Combinatorial Methods in Bootstrap Percolation Problems
本文使用纯组合方法研究超矩形图上的 bootstrap percolation 问题，解决了所有维度下的基础情形，并提出了剩余情形的开放问题。
2025-08-15 math.CO
Bootstrap percolation on a generalized Hamming cube
Institute for Systems Research and Department of ECE, University of Maryland（马里兰大学系统研究所和电子与计算机工程系）
研究了在具有顶点集V={0,1}^n且边连接汉明距离为1,2,…,k的图上的r-邻居bootstrap渗流过程，确定了r=2,3时渗流临界概率的渐进行为，并在确定性设定下获得了k≥2时最小渗流集大小的多个结果。
2026-03-25 math.CO
Bootstrap percolation on G(n,p) revisited
具有感染阈值$r\in \mathbb{N}$的图上的Bootstrap渗流是一个感染过程，它从一组最初被感染的顶点开始，在每一步中，至少有$r$被感染邻居的每个顶点都被感染。我们考虑了二项随机图$G(n,p)$上的自举渗流，Janson，Turova和Valier（2012）等研究了这一点。我们通过加强过程结束时感染顶点数量的概率界限来改进他们的结果。
2016-05-10 math.CO
Maximal Bootstrap Percolation Time on the Hypercube via Generalised Snake-in-the-Box
在$r$ -邻居引导渗流中，如果图$G$的$r$邻居已经被感染，则图$G$的顶点（站点）逐轮被感染。一旦被感染，他们就会被感染。如果每个网站最终都被感染，那么最初一组被感染的网站就会被渗透。我们确定的最大渗流时间$r$ -邻居引导渗流超立方体上的所有$r \geq 3$的尺寸$d$无穷大的对数因子。令人惊讶的是，它原来是$\frac{2^d}{d}$，这与$r=2$的值形成了很大的对比，后者在$d$中是二次的，正如Przykucki所建立的那样。此外，我们发现这个问题和一个普遍的著名的蛇在盒子里的问题之间的联系。
2018-06-07 math.CO
The Saturation Time of Graph Bootstrap Percolation
图$H$的$H$ -自举渗透过程是一个元胞自动机，其中，给定$K_n$的边的子集作为初始集合，如果边是通过该过程在时间$t-1$获得的图中的$H$的副本中唯一缺失的边，则在时间$t$添加边。讨论了$K_r$ -自举渗流时间的一个极值问题，即确定$n$ -顶点图在过程停止前的最大次数.我们确定$r=4$的精确值，并通过给出一个明确的结构找到$r \geq 5$的渐近下界。
2015-11-19 math.CO
Bootstrap Percolation, Connectivity, and Graph Distance
本文研究 Bootstrap Percolation 与图距离和连通性的关系，给出直径为 2 且 r=2 时存在基数为 2 的渗流集的充分条件，并建立渗流轮数关于图距离不变量的上下界。
2023-09-22 math.CO
Lower bounds for graph bootstrap percolation via properties of polynomials
本文介绍一种简单的方法，证明了图的自举过程中最小化集的大小的下界。我们应用这种方法来确定多维环面和多维网格（特别是超立方体）中的最小映射集的大小。前者回答了Morrison和Noel的一个问题，后者为他们的一个主要结果提供了一个可供选择的、更简单的证明。
2021-05-08 math.CO
The maximal running time of hypergraph bootstrap percolation
本文证明了完全 r-一致超图上 K^r_{r+1}-自助渗流的最大运行时间为 Θ(n^r)，正面回答了 Noel 和 Ranganathan 的问题并否定其猜想，同时给出 r 趋于无穷时前因子的渐近形式。
2024-03-07 math.CO
Jigsaw percolation on random hypergraphs
