Power-saving error terms for the number of $D_4$-quartic extensions over a number field ordered by discriminant
研究了定数域上相对判别式范数有界的二面体四次扩张的渐近计数问题。这个计数的主项（包括常数的求和公式）可以在文献中找到（参见Cohen--Diaz y Diaz--Olivier的声明，没有证明，参见Klüners的证明），但是除了基场是$\mathbb{Q}$的情况外，还没有明确确定误差项的节能。在这篇文章中，我们描述的参数获得显式的主项和节能的错误项的数量$D_4$-四次扩展在一个一般的底数字段排序的范数，其相对的判别式。我们也给出了一个广泛的概述的历史和发展的数域渐近。
2022-09-27 math.NT
Arithmetic progression in a finite field with prescribed norms
本文研究了在有限域 $\mathbb{F}_{q^{n}}$ 中，由本原元构成且至少包含一个具有指定范数的正规元的算术级数的存在性，并证明了在特定参数下仅有10种可能例外。
2024-01-07 math.NT
Constructing abelian extensions with prescribed norms
给定一个数域$K$，一个有限阿贝尔群$G$和一个有限元素$α_1,\ldots,α_t\in K$，我们构造了一个具有伽罗瓦群$G$的交换扩张$L/K$，它将所有元素$α_1,\ldots,α_t$都实现为$L$中元素的范数.特别是，这表明存在任何给定的参数这样的扩展。我们的方法依赖于类域理论和最近制定的泰特的哈塞规范原则，局部全球的原则规范的特点。构造是足够明确的计算机上实现，我们用具体的例子来说明它们。
2021-04-12 math.NT
The Hasse norm principle for $A_4$-quartic extensions of global function fields
本文针对整体函数域𝔽_q(t)的A₄四次扩域，引入带装饰的Hurwitz空间参数化哈塞范数原理的失效，结合切博塔廖夫密度定理证明其失效通常极为罕见。
2026-09-03 math.AG math.NT
Irreducible polynomials with prescribed trace and restricted norm
设GF（q），q=p^r，是具有一个本原元g的有限域.本文利用指数和和Jacobi和计算了GF（q）上迹固定且范数限制在子群<g^s>的陪集上的m次不可约多项式的个数|（q-1）。当q=p时，我们显式地给出了s=2，3，4的数，并且对于s|（p^e+1），当r= 2 en时。最后，当迹和模都固定，p=2，m =< 30时，给出了该数的显式表达式.
2007-10-15 math.NT
Number fields with prescribed norms
该研究探讨固定阿贝尔伽罗瓦群G下、含指定范数元素集的数域k的扩张分布，证明了此类扩张存在，且按导子排序时k的G-扩张100%满足哈塞范数原理，还给出存在性结果的纯几何证法。
2022-04-26 math.NT
Exceptional Quartics are Ubiquitous
本文构造性地证明了例外四次数域的普遍存在性：既有无穷多个包含给定实二次域的例外四次域，也有无穷多个不含二次子域的例外四次域，并进一步推广到所有大于4的次数。
2023-10-28 math.NT
Primitive normal Values of rational functions with one prescribed norm and trace over finite fields
本文研究有限域扩展中本原正规对的存在性，证明带指定本原范数与非零迹的有理函数值存在的充分条件，并界定少数潜在例外域。
2024-05-08 math.NT
Existence of Primitive Normal Pairs with One Prescribed Trace over Finite Fields
给定$m, n, q\in \mathbb{N}$使得$q$是素数幂，且$m\geq 3$，$a\in \mathbb{F}_q$，我们建立了$\mathbb{F}_{q^m}$中存在本原对$(α, f(α))$使得$α$在$\mathbb{F}_q$和$\text{Tr}_{\mathbb{F}_{q^m}/\mathbb{F}_q}(α^{-1})=a$上正规的充分条件，其中$f(x)\in \mathbb{F}_{q^m}(x)$是度和$n$的有理函数.此外，当$n=2$和$q=5^k$用于某些$k\in \mathbb{N}$时，除了最多$20$选择之外，对于所有$(q, m)$肯定存在这样的对。
2021-01-20 math.NT
Existence of normal elements with prescribed norms
本文结合组合与数论方法，探讨了在中间扩张上范数被预先指定的正规元素的存在性，并完全解决了仅考虑单一中间扩张情形下的该问题。
2024-12-19 math.NT
On elements of prescribed norm in maximal orders of a quaternion algebra
本文证明了两个定理，说明四元数代数极大序的结构可由有限信息恢复：一是可由范数在特定无限集中的元素张成，二是可由其 theta 函数决定。
2023-07-31 math.NT
On Torsion Subgroups of Elliptic Curves over Quartic, Quintic and Sextic Number Fields
本文研究四次、五次和六次数域上椭圆曲线挠子群的实现问题，针对已知可无限次实现的群 G∈Φ∞(d)，给出在给定数域 K 上有限次或无限次实现的明确判据，并研究最小判别式数域及 Mordell-Weil 秩的上界。
2025-01-02 math.NT
Bertrand's and Rodriguez Villegas' Conjecture for real quartic Galois extensions of the rationals
Seoul National University（首尔大学）
本文研究有理数全实四次扩张单位外平方中元素的 1-范数下界问题，并在 Galois 扩张条件下将 Costa–Friedman 的 0.802 界改进为 1.134。
2025-10-21 math.NT
On the number of $N$-free elements with prescribed trace
本文导出了有限域$\mathbb{F}_q$上具有给定迹，特别是迹为零的无$N$元个数的高斯周期公式。因此，我们得出一个简单的显式公式的原始元素的数量，在四次扩展的梅森素数领域，具有绝对的迹零。在$Q = (q^m-1)/(q-1)$是素数的情况下，我们也给出了一个简单的公式.更一般地，对于正整数$N$，若其素因子整除$Q$且满足所谓的半本原条件，我们给出了具有任意迹的无$N$元素个数的显式公式.另外，我们证明了如果$q-1$的所有素因子整除$m$，则具有规定非零迹的$\mathbb{F}_{q^m}$中的本原元数是均匀分布的.最后，我们探讨了$\mathbb{F}_{q^m}$中具有乘法阶$N$且具有迹$c \in \mathbb{F}_q$的元素的相关数$P_{q, m, N}(c)$。令$N \mid q^m-1$使得$L_Q \mid N$，其中$L_Q$是$q^m-1$的最大因子，其具有与$Q$相同的根。我们证明了在$\mathbb{F}_{q^m}^*$中存在一个具有迹$0$的（大）阶$N$的元素当且仅当$m \neq 2$和$(q,m) \neq (4,3)$ .此外，我们还导出了$\mathbb{F}_{p^4}$中对应于大序$L_Q = 2(p+1)(p^2+1)$且具有绝对迹零的元素个数的显式公式，其中$p$是Mersenne素数.
