An explicit solution for a multimarginal mass transportation problem
本文针对单位立方体上成本函数为$xyz$且具有一维均匀投影的多边际运输问题构造了显式解，发现原始问题存在多解且集中在非常数局部维度集合上，而对偶问题解唯一。
2020-02-22 math.OC
A Unified Kantorovich Duality for Multimarginal Optimal Transport
Université de Technologie de Compiègne（法国技术大学）；LMAC (Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne)（孔皮涅应用数学实验室）
本文提出了多边际最优运输问题的统一Kantorovich对偶理论，通过凸分析和截断-紧致性程序，在一般波兰空间上建立了对偶性并证明了对偶值的保持性，扩展了经典双边际共轭原理。
2026-10-02 math.OC stat.ML
The Multimarginal Optimal Transport Formulation of Adversarial Multiclass Classification
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Purdue University（普渡大学）
本文研究对抗性多类分类问题，通过将其等价转化为广义重心问题与多边际最优传输问题，揭示了对抗学习的几何结构，并证明求解这些对偶问题可恢复最优鲁棒分类规则与对抗策略。
2023-05-26 cs.LG math.AP math.OC
On the Complexity of Approximating Multimarginal Optimal Transport
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of Texas, Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；ENSAE（法国国立统计与经济管理学院）；Google Brain（谷歌大脑）
我们研究的复杂性近似的多边缘最优运输（MOT）距离，一个推广的经典的最优运输距离，在这里考虑$m$离散概率分布支持每个$n$支持点。首先，我们表明，标准的线性规划（LP）表示的MOT问题是不是一个最小成本流问题时$m \geq 3$。这个否定的结果意味着一些组合算法，例如，网络单纯形法，不适合近似的MOT问题，而最坏情况下的复杂性界的确定性的邻居点算法仍然是一个数量的$\tilde{O}(n^{3m})$。然后，我们提出了两个简单的和\textit{deterministic}算法近似MOT问题。第一个算法，我们称之为\textit{multimarginal Sinkhorn}算法，是一个可证明有效的多边缘推广的Sinkhorn算法。我们表明，它实现了$\tilde{O}(m^3n^m\varepsilon^{-2})$的公差$\varepsilon \in (0, 1)$的复杂性界。这为近似MOT问题提供了第一个\textit{near-linear time}复杂度界限保证，并且当$m = 2$时，与经典OT设置中Sinkhorn算法的最佳已知复杂度界限相匹配。第二种算法，我们称之为\textit{accelerated multimarginal Sinkhorn}算法，通过引入估计序列来实现加速，并且复杂度界为$\tilde{O}(m^3n^{m+1/3}\varepsi…
2022-02-22 cs.DS cs.LG math.OC
Polynomial-time algorithms for Multimarginal Optimal Transport problems with structure
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
多边际最优输运（MOT）由于在机器学习、统计学和科学中的应用而引起了极大的兴趣。然而，在大多数应用中，MOT的成功受到缺乏有效算法的严重限制。事实上，MOT一般需要边缘数k和它们的支持大小n的指数时间。本文发展了一个关于什么样的"结构"使MOT在poly（n，k）时间内可解的一般理论。我们开发了一个统一的算法框架，用于解决MOT在poly（n，k）的时间特征的“结构”，不同的算法需要在简单的变种的双重可行性预言。这个框架有几个好处。首先，它使我们能够表明，Sinkhorn算法，这是目前最流行的MOT算法，需要严格更多的结构比其他算法在poly（n，k）时间解决MOT。其次，我们的框架使得它更简单地开发一个给定的MOT问题的聚（n，k）时间算法。特别是，它是必要的和足够的（近似）解决双可行性预言-这是更适合于标准的算法技术。我们说明了这种易用性，通过开发poly（n，k）时间算法的三个一般类的MOT费用结构：（1）图形结构;（2）集优化结构;（3）低秩加稀疏结构。对于结构（1），我们恢复了已知的结果，Sinkhorn有poly（n，k）的运行时间;此外，我们提供了第一个poly（n，k）时间算法计算的解决方案，是精确的和稀疏的。对于结构（2）-（3），我们给出了第一个Poly（n，k）时间算法，即使是近似计算。这三种结构一起包含了MOT的许多（如果不是大多数的话）当前应用。
2022-07-16 cs.DS cs.LG cs.NA
