Prescribin the binary digits of the primes, II
我们得到的期望渐近公式的素数$p<N=2^n$与$r$规定（任意放置）的二进制数字，提供$r<cn$为一个合适的常数$c>0$。这个结果改进了我们早先的结果，其中假定$r$满足$r<c(\frac n{\log n})^{4/7}$。
2013-07-01 math.NT
Properties of the cumulated deficient binary digit sum
本文研究了On-LineEncyclopediaofSequences中的序列A268289，即连续整数二进制展开式中1位数与0位数之差的累积.该序列恰好匹配某些特定集合的基数序列。此外，它也可以通过使用Takagi函数来表示。这三种不同的定义各有其性质，将它们结合在一起会产生一些新的恒等式。
2019-11-10 math.NT
On simultaneous binary expansions of $n$ and $n^2$
提出了一种新的序列族。更准确地研究了这个家庭的序列的一个例子。该序列由整数$n$组成，其二进制数字之和等于$n^2$的二进制数字之和。证明了它的一些结构和渐近性质，并讨论了关于它的计数函数的一个猜想。
2004-03-02 math.CO math.NT
Prescribing the binary digits of primes
我们提出了一个新的结果计数素数$p<N=2^n$，其中$r$（任意放置）数字的二进制扩展$p$指定。与Harman和Katai的早期工作相比，对$r$的限制放宽为$r< c\Big(\frac n{\log n}\Big)^{4/7}$。这个条件的结果从估计Gallagher和Iwaniec的零自由区域的$L$ -功能与“强大的”导体。
2012-01-09 math.NT
Record values in appending and prepending bitstrings to runs of binary digits
在这篇简短的笔记中，我们展示了一个简单的整数特征，这些整数达到了一个序列的记录，该序列通过将二进制字符串添加到二进制表示中的1和0的运行中来描述。特别是，我们表明，这个集合不依赖于添加的字符串，只要它们是非空的，长度相同。
2018-10-05 math.NT
Analysis of the binary asymmetric joint sparse form
我们考虑整数向量的冗余二进制联合数字展开。冗余用于最小化汉明权重，即，非零数字向量的数量。这导致在阿贝尔群中的有效的线性组合算法，其例如用于椭圆曲线密码学中。如果数字集是一组包含零的连续整数，则已知一个特殊的语法条件来最小化权重。我们分析了所有最大项小于N的非负整数向量的最优权值。给出了具有主项和二阶周期波动项的期望和方差。最后，我们证明了渐近正态性。
2014-02-10 math.CO math.NT
Binary Signed-Digit Integers, the Stern Diatomic Sequence and Stern Polynomials
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列，具有许多迷人的特征。整数的二进制符号位（BSD）表示在高效计算、编码理论和其它应用中得到广泛应用。我们链接这两个对象，表明整数$n<2^i$的$i$位二进制符号数字表示的数量是斯特恩的双原子序列中的$(2^i-n)^\text{th}$元素。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数位整数，反之亦然。本文讨论的这种关系的应用包括BSD表示的权重分布定理，将这些表示与Stern多项式联系起来，整数的最佳BSD表示的数量及其汉明权重的递归，源于Stern多项式的首项系数和次数的简单递归，以及具有最大数量的此类表示的所有整数的识别。
2021-08-30 cs.DM math.CO math.NT
Non-standard binary representations and the Stern sequence
本文证明整数的短二进制有符号数字表示数量等于 Stern 序列对应项，并以直接、双射、生成函数及 Monroe 的结果给出多种论证。
2023-08-14 math.CO math.NT
On sums of Fibonacci numbers with few binary digits
本文完全求解丢番图方程$F_n+F_m=2^{a_1}+2^{a_2}+2^{a_3}+2^{a_4}+2^{a_5}$，其中$F_k$表示$k$阶Fibonacci数.除了复杂的线性型的矩阵和Baker-Davenport减少方法，我们使用$p$ -adic版本的两个工具。
2021-04-26 math.NT
Approaching Cusick's conjecture on the sum-of-digits function
Cusick猜想的二进制数字和$s(n)$的一个非负整数$n$国家如下：对于所有非负整数$t$我们有\[ c_t=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac 1N\left\lvert\{n<N:s(n+t)\geq s(n)\}\right\rvert>1/2. \]我们证明，对于给定的$\varepsilon>0$我们有\[ c_t+c_{t'}>1-\varepsilon \]如果二进制扩展$t$包含足够的块连续$\mathtt 1$ s（取决于$\varepsilon$），其中$t'=3\cdot 2^λ-t$和$λ$的选择，使$2^λ\leq t<2^{λ+1}$。
