Regularity results for a class of non-autonomous obstacle problems with $(p,q)$-growth
研究了具有$(p,q)$ -增长的非自治障碍问题解的正则性问题。在适当的假设下，我们的分析涵盖了文献中的主要模型。
2019-07-08 math.AP
Regularity Results of the Thin Obstacle Problem for the $p(x)$-Laplacian
我们研究薄障碍问题涉及的能量泛函与$p(x)$ -增长。在变指数$p(x)$是Hölder连续的假设下，证明了薄障碍问题极小解梯度的更高的可积性和Hölder正则性.
2018-01-22 math.AP
Optimal regularity at the free boundary for the infinity obstacle problem
本文讨论无穷大拉普拉斯算子的障碍问题。主要结果是通过与位于障碍物上方的圆锥体的比较和在自由边界处的尖锐$C^{1,1/3}$ -正则性来表征解决方案。
2015-10-05 math.AP
Partial regularity for Double Phase obstacle problems
Università di Parma（帕尔马大学）；University of Palermo（巴勒莫大学）；Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学）
本文研究了在满足适当拓扑性质的向量障碍型约束下，双相泛函的向量值局部极小子的部分正则性。
2026-10-02 math.AP
Optimal Regularity for the Thin Obstacle Problem with $C^{0,α}$ Coefficients
在这篇文章中，我们研究的解决方案（内部）薄障碍问题的系数，障碍和基本流形的低正则性假设。结合Andersson \cite{An16}的线性化方法和\cite{FS16}，\cite{GPSVG15}的上围不等式，证明了当存在$C^{0,α}$系数$a^{ij}$和$C^{1,α}$障碍$ϕ$时，解的最优$C^{1,\min\{α,1/2\}}$正则性.此外，我们还研究了正则自由边界的正则性，证明了对于某些$γ\in (0,1)$，它具有$C^{1,γ}$流形的结构。
2016-10-25 math.AP
Regularity estimates for the solution and the free boundary to the obstacle problem for the fractional Laplacian
利用分数阶Laplacian算子作为Dirichlet to Neumann算子的一个特征，对一个合适的微分方程研究其障碍问题.我们写一个等价的表征薄障碍问题。这样，我们就能够应用局部类型参数，以获得尖锐的正则性估计的解决方案和研究的自由边界的正则性。
2007-02-13 math.AP
Higher Regularity of the Free Boundary in the Obstacle Problem for the Fractional Laplacian
利用高阶边界Harnack不等式证明了分数阶Laplacian障碍问题中自由边界的一个更高正则性结果。
2017-03-26 math.AP
Regularity for obstacle problems to anisotropic parabolic equations
The African Institute for Mathematical Sciences（非洲数学科学研究所）
本文沿用Dibenedetto的内在标度法，在障碍仅满足Hölder连续性的条件下，证明了部分各向异性抛物方程障碍问题弱解的局部Hölder连续性。
2026-08-27 math.AP
Regularity of almost minimizers for the parabolic thin obstacle problem
本文研究了具有零障碍的抛物薄障碍（或Signorini）问题的几乎极小元。对于每个$0<σ<1$，我们建立了它们的$H^{σ,σ/2}$ -正则性，对于某些$0<β<1$，我们建立了它们在薄空间两侧的空间梯度的$H^{β,β/2}$ -正则性.对于具有可变Hölder系数的Signorini问题的几乎极小解也得到了类似的结果。
2022-09-04 math.AP
Free boundary regularity in obstacle problems
