The linearised Einstein equations as a gauge theory
Michael Eastwood
我们线性化爱因斯坦真空方程的宇宙常数通过Calabi算子从射影微分几何。
We linearise the Einstein vacuum equations with a cosmological constant via the Calabi operator from projective differential geometry.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On linearised vacuum constraint equations on Einstein manifolds
我们展示了如何通过无约束势参数化爱因斯坦流形上的广义相对论向量约束方程的解。我们提供了一个类似的建设的无迹部分张量满足线性标量约束。在宇宙学常数$Λ$为零的情况下，我们以前的工作已经为线性化约束的解提供了类似的不同构造。我们使用我们的新的潜力表明，可以屏蔽线性引力场使用线性引力场不强加TT规范（如在以前的工作中所做的），对于任何值的$Λ\in \mathbb{R}$。
Characteristic Gluing with $Λ$ 1. Linearised Einstein equations on four-dimensional spacetimes
该论文在带宇宙学常数的静态真空四维时空中，针对 Bondi 规范下的线性化引力场建立了特征胶合定理，推广了先前在 Minkowski 光锥上的结果。
On the Cauchy problem for the linearised Einstein equation
广义相对论中的一个经典问题是在整体双曲真空时空中线性化爱因斯坦方程的柯西问题（引力波的初值问题）。一个著名的结果是，它是唯一可解的规范解，给定的初始数据上的一个类空柯西超曲面。解映射是初始数据（产生初始数据的模规范）和解（模规范解）之间的同构。在本文的第一部分中，我们证明了解映射实际上是局部凸拓扑向量空间的同构。这意味着解的等价类连续依赖于初始数据的等价类。因此，我们可以得出柯西问题的适定性。在第二部分中，我们证明了线性化的约束方程总是可以在一个数量曲率为零的闭流形上求解。这推广了用于产生引力波模型的平坦空间上的TT张量的经典概念。我们的所有结果都证明了光滑和分布的初始数据的任意实Sobolev正则性。
A Scattering Theory for Linearised Gravity on the Exterior of the Schwarzschild Black Hole II: The Full System
本文建立了双零规范中史瓦西背景下线性化爱因斯坦方程的散射理论。我们建立在第一部分的结果\cite{Mas20}，在那里我们使用的能量守恒享受Regge-惠勒方程与史瓦西背景的平稳性，构建一个散射理论的Teukolsky方程的自旋$\pm2$。现在，我们把第一部分的散射理论推广到线性化爱因斯坦方程的整个系统，把它当作输运方程系统来处理，这个输运方程系统是由Teukolsky方程的解导出的，在适当选择的初始和散射数据的规范条件下，导致有限能量初始数据空间和相应的散射态空间之间的希尔伯特空间同构。作为一个推论，我们表明，对于一个解决方案，这是邦迪归一化在过去和未来的零无穷大，过去和未来的线性记忆相关的对映映射。
A Scattering Theory for Linearised Gravity on the Exterior of the Schwarzschild Black Hole I: The Teukolsky Equations
我们构造了自旋$\pm2$ Teukolsky方程在Schwarzschild时空外部的散射理论，作为发展双零规范线性化爱因斯坦方程的散射理论的第一步。这是通过利用Dafermos，Holzegel和Rodnianski在[arxiv：1601.06467]中使用的物理空间版本的Schwarzschild变换来证明Schwarzschild解的线性稳定性。我们还解决Teukolsky-Starobinsky对应和构造的$+2$和$-2$ Teukolsky方程的散射数据之间的同构。这将使我们能够为一对满足自旋$+2$和$-2$ Teukolsky方程的曲率分量陈述一个额外的混合散射陈述，并通过Teukolsky-Starobinsky恒等式连接，完全确定线性化爱因斯坦方程解的辐射自由度。
