A parameterization method for quasi-periodic systems with noise: computation of random invariant tori
针对受随机噪声影响的准周期强迫斜积系统，提出随机参数化方法并结合Banach空间隐函数定理证明NHIM存在性，进而给出计算其统计量与Lyapunov指数的数值算法。
2025-03-16 math.DS
Computation of maximal local (un)stable manifold patches by the parameterization method
在这项工作中，我们开发了一些自动程序计算高次多项式展开的局部（不）稳定流形平衡的微分方程。我们的方法结合了有效的截断误差界，并最大化的图像的多项式逼近相对于一些指定的约束的大小。更确切地说，我们使用的流形计算严重依赖于缩放的特征向量：事实上，我们研究这些缩放的估计，确定验证的误差界的精确效果。特征向量定标和误差估计之间的这种关系在我们的自动过程中起着核心作用。为了说明这些方法的实用性，我们提出了几个应用程序，包括可视化的不变流形的洛伦兹和FitzHugh-Nagumo系统和自动延续计划（不）稳定流形的吊桥问题。在目前的工作中，我们明确对待的情况下，本征值满足一定的非共振条件。
2015-11-04 math.DS
Multi-shooting parameterization methods for invariant manifolds and heteroclinics of 2 DOF Hamiltonian Poincaré maps, with applications to celestial resonant dynamics
针对2自由度哈密顿系统流形计算中线性近似全局化成本高、既有非线性方法依赖单次相交假设的问题，提出基于固定时间映射的多打靶参数化方法，可处理多次相交情形，高精度计算异宿轨道，已应用于平面圆型限制性三体问题的共振动力学研究。
2025-09-03 math.DS
Fourier-Taylor Parameterization of Unstable Manifolds for Parabolic Partial Differential Equations: Formalization, Implementation, and Rigorous Validation
本文研究了抛物型偏微分方程双曲平衡解的局部有限维不稳定流形的图表映射的高阶展开。我们的方法是基于研究一个无穷小不变方程的图表地图，恢复一个简单的共轭方面的流形上的动态。我们开发了正式的系列解决方案的不变性方程和有效的数值方法计算的系列系数，任何所需的有穷级。我们表明，在温和的非共振条件下，正式的级数展开收敛在一个足够小的邻域的平衡。一个后验计算机辅助的参数证明收敛在较大的社区。我们实现了空间非齐次Fisher方程的方法和数值计算和验证高阶展开的一些局部非稳定流形的莫尔斯指数为1和2。我们还提供了一个计算机辅助的鞍-汇异宿连接轨道的存在性证明。
2016-05-27 math.DS
Global phase-amplitude description of oscillatory dynamics via the parameterization method
在本文中，我们使用参数化方法提供了一个完整的描述的$n$维振荡器的动力学超越经典的相位减少。参数化方法允许，通过有效的算法，以获得参数化的吸引不变流形的极限环的相位振幅变量。该方法具有若干优点。它提供了一个分析的傅里叶-泰勒展开的参数化到任何顺序，以及简化的动力学，允许数值全球化的流形。因此，人们可以获得本地和全球的等时线和等稳线，包括慢吸引流形，以高精度，它提供了一个几何画像的振荡动力学。此外，它直接提供了无穷小相位和幅度响应函数，即，扩展的无穷小相位和幅度响应曲线，其监测超过渐近状态的相位和幅度偏移。因此，所提出的方法产生一个准确的描述扰动不限于极限环，但其吸引不变流形的相动力学。最后，我们探讨了动力学降维的策略，包括将动力学降维到慢稳定子流形。我们说明我们的方法，将它们应用到不同的三维单神经元和神经种群模型在神经科学。
2020-08-05 math.DS
Optimal Parameterizing Manifolds for Anticipating Tipping Points and Higher-order Critical Transitions
提出基于最优参数化流形的变分方法，通过优化后向积分时间构建低阶约化系统，准确预测高阶临界转变与灾难性倾覆现象。
2023-09-15 math.DS