图上的拼图渗透过程是由Brummitt、Chatterjee、Dey和Sivakoff提出的，作为社交网络中难题的协作解决模型。这个过程中的渗流可以看作是两个图在一个公共顶点集上的联合连通性。我们的目标是将Bollobás、Riordan、Slivken和Smith关于这一过程的一个结果推广到连通性的各种可能定义的超图。特别是，我们确定的临界阈值概率渗流时，两个超图随机选择二项式的渐近顺序。
2017-08-21 math.CO math.PR
Minimal percolating sets in bootstrap percolation
在标准的自举渗流中，n × n网格的子集A最初被感染。如果一个新的站点至少有两个邻居被感染，那么它就会被感染，并且被感染的站点会永远被感染。如果最终整个网格都被感染，则集合A被称为渗透。如果一个集的子集都不渗透，则称它是极小集。通过讨论Bollobas的一个问题，我们证明了存在一个大小为4n^2/33 + o（n^2）的极小可解集，但不存在一个大于（n + 2）^2/6的可解集。
2008-10-14 math.CO
Percolating sets in bootstrap percolation on the Hamming graphs
对于任意整数$r\geqslant0$，图上的$r$ -邻居自举渗流是顶点的激活过程.该过程从一些初始激活的顶点开始，然后在每一轮中，具有至少$r$活动邻居的任何非活动顶点变为激活的。一组初始激活的顶点导致所有顶点的激活被称为一个激活集。用$m(G, r)$表示图$G$上的$r$ -近邻自举渗流过程的最小集.本文给出了$m(K_n^d, r)$的上下界，其中$K_n^d$是完全图$K_n$的$d$拷贝的笛卡尔积，完全图称为Hamming图.在其他结果中，我们表明，当$r$和$d$都以$r<n$和$d=o(\!\sqrt{r})$趋于无穷大时，$m(K_n^d, r)=\frac{1+o(1)}{(d+1)!}r^d$。
2019-05-06 math.CO
Bootstrap Percolation and Partial Difference Equations
研究 Z^d 上由固定模式集合 A 驱动的 bootstrap 渗流过程，通过模式凸包的混合体积给出二维两模式的最小渗流种子大小，并导出二维两偏差分方程的一致性判据。
2026-06-16 math.CO
Bootstrap percolation on the Hamming graphs
本文研究汉明图上的r-边bootstrap渗流，显式求出其最小渗流集大小，并借此推导r-邻域bootstrap渗流的最小渗流集渐近表达式，推广了超立方体上的已有结果。
2024-03-09 math.CO
Noise sensitivity in bootstrap percolation
本文讨论了Itai Benjamini的问题，证明了在d-维盒[n]^d上的2-近邻自举渗流中，对于\geq 2，在其临界初始密度p_c（n），完全占据事件是噪声敏感的，而在d-正则随机图G_{n,d}上的k-近邻自举渗流中，对于2 \leq k \leq d-2，完全占据事件是不敏感的.许多悬而未决的问题仍然存在。
2015-09-28 math.CO math.PR
Minimum Weakly Saturated Graphs and Bootstrap Percolation in General Host Graphs
Wesleyan College（卫斯理学院）；Auburn University（奥本大学）
本文研究最小弱饱和图类及其与H-自举渗流的关联，探讨一般宿主图下的弱饱和问题，明确了弱饱和数与最小弱饱和图的定义。
2026-09-03 math.CO
Extremal Bounds for Bootstrap Percolation in the Hypercube
图$G$上的$r$ -邻居引导渗透过程从“感染”顶点的初始集合$A_0$开始，并且在该过程的每个步骤中，如果健康顶点具有至少$r$感染的邻居，则健康顶点被感染（一旦顶点被感染，则它永远保持感染）。如果$G$的每个顶点最终都被感染了，那么我们说$A_0$感染了。本文证明了Balogh和Bollobás的一个猜想，即对于固定的$r$和$d\to\infty$，$d$维超立方体中的每一个增广集的基数至少为$\frac{1+o(1)}{r}\binom{d}{r-1}$ .我们还证明了一个类似的结果，多维矩形网格。我们的证明利用了自举渗流和相关过程之间的联系，称为弱饱和。此外，我们改进了超立方体中最著名的最小化集尺寸的上界。特别地，当$r=3$时，我们证明了$d$维超立方体中的一个分解集的最小基数对所有$d\geq3$都是$\left\lceil\frac{d(d+3)}{6}\right\rceil+1$.
