具有受限差集的Sperner系统
Sperner systems with restricted differences
AI总结：
本文研究了q-模L差集Sperner系统，利用p-进分析和多项式方法获得新的上界，扩展并改进了现有结果，并首次在q-模设定中提出Snevily定理的类比。
摘要：
令F为[n]的子集族，L为[n]的子集。我们说F是L差集Sperner系统，当任何不同的A,B∈F时，|A\B|∈L。令p为素数，q为p的幂。Frankl首次研究了p-模L差集Sperner系统，并展示了上界形式为∑_{i=0}^{|L|}C(n,i)。在本文中，我们利用基本的p-进分析和多项式方法，获得q-模L差集Sperner系统的新的上界，显著扩展和改进了现有结果。此外，我们的技术可以用于推导具有受限汉明距离的超立方体子集的新上界。本文的一个亮点是首次在q-模设定中提出著名的Snevily定理的类比，从而得到若干新的q-模L避免L相交系统的上界。特别是，我们改进了Felszeghy、Hegedűs和Rónyai的结果，并回答了Babai、Frankl、Kutin和Štefankovič提出的问题的一个部分。
英文摘要：
Let $\mathcal{F}$ be a family of subsets of $[n]$ and $L$ be a subset of $[n]$. We say $\mathcal{F}$ is an $L$-differencing Sperner system if $|A\setminus B|\in L$ for any distinct $A,B\in\mathcal{F}$. Let $p$ be a prime and $q$ be a power of $p$. Frankl first studied $p$-modular $L$-differencing Sperner systems and showed an upper bound of the form $\sum_{i=0}^{|L|}\binom{n}{i}$. In this paper, we obtain new upper bounds on $q$-modular $L$-differencing Sperner systems using elementary $p$-adic analysis and polynomial method, extending and improving existing results substantially. Moreover, our techniques can be used to derive new upper bounds on subsets of the hypercube with restricted Hamming distances. One highlight of the paper is the first analogue of the celebrated Snevily's theorem in the $q$-modular setting, which results in several new upper bounds on $q$-modular $L$-avoiding $L$-intersecting systems. In particular, we improve a result of Felszeghy, Hegedűs, and Rónyai, and give a partial answer to a question posed by Babai, Frankl, Kutin, and Štefankovič.
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