Hardness results for Multimarginal Optimal Transport problems
Laboratory for Information and Decision Systems (LIDS), Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院信息与决策系统实验室）
多边际最优输运（MOT）是边际固定的联合概率分布上的线性规划问题。在许多应用中的一个关键问题是求解MOT的复杂性：线性规划在边缘数k和它们的支持数n方面具有指数大小。最近的一系列工作表明，MOT是聚（n，k）时间可解的某些家庭的成本，有聚（n，k）大小的隐式表示。然而，目前还不清楚这一系列算法研究的成本还包括哪些。为了理解这些基本的局限性，本文开始研究MOT的棘手的结果。我们的主要技术贡献是开发了一个工具包，证明NP-硬度和不可逼近的结果MOT问题。我们证明了这个工具包，使用它来建立一些MOT的问题，在文献中研究，抵制以前的算法努力的棘手性。例如，我们提供的证据表明，排斥成本使MOT棘手的几个这样的问题的利益是NP-难以解决的-甚至近似。
2020-12-10 cs.CC cs.DS cs.LG
Faster Algorithms for Multimarginal Optimal Transport
Global Technology Applied Research, JPMorganChase（摩根大通全球科技应用研究）；Quantitative Trading & Research, JPMorganChase（摩根大通量化交易与研究）
本文针对多边际最优运输问题，提出复杂度更优的经典算法及两种量子加速算法，同时给出对应的查询下界，提升了多边际最优运输算法的性能与理论界。
2026-10-07 cs.DS math.OC quant-ph
Optimal Transport with Coulomb cost. Approximation and duality
我们重新讨论了多边际最优运输问题的对偶定理。特别是，我们专注于库仑成本。我们使用一个离散逼近证明的极值和一些仔细估计的近似序列的平等证明的对偶问题（Kantorovich的潜力）的最大化的存在性。最后，我们观察到，同样的策略可以应用到更一般的成本类，一个经典的结果的主题不能在这里应用。
2015-05-07 math.AP math.OC
An ODE characterisation of multi-marginal optimal transport with pairwise cost functions
本文提出一种求解多边际最优输运的新数值方法，通过构造使复杂度从指数降为线性的单参数代价函数族，将原问题转化为关于参数的常微分方程，并用欧拉和龙格-库塔格式求解。
2023-08-05 cs.NA math.NA math.OC
Marginals with finite repulsive cost
考虑了具有排斥费用的多边际运输问题，其中边际都等于一个固定的概率$ρ\in \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$。我们证明了，如果$ρ$的浓度小于$1/N$，则该问题有一个有限费用的解决方案。结果是尖锐的，在这个意义上，存在$ρ$与浓度$1/N$，其中$C(ρ) = \infty$。
2018-11-30 math.AP math.OC
General duality and dual attainment for adapted transport
本文在最小假设下研究了适应最优传输问题的对偶性与对偶优化子存在性，涵盖因果与双因果传输、重心及多边际问题，并证明其在稳健金融中计算超对冲价格与策略的应用。
2024-11-19 math.OC math.PR q-fin.MF
Convex relaxation approaches for strictly correlated density functional theory
在本文中，我们介绍了凸优化的方法来解决多边际运输型问题的背景下出现的密度泛函理论。凸松弛被用来提供外部近似的一组$N$ -可表示的2-边缘和3-边缘，这反过来又提供下界的能量。我们进一步提出舍入方案，以获得上界的能量。数值实验表明，在上界和下界之间存在$10^{-3}$到$10^{-2}$数量级的间隙。Kantorovich潜在的多边际运输问题也近似具有类似的精度。
2018-08-14 math.OC physics.chem-ph physics.comp-ph
Mean field type control with species dependent dynamics via structured tensor optimization
本文研究具有不同动力学的多物种平均场型控制问题，提出基于可分解结构化张量代价的熵正则化多边际最优传输新算法，并在搜救机器人协调的数值示例中验证了其有效性。
2023-05-24 cs.SY eess.SY math.OC
Pairwise comparisons meet optimal transport theory
University of Trento（特伦托大学）；University of Perugia（佩鲁贾大学）
本文建立成对比较矩阵与最优传输理论间的联系，提出基于Sinkhorn的一致性刻画、优先级排序方法及熵不一致性指标，并经分析与数值验证。
2026-09-18 math.OC