2017-11-02 math.CO
The time of bootstrap percolation in two dimensions
本文研究了初始集为$A\sim\mathrm{Bin}([n]^2,p)$的$[n]^2$上两邻自举渗流的渗流时间$T$的分布。我们确定$T$与高概率高达一个恒定的因素，所有$p$以上的临界概率渗流，并在一个$1+o(1)$因素的大范围的$p$。
2015-08-17 math.CO math.PR
Using polynomials to find lower bounds for $r$-bond bootstrap percolation
本研究针对图上的$r$-键自助渗流问题，采用Hambardzumyan等人提出的代数方法，推导得出若干大类图中渗流集合最小规模的递推公式，拓展和推广了已有相关研究成果。
2024-10-31 math.CO
Lower bounds for bootstrap percolation on Galton-Watson trees
Bootstrap percolation是一种细胞自动机，在图上模拟“感染”的传播。本文证明了Galton-Watson树上$r$ -近邻自举逾渗的临界概率的一族下界.利用这个结果，我们证实了Bollobás，Gunderson，Holmgren，Janson和Przykucki的一个猜想。我们还表明，这些界限是最好的可能性，以积极的常数不依赖于后代分布。
2014-02-18 math.CO math.PR
A Sharp Threshold for Bootstrap Percolation in a Random Hypergraph
给定一个超图$\mathcal{H}$，$\mathcal{H}$引导过程从$\mathcal{H}$的初始感染顶点集开始，并且在每一步中，如果存在$\mathcal{H}$的超边，其中$v$是唯一的健康顶点，则健康顶点$v$被感染。如果$\mathcal{H}$的每个顶点最终都被感染，则我们说最初被感染的顶点的集合被感染。当$\mathcal{H}$是一个从满足一定温和度和余度条件的近似$d$ -正则$r$ -一致超图中随机抽取超边得到的超图时，我们证明了这个过程具有一个尖锐的阈值，这证实了Morris的一个猜想.作为推论，我们得到了一个尖锐的阈值严格$2$ -平衡图的图引导过程的一个变种，推广Korándi，Peled和Sudakov的结果。我们的方法涉及应用的微分方程方法。
2020-10-07 math.CO math.PR
$K_{r,s}$ graph bootstrap percolation
一个图$G$在$K_{r,s}$ -bootstrap过程中是可解的，如果我们可以按某种顺序添加$G$的所有缺失边，使得每条边创建$K_{r,s}$的新副本，其中$K_{r,s}$是完全二部图。研究了Erdens-Rényi随机图上的$K_{r,s}$ -自助渗流问题，确定了平衡$K_{r,s}$的渗流阈值为对数因子.这部分回答了Balogh、Bollobás和Morris提出的问题。我们还建立了一个一般的下界的渗流阈值为所有$K_{r,s}$，与$r\geq s \geq 3$。
2022-02-19 math.CO math.PR
Bootstrap Percolation on Degenerate Graphs
在本文中，我们专注于$r$ -邻居引导渗透，这是一个过程中的一个图，最初一组$A_0$的顶点被感染。随后，如果未感染的顶点至少与$r$感染的顶点相邻，则该未感染的顶点将被感染。调用$A_f$进程停止后被感染的顶点集。更正式地设置$A_t:=A_{t-1}\cup \{v\in V: |N(v)\cap A_{t-1}|\geq r\}$，其中$N(v)$是$v$的邻域。然后是$A_f=\bigcup_{t>0} A_t$。我们只处理有限图，用$n$表示顶点数。我们主要对最终集合$A_f$的大小感兴趣。我们提出了一个退化图的边界的最终感染集的大小定理。更精确地说，对于$d$ -退化图，如果$r>d$，我们通过$(1+\tfrac{d}{r-d})|A_0|$从上面绑定大小集$A_f$。
2016-05-23 math.CO
The time of bootstrap percolation with dense initial sets for all thresholds
本文研究了离散环面$(\Z/n\Z)^d$上$r$ -近邻自举渗流模型的渗流时间.对于$t$至多是$n$的一个多对数函数，且初始感染概率在一定范围内依赖于$t$，我们证明了当$n$趋于无穷大时，环面的一个随机子集的渗流时间以高概率恰好等于$t$.我们的证明关键在于三个新的极值定理，共同建立一个几乎完整的理解的几何行为的$r$邻居引导过程中的密集设置。我们结果的特例$d-r=0$最近被Bollobás，Holmgren，Smith和Uzzell证明.
