Solutions to the generalized Towers of Hanoi problem
本文的目的是证明框架-斯图尔特算法的广义塔的河内问题，以及寻找所需的移动的数量来解决这个问题，并研究了众多的最优解。其主要思想是研究如何最有效地移动所有，但最后一个光盘，并利用这一事实，即所需的移动总数解决问题的两倍，这个数字加一。
2012-04-21 cs.DM math.CO
Fibonacci-like sequences for variants of the tower of Hanoi, and corresponding graphs and gray codes
我们以一种非常自然的方式修改了经典的汉诺塔问题的规则，得到了解决问题的最优算法中所涉及的Fibonacci序列，并展示了这种变体的一些好的性质。特别地，我们从这个Hanoi-Fibonacci塔中推导出了一个不含因子11的二进制字集上的类格雷码，它具有一些有趣的性质，并由此得到了Hanoi-Fibonacci塔的迭代算法.这种算法涉及斐波那契替换。最后，我们简要地将研究扩展到一些自然的概括。
2022-06-07 cs.DM math.CO math.NT
Maximum matchings and minimum dominating sets in Apollonian networks and extended Tower of Hanoi graphs
阿波罗网络显示出显着的幂律和小世界性质，在大多数现实的网络系统中观察到的。它们的对偶图是推广的Tower of Hanoi图，它是由Tower of Hanoi图通过添加一个特殊的顶点连接到它的所有三个极端顶点而得到的。本文研究了Apollonian网络及其对偶图中的最大匹配和最小控制集，这两个问题在复杂网络的结构可控性等领域有着广泛的应用。对于这两个网络，我们确定它们的匹配数，控制数，最大匹配数，以及最小控制集的数量。
2017-09-13 cs.DM math.CO
The Magnetic Tower of Hanoi
在这项工作中，我研究了一个修改的河内塔难题，我的河内磁塔（MTOH）。最早的汉诺塔谜题是由法国数学家爱德华·卢卡斯于1883年发明的，跨度为“基数2”。也就是说，第k个圆盘的移动次数是2^（k-1），解决N个圆盘的谜题所需的移动次数是2 ^N- 1。在MToH拼图中，每个圆盘都有两个不同颜色的边，圆盘必须翻转和放置，以便没有相同颜色的边相遇。我在这里表明，MToH难题跨越“基地3”-需要解决一个N+1盘难题的移动数量基本上是三倍以上，他需要解决一个N盘难题的移动数量。MToH有3种风格，它们在将磁盘放置在免费帖子上的规则上有所不同，因此塔状态朝着谜题解决方案的可能演变也有所不同。我在这里分析算法，以最大限度地减少解决MToH难题所需的步骤数量。因此，虽然多彩的河内磁塔谜题相当具有挑战性，但其固有的自由以非凡的优雅滋养了数学。
2010-03-09 cs.DM math.CO
On the Parallel Tower of Hanoi Puzzle: Acyclicity and a Conditional Triangle Inequality
本文描述了汉诺塔谜题的一个平行变体。在这种并行的情况下，两个定理的最小行走的状态空间的配置，以及其建设性的证明，提供。这些证明用于描述{ \sl去噪方法}：一种用于识别和消除任意有效磁盘配置序列中次优传输的方法（根据谜题规则）。我们讨论了这种方法在分层强化学习中的潜在应用。
2022-06-10 cs.DM math.CO
Magnetic Towers of Hanoi and their Optimal Solutions
