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arXiv 2204.02018math.RA
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简单李代数的和–括号定理

A sum-bracket theorem for simple Lie algebras

Daniele Dona

备注：
36 pages; v2: restructured introduction, minor edits, final version
发表信息：
J. Algebra, 631:658--694, 2023
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AI总结：

本文证明经典与例外简单李代数在适当特征下的和–括号增长定理，给出 $\mathbb{F}_p$ 上匹配李型群结果的直径界，并建立适用于多种简单代数的仿射子空间交集估计。

摘要：

设 $\mathfrak{g}$ 是域 $K$ 上的一个代数，具有双线性运算 $[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$，且不要求结合。对于 $A\subseteq\mathfrak{g}$，令 $A^{k}$ 表示由 $A$ 中 $k$ 个元素通过 $+$ 和 $[\cdot,\cdot]$ 组合而写成的 $\mathfrak{g}$ 中元素的集合。我们对 $K$ 上形如 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{n},\mathfrak{so}_{n},\mathfrak{sp}_{2n},\mathfrak{e}_{6},\mathfrak{e}_{7},\mathfrak{e}_{8},\mathfrak{f}_{4},\mathfrak{g}_{2}$ 的简单李代数证明了一个“和–括号定理”：若 $\mathrm{char}(K)$ 不太小，则对于所有远离 $K$ 的子域的生成对称集 $A$，都有形如 $|A^{k}|\geq|A|^{1+\varepsilon}$ 的增长。特别地，在 $\mathbb{F}_{p}$ 上，我们得到了一个直径界，与 [BDH21] 中李型群的最佳同类界相匹配。作为独立的中间结果，我们还证明了对 $\mathfrak{g}$ 的线性仿射子空间 $V$ 有形如 $|A\cap V|\leq|A^{k}|^{\dim(V)/\dim(\mathfrak{g})}$ 的估计。该估计对所有简单代数均成立，并且对包括结合代数、李代数、Mal'cev 代数以及李超代数在内的一大类代数，$k$ 特别小。

英文摘要：

Let $\mathfrak{g}$ be an algebra over $K$ with a bilinear operation $[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ not necessarily associative. For $A\subseteq\mathfrak{g}$, let $A^{k}$ be the set of elements of $\mathfrak{g}$ written combining $k$ elements of $A$ via $+$ and $[\cdot,\cdot]$. We show a "sum-bracket theorem" for simple Lie algebras over $K$ of the form $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{n},\mathfrak{so}_{n},\mathfrak{sp}_{2n},\mathfrak{e}_{6},\mathfrak{e}_{7},\mathfrak{e}_{8},\mathfrak{f}_{4},\mathfrak{g}_{2}$: if $\mathrm{char}(K)$ is not too small, we have growth of the form $|A^{k}|\geq|A|^{1+\varepsilon}$ for all generating symmetric sets $A$ away from subfields of $K$. Over $\mathbb{F}_{p}$ in particular, we have a diameter bound matching the best analogous bounds for groups of Lie type [BDH21]. As an independent intermediate result, we prove also an estimate of the form $|A\cap V|\leq|A^{k}|^{\dim(V)/\dim(\mathfrak{g})}$ for linear affine subspaces $V$ of $\mathfrak{g}$. This estimate is valid for all simple algebras, and $k$ is especially small for a large class of them including associative, Lie, and Mal'cev algebras, and Lie superalgebras.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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