这些笔记记录并扩展了作者在2018年6月11日至15日的一周内举办的“Journées Equations aux Dérivées Partielles 2018”的讲座。目的是给出障碍问题的经典理论的概述，然后介绍自由边界的正则性的一些最新进展。
2018-07-03 math.AP
Regularity of solutions to the parabolic fractional obstacle problem
在本文中，我们研究了一个抛物型版本的分数障碍问题，证明了几乎最优的正则性的解决方案。这个问题是由Menton提出的美式期权模型所激发的，该模型将股票价格动态中的不连续路径引入期权评估理论。
2011-01-26 math.AP
Regularity for Obstacle Problems without Structure Conditions
本文研究一类可能出现Lavrentiev现象的变分障碍问题极小解的Lipschitz正则性。为了克服这个问题，需要利用松弛泛函和Lavrentiev间隙的概念。这里使用的主要工具是一个巧妙的引理，它显示是至关重要的，因为它允许我们从变分障碍问题的松弛功能相关的。这对于寻找我们所要研究的解的规律性是至关重要的。我们假设障碍物的梯度和系数都具有相同的Sobolev正则性。
2021-02-25 math.AP
Optimal Hölder regularity for solutions to Signorini-type obstacle problems
本文研究一类障碍问题弱解的存在性、唯一性和正则性，建立了Signorini型问题（障碍条件施加在余维1子集上）的最优Hölder正则性，并应用于不规则障碍的经典障碍问题。
2025-01-27 math.AP
The Regularity Theory for the Double Obstacle Problem for Fully Nonlinear Operator
本文证明了具有$C^{1,1}$障碍函数的双障碍问题的$W^{2,p}$（$n<p<\infty$）解的存在唯一性.此外，我们还证明了解的最优正则性和自由边界的局部$C^1$正则性。在自由边界正则性的研究中，我们讨论了一个一般问题，即具有上障碍$ψ$的无符号约化双障碍问题，$F(D^2 u,x) =fχ_{Ω(u) \cap\{ u< ψ\} } + F(D^2ψ,x) χ_{Ω(u)\cap \{u=ψ\}}, u\le ψ\text { in } B_1$，其中$Ω(u)=B_1 \setminus \left( \{u=0\} \cap \{ \nabla u =0\}\right)$ .
2022-10-13 math.AP
Higher Regularity for the fractional thin obstacle problem
本文研究了分数阶薄障碍问题正则自由边界的高正则性。依赖于一个速线图-勒让德变换，我们表明，光滑或解析障碍的规则自由边界是光滑的或解析的，分别。这导致一个完全非线性，退化（子）椭圆算子，我们确定为（完全非线性）扰动的分数Baouendi-Grushin拉普拉斯算子的分析。利用正则自由边界的内禀几何和自适应函数空间，我们引用解析隐函数定理来推导正则自由边界的解析性。
2016-05-21 math.AP
Regularity results for a penalized boundary obstacle problem
在本文中，我们关注的两个罚边界障碍问题的兴趣在热，流体动力学和电力。具体地说，我们证明了解的存在性、唯一性和最优正则性，并建立了自由边界的结构性质。
2020-08-14 math.AP
The Regularity Theory for the Double Obstacle Problem
本文证明了具有上障碍$ψ$的双障碍问题自由边界的局部$C^{1}$正则性，其中\begin{align*} Δu &=fχ_{Ω(u) \cap\{ u< ψ\} }+ Δψχ_{Ω(u)\cap \{u=ψ\}}, \qquad u\le ψ\quad \text { in } B_1, \end{align*}在$u$和$ψ$的厚度假设下，是$Ω(u)=B_1 \setminus \left( \{u=0\} \cap \{ \nabla u =0\}\right)$.
2017-03-18 math.AP
Regularity of solutions to nonlinear thin and boundary obstacle problems
具有薄障碍和Signorini型边界条件的变分不等式是变分学中的经典问题，在许多应用中出现。在线性情况下，许多精细的结果是已知的，而在非线性设置，我们的理解仍然处于初步阶段。本文证明了一类具有薄障碍的拟线性变分不等式解的$C^1$正则性和区域边界上Signorini型条件下变分不等式解的$C^{1, α}$正则性.