磁性河内塔谜题-如早期论文所述的经典河内塔谜题的修改“基数3”版本，实际上是一小组独立的姐妹谜题，取决于塔的帖子的“预着色”组合。从源帖子上的红色朝上开始，处理中间色或中性帖子，并在目标帖子上结束蓝色朝上，我们以（S，I，D）顺序识别不同的预着色组合。The Tower的预着色组合为{[（R，B，B）/（R，R，B）] ; [（R，B，N）/（N，R，B）] ; [（N，B，N）/（N，R，N）] ; [R，N，B] ; [（R，N，N）/（N，N，B）] ; [N，N，N]}。在本文中，我们调查这些姐妹难题，确定的算法，最佳地解决每个预着色的难题，并证明其最优性。事实证明，六个算法中的五个，它们本身具有挑战性，是解决“自然”的河内自由磁塔难题[N，N，N]的算法的一部分。我们首先证明N盘色塔[（R，B，B）/（R，R，B）]可以通过（3^N - 1）/2次移动来求解。将“算法持续时间”定义为解决难题的算法移动数量与解决彩色塔的算法移动数量的比率，我们找到了所有姐妹难题的持续时间限制。[2019 - 01 - 19 00：00：00][2019 - 01 - 19 00：00][2019 - 01 - 19 00：00][2019 - 01：00][2019 - 01 - 19 00：00][2019 - 01：00][2019 - 01：00]因此，解决汉诺塔问题的最优算法的持续…
2010-11-16 cs.DS math.CO
Solving the Tower of Hanoi with Random Moves
我们证明了确切的公式的预期移动数解决几个变种的汉诺塔难题3钉和n盘，当每个移动是均匀随机选择的所有有效的移动。我们进一步提出了一个替代证明的公式，耦合定理的预期通勤时间的随机游动与三角洲到Y形变换的电力分配的三相交流系统的分析图。
2014-09-18 cs.DM math.CO math.PR
Twin Towers of Hanoi
在著名的河内塔问题的河内双塔版本中，有两组耦合的钉。在每次移动中，一个人在其中一个集合中选择一对栓钉，并在所选的栓钉之间执行唯一可能的合法转移（从一个栓钉移动到另一个栓钉的最小磁盘），但同时也在耦合集合中的相应的一对栓钉之间进行转移（因此在两个集合中总是使用相同的移动顺序）。我们提供了以下类型的问题的最优解的长度上界和下界。给定每个耦合集合中N个圆盘的初始位置和最终位置，从每个集合中的初始位置同时获得最终位置所需的最小移动次数是多少？我们的分析是基于使用一个组，称为河内塔组，根三元树自同构，它模拟了原来的问题，在这样一种方式，N个磁盘上的配置是顶点在N级的树和行动的发电机组代表三个可能的移动之间的三个挂钩。通过考虑Hanoi塔群在顶点对上的作用，分析了该问题的孪生版本。
2011-08-23 cs.DM math.CO math.GR
Enumerating moves in the optimal solution of the Tower of Hanoi
本文研究汉诺塔问题中三种杆之间六种基本移动的最优序列中的数量，通过递归函数和指示函数计算并分析其性质，发现与移动计数相关的有趣序列。
2022-12-31 cs.DM math.CO
Dimer-monomer Model on the Towers of Hanoi Graphs
图$G$的二聚体-单体（匹配）数是统计物理学中的一个重要的图参数。在最近研究的基础上，我们研究了Hanoi图的塔和Sierpienski图的另一种变形（类似于Hanoi图的塔）上二聚单体数$m(G)$的渐近行为，并导出了二聚单体数的递归关系.在这些Sierpienski图上，每个站点的熵，定义为$μ_{G}=\lim_{v(G)\rightarrow\infty}\frac{\ln m(G)}{v(G)}$，其中$v(G)$是图$G$中的顶点的数目，在一定的阶段的数量方面导出的上限和下限。随着计算阶段的增加，这些界限之间的差异迅速收敛到零，熵的数值可以以超过一百个有效数字的精度进行评估。
2014-10-30 math-ph math.CO math.MP
The number and degree distribution of spanning trees in the Tower of Hanoi graph
图的生成树个数是关系到图的可靠性、通信、同步等拓扑和动态性质的一个重要不变量，然而生成树的实际计数及其性质的研究仍然是一个挑战，特别是对于大型网络.本文研究了Hanoi图中生成树的个数和度分布。首先建立了Hanoi图的生成树个数与其它生成子图个数之间的递归关系，并由此得到了n-圆盘Hanoi图的生成树个数的精确解析表达式.这一结果允许计算的生成树熵，然后与那些具有相同的平均度的其他图进行比较。然后，我们引入了一个顶点标记，它允许找到，对于图的每个顶点，它的度分布在所有可能的生成树。