On the convergence of flow map parameterization methods for whiskered tori in quasi-periodic Hamiltonian systems
本文针对解析哈密顿系统中部分双曲不变环面的存在性，基于参数化方法框架证明了KAM迭代格式的收敛性，并给出了计算机辅助证明所需的显式常数。
2025-08-18 math.DS
Differentiable invariant manifolds of nilpotent parabolic points
考虑一类具有抛物型不动点且其微分不可对角化的$C^r$映射$F$，利用参数化方法研究了与该不动点相关的不变流形的存在性和正则性.具体地说，我们证明了在适当的$F$系数条件下，存在远离不动点的$C^r$类不变曲线，并且当$F$解析时，它们是解析的.作为纤维收缩定理的一个应用，得到了可微性结果。我们还提供了一个算法来计算近似的参数化的不变曲线和规范形式的限制动力学的$F$对他们。
2021-03-26 math.DS
A geometric approach to Phase Response Curves and its numerical computation through the parameterization method
相位响应曲线（PRC）是神经科学中使用的一种工具，用于测量振荡器由于在极限环的不同相位处施加的扰动而经历的相移。在本文中，我们提出了一种新的方法，PRCs的参数化方法的基础上。其基本思想依赖于一个周期性系统的建设，其相应的频闪映射具有不变的曲线。我们证明了这个不变曲线的内部动态和PRC之间的关系，这产生了一种方法来数值计算PRCs。此外，我们链接的存在性的不变曲线的扰动的幅度增加与PRC波形的变化和几何形状的等时线。不变曲线及其动力学将通过由求解不变方程组成的参数化方法来计算。我们表明，该方法来计算PRC可以扩展到超越故障的曲线通过引入一个修改后的不变方程。该方法还计算振幅响应函数（ARC），其提供关于由于扰动的影响而远离振荡器的位移的信息。最后，我们将该方法应用到神经科学中的几个经典模型中，以说明本文的结果如何扩展PRC和ARC的计算和解释框架，用于大幅度的扰动，不一定是脉动的。
2019-07-23 math.DS
Weighted Birkhoff Averages and the Parameterization Method
本文提出一种基于参数化方法与加权Birkhoff平均的系统方法，仅需有限轨道数据即可高精度计算保面积映射中拟周期不变圆的Fourier展开，并自动检测其族破裂。
2023-06-28 math.DS
Construction of invariant whiskered tori by a parameterization method. Part I: Maps and flows in finite dimensions
我们提出的定理，提供了存在不变的须环面有限维精确辛映射和流。该方法是基于一个函数方程表示有一个不变环面的研究。我们证明了，给定满足某些非退化条件的不变性方程的近似解，附近存在真解。我们称之为{ \sl后验}方法。主要定理的证明是基于迭代法求解函数方程。这些定理并不假设系统是接近可积的，也不假设它是用作用角变量来表示的（因此我们可以用一种统一的方式来处理主环面和次环面）。它也没有假设双曲丛是平凡的，更没有假设双曲运动可以化为常数。后验公式使我们能够证明由许多非严格方法（例如，形式级数展开，数值方法）产生的近似解。迭代法不是基于变换理论，而是基于迭代修正。这使得它可以适应的方法几乎逐字几个无限维的情况下，我们将在即将发表的论文中讨论。我们还注意到，该方法导致快速和有效的算法。我们计划在即将发表的论文中开发这些改进。
2009-03-02 math.DS
Computing the Invariant Circle and the Foliation by Stable Manifolds for a 2-D Map by the Parameterization Method: Numerical Implementation and Results
提出并实现了一个计算二维映射的不变圆和稳定流形的算法。该算法基于参数化方法，并得到了文献[YdlL 21]中建立的后验定理的支持。该算法的工作原理，无论是否在不变圆的内部动态是一个旋转或它是锁相。该算法的收敛二次和操作的数量和内存需求的每一步迭代的离散化的大小是线性的。我们还报告了在一些标准模型中运行实现的结果，以发现新的现象。特别是，我们探讨了一个捆绑合并的情况下，不变圆失去双曲性，因为稳定方向和切线之间的角度变为零，即使收缩率是分开的。我们还讨论和实现了一个推广的算法到3维，并实现了3维脂肪阿诺德家庭（3D-FAF）映射与非共振特征值和目前的数值结果。