2021-05-03 math.AP
Structure and regularity of the singular set in the obstacle problem for the fractional Laplacian
研究了分数阶Laplacian障碍问题中自由边界的奇异部分，即$\mathbb R^n$中的\ $\min\bigl\{(-Δ)^su,\,u-φ\bigr\}=0$，以及一般障碍$φ$ .我们的主要结果建立了奇异集的完整结构和正则性。为了证明这一点，我们构造了新的Monneau型单调性公式，将\cite{GP}中的单调性公式推广到所有的$s\in(0,1)$。
2017-04-01 math.AP
On the fine regularity of the singular set in the nonlinear obstacle problem
我们重新审视和锐化的结果，从我们以前的工作，在那里我们调查的非线性障碍问题的自由边界的奇异集的正则性。在工作中的Figalli-塞拉的经典障碍问题，我们表明，每一层可以进一步分解成一个“好”的部分和一个“异常”的部分，其中前者是由$C^{1,1-}$流形覆盖，后者是较低的维度。
2021-01-28 math.AP
Boundary regularity for $p$-harmonic functions and solutions of obstacle problems on unbounded sets in metric spaces
将$p$-调和函数的边界正则性理论推广到完备度量空间中的无界开集，并给出了一个支持$p$-Poincaré不等式的加倍测度。建立了正则边界点的障碍分类，并证明了正则性是边界的局部性质。我们还获得了开集上障碍问题解的边界正则性结果，并进一步用其他几种方法刻画了正则性。
2019-05-12 math.AP
Regularity of Free Boundary for Monge-Ampère Obstacle Problem up to the Boundary
本文研究Monge-Ampère障碍问题自由边界直到边界的正则性，发现边界值增长阶影响正则性，且二次增长下高维正则性优于二维。
2026-10-07 math.AP
Regularity of the free boundary for the obstacle problem for the fractional Laplacian with drift
在亚临界区域，我们建立了由分数阶Laplace算子定义的稳态障碍问题中正则自由边界的$C^{1+γ}$ -Hölder正则性。我们的证明方法包括证明一个新的单调性公式和一个上围不等式。这两个工具都是G. Weiss将经典的障碍问题推广到具有漂移的Laplace算子的分数幂框架中。我们的研究延续了早期的研究，其中我们两人建立了解的最佳内部正则性。
2015-09-21 math.AP
Optimal regularity of solutions to the obstacle problem for the fractional Laplacian with drift
我们证明了在亚临界状态下，由带漂移的分数阶拉普拉斯算子定义的定常障碍问题解的存在性、唯一性和最优正则性。我们通过考虑L.卡法雷利和L.西尔维斯特扩张方程的结构与L. Caffarelli，S. Salsa和L. Silvestre在他们的研究障碍问题的分数拉普拉斯算子没有漂移，在障碍函数具有较少的规律性，并表现出一些奇异性。考虑到问题的新特点，我们证明了一个新的Almandro型单调性公式，我们然后使用它来建立最佳的正则性的解决方案。
2014-03-20 math.AP
Generic regularity of free boundaries in the obstacle problem for the fractional Laplacian
本文研究了分数阶拉普拉斯算子障碍问题，通过推广自由边界精细结构分析并证明新的频率间隙，建立了几乎对所有障碍在维度3以内自由边界仅含正则点的正则性结果。
2024-12-20 math.AP
On the regularity of the Non-dynamic Parabolic Fractional Obstacle Problem
在所谓的非动态抛物型分数阶障碍问题中，给出了如何获得解的空间导数的更高正则性和最佳正则性。进一步证明了在正抛物密度的自由边界点上，解的时间导数是Hölder连续的.最后，在正则自由边界点处，对任意分数$s\in(0,1)$，得到了相应自由边界的时空正则性。
2016-12-29 math.AP
The Variable Coefficient Thin Obstacle Problem: Optimal Regularity and Regularity of the Regular Free Boundary
本文研究了$n+1$维变系数薄障碍问题。我们解决了规则的自由边界的正则性，接近自由边界的解决方案的行为和最佳的正则性的解决方案在低正则性设置。我们首先讨论了零障碍和$W^{1,p}$度量的情况与$p\in(n+1,\infty]$。在此框架下，我们证明了正则自由边界的$C^{1,α}$正则性，并导出了正则自由边界点处解的首阶渐近展开式。进一步证明了解的最优$C^{1,\min\{1-\frac{n+1}{p}, \frac{1}{2}\}}$正则性.新的成分包括使用的Reifenberg平坦的定期自由边界，建设一个（几乎）最佳的障碍函数和引入适当的分裂的解决方案。重要的见解取决于各种内在的几何结构的考虑。基于\cite{KRS14}和本文中的不同论点，我们还讨论了非零和内部薄障碍物的情况。利用$p\in (2(n+1),\infty]$得到了$W^{1,p}$度量和$W^{2,p}$障碍解的最优正则性和正则自由边界的正则性.