2015-10-28 cs.DM math.CO
On The Optimal General Solution To The Multi-Peg Tower of Hanoi
本文推导出多柱汉诺塔Frame-Stewart算法的统一闭式解，通过离散斜率分析证明其满足递推关系，并证明前两个区域的最优性，从而将猜想解决至n <= C(p+1,3)。
2025-10-08 math.CO
Shortest paths in the Tower of Hanoi graph and finite automata
本文提出了在Hanoi塔图中构造两个状态之间的最短路径和计算最短路径长度的有效算法，其关键是一个有限状态机，它在平均只检查63/38个最大圆盘后，决定最大圆盘是否移动一次或两次.这解决了Andreas Hinz提出的问题，并使我们更好地理解如何确定最短路径。我们的算法计算的最短路径的长度通常是现有算法的两倍。我们还利用这些结果给出了单位边Sierpinski垫片上任意两点间平均距离466/885的一个新的推导。
2003-10-08 cs.DM math.CO math.PR
The Tower of Hanoi: Optimality Proofs, Multi-Peg Bounds, and Computational Frontiers
James Cook University Singapore（新加坡詹姆斯库克大学）
本文以《澳大利亚数学会通报》编辑标准为动机，通过自相似性、不变量框架等重新审视三 peg 汉诺塔问题，分析四 peg 策略的最优性，发现平衡分割在 n>8 时非最优，并提供引理、图表及参考文献，将开放问题重新定义为启发式鲁棒性测试。
2025-11-10 math.CO
The Weighted Tower of Hanoi: Algebraic Structure, Phase Transitions, and Integer Sequences
本文研究带权重的汉诺塔问题，通过代数理论分析其相变现象，并揭示其与整数序列的深刻联系。
2026-05-21 cs.DM math.CO
The Parity-Constrained Four-Peg Tower of Hanoi Problem and Its State Graph
Mines Saint-Etienne（圣艾蒂安国立高等矿业学院）
本文提出并研究了一种带奇偶约束的四柱汉诺塔变体，通过奇偶分离和经典三柱转移设计递归算法，得到移动次数的递推关系和闭式公式，并证明其指数增长阶低于经典三柱汉诺塔。
2026-06-23 cs.DM math.CO
On the treewidth of Hanoi graphs
著名的汉诺塔难题的目标是将一组磁盘从一组钉中的一个移动到另一个，同时保持磁盘在每个钉上排序。我们提出了一个对抗性的变化，其中第一个球员禁止一组状态的难题，第二个球员必须转换一个随机选择的状态到另一个没有通过禁止的状态。分析这个版本提出了Hanoi图的树宽问题。我们发现这个数字正好为三钉难题，并提供近紧渐近界较大数量的钉。
2020-05-01 cs.DM math.CO
The Towers of Fibonacci, Lucas, Pell, and Jacobsthal
本文介绍了四个新的汉诺塔变种问题，每个变种的最优解与斐波那契、卢卡斯、佩尔或雅各布斯塔尔数相关，并给出了每个变种的最优解及其关联图。
2025-05-04 cs.DM math.CO
Representation theories of some towers of algebras related to the symmetric groups and their Hecke algebras
研究了与对称群及其Hecke代数有关的三塔代数的表示论。第一种是由初等转置和初等排序算子作用于置换同时生成的代数。另外两个是非减函数幺半群代数和非减停车函数。对于这三个塔，我们描述了简单的和不可分解的投射模的结构，以及Cartan映射。给出了由归纳积和限制余积分别给出的Grothendieck代数和余代数。这产生了一些新的解释的经典基的拟对称和非交换对称函数以及一些新的基础。
2006-08-23 math.CO math.RT
