Balancing and Lucas-balancing numbers as difference of two repdigits
本文研究能表示为两个重复数字之差的平衡数和Lucas-平衡数，利用Baker理论和Baker-Davenport归约过程给出了完整证明。
2024-10-08 math.NT
On $X$-coordinates of Pell equations which are repdigits
令$b\ge 2$为给定整数。本文证明了Pell方程$X^2-dY^2=1$有两个正整数解$(X,Y)$且其$X$ -坐标是基$b$ -repdigit.回想一下，基$b$ -repdigit是一个正整数，当写入基$b$时，其所有数字具有相同的值。我们也给出了最大的这样的$d$上界的$b$。
2017-10-30 math.NT
Fibonacci and Lucas numbers as products of three repdigits in base $g$
回想一下，基$g$中的repdigit是一个正整数，在其基$g$扩展中只有一个数字，即对于某些正整数$m\geq 1$，$g\geq 2$和$1\leq a\leq g-1$，$a(g^m-1)/(g-1)$形式的数字。在本研究中，我们研究所有的Fibonacci或Lucas数表示为产品的三个repdigits在基地$g$。作为说明，我们考虑$g=10$的情况下，我们表明，数字144和18是最大的斐波那契和卢卡斯数，可以分别表示为三个repdigits的产品。所有这些都可以用代数数的线性形式来完成。
2022-12-29 math.NT
Pell and Pell-Lucas numbers as difference of two repdigits
本文研究了Pell数和Pell-Lucas数能否表示为两个重复数字之差，并确定了所有此类数，其中最大的分别为P_6=70和Q_7=478。
2023-10-12 math.NT
On $k$-Pell numbers that are Palindromes formed by two distinct Repdigits
针对$k$-广义佩尔数序列，本研究确定了其中所有可表示为由两个不同重复数连接而成的回文数的项，涉及序列的递推关系与特殊数的结构分析。
2025-04-19 math.NT
Repdigits in k-generalized Pell sequence
设$k\geq 2$和$(P_{n}^{(k)})_{n\geq 2-k}$是由\begin{equation*}P_{n}^{(k)}=2P_{n-1}^{(k)}+P_{n-2}^{(k)}+...+P_{n-k}^{(k)}\end{equation*}为$n\geq 2$定义的$k$ -广义Pell序列，初始条件为\begin{equation*}P_{-(k-2)}^{(k)}=P_{-(k-3)}^{(k)}=\cdot \cdot \cdot =P_{-1}^{(k)}=P_{0}^{(k)}=0,P_{1}^{(k)}=1. \end{equation*}本文用$k\geq 2,$、$m\geq 2$和$1\leq d\leq 9$处理正整数丢番图方程\begin{equation*}P_{n}^{(k)}=d\left( \frac{10^{m}-1}{9}\right)\end{equation*}.我们将证明序列$\left( P_{n}^{(k)}\right)_{n\geq 2-k}$中至少有两位数的repdigits是数字\ $P_{5}^{(3)}=33$和$P_{6}^{(4)}=88.$
2020-09-24 math.NT
Tribonacci-Lucas numbers that are palindromic concatenations of two distinct repdigits
本文利用 Baker 理论和连分数约化方法，完整确定了所有可表示为两个不同重复数字串回文拼接的 Tribonacci-Lucas 数。
2025-09-07 math.NT
On bicomplex Pell and Pell-Lucas numbers
本文定义了双复Pell数和双复Pell-Lucas数。此外，还给出了negabicomplexPell数和negabicomplexPell-Lucas数.研究了与双复数、Pell数和Pell-Lucas数相关的双复Pell数和双复Pell-Lucas数的一些代数性质。此外，还给出了这些数的d 'Ocagne恒等式、Binet公式、Cassini恒等式和Catalan恒等式.