2016-03-22 math.AP
Boundary regularity and non-transversal intersection for the fully nonlinear obstacle problem
本文证明了由完全非线性一致椭圆算子生成的障碍问题的自由边界与固定边界的非横截相交在任意维都成立。此外，还得到了自由边界的$C^1$正则性结果，并给出了爆破解的分类。
2018-06-01 math.AP
Regularity of interfaces in phase transitions via obstacle problems
本文的目的是回顾近年来关于定常和抛物障碍问题的正则性理论的一些发展。在一个一般的概述之后，我们给出了奇异自由边界点的结构的一些最近的结果。然后，我们展示了一些选定的应用程序的通用光滑的自由边界的固定障碍问题（Schaeffer猜想），和光滑的自由边界的单相Stefan问题的几乎每一个时间。
2018-09-09 math.AP
Regularity of the free boundary in the biharmonic obstacle problem
本文利用平坦性改进的方法研究了具有零障碍的双调和障碍问题的自由边界的正则性。假设解几乎是一维的，非重合集是一个非切向可达（NTA）域，我们得到了以原点为中心的小球中自由边界的$C^{1,α}$正则性.从自由边界的$C^{1,α}$正则性出发，我们得出双调和障碍问题的解在自由边界上是局部$ C^{3,α}$，因此是$C^{2,1} $ .最后通过一个例子说明了一般情况下$ C^{2,\frac{1}{2}}$是解在$n \geq 2$维上可能达到的最佳正则性。
2019-02-08 math.AP
Regularity theory for fully nonlinear parabolic obstacle problems
本文研究了具有完全非线性扩散的抛物障碍问题解的自由边界。我们表明，自由边界分裂成一个定期和奇异的部分：附近的正则点的自由边界是$C^\infty$在空间和时间。此外，我们证明了奇点集是局部覆盖的Lipschitz流形的尺寸$n-1$也是$\varepsilon$ -平坦的空间中，任何$\varepsilon>0$。
2022-09-09 math.AP
Existence and regularity results for the penalized thin obstacle problem with variable coefficients
在本文中，我们给出了一个全面的处理双罚边界障碍问题的散度型椭圆算子，应用到流体力学和热学的动机。具体地，我们证明了解的存在性、唯一性和最优正则性，并建立了自由边界的结构性质。证明是基于量身定制的单调性公式的Almgren，Weiss和Monneau型，结合斜导数问题的经典理论。
2020-05-12 math.AP
An obstacle problem arising from American options pricing: regularity of solutions
研究了非局部抛物型算子\[\partial_t u + (-Δ)^{s} u - b \cdot \nabla u - \mathcal{I}u - ru,\]的障碍问题，其中$b\in\mathbb{R}^n$，$r\in\mathbb{R}$，以及$\mathcal{I}$是关于分数Laplace算子$(-Δ)^{s}$的非局部低阶扩散算子.在美式期权定价研究中，当股票价格的随机过程被假定为纯跳过程时，出现了这种模型。研究了障碍问题解的存在唯一性，证明了解在空间上的最优正则性和在时间上的几乎最优正则性。
2021-07-07 math.AP
Regularity of local minimizers of the interaction energy via obstacle problems
排斥/吸引势在原点的排斥强度决定了相互作用能局部极小的规律性。在本文中，我们表明，如果这个排斥是牛顿或更奇异比牛顿（但仍然是局部可积的），那么局部极小必须是局部有界密度（甚至连续的奇异比牛顿排斥）。我们证明了这一点（和其他一些规律性的结果），首先表明，相关的势函数的局部极小解决了障碍问题，然后通过使用经典的规律性结果，这样的问题。
2014-06-16 math.AP