2019-04-18 math.CO math.NT
The binary digits of n+t
二进制数字和函数$s$计算非负整数的二进制展开式中1的个数。对任意非负整数$t$，T.~ W.~ Cusick定义了整数$n\geq 0$的渐近密度$c_t$，使得\[s(n+t)\geq s(n).\]在2011年，他证明了对于所有$t$的$c_t>1/2$-当增加一个常数时，数字的二进制和通常会微弱地增加。在本文中，我们证明了存在一个明确的常数$M_0$，使确实$c_t>1/2$，如果$t$的二进制扩展包含至少$M_0$最大块的连续的，只留下开放的“初始情况”-几个最大块的-这个猜想。此外，我们锐化了Emme和Hubert（2019）的结果，证明了差异$s(n+t)-s(n)$的行为符合高斯分布，直到误差趋于$0$，因为$t$的二进制扩展中的最大块的数量增加。
2022-04-29 math.NT
A class of digit extraction BBP-type formulas in general binary bases
BBP型公式通常是通过计算机搜索在特定的基础上一次一个地实验发现的。然而，在本文中，我们直接推导出，没有做任何搜索，显式数字提取BBP型公式在一般的二进制基$b=2^{12p}$，$p$正奇数。作为特例，给出了$π\sqrt 3$、$π\sqrt 3\log 2$、$\sqrt 3\;{\rm Cl}_2(π/3)$和其它几个多对数常数的新的二元公式.本文导出的$π\sqrt 3\log 2$公式的一个变体已为人们所知十多年了，但迄今尚未得到证明。还给出了素数无限集的二进制BBP型公式和有理数无限集的反正切的二进制BBP型表示。最后，建立了新的二元BBP型零关系。
2016-03-23 math.NT
Binary-ternary collisions and the last significant digit of $n!$ in base 12
该研究在已有2进制与3进制数字和函数有无穷多碰撞结论的基础上进行细化，证明1到11的每个整数都能无穷次作为12进制下阶乘$n!$的最后非零数字出现，拓展了数论中数字和与阶乘数字特征的相关研究。
2024-12-12 math.NT
Hankel determinants of weighted binary sums of digits
研究加权二进制数字和的汉克尔行列式\(\mathcal{H}_\mathbf{w}(n)\)，推导递归式计算它，给出普通二进制数字和时的闭式解，还研究\(w_j = t^j\)时情况及相关一阶差分的行列式，推广了倍周期序列汉克尔行列式的结果。
2026-07-13 math.CO math.NT
Binary Signed-Digit Integers and the Stern Polynomial
整数的二进制符号数字表示用于各种设置中的高效计算。Stern多项式是Stern双原子序列的一个多项式扩展，它本身已经被深入研究。在本文中，我们展示了BSD表示和斯特恩多项式之间以前未知的连接。我们推导出一个权重分布定理$i$位BSD表示的整数$n$的斯特恩多项式的$2^i-n$的系数和程度的条款。然后，我们显示新的递归斯特恩多项式，并从这些和重量分布定理获得类似的BSD递归和快速$\mathcal{O}(n)$算法，计算的数量和数量的$0$的最佳BSD表示的所有整数的NAF位长度$\log(n)$一次，然后可以比较。
2021-08-27 math.NT
Prescribing the binary digits of squarefree numbers and quadratic residues
本文研究了乘法定义的集合，如无平方整数，二次非剩余或原根，在加法描述的集合，如和集或希尔伯特立方体中的等分布.特别是，我们表明，如果一个固定的任何比例小于$40\%$的所有数字的一个给定的二进制位长度的数字，那么剩余的一组仍然具有渐近预期的squarefree整数的数量。其次，我们研究了模大素数$p$的原根的分布，建立了Hilbert立方体在原根集中的最大维数的一个新的上界，改进了作者以前的一个结果.最后，我们研究了有限域上的和集，并在基数足够大的情况下，渐近地找到了这种和集中的二次剩余和非剩余的期望个数。这大大改进了Dartyge，Mauduit和Sárközy最近的结果。我们的方法引入了一些新的思想，结合了各种方法，如指数和特征和的界，数的几何和加法组合。
2016-01-18 math.NT
Infinite products involving binary digit sums
令$(u_n)_{n\ge 0}$表示具有值$\pm 1$的Thue-Morse序列。下面的伍兹-罗宾斯恒等式和它的几个推广在文献\begin{equation*}\label{WR}\prod_{n=0}^\infty\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^{u_n}=\frac{1}{\sqrt 2}.\end{equation*}中是众所周知的。没有其他这样的产品涉及一个有理函数在$n$和序列$u_n$似乎是已知的封闭形式。为了详细了解这些产品，我们研究了功能\begin{equation*}f(b,c)=\prod_{n=1}^\infty\left(\frac{n+b}{n+c}\right)^{u_n}.\end{equation*}，我们证明了一些分析性质的$f$。我们还得到了一些类似于Woods-Robbins乘积的新恒等式。