2013-08-14 math.CO math.PR
Minimum degree conditions for small percolating sets in bootstrap percolation
$r$ -邻居引导过程是顶点状态的更新规则，其中具有至少$r$“感染”邻居的“未感染”顶点被感染，并且如果最终所有顶点都被感染，则初始感染顶点的集合被称为\emph{percolate}。对于每一个$r \geq 3$，给出了一个充分大图的最小度的尖锐条件，该条件保证了存在一个大小为$r$的扩张集.在$r=3$的情况下，对于足够大的$n$，$n$顶点上的任何具有最小度$\lfloor n/2 \rfloor +1$的图都有一个大小为$3$的扩展集，并且对于足够大的$r \geq 4$和$n$（根据$r$），$n$顶点上的每个具有最小度$\lfloor n/2 \rfloor + (r-3)$的图都有一个大小为$r$的扩展集。给出了一类例子来说明这些结果的清晰性。
2017-03-31 math.CO
The maximum length of $K_r$-Bootstrap Percolation
图引导渗流，也称为弱饱和，是由Bollobás在1968年提出的。在这个过程中，我们从初始的“感染”边集$E_0$开始，并根据预定的规则感染新的边。给定一个图$H$和一组先前感染的边$E_t\subseteq E(K_n)$，如果未感染的边$e$在$G=([n],E_t\cup e)$中完成了一个新的$H$拷贝，则它将被感染。Bollobás提出的一个问题是，进程在稳定之前可以运行的最长时间。Bollobás，Przykucki，Riordan和Sahasrabudhe认为这个问题的最自然的情况下，$H=K_r$。他们回答了$r\leq 4$的问题，并给出了每个$r\geq 5$的非平凡下界。他们还证明，对于每个整数$r$，最大运行时间是$o(n^2)$。本文对每个$r\geq 6$证明了他们的猜想，并给出了$r=5$的一个更好的下界，证明中使用了Behrend构造.
2019-07-10 math.CO
On the maximum running time in graph bootstrap percolation
图引导渗流（Graph Bootstrap Percolation）是一种简单的细胞自动机，由Bollobás在1968年提出。给定一个图$H$和一个集合$G \subseteq E(K_n)$，我们首先“感染”$G$中的所有边，然后在连续的步骤中，我们感染完成$K_n$中$H$的新感染副本的每个$e \in K_n$。如果最终$K_n$中的每一条边都被感染，我们就说$G$感染了。关于$H = K_r$的最小可解集的大小的极值问题，Alon，Kalai和Frankl独立地回答了.在这里，我们考虑Bollobás最近提出的一个不同的问题：过程在稳定之前可以运行的最长时间是多少？很容易观察到，对于$r=3$，该最大值为$\lceil \log_2 (n-1) \rceil $。然而，一个新的现象发生$r=4$时，我们表明，该过程的最大时间是$n-3$。对于$r \geq 5$的行为的动态是更加复杂的，我们证明，$K_r$ -引导过程可以运行至少$n^{2-\varepsilon_r}$的时间步长为一些$\varepsilon_r$，往往$0$为$r \to \infty$。
2015-10-24 math.CO
Bootstrap percolation in random $k$-uniform hypergraphs
我们研究了在$n^{-1}\ll n^{k-2}p \ll n^{-1/r}$范围内的二项$k$ -均匀随机超图$H_k(n,p)$上，当从给定大小的所有集合中均匀随机地选择初始感染点集时，具有感染阈值$r> 1$的自举渗流问题.我们建立了一个阈值，如果有较少的顶点在初始的一组感染的顶点，那么只有少数额外的顶点被感染，而如果初始的一组感染的顶点超过阈值，那么几乎所有的顶点被感染。此外，对于$k=2$，我们表明，失败的概率呈指数下降。
2017-04-24 math.CO math.PR
The time of bootstrap percolation for dense initial sets
在图G的顶点集上的r-邻居自举渗流中，顶点最初以一定的概率p独立地被感染。在每个时间步，感染集通过感染至少有r个感染邻居的所有未感染顶点而扩展。我们研究了所有顶点被感染的时间t的分布。给定t = t（n）= o（log n/log log n），我们证明了d维离散环面T_n^d上d-近邻自举渗流在时间t之前发生的概率的一个尖锐的阈值结果.此外，我们表明，对于某些范围的p = p（n），时间，发生渗流集中在一个单一的值或两个连续的值。我们还证明了相应的结果修改后的d-邻居规则。