2017-12-27 math.NT
Lucas pseudoprimes and the Pell conic
我们展示了卢卡斯pseudoprimes和佩尔锥配备Brahmagupta产品引入佩尔pseudoprimes之间的连接。
2020-01-02 math.NT
A Short Note on the Pell-Lucas-Eisenstein Series
在这项工作中，我们利用佩尔-卢卡斯数定义了一种新型的类艾森斯坦级数，并称之为佩尔-卢卡斯-艾森斯坦级数。首先证明了Pell-Lucas-Eisenstein级数在其定义域上是收敛的。然后证明它们满足一定的函数方程。证明如下一些计算佩尔-卢卡斯数。
2022-07-14 math.NT
Pell and Pell-Lucas numbers as sums of two Jacobsthal numbers
我们求解了两个丢番图方程$P_k=J_n+J_m$和$Q_k=J_n+J_m$，其中$\left\lbrace P_{k}\right\rbrace_{k\geq0}$，$\left\lbrace Q_{k}\right\rbrace_{k\geq0}$和$\left\lbrace J_{k}\right\rbrace_{k\geq0}$分别是Pell数，Pell-Lucas数和Jacobsthal数的序列.主要工具是数学中的线性型理论。
2022-10-08 math.NT
On the Integral Representations of the $k$-Pell and $k$-Pell-Lucas Numbers
本文利用 Binet 公式和初等积分学，推导并验证了 $k$-Pell 和 $k$-Pell-Lucas 数的积分表示及多个恒等式，并将其结果与 Fibonacci、Lucas、Pell 和 Pell-Lucas 数相关联。
2025-01-22 math.NT
On Mixed Concatenations of Pell and Pell-Lucas Numbers which are Pell Numbers
该研究针对Pell序列与Pell-Lucas序列相关的两类混合连乘丢番图方程，证明其非负整数解仅有有限多组，并明确给出了进制数2到10范围内的所有解。
2024-05-18 math.NT
Solutions of the Pell equations x^2-(a^2+2a)y^2=N via generalized Fibonacci and Lucas numbers
本文研究了sqrt（d）在d=a^2+2a时的连分数展开式，其中a为正整数.考虑Pell方程x^2-（a^2+2a）y^2=N当N={-1，+1，-4，+4}时的整数解.我们利用连分数展开式来表示第n个解（x_{n}，y_{n}）。我们还制定了第n个解决方案（x_{n}，y_{n}）通过广义Fibonacci和卢卡斯序列。
2013-04-03 math.NT
On the $x$--coordinates of Pell equations which are products of two: Lucas numbers, Pell numbers
令$ \{L_n\}_{n\ge 0} $是由$ L_0=2, ~ L_1=1 $和$ L_{n+2}=L_{n+1}+L_n $对所有$ n\ge 0 $给出的卢卡斯数序列。在第一篇论文中，对于一个整数$d\geq 2$是平方自由，我们表明，有最多一个值的正整数$x$参与佩尔方程$x^{2}-dy^{2}=\pm 1$这是一个产品的两个卢卡斯数，与少数例外，我们完全表征。令$ \{P_m\}_{m\ge 0} $是由$ P_0=0, ~ P_1=1 $和$ P_{m+2}=2P_{m+1}+P_m $对所有$ m\ge 0 $给出的Pell数序列。在第二篇文章中，我们证明了对于无平方因子的正整数$d\geq 2$，Pell方程$x^{2}-dy^{2} =\pm 1$中至多有一个正整数$x$的值，它是两个Pell数的乘积.
2019-08-08 math.NT
The Generalized Fibonacci and Lucas Solutions of The Pell Equations x^2-(a^2b^2-b)y^2=N and x^2-(a^2b^2-2b)y^2=N
在本研究中，我们找到了sqrt（d）在d=a^2b^2-b和d=a^2b^2-2b时的连分数展开式，其中a和b是正整数.本文考虑Pell方程x^2-（a^2b^2-b）y^2=N和x^2-（a^2b^2-2b）y^2=N的整数解，当N为{+-1，+-4}时.我们利用连分数展开式来表示第n个解（x_{n}，y_{n}）。我们还制定了第n个解决方案（x_{n}，y_{n}）的广义Fibonacci和Lucas序列。
2013-03-07 math.NT
Construction of helices from Lucas and Fibonacci sequences
利用两个复值函数（依赖于一个整数参数P>=1），我们构造了与P-Lucas和P-Fibonacci序列的所谓Binet公式有关的整数比R>=1的螺旋.基于这些功能的一个新的地图定义，我们表明，它的三维表示也是一个螺旋。在证明晶格点的这些后来的螺旋满足某些丢番图佩尔方程，我们称之为佩尔的螺旋。我们证明，P-斐波那契和佩尔的螺旋各自的比例是一个不变的，对比的P-卢卡斯螺旋的比例取决于P.它还表明，适当的线性组合某些复值映射导致新的螺旋卢卡斯/斐波那契/佩尔数。为了说明基本理论，给出了图形例子。
2017-07-30 math.NT