2018-05-16 math.NT
Aperiodicity and subword complexity in the binary expansion of powers of three
Institute for Globally Distributed Open Research and Education (IGDORE)（全球分布式开放研究与教育学院）
研究三的幂次二进制展开的精细结构，证明对于固定周期\(p\)，\(3^{m}\)二进制展开打破\(p\) - 周期性的位置数增长阶为\(\log m / \log\log m\)，且由\(3^{m}\)低阶数字形成的二进制字具有完整低阶子词复杂性。
2026-09-01 math.CO math.NT
Weyl sums over integers with digital restrictions
本文给出了二进制数和固定或受某种同余条件限制的整数上的Weyl和的估计。在我们的证明中，我们使用的思想可以追溯到Banks，Conflitti和第一作者（2002）的一篇论文。此外，我们应用了Bourgain，Demeter和Guth（2016）以及Wooley（2016，2019）建立的Vinogradov中值定理的“主要猜想”。我们使用我们的结果给出的点集的差异，定义的多项式的值在参数有二进制数字的总和以不同的方式限制的估计。
2021-05-11 math.NT
A Combinatorial Approach to Positional Number Systems
虽然用基数和一组数字表示实数有很长的历史，但即使在简单的情况下也会出现新的问题。本文涉及二进制基数系统，即，数字为0和1的位置数系统。我们的组合方法是构造无限多个二进制基数系统，每个系统都来自一对二进制字符串。每个二进制基数系统，即使满足最小的一组条件，将预期的位置数系统可以用这种方式来构建。
2013-05-28 cs.DM math.CO math.NT
Normal distribution of correlation measures of binary sum-of-digits functions
本文研究了\cite{emme_asymptotic_2017}中引入的相关测度。用$μ_a(d)$表示集合$\mathcal{E}_{a,d}=\{n \in \mathbb{N}, \ s_2(n+a)-s_2(n)=d\}$的渐近密度（其中$s_2$是以2为底的数字和函数）。然后，对于$\{0,1\}^\mathbb{N}$中的任何点$X$，定义整数序列$\left(a_X (n)\right)_{n\in \mathbb{N}}$，使得$a_X (n) $的二进制分解是$X$的长度$n$的前缀。证明了对于PDMATHAMR上的\textit{any}平移不变遍历概率测度$ν$，序列$\left(μ_{a_X(n)}\right)_{n \in \mathbb{N}}$满足中心极限定理.在$ν$是\cite{emme_central_2018}中的对称伯努利测度的情况下证明了该结果。
2018-10-26 math.DS math.NT math.PR
Products of integers with few nonzero digits
令$s(n)$为整数$n$的二进制数字扩展中的非零位数。研究了固定$k,\ell,m$的奇整数变量$a,b$中的丢番图系统$$ s(ab)=k, \quad s(a)=\ell,\quad \mbox{and }\quad s(b)=m, $$.当$k=2$或$k=3$时，我们根据$\ell$和$m$在$ab$上建立一个界限。虽然这样的界限不存在的情况下，$k=4$，我们给$\min\{a,b\}$在$\ell$和$m$的上限。
2021-12-06 math.CO math.NT
Collisions of digit sums in bases 2 and 3
证明了一个关于二进制和三进制数和函数的猜想：存在无穷多个正整数$n$使得$n$的二进制数和等于$n$的三进制数和.
2022-04-20 math.NT
Distributions of left prime truncations
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Université de Montréal（蒙特利尔大学）
研究了整数和多项式左素截断的分布特性，分析了其在所有ℓ位数或多项式中的比例、方差及最大比例。
2026-03-09 math.NT
On the binary digits of the Erdős-Borwein constant
Dalhousie University（达尔豪斯大学）
通过结合Erdős同余构造和Alford-Granville-Pomerance素数计数估计，证明了Erdős-Borwein常数E的二进制展开中字符串11无限次出现。
2026-05-22 math.NT
Two algorithms for evaluation of the Newman digit sum, and a new proof of Coquet's theorem
本文给出了区间[0，x）中偶数与奇数和的3的倍数之差的两个简单算法，并给出了Coquet的精确估计的一个初等证明.
