Cusick数字和猜想的第一退出证明
A first-exit proof of Cusick's sum-of-digits conjecture
AI总结：
通过精确反卷积将s_2(n+t)-s_2(n)的分布转化为有限停止随机游走律，并利用主子序列理想的第一退出中位数证明Cusick猜想。
摘要：
我们证明了关于二进制数字和函数的Cusick猜想。更精确地说，对于每个整数\\(t\ge 1\\)，我们证明\\[ c_t:=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N} \\#\{0\le n<N:\\ s_2(n+t)\ge s_2(n)\} > \frac{1}{2}, \\] 并且实际上得到了显式下界\\[ c_t\ge \frac{1}{2}+2^{-2s_2(t)-1}, \\] 其中\\(s_2(m)\\)表示\\(m\\)的二进制展开中1的个数。证明基于精确反卷积，将\\(s_2(n+t)-s_2(n)\\)的分布替换为有限停止随机游走律。然后通过主子序列理想的第一退出中位数证明了所需的偏差。
英文摘要：
We prove Cusick's conjecture on the binary sum-of-digits function. More precisely, for every integer \(t\ge 1\) we show that \[ c_t:=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N} \#\{0\le n<N:\ s_2(n+t)\ge s_2(n)\}>\frac{1}{2}, \] and in fact obtain the explicit bound \[ c_t\ge \frac{1}{2}+2^{-2s_2(t)-1}, \] where \(s_2(m)\) denotes the number of ones in the binary expansion of \(m\). The proof is based on an exact deconvolution which replaces the distribution of \(s_2(n+t)-s_2(n)\) by a finite stopped random-walk law. The required bias is then proved through first-exit medians for principal subsequence ideals.
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