Some new identities of generalized Fibonacci and generalized Pell numbers via a new type of numbers
本文给出了广义斐波那契数和广义Pell数的一些新恒等式。为此，引入了一类新的广义数。最近发展的两个著名的恒等式Sury和Marques被作为特例推出。此外，还推导出了著名的Fibonacci数、Lucas数、Pell数和Pell-Lucas数的一些有趣的恒等式
2015-11-24 math.NT
Lucas sequences, Pell's equations, and automorphisms of K3 surfaces
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等科学研究院）；Center for Complex Geometry, Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院复杂几何中心）
本文研究了卢卡斯序列、皮尔方程与 K3 曲面自同构之间的对应关系，并确定了部分序列的交集。
2026-01-22 math.AG math.NT
On Perfect Powers in k-Generalized Pell-Lucas Sequence
Let k>=2 and let ( Q_{n} ^{(k)})_{n>=2-k} be the k-generalized Pell sequence defined by Q_{n} ^{(k)}=2 Q_{n-1} ^{(k)}+ Q_{n-2} ^{(k)}+...+ Q_{n-k} ^{(k)} for n>=2 with initial conditions Q_{-(k-2)} ^{(k)}= Q_{-(k-3)} ^{(k)}=...= Q_{-1} ^{(k)}=0, Q_{0} ^{(k)}=2, Q_{1} ^{(k)}=2. In this paper, we solve the Diophantine equation Q_{n} ^{(k)}=y^{m} in positive integers n,m,y,k with m,y,k>=2. We show that all solutions (n,m,y) of this equation in positive integers n,m,y,k such that 2<=y<=100 are given by (n,m,y)=(3,2,4),(3,4,2) for k>=3. Namely, Q_{3} ^{(k)}=16=2^4=4^2 for k>=3.
2022-09-09 math.NT
Primality tests, linear recurrent sequences and the Pell equation
我们研究了新的素数测试的基础上的线性递归序列的程度，利用matricial方法。经典的卢卡斯测试出现作为一个特殊的情况下，我们看到它可以很容易地改进。此外，这种方法清楚地表明如何卢卡斯伪素数是连接到佩尔方程和Brahamagupta产品。我们还介绍了一种新的特殊素性检验，我们称之为广义Pell检验。我们进行了一些数值计算的新的素性测试，对于广义Pell测试，我们没有任何伪素数高达$10^{10}$。
2020-02-19 math.NT
Some identities for the generalized Fibonacci polynomials by the Q(x) matrix
本文利用Q（x）矩阵得到了广义Fibonacci多项式的一些恒等式。这些恒等式包括Cassini恒等式和Honsberger公式，可以应用于一些多项式序列，如Fibonacci多项式、Lucas多项式、Pell多项式、Pell-Lucas多项式、Fermat多项式、Fermat-Lucas多项式等。
2020-12-31 math.NT
Identities for the generalized Fibonacci polynomial
若二阶多项式序列的比内公式在结构上与Fibonacci（Lucas）数的比内公式相似，则称该序列为Fibonacci型（Lucas型）.本文将斐波那契数和Lucas数的恒等式推广到Fibonacci型和Lucas型多项式。斐波那契型多项式等价于卢卡斯型多项式，如果它们都满足相同的递归关系。大多数恒等式提供了两个等价多项式之间的关系。特别地，本文中的每种类型的恒等式涉及以下多项式序列：Fibonacci与Lucas，Pell与Pell-Lucas，Fermat与Fermat-Lucas，两种类型的切比雪夫多项式，Jacobsthal与Jacobsthal-Lucas以及两种类型的Morgan-Voyce。
2019-04-18 math.NT
Positive Integer Solutions of Certain Diophantine Equations Involving Lucas-Balancing numbers
本文考虑$x^{2}-8C_{n}xy+ 16y^{2}=\pm2^{r}$，$x^{4}-8C_{n}x^{2}y+ 16y^{2}=\pm2^{r}$和$x^{2}-8C_{n}xy^{2}+ 16y^{4}=\pm2^{r}$形式的丢番图方程，研究其任意正整数解的存在性.此外，解决方案体现在平衡，佩尔和卢卡斯-佩尔数。
2018-08-24 math.NT
Irreducibility of generalized Fibonacci polynomials