Generalized specific entropy on Wiener space with application to Martingale Optimal Transport
AIML Global Markets, Barclays（巴克莱银行 AIML 全球市场部）；LaMME, Université Évry Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学 LaMME）；FRE Department, New York University（纽约大学 FRE 系）
本文提出了一种基于泊松跳跃近似的特定熵框架，用于连续时间鞅传输问题，解决了传统熵正则化在连续时间中的局限性，并引入了广义特定熵函数在维纳空间上的显式表达，提出了连续时间特定熵鞅最优传输问题SEMOT。
2026-05-21 math.OC math.PR
Fast computation of the TGOSPA metric for multiple target tracking via unbalanced optimal transport
Saab Surveillance, Saab AB（萨博监视，萨博公司）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
本文提出一种基于非平衡多边际最优传输和熵正则化的近似算法，用于高效计算多目标跟踪中的TGOSPA度量，在保证近似精度的同时显著降低计算成本。
2025-05-22 cs.CV cs.SY eess.SY
Minkowski-Type Wasserstein Metrics and Barycenters for Location-Scale Mixtures with Application to Domain Adaptation
Fudan University（复旦大学）
针对离散最优传输计算复杂度高的问题，提出基于广义Minkowski不等式的框架，将Wasserstein型度量和重心扩展到有限位置-尺度混合模型，通过将连续多边缘OT简化为混合成分间的离散传输，实现计算复杂度线性于样本量，并在VisDA-C基准上验证了效果。
2026-06-26 math.OC
An Optimal Transport Approach for Computing Adversarial Training Lower Bounds in Multiclass Classification
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；UC Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Tufts University（塔夫茨大学）
本文利用多边际最优传输与多类对抗训练的联系，提出基于线性规划和Sinkhorn的可处理算法，用于计算最优对抗风险通用下界并识别最优分类器，在MNIST和CIFAR-10上验证了其有效性。
2024-01-17 cs.LG math.OC stat.ML
Dual Attainment in Multi-Period Multi-Asset Martingale Optimal Transport and Its Computation
Quantitative Trading & Research, JPMorganChase（摩根大通量化交易与研究）；Mitch Daniels School of Business, Purdue University（普渡大学米切尔丹尼尔斯商学院）；Global Technology Applied Research, JPMorganChase（摩根大通全球技术应用研究）
本文研究多期多资产鞅最优运输问题，证明了双重实现的存在性，并通过数值实验验证了其在稳健定价中的应用。
2026-02-03 econ.TH math.OC math.PR
Entropic regularised optimal transport in a noncommutative setting
本综述探讨非交换熵最优输运问题及其与量子系统基态能量的关联，回顾交换与非交换设置下的原始-对偶公式，并证明量子Sinkhorn算法收敛性，同时涵盖玻色子和费米子系统。
2023-10-16 math-ph math.MP math.OC
On a linear Gromov-Wasserstein distance
Gromov-Wasserstein距离是Wasserstein距离的推广，它在距离保持变换下是不变的。虽然Wasserstein空间中的最优输运的简化版本，称为线性最优输运（LOT），在实践中得到了成功的应用，但到目前为止还没有线性Gromov-Wasserstein距离的概念。本文给出了线性Gromov-Wasserstein距离的定义。我们激励我们的方法由广义LOT模型，这是基于重心投影地图的运输计划。数值例子表明，线性Gromov-Wasserstein距离，类似于LOT，可以取代昂贵的计算成对Gromov-Wasserstein距离的应用，如形状分类。
2022-07-05 cs.NA math.NA math.OC
Pairwise Multi-marginal Optimal Transport and Embedding for Earth Mover's Distance