Elliptic curvature estimates for linearised gravitational perturbations of Kerr in the full sub-extremal range $|a|<M$
本文针对 Kerr 外部解周围的线性化真空 Einstein 方程，提出证明线性化曲率量椭圆 $L^2$ 估计的方案，适用于全次极端参数范围 $|a|<M$。
A new gauge for gravitational perturbations of Kerr spacetimes II: The linear stability of Schwarzschild revisited
给出了引力摄动史瓦西解线性稳定性的一个新证明。我们的方法采用系统的线性重力在新的几何规范的\cite{benomio_kerr}，专门为$|a|=0$的情况下。证明基本上依赖于系统中输运方程的新颖结构。事实上，虽然利用众所周知的解耦的两个规范不变的线性化量到自旋$\pm 2$ Teukolsky方程，我们加强了使用的红移输运方程及其稳定性能来控制规范依赖的系统的一部分。其结果是，一个初始数据规范规范化足以建立轨道和渐近稳定的系统中的所有线性化量。在输运方程控制的几何规范中，未来规范归一化的缺失是黑洞时空线性稳定性分析中的一个新元素。特别是，我们的方法简化了证明\cite{DHR}，这需要一个未来的归一化（双零）规范建立渐近稳定的完整系统。
A new gauge for gravitational perturbations of Kerr spacetimes I: The linearised theory
我们提出了一个新的几何框架，以解决在整个次极值范围$|a|<M$的引力摄动克尔解的稳定性。我们的框架的核心是一个新的非线性引力扰动的克尔，其两个新的成分是选择一个几何规范和不可积的零框架都适合于即将离任的主要零测地线的克尔。真空爱因斯坦方程的扰动制定在我们的规范作为一个系统的方程的连接系数和曲率分量相对于选定的框架。当相对于Kerr重整化时，具有输出输运方程形式的零结构方程在右手侧不具有重整化连接系数的任何导数。在这项工作中，我们推导出线性化的真空爱因斯坦方程周围的克尔在新的框架。我们的新框架旨在有效地捕获红移输运方程的稳定特性，从而隔离问题的关键结构之一。这样的特征暗示了分析中的未来简化。作为一个例子，我们的同伴工作\cite{benomio_schwarzschild}采用系统的线性化的重力和增强的红移输运方程，专门用于$|a|=0$的情况下，产生一个新的简化证明的史瓦西解的线性稳定性。在整个次极值范围$|a|<M$的完整线性稳定性分析被推迟到未来的工作。正如从\cite{benomio_schwarzschild}中已经显而易见的，我们的框架将允许将输运方程中的新结构与系统的椭圆部分相结合，以建立线性轨道稳定性结果而不损失导数，这表明该框架可能非常适合于解决整个次极值范围$|a|<M$中的非线性稳定性。
Characteristic Gluing with $Λ$: II. Linearised equations in higher dimensions
本文证明高维静态真空背景中 Bondi 规范下线性化真空引力场的特征粘合定理，将四维 Minkowski 光锥上的经典结果推广至含宇宙学常数的 $(n+1)$ 维情形。
The linear stability of the Schwarzschild solution to gravitational perturbations
我们证明了在本文中的线性稳定性著名的史瓦西家庭的黑洞在广义相对论：解决方案的线性化的爱因斯坦真空方程周围的史瓦西度规所产生的经常性的初始数据保持全球有界的黑洞外部，实际上衰减到线性克尔度规。我们用一个合适的双零规范来表示方程。为了得到衰变，人们实际上必须加上一个剩余的纯规范解，我们证明它本身是由初始数据定量控制的。我们的结果更何况包括Teukolsky方程（满足规范不变的零分解曲率分量）的一般解的衰减声明。这些后者的陈述事实上推导出的过程中的证明，利用相关的数量显示，以满足Regge-Wheeler方程，适当的衰减可以很容易地通过适应以前的工作，线性标量波动方程。线性化克尔的衰减率的界限是逆多项式，这表明色散足以控制爱因斯坦方程的非线性，在未来的非线性稳定性的潜在证明。本文是独立的，包括物理空间推导的线性引力方程周围史瓦西从全非线性爱因斯坦真空方程表示在一个双零规范。
The Semiclassical Einstein-Klein-Gordon System: Asymptotic Analysis of Minkowski Spacetime