一个二阶多项式序列是Fibonacci型$\mathcal{F}_{n}$（Lucas型$\mathcal{L}_{n}$）的，如果它的比内公式具有与Fibonacci（Lucas）数的结构相似的结构.在一定条件下，这些多项式是不可约的当且仅当$n$是素数。例如，当$n$是素数时，斐波那契多项式、佩尔多项式、费马多项式、卢卡斯多项式、佩尔-卢卡斯多项式、费马-卢卡斯多项式是不可约的;而当$n$是素数时，切比雪夫多项式（第二类）、摩根-沃伊斯多项式（斐波那契型）和韦达多项式是可约的。本文给出了当$n$是素数时Fibonacci型多项式和Lucas型多项式是否不可约的几个定理。
2022-02-03 math.NT
The Euler Totient Function on Lucas Sequences
在2009年，Luca和Nicolae证明了唯一的斐波那契数，其欧拉函数是另一个斐波那契数是$1,2$和$3$。在2015年，Faye和Luca证明了唯一的Pell数，其欧拉函数是另一个Pell数是$1$和$2$。在这里，我们添加到这两个结果，并证明，对于任何固定的自然数$P\geq 3$，如果我们定义的序列$\left(u_n\right)_n$为$u_0=0$，$u_1=1$，和$u_n=Pu_{n-1}+u_{n-2}$的所有$n\geq 2$，那么唯一的解决方案丢番图方程$φ\left(u_n\right)=u_m$是$φ\left(u_1\right)=φ(1)=1=u_1$。
2022-04-28 math.NT
On the intersections of Fibonacci, Pell, and Lucas numbers
我们描述了如何计算形式为$\{U_n(P,\pm 1) \}_{n=0}^{\infty}$或$\{V_n(P,\pm 1) \}_{n=0}^{\infty}$的两个Lucas序列与包含Fibonacci、Pell、Lucas和Lucas-Pell数序列的$P\in\mathbb{Z}$的交集。证明了除了$U_n(1,-1)$和$U_n(3,1)$以及两个$V$ -序列的判别式的乘积是完满平方的情况外，这种交是有限的.此外，在这些情况下的交集也形成卢卡斯序列。我们的方法依赖于求解齐次二次丢番图方程和图埃方程。特别是，我们证明了0，1，2和5是唯一的数字，都是斐波那契和佩尔，并列出类似的结果，许多其他对卢卡斯序列。我们进一步推广我们的结果与任意初始项的卢卡斯序列。
2010-11-05 cs.DM cs.DS math.NT
On the Diophantine Equations Arising from Three-Term $b$-Concatenations in Pell-Type Sequences
Institut de Mathématiques et de Sciences Physiques, Université d’Abomey-Calavi（阿博美卡拉维大学数学与物理科学研究所）；University of Split, Faculty of Science（斯普利特大学理学院）
本文研究Pell型序列中三项$b$进制拼接的丢番图方程，在中间块索引限制下给出上界，并确定$2\leq b\leq15$时的全部解数。
2026-09-09 math.NT
Ome new theorems on generating functions and their applications on odd and even certain numbers attached to p and q parameters
在本研究中，我们首先利用对称化算子给出了一些新的定理。然后，利用这些定理，我们引入了（p，q）-斐波那契数，（p，q）-Lucas数，（p，q）-Pell数，（p，q）-Pell Lucas数，（p，q）-Jacobsthal数和（p，q）-Jacobsthal Lucas数的奇项和偶项的生成函数族.然后给出了这些（p，q）-数与（p，q）-数的奇、偶项乘积的新的生成函数。
2021-08-05 math.NT
Positive Integer Solutions of the Pell Equation $x^{2}-dy^{2}=N,$ $% d\in \left\{k^{2}\pm 4,\text{}k^{2}\pm 1\right\} $ and $N\in \left\{\pm 1,\pm 4\right\}
令$\ k$为自然数，且为$d=k^{2}\pm 4$或$k^{2}\pm 1$。本文利用$\sqrt{d},$的连分式展开式，求出了方程$x^{2}-dy^{2}=\pm 1$的基本解，并得到了方程$x^{2}-dy^{2}=\pm 1$的全部正整数解。此外，我们还找到了方程$x^{2}-dy^{2}=\pm 4$的所有正整数解的广义Fibonacci和Lucas序列。虽然有些结果是众所周知的，我们认为我们的方法是初级的，不同于其他人。
2013-04-25 math.NT
On a four-parameters generalization of some special sequences
我们引入了一个新的四参数序列，同时推广了一些著名的整数序列，包括Fibonacci，Padovan，Jacobsthatl，Pell和Lucas数。组合的解释进行了讨论，这个一般序列的许多身份推导。因此，Fibonacci，Lucas，Pell，Jacobsthal，Padovan和Narayana数的一些恒等式以及它们的一些推广被获得。我们还提出了新序列的卡西尼公式。
2017-05-14 math.NT
On integer values of the generating functions for sequences given by the Pell's equations