2021-10-29 cs.NA math.DS math.NA
Computing the Invariant Circle and its Stable Manifolds for a 2-D Map by the Parameterization Method: Effective Algorithms and Rigorous Proofs of Convergence
我们提出并严格分析了一个二次收敛的算法，以计算一个不变的圆的2维地图以及相应的叶理稳定流形。我们证明，当算法从一个初始猜测，满足不变性方程非常近似（取决于一些条件数，评估的近似解），然后该算法收敛到一个真正的解决方案，这是接近初始猜测。在光滑范数下，收敛速度比指数收敛快。从精确解到近似解的距离由初始误差限定。这允许验证数值逼近（后验结果）。它也意味着通常的持久性公式，因为一个模型的不变性方程的精确解是类似模型的近似解。我们提出的算法的工作原理，无论是在不变的圆上的动态是一个旋转或它是锁相。所需的条件数不涉及映射的任何全局定性性质。它们是通过估计初始猜测的导数、猜测邻域中映射的导数、执行代数运算和取上确界来获得的。收敛性的证明是基于一个一般的纳什-莫泽隐函数定理专门针对这个问题。Nash-Moser程序具有不寻常的特性。事实证明，正则性要求并不是很严格（只有2个导数就足够了）。我们希望这个隐函数定理可能会引起独立的兴趣，并在一个独立的附录中给出了它。该算法是二次收敛的，对存储空间和运算量要求不高，具有很强的实用性。在配套文件[YdlL 21]中描述了运行的实施和结果的详细信息。
2021-10-29 math.DS
Rigorous computer assisted application of KAM theory: a modern approach
在本文中，我们提出并说明了一个一般的方法，适用于KAM理论在特定的问题，基于{ \em后验}的方法。本文主要讨论了辛映射的实解析拟周期拉格朗日不变环面的存在性。其目的是验证假设的KAM定理的后验格式：给定一个参数化的近似不变环面，我们必须检查非共振（丢番图）条件，非退化条件和某些不等式举行。为了检验这样的不等式，我们需要控制依赖于映射、环境结构和参数化的某些函数的解析范数。为此，我们提出了一种有效的计算机辅助方法，使用快速傅里叶变换，具有相同的渐近成本的参数化方法获得不变环面的数值逼近。我们说明了我们的方法，证明存在不变曲线的标准地图（$\eps=0.9716$），蜿蜒的曲线的非扭曲标准地图和2维环面的Froeschlé地图。
2016-01-01 math.DS
Gevrey estimates for one dimensional parabolic invariant manifolds of non-hyperbolic fixed points
本文研究了一维不变流形的自然参数化的Gevrey特征，它与解析映射的不动点的抛物方向有关，即与特征值等于$1$的方向有关.我们证明了，在一般的假设下，这些不变流形是Gevrey型的，其类型与某些显式常数有关。我们提供的例子，我们的结果的最优性以及一些应用天体力学，即Sitnikov问题和限制性平面三体问题。
2017-02-20 math.DS
Construction of invariant whiskered tori by a parameterization method. Part II: Quasi-periodic and almost periodic breathers in coupled map lattices
本文在具有平移不变的无限格点上构造了耦合哈密顿系统的拟周期解和殆周期解。耦合可以是长距离的，只要它们相对于距离衰减得适度快。对于我们构造的解，大多数的站点都在一个双曲不动点的邻域内移动，但也有振荡站点聚集在一系列节点周围。这些振荡的振幅不需要趋于零。特别地，殆周期解在无穷远处不衰减。我们用公式表示一个不变方程。这个方程的解是一个不变环面的嵌入，在这个环面上运动与旋转共轭。我们证明，如果存在一个近似解的不变性方程，满足某些非退化条件，有一个真正的解决方案关闭。这个\emph{a-posteriori}定理的证明是基于Nash-Moser迭代，它不使用变换理论。在E.丰蒂希河de la Llave，Y. Sire \emph{J. Differential. Equations.} { \bf 246}，3136（2009）.一个技术工具，对我们的目的很重要，是使用加权空间，捕捉的想法，正在考虑的地图是本地的相互作用。利用这些加权空间，迭代步的估计类似于有限维空间中的估计。特别是，估计值与被激发的节点数量无关。使用这些技术，给定两个呼吸器，我们可以将它们分开并获得近似解，从而导致附近的真实解。通过无限次地重复这个过程，我们可以得到具有无穷多个频率的解，这些频率在无穷远处不趋于零。