Regularity theory for nonlocal obstacle problems with critical and subcritical scaling
本文提出了一种新颖且统一的方法，解决了具有临界与次临界缩放的非局部障碍问题中的正则性理论开放难题，并恢复了大多数已知结果。
2023-06-28 math.AP
Regularity of the singular set in the fully nonlinear obstacle problem
对于涉及凸完全非线性椭圆算子的障碍问题，我们证明了自由边界上的奇异集是分层的。上层局部地被$C^{1,α}$ -流形覆盖，下层被$C^{1,\log^\varepsilon}$ -流形覆盖。这基本上恢复了当算子是拉普拉斯算子时由Figalli-Serra得到的正则性结果。
2020-03-13 math.AP
Obstacle problems for integro-differential operators: Higher regularity of free boundaries
研究积分-微分算子障碍问题自由边界的高正则性。我们的主要结果表明，一旦自由边界是$C^{1,α}$，那么它们就是$C^\infty$。这就完成了在[5]中开始的对正则点的研究。为了实现这一点，我们需要建立最佳的边界正则性估计的解的线性非局部方程在$C^{k,α}$域。这些新的估计是本文的核心，并扩展了Grubb（对于$k=\infty$）以及第二作者和Serra（对于$k=1$）的先前已知结果。
2019-12-13 math.AP
Regularity to Thin Obstacle Problem in Orlicz spaces
Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP（坎皮纳斯州立大学）；Universidade Federal do Ceará（塞阿拉联邦大学）
本文研究了Orlicz空间中薄障碍问题的极小解正则性，证明了梯度的Lipschitz连续性和Hölder连续性，并揭示了极小解零点集的结构特征。
2026-02-04 math.AP
The Variable Coefficient Thin Obstacle Problem: Higher Regularity
在这篇文章中，我们继续我们的调查薄障碍问题的变系数，这是在\cite{KRS14}，\cite{KRSI}。利用部分Hodograph-Legendre变换和隐函数定理，证明了正则自由边界的高阶Hölder正则性，如果相关系数具有相应的正则性.对于零障碍物，与度量的规则性相比，这产生了针对自由边界规则性的\emph{full derivative}的改进。在存在非零障碍或不均匀性的情况下，我们得到了自由边界正则性相对于不均匀性的正则性的\emph{three halves of a derivative}。进一步证明了解析度量的正则自由边界的解析性。我们还讨论了低正则性设置的$W^{1,p}$度量与$p>n+1$有和没有（$L^p$）的不均匀性。在我们的分析中，关键的新成分是广义Hölder空间的引入，它允许将变换的完全非线性，退化（子）椭圆型方程解释为Baouendi-Grushin算子的扰动，与适当的算子相关的内在几何的各种用途，隐函数定理的应用推导出（更高）的正则性和分裂技术从\cite{KRSI}。
2016-05-06 math.AP
The regular free boundary in the thin obstacle problem for degenerate parabolic equations
在本文中，我们研究的存在性，最佳的正则性，和附近的自由边界的正则性的所谓\emph{regular points}在薄障碍问题，出现的障碍问题的局部扩展的分数热算子$(\partial_t - Δ_x)^s$的$s \in (0,1)$。我们的正则性估计在本质上是完全局部的。这方面是至关重要的，在我们即将进行的工作爆破分析的自由边界，包括研究的奇异集。我们的方法是基于首先建立的时间导数的解决方案的有界性。这允许在每个固定的时间水平上减少到椭圆问题。利用椭圆理论的一些结果，包括上围不等式，我们建立了解的最优正则性以及正则点附近自由边界的$H^{1+γ,\frac{1+γ}{2}}$正则性.