D. S. Hong和P.Pongsriiam分别给出了斐波那契数的母函数的一个充要条件。Lucas数）为整数值，对于有理数。换句话说，他们的结果涉及到从Pell方程$5x^{2}-y^{2}=\pm4$的整数解得到的序列的生成函数的整数值。如果我们把这个佩尔方程换成另一种类型的佩尔方程，他们的结果会有什么变化？这是一个自然而有趣的问题。本文对Pell方程$x^{2}-my^{2}=\pm1 \ (m\text{ is a non-square natural number})$给出的序列的生成函数给出了类似的结果。
2019-09-13 math.NT
Three term recurrence and residue completeness
研究了模m的三项递归。特别地，我们证明了佩尔数模m是剩余完全的，当且仅当m是2，3的幂，或5的幂。Pell-Lucas数模m是剩余完全的当且仅当m是3的幂。
2013-07-29 math.NT
On members of Lucas sequences which are products of Catalan numbers
证明了若$\{U_n\}_{n\geq 0}$是Lucas序列，则最大的$n$使得$|U_n|=C_{m_1}C_{m_2}\cdots C_{m_k}$与$1\leq m_1\leq m_2\leq \cdots\leq m_k$，其中$C_m$是$m$的第n个Catalan数满足$n<6500$ .在卢卡斯序列的根是实数的情况下，我们有$n\in \{1,2, 3, 4, 6, 8, 12\}$。因此，我们证明了，如果$\{X_n\}_{n\geq 1}$是一个Pell方程$X^2-dY^2=\pm 1$的$X$坐标的序列与非平方整数$d>1$，那么$X_n=C_m$意味着$n=1$。
2020-06-02 math.NT
Pell and associated Pell braid sequences as GCDs of sums of $k$ consecutive Pell, balancing, and related numbers
研究了六个著名序列（Pell、相伴Pell、平衡及相关数）中$k$个连续项之和的最大公约数，给出了依赖$k$的闭式，并发现其可表示为Pell和相伴Pell辫序列，同时探讨了平方项之和的GCD问题。
2023-06-28 math.CO math.NT
Weighted sums of Lucas numbers of the first and second kind
本文推广了Wall关于斐波那契数加权和的结果，推导了第一和第二类拉克序列的加权和闭形式，并为八种著名序列提供了新的恒等式。
2025-11-20 math.NT
On the monoid generated by a Lucas sequence
卢卡斯序列是一般形式为$v_n = (ϕ^n - \barϕ^n)/(ϕ-\barϕ)$的序列，其中$ϕ$和$\barϕ$是实代数整数，使得$ϕ+\barϕ$和$ϕ\barϕ$都是有理数。著名的例子包括斐波那契数、佩尔数和梅森数。我们研究由这样一个序列生成的幺半群;事实证明，它几乎是自由生成的。我们提供了一个渐近公式的数目正整数$\leq x$在这个幺半群，并证明了Erdens-Kac型定理的分布的因素，有和没有重数。虽然如果只计算不同的因子，极限分布是高斯分布，但当考虑多重性时，情况就不再是这样了。
2016-09-26 math.NT
On Pell numbers representable as product of two generalized Fibonacci numbers
本文研究佩尔数何时可表示为两个 k-斐波那契数之积，利用对数线性形式下界、连分数性质及丢番图逼近工具完全解决该问题，推广了多个已有结果。
2025-07-18 math.NT
New properties for a composition of some generating functions for primes
本文研究了外函数为对数母函数，内函数为整数系数的普通母函数的母函数合成系数的性质。利用生成函数的复合和复合的概念，我们得到了这种复合的新性质。这些性质可用于区分素数和合数。作为一个应用，所得结果可用于获得新的素性准则。我们得到了Mersenne数、Lucas数、Pell-Lucas数、Jacobsthal-Lucas数和Lucas序列的素性准则。关键词：母函数，母函数的合成，合成，素性判据。
2015-06-19 math.CO math.NT
$13$ unknowns over quadratic integer rings and Lucas congruences
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
该研究针对二次数域，证明了整数元组的3个未知元丢番图定义，得到13个未知元的递归可枚举整数关系表示，进而得出存在次数界D₀使得无法判定对应多项式方程在二次整数环上是否有解的结论。
2026-09-01 math.LO math.NT
Polynomial Identities for Generalized Fibonacci Sequences
St. Olaf College（圣奥拉夫学院）
该研究针对斐波那契、卢卡斯等序列的多项式恒等式，补充了广义斐波那契序列的相关恒等式，通过吉拉尔-沃林公式、比内公式结合线性代数两种方法完成序列分类，填补了数学文献中该类恒等式通用表述的空白。
2026-10-14 math.CO math.NT