2012-10-31 math.CO math.PR
$\boldsymbol{2}$-Neighbor Bootstrap Percolation on Odd Graphs
School of Mathematics（数学学院）；Institute for Research in Fundamental Sciences (IPM)（基础科学研究院）
研究奇数图上$2$-邻居引导渗透的最小渗透集大小，给出上下界并证实一个猜想。
2026-10-20 math.CO
Bootstrap Percolation, Indecomposable Permutations, and the n-Kings problem
该研究分析n×n排列矩阵上的bootstrap渗流过程，揭示其与不可分解排列的关联，给出满排列数对应大Schroeder数的新证明，并推导出无增长排列数的新公式，为n-kings问题提供新解法。
2025-08-04 math.CO
Percolation on hypergraphs and the hard-core model
本文通过凸松弛优化方法证明了两类最大度受限的k-均匀超图的点渗流阈值紧界，并结合分歧渗流改进硬核模型的唯一性阈值，进而为高效近似计数与采样算法提出新的计算阈值猜想。
2023-09-21 cs.DS math.CO math.PR
Subcritical bootstrap percolation via Toom contours
在本说明中，我们提供了一个替代证据，证明亚临界自举渗透模型在任何维度上都具有正临界概率。证明依赖于最近扩展的经典框架的托姆。这种方法不仅比原来的多尺度重正化证明的结果在两个和更多的维度更简单，但也给出了显着更好的界限。作为一个副产品，我们提高了最知名的Toom的东北中心多数规则元胞自动机的稳定阈值的界限。
2022-10-07 math.CO math.PR
Bootstrap percolation and $P_3$-hull number in direct products of graphs
本文研究图的直积中的Bootstrap渗透，在最小度条件下给出上界，刻画最小度为2的连通图使渗透数等于顶点数一半的条件，并确定路径图直积的精确渗透数。
2026-10-27 math.CO
The Time of Bootstrap Percolation in High Dimensions
该研究针对d维环面上的d邻域bootstrap渗流过程，在初始感染概率特定范围、阈值为d的条件下，以高概率确定了渗流时间的常数因子阶结果，拓展了已有二维阈值为2的相关定理。
2025-05-16 math.CO math.PR
On polluted bootstrap percolation in Cartesian grids
本文研究笛卡尔网格中的污染引导渗流，针对给定污染顶点数，建立了最小2-邻居渗流数的闭式公式，并给出另一极端情况的下界。
2025-06-23 math.CO math.PR
Dynamic Monopolies in Reversible Bootstrap Percolation
研究了（可逆）$r-$自举逾渗过程的一个极值问题。给定一个图和一个初始配置，其中每个顶点都是活动的或不活动的，在$r-$引导渗透过程中，以下规则在离散时间轮中应用：每个顶点如果至少有$r$活动邻居，则成为活动的，并且活动顶点永远保持活动。在可逆的$r$ -自举渗流中，如果每个顶点至少有$r$活动邻居，则每个顶点变为活动的，否则变为不活动的。我们考虑以下问题的$d$维环面：有多少顶点应该是最初活跃的，使整个图成为活跃的？我们的结果解决了Balister，Bollobás，Johnson和Walters的一个公开问题，并推广了Flocchini，Lodi，Luccio，Pagli和Santoro的结果。
2018-05-05 cs.DM cs.DS math.CO
Explosive appearance of cores and bootstrap percolation on lattices
Universite Claude Bernard Lyon 1, CNRS, Centrale Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet（里昂第一大学、法国国家科学研究中心、中央里昂学院、里昂国立应用科学学院、让·莫内大学）
研究了二维格子上自激发渗透现象中核心大小的突然跃变及多种感染规则下的击中时间结果。
2026-01-22 math.CO math.PR