2014-06-04 math.DS
An application of the parameterization method to evolution flows associated to nonautonomous systems
Institute for Mechanical Systems, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院机械系统研究所）
将参数化方法应用于非自治系统的演化流，在Sacker-Sell谱孤立子集满足非共振条件时，证明了不变拓扑子流形的存在性、唯一性及相关正则性与吸引性。
2026-11-03 math.DS
An Invariant Manifold Theory for ODEs and Its Applications
对于一个系统的常微分方程定义在一个开放的凸区域$U$包含一个正不变集$Γ$，我们证明了在适当的假设下，$Γ$是一个图的$C^r$功能，从而$C^r$流形。由于这些假设可以很容易地通过检查系统的向量场来验证，因此该不变流形理论可以用于研究包含广泛参数的系统中不变流形的存在性以及当小参数趋于零时其法向双曲性消失的不变流形的持久性。我们应用这个不变流形理论研究三个例子，并在每种情况下获得的结果是不能达到经典的正常双曲不变流形理论。
2009-09-06 math.DS
Tikhonov-Fenichel reduction for parameterized critical manifolds with applications to chemical reaction networks
我们推导出一个约化公式奇摄动常微分方程（在Tikhonov和Fenichel的意义下）与一个已知的参数化的临界流形。没有一个先验的假设，关于分离的慢，快的变量，或necessary.We应用的理论结果，化学反应网络的质量作用动力学承认慢，快反应。对于某些相关类的这类系统，存在各种驻点的正则参数化，因此该理论是适用于一个自然的方式。特别地，我们得到了一个封闭的形式表示的简化系统时，快速子系统承认复杂的平衡稳定状态。
2019-05-20 math.DS q-bio.MN q-bio.QM
A Girsanov approach to slow parameterizing manifolds in the presence of noise
本研究针对三维快慢随机系统，利用确定性慢流形实现快变量参数化，推导二维随机Hopf正规形约化模型，通过Girsanov定理给出Wasserstein距离误差估计，并拓展至倒置时间尺度情形，辅以数值模拟验证。
2025-01-19 math.DS math.PR
A note on the convergence of parametrised non-resonant invariant manifolds
不变流形的截断泰勒级数表示在数值计算中非常丰富。我们提出了一种后验方法来计算解析向量场鞍点的非共振局部不变流形的解析参数化的收敛半径和误差估计。这使我们能够获得局部外壳，以及存在性结果，为不变流形。
2010-01-24 math.DS
A lambda-lemma for normally hyperbolic invariant manifolds
设$N$是光滑流形，$f:N\to N$是$C^l$，$l\geq 2$同构.设$M$是一个正规双曲不变流形，不一定是紧的。我们证明了类似的$λ$ -引理在这种情况下。
2005-10-29 math.DS
A Modified Parameterization Method for Invariant Lagrangian Tori for Partially Integrable Hamiltonian Systems
针对部分可积 Hamiltonian 系统，论文提出修正的参数化拟 Newton 方法并证明后验 KAM 收敛，改进了小性条件且适用于计算机辅助证明。
2023-04-20 math.DS nlin.CD
The exponential dichotomy and invariant manifolds for some classes of differential equations
本文研究了几类半线性微分方程，包括适定性和不适定性的情形，这些方程可以生成上循环（或与生成上循环对应的上循环）。在指数型二分条件下，在其他较弱的假设下，基于我们以前关于抽象“广义动力系统”不变流形理论的工作：不变图（全局版本）和正常双曲不变流形（局部版本），我们研究了这类微分方程的不同类型不变流形的存在性、持久性和正则性，并给出了简要的总结.