研究了两两多边际最优输运问题，即给定波兰空间$\mathcal{X}$上概率分布$\{P_α\}$的集合，寻找一个耦合的$\{X_α\}$，$X_α\sim P_α$，使得对于所有的$α,β$，有$\mathbf{E}[c(X_α,X_β)]\le r\inf_{X\sim P_α,Y\sim P_β}\mathbf{E}[c(X,Y)]$，其中$c$是一个代价函数，$r\ge1$ .换句话说，每一对$(X_α,X_β)$的期望成本最多是其最低可能值的$r$的一个因子。这可以被视为概率分布的局部敏感散列函数，并且具有诸如运输计划的鲁棒和分布式计算的应用。它也可以被认为是一个双Lipschitz嵌入的概率分布的集合到空间的随机变量取值于$\mathcal{X}$。对于$c(x,y)=\Vert x-y\Vert_2^q$在$\mathbb{R}^n$，其中$q>0$，我们证明了一个有限的$r$是可达到的当且仅当$n=1$或$0<q<1$。作为$n\to\infty$，最小可能的$r$的增长率正好是$Θ(n^{q/2})$，如果$0<q<1$。因此，具有有限$q$阶绝对矩$0<q<1$的$\mathbb{R}^n$上的概率分布的度量空间，以及推土机相对于雪花度量$c(x,y)=\Vert x-y\Vert_2^q$的距离（或1-Wasserstein距离），是双Lipschitz可嵌入…
2019-10-20 math.OC math.PR math.ST
SWAP: A Scalable, Warm-Startable, Anytime Permutation Solver for Optimal Transport
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）；Yanqi Lake Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京雁栖湖应用数学研究院）；Qiuzhen College, Tsinghua University（邱士纶研究院，清华大学）；Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（数学科学系，清华大学）
SWAP是一种直接作用于置换空间的可扩展最优传输求解器，通过几何感知提议实现单调下降，确保一对一约束精确满足，并在大规模高维任务中显著降低成本和资源消耗。
2026-09-24 math.OC
Geometry of Graph Partitions via Optimal Transport
我们定义了一个距离度量分区之间的一个图使用机器从最优输运。我们的度量是建立在一个线性分配问题，匹配分区组件，分配成本成比例的运输距离图的边缘。我们表明，我们的距离可以使用一个单一的线性规划计算，而无需预先计算成对分配成本，并推导出几个理论性质的度量。最后，我们提供的实验证明这些属性的经验，特别是集中在它的价值为基础的政治选区规划的集成分析的新问题。
2019-10-21 cs.CY cs.DM math.OC
SISTA: learning optimal transport costs under sparsity constraints
在本文中，我们描述了一种新的迭代过程称为SISTA学习的潜在成本在最优输运问题。SISTA是两种经典方法的混合，坐标下降（“S”-inkhorn）和近端梯度下降（“ISTA”）。它交替之间的一个阶段的确切最小化的运输潜力和一个阶段的近端梯度下降的参数的运输成本。我们证明了这种方法的线性收敛，我们在模拟的例子中说明，它是显着快于坐标下降和ISTA。我们将其应用于估计移民模型，该模型使用国家特定的特征和国家之间的成对差异性措施来预测移民的流动。这个应用程序展示了机器学习在定量社会科学中的有效性。
2020-10-21 math.OC stat.ME
A New Perspective On Denoising Based On Optimal Transport
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Columbia University（哥伦比亚大学）
本文从最优传输理论出发提出一种新的去噪方法，证明该去噪器良定义且唯一，并可在指数族似然下仅从观测边缘分布恢复，克服后验均值过度收缩问题。
2024-09-28 cs.LG math.OC math.ST
Multi-marginal Optimal Transport with a Tree-structured cost and the Schrödinger Bridge Problem
最优输运问题最近已发展成为一个强大的框架，各种应用的估计和控制。最优输运理论和应用的许多最新进展都是基于用熵项正则化问题，将其与薛定谔桥问题联系起来，从而与随机最优控制联系起来。此外，熵正则化使得即使对于大规模设置，在其他方面计算要求高的最优输运问题也是可行的。这导致了在广泛领域中基于最优输运的方法的加速发展。这些应用中的许多都具有底层图结构，例如信息融合和跟踪问题可以用树来描述。在这项工作中，我们考虑多边际最优输运问题的费用函数，根据一个树结构。熵正则化的多边际最优输运问题可以看作是薛定谔桥问题的一个推广，它具有相同的树结构，利用这些联系，我们扩展了经典最优输运问题的计算方法，以便有效地求解结构化的多边际最优输运问题.特别是，该算法只需要相对较小维度的矩阵向量乘法。我们表明，多边缘正则化引入较少的扩散，相比常用的成对正则化，因此更适合于许多应用。数值例子说明了这一点，我们最后应用所提出的框架跟踪一个不可区分的代理人的合奏。
2021-03-11 math.OC
