
Gradient estimates for nonlinear elliptic equations involving the Witten Laplacian on smooth metric measure spaces and implications
在光滑度量测度空间上，给出了一类非线性椭圆型方程正解的Li-Yau型局部和整体梯度估计.这些估计是在相应的Bakry-Émery里奇曲率张量的自然下界下得到的，并在证明一般的Harnack不等式和Liouville型定理中找到了实用性。这里的结果统一，扩展和改善各种现有的结果在文献中的特殊非线性已经有巨大的兴趣和应用。一些重要的后果提出和讨论。
2023-03-02 math.AP
Gradient estimates for a nonlinear parabolic equation on smooth metric measure spaces with evolving metrics and potentials
本文在光滑度量测度空间的背景下，给出了涉及Witten Laplacian的非线性抛物型方程的正光滑解的新的抛物型和椭圆型梯度估计。这里的度规和势是不定常的，并且在一个超Perelman-里奇流下演化.这些估计是根据相关的广义Bakry-Émery里奇曲率张量的自然下界得出的，并用于建立相当普遍的局部和全局边界、Harnack型不等式和Liouville型全局恒常性定理等。其他影响和后果的结果进行了讨论。
2023-03-10 math.AP
Liouville theorems and new gradient estimates for positive solutions to $Δ_pv+a(v+b)^q=0$ on a complete manifold
该研究借助 Saloff-Coste Sobolev 不等式与 Nash-Moser 迭代，分析带 Ricci 下界完备流形上非线性 $p$-Laplace 方程正解，给出梯度估计、Liouville 定理及新的 Cheng-Yau 对数梯度估计。
2025-03-15 math.AP
Nash-Moser iteration approach to the logarithmic gradient estimates and Liouville Properties of quasilinear elliptic equations on manifolds
本文提出采用Nash-Moser迭代技术分析完备黎曼流形上拟线性椭圆方程正解的局部与全局性质，推导出普适的Cheng-Yau型对数梯度估计，并据此获得刘维尔型定理、Harnack不等式及奇点局部估计。
2024-03-26 math.AP math.DG
Souplet-Zhang and Hamilton type gradient estimates for nonlinear elliptic equations on smooth metric measure spaces
该研究在光滑度量测度空间的广义Bakry-Émery里奇曲率下界条件下，推导了含f-拉普拉斯算子的非线性椭圆方程正解的Souplet-Zhang型与Hamilton型梯度估计，进而得到Harnack不等式等结果，提供了统一处理方式并改进了现有结论。
2023-06-14 math.AP
Applications of P-functions to Fully Nonlinear Elliptic equations: Gradient Estimates and Rigidity Results
本文引入全非线性方程的P-函数概念，建立一般准则，获得梯度界、De Giorgi型性质与刚性结果，推广Modica不等式，并证明Harnack型不等式及高阶方程的Liouville定理。
2025-03-28 math.AP
Gradient Estimates for the doubly nonlinear diffusion equation on Complete Riemannian Manifolds
本文在完备黎曼流形上利用非线性变换与Nash-Moser迭代得到双重非线性扩散方程正解的Cheng-Yau型梯度估计，并给出Liouville型结果与Harnack不等式，填补了b>0情形的空白。
2025-04-11 math.AP
Gradient estimate and Universal bounds for semilinear elliptic equations on RCD$^*$(K,N) metric measure spaces
School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University（江苏师范大学数学与统计学院）
本文研究了半线性椭圆方程在RCD*(K,N)度量测度空间上的梯度估计和通用界，通过子临界指数条件下的方程恢复了许多经典结果，并在K<0的情况下证明了估计的最优性，同时建立了通用界、对数梯度估计和Harnack不等式之间的基本关系。
2026-05-04 math.AP math.MG
Gradient estimates for some $f$-heat equations driven by Lichnerowicz's equation on complete smooth metric measure spaces
给定完备光滑度量测度空间$(M,g,e^{-f}dv)$，且Bakry-Émery里奇曲率有界，研究了以下一般$f$ -热方程$$ u_t=Δ_f u+au\log u+bu +Au^p+Bu^{-q} $$和\[ u_t=Δ_f u+Ae^{pu}+Be^{-pu}+D \]解的各种梯度估计.作为副产品，我们得到了几个非线性方程正解的Liouville型定理和Harnack型不等式，其中包括薛定谔方程，Yamabe方程和Lichnerowicz型方程作为特例.
2017-06-27 math.AP math.DG
Some gradient estimates for nonlinear heat-type equations on smooth metric measure spaces with compact boundary
本文在带紧边界的光滑度量测度空间上，证明了非线性抛物方程正解的Hamilton型和Li-Yau型梯度估计，并应用于Harnack不等式和Liouville型结果。
2023-09-01 math.AP math.DG
Mixed-Parabolicity and Mixed-Liouville Property for Products of Riemannian Manifolds
本文针对黎曼流形乘积，建立了混合范数框架下抛物性、Green函数可积性与Liouville性质的等价关系，并给出有效维数判据。
2026-06-27 math.AP math.CA