2015-08-12 math.NT
$S_n$-extensions with prescribed norms
研究数域上 $S_n$-扩张中给定子群元素均为范数的密度，证明其为局部质量的乘积，并在奇素数及 $n=4$ 情形给出显式欧拉乘积公式。
2025-01-22 math.NT
Pythagoras number of quartic orders containing $\sqrt{2}$
本文证明了任何包含 $\sqrt{2}$ 的四次数域中相应序的毕达哥拉斯数至多为 5，从而证实了 Krásenský、Raška 和 Sgallová 的猜想，主要工具是 Beli 的范数生成元基理论。
2025-07-23 math.NT
The number of quartic $D_4$-fields ordered by conductor
我们考虑4度数域族，其在$\mathbb{Q}$上的正规闭包具有同构于$D_4$的伽罗瓦群，即正方形的对称性。对于任何这样的场$L$，可以将对应的2维不可约伽罗瓦表示的Artin导体与像$D_4$相关联。我们确定了这种按导体序的四次$D_4$ -场的渐近数，并计算了作为质量公式的首项，验证了Kedlaya和Wood的渐近性.此外，我们能够施加任何局部分裂条件在任何有限数量的素数（有时，在无限数量的素数），因此，我们也计算的渐近数的阶4元素的类组和窄类组的二次域有序的判别。传统上，有两种方法来计算四次域，使用算术不变理论结合几何的数字技术，并应用库默尔理论与L-函数方法。这两种策略都不符合$D_4$ -场的情况下，由导体排序，因为计数包含一个二次子域与大的判别式的四次字段是困难的。然而，当排序的导体，我们利用额外的代数结构所产生的外部自同构的$D_4$结合上述两种方法，以获得准确的渐近。
2017-04-06 math.NT
A primitive normal pair in a finite field with prescribed traces and norms
本文研究了有限域中具有指定迹和范数的本原正规对的存在性问题，构造了保证多项式生成的本原正规对存在的充分条件，并证明了特定参数下仅有4种可能例外。
2024-06-05 math.NT
Kloosterman sums, elliptic curves, and irreducible polynomials with prescribed trace and norm
设$\F_q$（$q=p^r$）是一个有限域.本文在某些特殊情况下计算了具有指定迹和模系数的$\F_q[x]$中$m$次数的不可约多项式的数量，并获得了该数量的一般界，如果$m$与$q$相比较小，则改进了Wan的界。作为推论，在$\F_q$上得到了具有给定迹和范数的$\F_{q^3}$中元素个数的精确界，改进了Katz在这种特殊情况下的估计.此外，给出了可被3整除的$\F_{2^r}$上的Kloosterman和的一个特征，推广了Charpin，Helleseth和Zinoviev仅在$r$为奇数时得到的结果.最后，给出了域$\F_{3^r}$上Kloosterman和的值分布的一个新的简单证明，该证明首先由Katz和Livne证明。
2007-11-21 math.CO math.NT
Betti bounds for spaces of curves on varieties and Manin's conjecture for quartic del Pezzo surfaces
University of Kansas（堪萨斯大学）；MIT（麻省理工学院）
该研究证明了射影簇上固定亏格曲线态射空间的紧支撑贝蒂数的一致指数界，并将其应用于建立分裂四次德尔佩佐曲面马宁猜想的高亏格函数域版本。
2026-09-25 math.AG math.NT
On the number of elements with prescribed norm and trace
本文研究有限域扩张中范数和迹均为给定值的元素个数，通过Artin-Schreier曲线上的有理点计数改进估计，并应用于环面Calabi-Yau簇及不可约多项式计数。
2023-08-29 math.AG math.NT
Varieties with prescribed finite unramified Brauer groups and subgroups precisely obstructing the Hasse principle
针对数域上簇的Hasse原理阻碍问题，证明对任意非零有限阿贝尔群对$B_0\subset B$，存在射影线上的范丛簇$X$，其非分歧Brauer群同构于$B$且$B_0$是$B$中阻碍Hasse原理的最小子群。
2025-07-07 math.AG math.NT