2019-03-19 math.DS
Invariant Manifolds for Non-differentiable Operators
研究光滑动力系统的拓扑类需要一个一般的不变流形定理。这些类在重整化下通常是不变的。经典的不变流形定理不能应用，因为光滑系统的重整化算子是不可微的，有时不具有吸引子。以一般光滑动力学（如单峰动力学、圆动力学、Cherry动力学、Lorenz动力学、Hénon动力学等）的重整化算子为例，给出了构造不可微非线性算子的不变流形的一般方法.一个应用是$\mathcal C^{4+ε}$ Fibonacci Cherry映射形成$\mathcal C^1$余维单流形。
2019-08-19 math.DS
Hyperbolic sub-dynamics: compact invariant 3-manifolds
在1970年，赫希问什么样的紧凑不变集可以是一个双曲集的一部分。在这里，我们得到，在这样的不变集是一个三维流形的情况下，它是一个连接的和环面与处理由对合。此外，如果流形是可定向的，则对合都是平凡的。1975年，马{}{é}刻画了限制在流形上的双曲动力系统，并称之为拟Anosov。我们还在这里分类准Anosov动力学的三维流形。
2005-07-18 math.DS
Rapid GPU-Assisted Search and Parameterization-Based Refinement and Continuation of Connections between Tori in Periodically Perturbed Planar Circular Restricted 3-Body Problems
针对周期扰动PCRTBP中环面间异宿连接难以搜索的问题，提出GPU加速的网格搜索与参数化细化方法，实现快速高精度计算并延续连接族，在木星-欧罗巴模型中验证，加速5-7倍。
2023-10-18 astro-ph.EP astro-ph.IM math.DS
Numerical Computation of Quasiperiodic Reducible Saddle-Node Bifurcations: a Parameterization Method Approach
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）；University of Dundee（邓迪大学）
提出计算自治常微分方程系统中具有内部拟周期动力学的可约、正常双曲不变环面的方法，基于KAM理论参数化方法，能确定环面存在的系统参数，适用于伪弧长延拓计算鞍结分岔。
2026-07-07 math.DS nlin.CD
Invariant manifold reduction for stochastic dynamical systems
不变流形有助于理解非线性随机动力学。例如，当一个不变流形近似地用一个图来表示时，整个随机动力系统可以被简化或限制到这个流形上。这种简化系统可以为原系统提供有价值的动力学信息。作者导出了Stratonovich或Ito随机微分方程系统的不变流形约化或约束原理。考虑了不变流形的两个不变性概念。第一个不变性概念是在上循环的框架中--一个不变流形是一个随机集。通过研究随机中心流形实现了动力约简。第二个不变性概念是在几乎必然的意义上的--一个不变流形是一个确定的集合，它不一定是吸引的。原随机系统在这个确定性局部不变流形上的约束仍然是一个降维的随机系统。
2006-07-15 math.DS math.PR
Intersection of stable and unstable manifolds for invariant Morse functions
本文研究了不变Morse-Smale函数的光滑流形的结构，光滑流形定义为稳定流形与非稳定流形的交.
2010-11-20 math.DG math.DS
Invariant manifolds for parabolic equations under perturbation of the domain
研究了半线性抛物型方程在Dirichlet边界条件下区域扰动对不变流形的影响。在区域上的Mosco收敛假设下，证明了双曲平衡点附近局部不稳定不变流形和局部稳定不变流形的上、下半连续性下半连续性.连续性结果是通过跟踪P. W. Bates和C. K. R. T.琼斯[Dynam。次报告.戴南爵士系统应用，第2卷，1- 38，1989]。
2011-09-15 math.AP math.DS
Invariant manifolds for stochastic partial differential equations
不变流形提供了描述和理解非线性系统动力学的几何结构。有限维和无限维自治确定性系统以及随机常微分方程的不变流形理论已经比较成熟。本文给出了由{\em随机}偏微分方程生成的无穷维{\em随机}动力系统的不变流形的统一理论。我们首先介绍了一个随机图变换和非自治系统的不动点定理。然后，我们证明了广义不动点的存在性，它给出了所需的不变流形。
2004-09-24 math.AP math.DS
Computer assisted proofs for transverse heteroclinics by the parameterization method
本研究构建泛函分析框架，结合流形傅里叶-泰勒近似与切比雪夫级数边值问题解法，实现常微分方程横截异宿轨道的严格计算机辅助证明，并在两类经典系统中给出算例。
2024-05-21 cs.NA math-ph math.DS
The Liouville-Arnold-Nekhoroshev theorem for non-compact invariant manifolds
在一定条件下，在完全可积和部分可积哈密顿系统的非紧不变流形附近可以引入广义作用角坐标。
2003-01-02 math-ph math.DS math.MP
Geometric and spectral characterization of Zoll manifolds, invariant measures and quantum limits
我们给出了黎曼流形成为Zoll流形的新的几何和谱刻画，即，所有的测地线都是周期性的。我们分析了与不变测度和量子极限的关系。
2018-11-30 math.DS math.MG math.SP
Qualitative Properties of Local Random Invariant Manifolds for SPDEs with Quadratic Nonlinearity
利用截断技术研究了带二次非线性项和乘性噪声的随机偏微分方程局部随机不变流形的定性性质。通过对描述局部随机不变流形的Perron不动点方程的详细估计，给出了其分支附近的结构.
2009-07-30 math.AP math.DS math.PR
Action-angle coordinates around a noncompact invariant manifold of a completely integrable Hamiltonian system
完全可积哈密顿系统的正则连通不变流形的平凡丛可以被提供作用角坐标。
2002-05-23 math-ph math.DS math.MP
