arXiv 2209.008832022-09-02math.APmath.DG

欧氏空间中常负 $Q$-曲率的奇异度量

Singular metrics of constant negative $Q$-curvature in Euclidean spaces

Tobias König, Yamin Wang

备注：: 26 pages, comments welcome
发表信息：: Nonlinear Analysis, Vol. 232, July 2023, 113253

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AI总结：

本文分类了欧氏空间中常负 $Q$-曲率方程在原点处奇异解的行为，证明 $n=1,2$ 时无奇异解，并用变分方法证明 $n\geq 3$ 时对任意 $\Lambda>0$ 存在具有指定渐近行为的解。

摘要：

我们研究欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中对于每个 $n \geq 1$ 的常负 $Q$-曲率奇异度量。确切地说，我们考虑在有限体积条件 $\Lambda:=\int_{\mathbb{R}^n}e^{nu}dx$ 下，问题 \\[ (-\Delta)^{n/2}u=-e^{nu}\quad \text{在}\quad\mathbb{R}^{n}\backslash \{0\} \\] 的解。我们根据所有奇异解在无穷远处和零点处的行为对其进行分类。由此得到一个推论：当 $n=1,2$ 时，实际上不存在奇异解。然后，通过采用变分技巧，我们得到：对于任意 $n\geq 3$ 和 $\Lambda>0$，该方程存在具有指定渐近行为的解。这些解对应于常负 $Q$-曲率的度量，它们要么是光滑的，要么在原点处具有对数型或多项式型的奇异性。本文补充了先前关于正 $Q$-曲率情形的工作，并且改进了先前在非奇异负 $Q$-曲率情形中的结果。

英文摘要：

We study singular metrics of constant negative $Q$-curvature in the Euclidean space $\mathbb{R}^n$ for every $n \geq 1$. Precisely, we consider solutions to the problem \[ (-Δ)^{n/2}u=-e^{nu}\quad \text{on}\quad\mathbb{R}^{n}\backslash \{0\}, \] under a finite volume condition $Λ:=\int_{\mathbb{R}^n}e^{nu}dx$. We classify all singular solutions of the above equation based on their behavior at infinity and zero. As a consequence of this, when $n=1,2$, we show that there is actually no singular solution. Then adapting a variational technique, we obtain that for any $n\geq 3$ and $Λ>0$, the equation admits solutions with prescribed asymptotic behavior. These solutions correspond to metrics of constant negative $Q$-curvature, which are either smooth or have a singularity at the origin of logarithmic or polynomial type. The present paper complements previous works on the case of positive $Q$-curvature, and also sharpens previous results in the nonsingular negative $Q$-curvature case.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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