2019-06-17 math.AP
Free boundary regularity near the fixed boundary for the fully nonlinear obstacle problem
高维线性椭圆算子的内自由边界理论是由Caffarelli在低正则性条件下发展起来的。本文用不同的方法讨论了非线性椭圆算子的上至边界自由边界正则性。
2020-08-25 math.AP
The Thin Obstacle Problem: A Survey
在这项工作中，我们提出了一个一般性的介绍Signorini问题（或薄障碍问题）。这是一个自成一体的调查，旨在涵盖目前已知的主要结果薄障碍物问题。我们提出的理论与一些证明：从最佳的正则性的解决方案和分类的自由边界点，最近的结果的非正则部分的自由边界和一般的正则性。
2020-11-06 math.AP
Regularity of free boundary for the Monge-Ampère obstacle problem
本文证明了Monge-Ampère障碍问题$\det D^2 v= f(y)χ_{\{v>0\}}. $中自由边界的正则性。利用对偶性，自由边界的正则性等价于奇异蒙日-安培方程$\det D^2 u = 1/f (Du)+δ_0$在原点的解的渐近锥面的正则性。首先建立了解$u$在奇点附近的渐近估计，然后利用部分Legendre变换将蒙日-安培方程转化为奇异的、完全非线性的椭圆型方程，并建立了奇异椭圆型方程解的正则性.
2021-11-20 math.AP
Trace singularities in obstacle scattering and the Poisson relation for the relative trace
我们考虑的情况下，散射的几个障碍物在$\mathbb{R}^d$的$d \geq 2$的拉普拉斯算子$Δ$与Dirichlet边界条件施加在障碍物。在两个障碍物的情况下，我们有拉普拉斯算子$Δ_1$和$Δ_2$通过只对其中一个物体施加Dirichlet边界条件而得到。相对迹算子$g(Δ) - g(Δ_1) - g(Δ_2) + g(Δ_0)$在[18]中被引入，并被证明是一大类函数$g$的迹类，包括多项式增长的某些函数。当$g$在零处足够规则并且在无穷远处快速衰减时，则通过Birman-Krein公式，可以从相对谱移函数$ξ_{rel}(λ) = -\frac{1}π \Im(Ξ(λ))$计算该迹，其中$Ξ(λ)$在上半平面中是全纯的并且快速衰减。本文研究了波迹对$ξ_{rel}$傅里叶变换奇异性的贡献。特别是，我们证明了$\hatξ_{rel}$是真正的解析接近零，我们与衰减的$Ξ(λ)$沿虚轴的第一波迹不变量的最短边界球之间的障碍。函数$Ξ(λ)$在物理学中很重要，因为它决定了物体之间的卡西米尔相互作用。
2021-10-27 math-ph math.AP math.MP
Optimal Regularity for the parabolic No-Sign Obstacle Problem
研究了障碍型抛物自由边界问题$$ \lap u-\frac{\partial u}{\partial t}= fχ_{u\ne 0}. $$在满足$f=Hv$的条件下，对某个函数$v$具有有界的二阶空间导数和有界的一阶时间导数，建立了解$u$的同样的正则性.规则性和假设都是最优的。利用这一结果并假设$f$是Dini连续的，我们证明了自由边界在所谓的低能点附近是一个$C^1$图。我们的结果完成了这类问题的热算子的理论。
2012-10-10 math.AP
The structure of the free boundary in the fully nonlinear thin obstacle problem
研究了完全非线性薄障碍物问题中自由边界的正则性。我们的主要结果建立了自由边界在正则点附近是$C^1$。
2016-03-30 math.AP
The double obstacle problem on non divergence form
研究了完全非线性抛物型和椭圆型算子双障碍问题解的正则性。我们表明，当障碍物是足够经常的解决方案是$C^{1,α}$在内部的抛物和椭圆的情况下。