A simple counterexample to the Monge ansatz in multi-marginal optimal transport, convex geometry of the set of Kantorovich plans, and the Frenkel-Kontorova model
从巧妙的数学例子\cite{Ca10}中可以知道，Monge算法在连续的两边缘最优输运（别名最优耦合别名最优分配）问题中可能失败。在这里，我们表明，这种效果已经发生的有限分配问题与$N=3$边际，$\ell=3$“网站”，对称成对的成本，与$N$和$\ell$的值都是最佳的。我们的反例是一个透明的后果凸几何的一套对称康托洛维奇计划$N=\ell=3$，其中-正如我们所示-拥有22个极值点，其中只有7个是蒙赫。这些极值点有一个简单的物理意义，作为不可约的分子包装，和例子对应于寻找最小能量包装的Frenkel-Kontorova相互作用。我们的有限例子通过叠加自然地产生了一个连续的例子，其中蒙日假设的失败表现为“微观结构”的未实现和形成。
2018-08-13 math-ph math.AP math.MP
Geometry of Kantorovich Polytopes and Support of Optimizers for Repulsive Multi-Marginal Optimal Transport on Finite State Spaces
考虑有限状态空间上具有均匀边际约束的对称多边际Kantorovich最优输运问题。这些问题包括最小化一个线性目标函数的高维多面体，这里称为康托洛维奇多面体。所提出的结果是分裂的性质，计算和理论。在计算部分内，仅考虑少量的边缘$N$和边缘位点$\ell$。这种限制使我们能够计算确定的Kantorovich多面体的所有极端点，并调查他们中有多少是符合在最优输运典型的蒙赫anterior。挑选出的结果$\ell=3$离散点和成对对称的费用函数，使我们能够直观地比较康托洛维奇的蒙格的anomaly空间的不同数量的边缘。最后，我们提出了一个必要的支持条件的优化，这是启发的见解说，模型问题的三个网站提供。该结果不限于$\ell=3$站点的情况，并且适用于对角条目位于成本特定阈值之上的对称对成本。在$N$和$\ell$显示某些关系的情况下，所讨论的条件提供了一个优化的Monge形式，并暗示其唯一性作为所考虑的Kantorovich最优输运问题的解决方案。
2021-10-28 math.AP math.OC
Linear Optimal Transport Embedding: Provable Wasserstein classification for certain rigid transformations and perturbations
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Halicioğlu Data Science Institute（哈利西奥卢数据科学研究所）
区分分布是许多科学领域中的一个重要问题。这促使了线性最优运输（LOT）的引入，它将分布空间嵌入到$L^2$ -空间中。该变换通过计算每个分布到固定参考分布的最佳传输来定义，并且在计算速度和确定分类边界方面具有许多好处。在本文中，我们描述了一些设置中，LOT嵌入家庭的分布到一个空间中，他们是线性可分的。这是真的，在任意维，并为家庭的分布通过扰动的移位和缩放的一个固定distributation.We还证明了条件下，$L^2$距离的LOT嵌入在任意维的两个分布之间的Wasserstein-2距离几乎等距。这具有显著的计算益处，因为必须仅计算$N$最优传输图来定义$N$分布之间的$N^2$成对距离。我们证明了LOT的好处，一些分布分类问题。
2021-05-26 cs.LG math.OC stat.ML
Supervised Gromov-Wasserstein Optimal Transport
本文提出有监督 Gromov-Wasserstein 最优传输，通过代价张量中的无穷模式施加距离保持等约束，并结合最小顶点覆盖与 Mirror-C 下降求解，在合成数据和单细胞 RNA 测序数据上验证了其控制距离保持和自动估计重叠部分的能力。
2024-01-11 math.OC
Semidefinite relaxation of multi-marginal optimal transport for strictly correlated electrons in second quantization
本文在二次量子化形式下研究了费米子量子多体问题的严格关联电子（SCE）极限。这一限制引起了多边际最优输运（MMOT）问题。在这里，我们的MMOT问题的边际状态空间是二进制集$\{0,1\}$，边际的数量是模型中站点的数量$L$。存储和计算MMOT问题的精确解的成本都相对于$L$呈指数级扩展。我们提出了一个有效的凸松弛，可以解决半定规划（SDP）。特别地，半定约束仅具有大小$2L\times 2L$。此外，基于SDP的方法产生的对偶势的近似需要在所谓的Kohn-Sham SCE框架，其中，一旦收敛，产生系统的总能量的下限中执行自洽场迭代。我们证明了我们的方法的有效性无自旋和自旋Hubbard型模型。数值结果表明，我们的松弛法产量紧下界的最佳成本，在这个意义上，由于半定松弛的误差是小于的Kohn-Sham SCE方法的内在建模误差。我们还描述了我们的松弛法如何推广到任意MMOT问题与成对的费用函数。
2020-09-15 math.OC physics.comp-ph