On connectivity, conductance and bootstrap percolation for a random k-out, age-biased graph
一个均匀附着图（带参数$k$），记作$G_{n,k}$，是顶点集$[n]$上的一个随机图，其中每个顶点$v$从$[v-1]$中均匀独立地进行$k$选择，这些选择决定了边集.我们研究这个图的几个方面。我们的动机来自两个类似的构造，研究的随机图：$k$ -出图和优先连接图。本文找到了$G_{n,k}$的最小度和连通度的渐近分布，并研究了$G_{n,k}$的展开性质，证明了$G_{n,k}$的电导是$(\log n)^{-1}$阶的.我们还研究了自举渗流$G_{n,k}$，其中，每个顶点要么最初感染的概率$p$，独立于其他，或被感染后，由于有$r$感染的邻居在某些时候。我们表明，$2\le r\le k-1$，如果$p\ll (\log n)^{-r/(r-1)}$，那么，概率接近1，该过程结束之前，所有的顶点被感染。另一方面，如果是$p\ge ω(\log n)^{-r/(r-1)}$，其中$ω$是一个非常缓慢增长的函数，那么所有顶点都以接近1的概率被感染。
2018-11-14 math.CO
$3$-Neighbor bootstrap percolation on grids
本文研究固定宽度网格的3-邻居引导渗透数，给出路径笛卡尔积$P_3 \square P_m$、$P_5 \square P_m$和$P_4 \square P_m$的精确或近似结果。
2023-07-26 math.CO
Slow graph bootstrap percolation III: Chain constructions
本文针对图引导渗透的极值函数，提出链式构造框架，为多种图类给出下界并联系加法组合学，同时上界关联极值图论问题。
2025-08-05 math.CO
On the Running Time of Hypergraph Bootstrap Percolation
本文研究了 $r\geq3$ 且 $F$ 为完全 $r$-一致超图时的 $F$-bootstrap 渗流过程最大运行时间，证明了当 $k\geq r+2$ 时为 $Θ(n^r)$，当 $k=r+1$ 时为 $Ω(n^{r-1})$，并对后者给出了最优性猜想。
2023-06-25 math.CO
The time of graph bootstrap percolation
图自举逾渗（Graph Bootstrap Percolation），由Bollobás于1968年提出，是一种元胞自动机，定义如下。给定一个“小”图$H$和一个“大”图$G = G_0 \subseteq K_n$，在连续的步骤中，我们通过向$G_t$添加所有新的边$e$来从$G_t$获得$G_{t+1}$，使得$G_t \cup e$包含$H$的新副本。我们说$G$表示如果对于某个$t \geq 0$，我们有$G_t = K_n$。对于$H = K_r$，关于最小可分解图的大小的问题在20世纪80年代由Alon，Frankl和Kalai独立回答。最近，Balogh，Bollobás和Morris考虑了$G = G(n,p)$的图自举渗流，并研究了图以高概率渗流的临界概率$p_c(n,K_r)$.在本文中，使用相同的设置，我们确定，对数因子，临界概率渗流时间$t$所有$1 \leq t \leq C \log\log n$。
2016-02-25 math.CO math.PR
Bootstrap percolation in strong products of graphs
本文研究图的强积的r-渗流数，证明了不同条件下渗流数的取值范围与二分性结论，刻画了满足特定渗流数等式的强棱柱，并将部分结果推广至无限图。
2024-09-12 math.CO
Improved bounds on metastability thresholds and probabilities for generalized bootstrap percolation
推广和改进了Andrews，Gravner，Holroyd，Liggett和Romik关于广义二维自举渗流模型亚稳阈值的结果，并回答了他们的几个公开问题和解答.具体来说，我们证明了缓慢的收敛和本地化的界限Holroyd，Liggett和Romik的k-渗流模型，并在这个过程中提供了一个统一的和改进的处理现有的结果引导，修改后的引导，和Frobose渗流。此外，我们证明了改进的渐近界的生成函数的分区没有k-间隙，这也涉及到某些相关的无限概率过程，这些渗流模型。我们的一个关键技术概率结果也是独立的利益。我们证明了新的上界和下界的概率，一个序列的独立事件的单调增加的概率包含没有“k-间隙”模式，内插的一般马尔可夫链的解决方案中出现的情况下，所有的概率是相等的。