2017-09-20 math.AP
Regularity for the fully nonlinear parabolic thin obstacle problem
证明了一类内部为完全非线性抛物型方程的边界障碍问题的黏性解的$C^{1, α}$正则性（抛物意义下）.本文采用L. Caffarelli在1979年的文章中，推广了I. Athanasopoulos（1982）研究了线性抛物情形，E. Milakis和L. Silvestre（2008），他处理了完全非线性椭圆情形。
2021-01-20 math.AP
Constraint maps: singularities vs free boundaries
本文研究能量最小化约束映射的奇异性与自由边界，利用新的定量唯一延拓原理证明一致凸障碍下拓扑奇异性只能位于接触集内部，并揭示分支点产生标量情形中不存在的新型奇异性。
2024-07-30 math.AP math.DG
Gradient regularity for a class of elliptic obstacle problems
该研究针对带障碍约束的非自治积分泛函局部极小值问题，在偏映射系数满足合适Sobolev正则性的条件下，证明了局部极小值的更高可微性与Lipschitz连续性，推进了椭圆障碍问题的梯度正则性研究。
2024-08-18 math.AP
$C^{2,α}$ regularity of free boundaries in parabolic non-local obstacle problems
研究了分数阶Laplacian $(-Δ)^s$（以及更一般的积分微分算子）在$s>\frac{1}{2}$区域中抛物障碍问题自由边界的正则性。我们证明，一旦自由边界是$C^1$，它实际上是$C^{2,α}$。为此，我们在$C^1$和$C^{1,α}$（移动）域中建立了一个边界Harnack不等式，条件是线性方程在边界上消失的两个解的商与边界一样光滑.由于我们的结果，我们还建立了第一次最佳的正则性，这种解决方案的非局部抛物型方程在移动的区域。
2022-07-26 math.AP
Optimal regularity for the fully nonlinear thin obstacle problem
本文研究了完全非线性薄障碍问题解的最优正则性，通过证明正则点处爆破的唯一性及解的展开，确立了最优指数 $α_F$ 使得解在障碍两侧均为 $C^{1,α_F}$，并证明了旋转不变算子下解始终为 $C^{1,1/2}$。
2023-06-30 math.AP
Optimal regularity for the no-sign obstacle problem
本文证明了一般障碍型问题$$ \lap u = fχ_{\{u\neq 0\}}\textup{in $B_1$}, $$的最优$C^{1,1}(B_\frac12)$ -正则性，其中假定$f*N$是$C^{1,1}(B_1)$，$N$是牛顿位势.这是人们希望得到$C^{1,1}$ -正则性的最弱假设。作为副产品的$C^{1,1}$ -正则性，我们能够证明，在一个标准的厚度假设的零集接近一个自由边界点$x^0$，自由边界是局部的$C^1$ -图接近$x^0$，提供$f$是迪尼。这完全解决了这个问题的最佳规律性的问题，在过去的二十年中一直受到广泛关注。
2011-05-04 math.AP
Generic regularity of free boundaries for the obstacle problem
本文的目的是建立$\mathbb R^n$中障碍问题的自由边界的通有正则性。根据Caffarelli的经典结果，自由边界是$C^\infty$在一组奇点之外.明确的例子表明，奇异集一般可以是$(n-1)$维的-也就是说，与正则集一样大。我们的主要结果建立，一般来说，奇异集有零$\mathcal H^{n-4}$措施（特别是，它有余维3内的自由边界）。特别地，对于$n\leq4$，自由边界一般是$C^\infty$流形。这解决了Schaeffer（追溯到1974年）关于自由边界在维度$n\leq4$中的一般规律性的猜想。
2020-06-24 math.AP