2012-09-17 math.NT
A first-exit proof of Cusick's sum-of-digits conjecture
China West Normal University（西华师范大学）
通过精确反卷积将s_2(n+t)-s_2(n)的分布转化为有限停止随机游走律，并利用主子序列理想的第一退出中位数证明Cusick猜想。
2026-08-21 math.CO math.NT
On the density of nice Friedmans
弗里德曼数是一个正整数，它是一个表达式的结果，通过使用四个基本操作，幂和数字连接组合所有自己的数字。一个“好”弗里德曼数是这样的弗里德曼数，它的表达式可以用它自己的数字来表示，而数字的原始顺序不变。关于弗里德曼数的一个基本问题，特别是关于好的弗里德曼数，是它们在整数中有多常见。本文证明了在二进制、三进制和四进制中，好Friedman数的密度为1。
2013-10-09 math.CO math.NT
The joint distribution of binary and ternary digits sums
本文研究二进制与三进制数位和函数的联合分布，证明了$(s_2(n),s_3(n))$在渐近密度意义下几乎取遍$\mathbb N^2$，从而将已有的碰撞结果推广为任意正整数对$(a,b)$下方程$as_2(n)=bs_3(n)$都有无穷多个解。
2025-01-01 math.NT
The sum-of-digits function on arithmetic progressions
设$s_2$为基函数$2$中的数字和函数，该函数返回非负整数$n$的非零二进制数。我们研究了$s_2$的算术复杂性，证明了在移位之前，作为$s_2$的算术子序列出现的整数的$m$ -元组的集合具有全复杂性.
2019-09-19 math.NT
Digit expansions of numbers in different bases
数论中的一个民间传说猜想指出，在基$3,4$和$5$中展开式只包含二进制数字的整数只有$0, 1$和$82000$。在本文中，我们提出了这个猜想的第一个进展。此外，我们调查的整数只包含二进制数字在其基地$3$或$4$扩展，在那里一个令人兴奋的过渡行为观察到的密度。我们的方法揭示了这一点的原因，并涉及到几个著名的问题，如格雷厄姆的问题和一个相关的猜想Pomerance。最后，我们推广了这种设置，并证明了在$[0, 1]$中不包含一些数字在其$b$ -扩展的所有$b \geq 3$有零豪斯多夫维数。
2021-04-23 math.DS math.NT
On the asymptotic behaviour of the correlation measure of sum-of-digits function in base 2
令$s\_2(x)$表示任何$x \in \mathbb{N}$的二进制扩展中的位数“$1$“。本文研究了$s\_2(x+a)-s\_2(x)$的平均分布$μ\_a$，证明了方程$$ s\_2(x+a)-s\_2(x)= d $$的解是由$\{0,1\}^*$中的有限前缀集唯一确定的，而$d$的差的概率分布是由系数为$l^1(\mathbb{Z})$的算子的矩阵的无穷乘积给出的.然后，用$l(a)$表示$a$的二进制展开式中的模式数$01$，我们给出了当$l(a)$趋于无穷大时该概率分布的渐近性质以及概率测度$μ\_a$的方差估计
2017-12-11 math.CO math.NT math.PR
Additive Bases from Primitive Dyck Words: Regular Underapproximations, Motzkin Coding, and Digit Lifting
Growup Learning Academy（Growup学习学院）
研究由规范二进制展开为原始戴克单词的整数构成的加法表示，通过配对连续位揭示关系，证明区间数字提升定理和算法，结合工具对正偶数分类，得出848是最终阈值且界限渐近最优。
2026-07-28 cs.FL math.CO math.NT
Beyond odious and evil
在Seqfan列表上最近的一篇文章中，第三作者提出了一个关于可憎数的求和函数的猜想（即，二进制数字之和是奇数的数字），以及其对邪恶数字的模拟（即，二进制数之和为偶数的数）。我们在这里证明这些假设。我们还将研究序列的“广义”可憎和邪恶的数字，和他们的迭代，特别是一个表征的序列通常可憎和邪恶的数字方面的函数方程满足其组成。
2014-05-23 math.NT
Primes with restricted digits
令$a_0\in\{0,\dots,9\}$。我们证明了有无穷多个素数在它们的十进制展开式中没有数字$a_0$。证明是一个应用程序的哈迪-利特尔伍德圆方法的一个二元问题，并依赖于获得适当的“I型”和“II型”的算术信息用于哈曼筛控制的小弧。这是通过将指示素数的傅里叶变换何时大的丢番图条件与指示具有受限数字的数的傅里叶变换何时大的数字条件解相关而获得的。这些估计依赖于结合的数的几何，大筛和矩估计通过比较与马尔可夫过程。
2019-10-28 math.NT