本文研究了 semiclassical 埃instein-klein-gordon 系统在闵可夫斯基真空时空线性化后的线性不稳定性，通过构建强迫问题，将线性化系统解耦为两个 cauchy 问题，证明了度规扰动由高阶非局部双曲偏微分方程支配，并展示了系统在晚期时间的线性不稳定性。
On non-degeneracy of Riemannian Schwarzschild-anti de Sitter metrics
我们证明了$TT$规范固定的线性化爱因斯坦算子对于质量参数范围与维度和拓扑相关的Riemannian Kottler（“Schwarzschild-anti de Sitter”）度规是非退化的。我们提供的证据表明，这仍然是真实的，所有这样的指标，除了球形的临界质量。
Einstein-Dirac theory on gauge-natural bundles
我们提出了一个明确的例子规范自然丛函子方法和经典场论的李导数的一般理论的重要性，其中唯一正确的几何公式的爱因斯坦（-Cartan）引力耦合狄拉克场引起了一个意想不到的不确定性守恒量的概念。
Rough solutions of Einstein vacuum equations in CMCSH gauge
本文考虑了CMC空间谐振规范下Einstein真空方程Cauchy问题的非常粗糙解，得到了$H^s, s>2$中的局部适定性结果.我们的方法的新颖之处在于，没有诉诸于标准的paradifferential正则化粗糙，爱因斯坦度量$\bg$，我们设法实现交换向量场的方法来证明Eschhartz估计的几何波动方程$\Box_\bg ϕ=0$直接。
The extended Conformal Einstein field equations with matter: the Einstein-Maxwell field
本文讨论了与能量动量张量无迹物质耦合的共形爱因斯坦场方程。这些得到的方程表示在一个通用的外尔连接。文章展示了如何在物质的存在下，它是可能的，以建立一个共形规范，允许知道\emph{a priori}的位置的共形边界。在真空中，这种规范退化为所谓的共形高斯规范。这些思想被应用于获得：（i）一个新的证明的稳定性的爱因斯坦-麦克斯韦德西特类时空;（ii）证明的半整体稳定性的纯辐射爱因斯坦-麦克斯韦时空。
Improved breakdown criterion for Einstein vacuum equations in CMC gauge
设$\M_*=\cup_{t\in [t_0, t_*)} Σ_t$是真空整体双曲时空$(\bM, \bg)$的一部分，由具有$t_0<t_*<0$的常平均曲率超曲面$Σ_t$划分.我们证明了如果第第二基本型$k$和时滞函数$n$满足$$ \int_{t_0}^{t_*}(\|k\|_{L^\infty(Σ_t)}+\|\nab \log n\|_{L^\infty(Σ_t)}) dt <\infty. $$，叶理可以扩展到$t_*$之外。这改进了已有的Einstein真空方程的破裂准则。
A gauge theoretic approach to Einstein 4-manifolds
本文研究了四维爱因斯坦方程的一种新的规范理论方法。虽然形式主义的各个方面已经在数学和物理学文献中的各个地方得到了解释，但我们的第一个目标是用纯粹的数学语言对理论给出一个连贯的解释。然后，我们解释了为什么新方法可能有重要的数学应用：使用变分法找到爱因斯坦4-流形的可能性，以及辛拓扑的链接。我们还进行了一些技术基础工作来解决这些问题。
Gauge theory on projective surfaces and anti-self-dual Einstein metrics in dimension four
给定曲面$N$上的一个射影结构，我们给出了如何在一定秩的$2$仿射丛$M \to N$的全空间$M$上正则地构造一个具有非零数量曲率的中立签名Einstein度量以及一个辛形式.爱因斯坦度规具有反自对偶共形曲率，并允许一个反自对偶平面的平行场。我们表明，本地每一个这样的度量产生于我们的建设，除非它是共形平坦的。对应于$\mathbb{RP}^2$上平坦投射结构的齐次Einstein度量是$M=\mathrm{SL}(3, \mathrm{R})/\mathrm{GL}(2, \mathrm{R})$上Fubini-Study度量的非紧实型。我们还展示了我们的建设涉及到一定的规范理论方程介绍了卡尔德班克。
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