2010-02-26 math.CO math.NT math.PR
Ore and Chvátal-type Degree Conditions for Bootstrap Percolation from Small Sets
Bootstrap渗透是一种确定性元胞自动机，其中图~ $G$的顶点以两种状态（“休眠”或“活动”）之一开始。给定固定整数$r$，如果在任何阶段休眠顶点至少具有$r$活动邻居，则休眠顶点变为活动的，并且休眠顶点在该过程的持续时间内保持活动。给定一个初始的活动顶点集$A$，如果$G$中的每个顶点在经过一定的步骤后都变成活动的，我们就说$G$ $r$ -transmates（从$A$）。令$m(G,r)$表示集合$A$的最小大小，使得$G$ $r$ -从$A$中删除。Bootstrap渗流已经在许多环境中进行了研究，并应用于统计物理和离散流行病学。这里，我们关注的是确保$m(G,2)=2$的基于度的密度条件。特别是，我们给出了一个Ore型度和的结果，即如果一个图$G$满足$σ_2(G)\ge n-2$，那么无论是$m(G,2)=2$或$G$是在一个少数类的例外图。我们还给出了一个Chvátal型度条件：如果$G$是一个图，其度序列$d_1\le d_2\le\dots\le d_n$使得对所有$1 \leq i < \frac{n}{2}$都有$d_i \geq i+1$或$d_{n-i} \geq n-i-1$，则$m(G,2)=2$或$G$属于几个特殊的图类之一.这两个结果都是受[D. Freund，M. Poloczek和D. Reichman，Contagious sets i…
2019-10-19 math.CO
Bootstrap percolation in Ore-type graphs
$r$ -neighbor bootstrap过程描述了一个图上的感染过程，其中我们从一组初始感染的顶点开始，未感染的顶点一旦有$r$感染的邻居就被感染。如果在引导过程结束时，所有顶点都被感染，则感染顶点的初始集合被称为感染。我们给出Ore型条件，保证存在一个大小为$l\leq 2r-2$的小扩张集，如果我们的图的顶点数$n$足够大：如果$l\geq r$和满足$2r \geq l+2 \lfloor \sqrt{2(l-r)+0.25}+2.5 \rfloor-1$，则对于其中任意两个非相邻顶点$x$和$y$满足$deg(x)+deg(y) \geq n+4r-2l-2\lfloor\sqrt{2(l-r)+0.25}+2.5 \rfloor-1$，并且如果$l$大于$l\leq 2r-2$，则存在一个大小为$l$，如果是$deg(x)+deg(y) \geq n+2r-l-2$。我们的结果推广了Gunderson的工作，Gunderson证明了具有最小度$\lfloor n/2 \rfloor+r-3$的图有一个大小为$r \geq 4$的扩张集。我们还给出了任意大的$l$在最小度设置的界限。
2019-09-10 math.CO
Three-Neighbour Bootstrap Percolation in Thin Three-Dimensional Grids
Pacific School of Innovation and Inquiry（太平洋创新与探究学院）；Department of Mathematics and Statistics, University of Victoria（维多利亚大学数学与统计系）
本文研究了 $a \times b \times c$ 网格中 $3$-邻居过程下的最小渗流集问题，通过新构造证明了当 $\min(a,b,c) \ge 7$ 时最优渗流集存在，并在 $\min(a,b,c) \ge 4$ 时达到了 $(ab+ac+bc)/3$ 的下界。
2026-10-12 math.CO
3-Neighbor bootstrap percolation on two-dimensional grids
Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
该研究确定了矩形网格$P_m\square P_n$上3邻域自举渗流的最小渗流集大小，扩展了前人工作，还针对环面网格$C_m\square C_n$得到了相差不超过1的上下界及部分情形的精确解。
2026-08-07 math.CO math.PR
Bootstrap percolation and the geometry of complex networks
关于复杂网络的几何模型（由Krioukov等人介绍）我们研究了自举逾渗过程。该模型由双曲平面上具有$N$顶点的随机几何图组成，是Chung-Lu模型的依赖版本。该过程从感染率$p=p(N)$开始。至少有$\mathbf{r}\geq 1$感染邻居的每个未感染顶点都将被感染，并永远保持感染状态。我们确定一个函数$p_c(N)=o(1)$，使得a.a.s.\当$p\gg p_c(N)$时，感染扩散到正比例的顶点，而当$p\ll p_c(N)$时，过程不能发展。此外，这种行为在随机删除边缘的情况下是“鲁棒的”。
2015-08-22 math.CO math.PR
Higher order corrections for anisotropic bootstrap percolation
研究了具有$(1,2)$ -邻域和阈值$r = 3$的二维各向异性自举渗流模型的亚稳相变的临界几率.第一和第二作者最近确定了临界概率的一阶渐近性。在这里，我们确定了以下尖锐的二阶和三阶渐近：\[ p_c\big( [L]^2,\mathcal{N}_{(1,2)},3 \big) \; = \; \frac{(\log \log L)^2}{12\log L} \, - \, \frac{\log \log L \, \log \log \log L}{ 3\log L} + \frac{\left(\log \frac{9}{2} + 1 \pm o(1) \right)\log \log L}{6\log L}. \]我们注意到，二阶和三阶项是如此之大，以至于一阶渐近无法近似$p_c$，即使对于尺寸远远超过$10^{10^{1000}}$的晶格。
2017-10-09 math.CO math.PR
Graph bootstrap percolation
图自举逾渗（Graph Bootstrap Percolation）是一种确定性的细胞自动机，由Bollobás在1968年提出，定义如下。给定一个图$H$和一组最初“感染”的边$G \subset E(K_n)$，如果在$K_n$中有一个$H$的拷贝，使得$e$是$H$的唯一未感染的边，则在每个时间步，我们感染一个新的边$e$。如果最终$K_n$的每个边缘都被感染，我们说$G$在$H$ -bootstrap过程中被感染。当$H$是完全图$K_r$时，这个模型的极值问题已经由Alon，Kalai和Frankl在大约30年前（独立地）解决了。本文研究了随机问题，确定了$K_r$ -过程的临界概率$p_c(n,K_r)$达到一个多对数因子.在$r = 4$的情况下，我们证明了一个更强的结果，并确定了$p_c(n,K_4)$的阈值。
2012-11-25 math.CO math.PR
A sharp threshold for a modified bootstrap percolation with recovery
自举逾渗（Bootstrap percolation）是一种图上的元胞自动机，作为一种简单的铁磁性动力学模型引入。图中的顶点可以处于两种状态之一：“健康”或“感染”，并且从状态的初始配置开始，健康顶点被局部规则感染。虽然通常的引导过程是单调的感染顶点的集合，在本文中，修改检查中，感染的顶点可以返回到一个健康的状态。顶点最初是随机独立感染的，中心问题是是否所有顶点最终都被感染。这里所研究的模型是一个正方形网格上的过程，其中至少有两个被感染的邻居的健康顶点被感染，而没有被感染的邻居的被感染顶点变得健康。尖锐的阈值给出了所有顶点最终被感染的初始感染的临界概率。
2015-05-29 math.CO math.PR
Large deviations for subcritical bootstrap percolation on the random graph
针对Erdős-Rényi随机图上的亚临界bootstrap渗流，本文计算了小规模初始感染集感染异常多顶点事件的速率函数，确定了对应大偏差的最小代价轨迹。
2021-01-05 math.CO math.PR
A sharper threshold for bootstrap percolation in two dimensions
二维自举渗流是一种细胞自动机，其中站点通过与两个或更多个已感染的最近邻居接触而被“感染”。我们考虑这些动态，这可以被解释为一个单调版本的伊辛模型，在一个n × n的正方形，与网站最初感染独立的概率p。临界概率p_c是最小的p，其中的概率，整个广场最终被感染超过1/2。Holroyd确定了一阶近似：p_c \sim π^2/（18 log n）为n \to \infty。在这里，我们锐化了这个结果，证明了展开式中的第二项是-（log n）^{-3/2+ o（1）}，并且进一步确定了它的poly（log log n）-因子。指数-3/2修正了物理学文献中的数值预测。
2010-12-24 math.CO math.PR
