Cliques of orders three and four in the Paley-type graphs
令$n=2^s p_{1}^{α_{1}}\cdots p_{k}^{α_{k}}$，其中$s=0$或$1$、$α_i\geq 1$和不同素数$p_i$对所有$i=1, \ldots, k$都满足$p_i\equiv 1\pmod{4}$。令$\mathbb{Z}_n^\ast$表示交换环$\mathbb{Z}_n$中的单位群。最近，我们定义了一个阶为$n$的Paley型图$G_n$，它的顶点集是$\mathbb{Z}_n$，且$xy$是一条边，如果对于某个$a\in\mathbb{Z}_n^\ast$，$x-y\equiv a^2\pmod n$是一条边. Paley型图$G_n$在许多方面类似于经典的Paley图，并添加到Paley图的推广列表中。计算Paley图或其推广图中特定阶的团的数目一直是人们相当感兴趣的。对于素数$p\equiv 1\pmod 4$和$α\geq 1$，通过计算某些特征和，得到了$G_{p^α}$中$3$阶团的个数，并将$G_{p^α}$中$4$阶团的个数表示为Jacobi和.在这篇文章中，我们给出组合的证明，并找到了$3$和$4$在$G_n$为所有$n$的图定义的团的数量。
2023-01-17 math.CO math.NT
Gauss sums and the maximum cliques in generalized Paley graphs of square order
设$GP(q,d)$是定义在有限域$\mathbb{F}_q$上的$d$ -Paley图.众所周知，提高$GP(q,d)$的团数的平凡上界$\sqrt{q}$是非常困难的。本文研究了有限域上的高斯和与其对应的广义Paley图的最大团之间的关系。我们证明了$GP(q,d)$的团数的平凡上界是紧的当且仅当$d \mid (\sqrt{q}+1)$，从而加强了Broere-Döman-Ridley和Schneider-Silva的相关结果.我们还得到了关于半本原高斯和的Stickelberger定理的一个新的简单证明。
2021-06-13 math.CO math.NT
On the directions determined by Cartesian products and the clique number of generalized Paley graphs
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
已知由笛卡尔积$A \times B \subset AG(2,p)$形成的方向的数目至少是$|A||B| - \min\{|A|,|B|\} + 2$，假设$p$是素数并且$|A||B|<p$。这意味着$\mathbb{F}_p$上Paley图的团数的最佳上界。在本文中，我们将这个结果推广到$AG(2,q)$，其中$q$是一个素数幂。我们还给出了$\mathbb{F}_q$上广义Paley图的团数的改进的上界.特别地，对于三次Paley图，我们将平凡上界$\sqrt{q}$改进为$0.769\sqrt{q}+1$ .在一般情况下，作为我们的关键结果的方向数的应用程序，对于任何正函数$h$，使$h(x)=o(x)$作为$x \to \infty$，我们提高了平凡的上限$\sqrt{q}$到$\sqrt{q}-h(p)$几乎所有的非平方$q$。
2021-01-25 math.CO math.NT
On a Paley-type graph on $\mathbb{Z}_n$
设$q$是素数幂，使得$q\equiv 1\pmod{4}$. $q$阶Paley图是顶点集为有限域$\mathbb{F}_q$且边定义为的图，$ab$是边当且仅当$a-b$是$\mathbb{F}_q$中的非零正方形.我们试图构造一个类似的图的顺序$n$，其中$n\in\mathbb{N}$。对于适当的$n$，我们构造了图，其中点集是有限交换环$\mathbb{Z}_n$，边定义为，$ab$是边当且仅当对于$\mathbb{Z}_n$的某个单位$x$，有$a-b\equiv x^2\pmod{n}$.我们来看看这个图的一些性质。对于素数$p\equiv 1\pmod{4}$，Evans，Pulham和Sheehan计算了Paley图中4阶完全子图的个数。最近，Dawsey和McCarthy发现了$q$阶广义Paley图中4阶完全子图的个数。本文对素数$p\equiv 1\pmod{4}$和任意正整数$α$，求出了定义在$\mathbb{Z}_{p^α}$上的图中3阶和4阶完全子图的个数.
2021-10-07 math.CO math.NT
Distribution of power residues over shifted subfields and maximal cliques in generalized Paley graphs
本文推导了有限域上特定方程组子域解数量的渐近公式，构造了广义Paley图中极大团新家族，证明了相关大小结论，并证实了两个关于团极大性的猜想。
2024-08-10 math.CO math.NT
On eigenfunctions and maximal cliques of generalised Paley graphs of square order
该研究针对满足$m\mid(q+1)$的平方阶广义Paley图GP$(q^2,m)$，显式构造了特定大小的极大团，验证了最小特征值对应本征函数支撑集的权重分布界的紧性，拓展了已有Paley图相关研究，并探究了对应Erdős-Ko-Rado定理的稳定性。
2022-12-09 math.CO math.NT
The Waring's problem over finite fields through generalized Paley graphs
我们证明了有限域$\mathbb{F}_q$上的Waring数，记作$g(k,q)$，当存在时，与广义Paley图$Γ(k,q)=Cay(\mathbb{F}_{q},R_k)$的直径一致，且$R_k=\{x^k : x\in \mathbb{F}_q^*\}$是$R_k=\{x^k : x\in \mathbb{F}_q^*\}$ .我们发现无穷新的家庭的确切值的$g(k,q)$从图$Γ(k,q)$，这也是汉明图之前证明了林和Praeger在2009年的一个特征。然后，我们证明了每一个正整数都是某对$(k,q)$的Waring数，其中$q$不是素数。最后，利用$Γ(k,p)$是循环图的条件，得到了具有$p$素数的$g(k,p)$的一个下界.
2021-01-04 math.CO math.NT
Paley-like graphs over finite fields from vector spaces
受有限域上著名的Paley图及其推广的启发，在本文中，我们探讨了有限域上向量空间中Paley图的一个自然的乘加性模拟.也就是说，如果$n\ge 2$和$U\subsetneq \mathbb F_{q^n}$是$\mathbb F_q$ -向量空间，则$G_{U}$是具有顶点集$V(G_U)=\mathbb F_{q^n}$和边集$E(G_U)=\{(a, b)\in \mathbb F_{q^n}^2\,|\, a\ne b, ab\in U\}$的（无向）图。我们描述了$G_U$中任意极大团的结构，并给出了$G_U$的团数$ω(G_U)$的界。特别地，我们计算任意$q$和$n$的$ω(G_U)$的最大可能值。当$U\subsetneq \mathbb F_{q^n}$是任意一个$d_U\in \{1, 2, n-1\}$维的$\mathbb F_q$ -向量空间时，得到了$ω(G_U)$的精确值.
2022-10-06 math.CO math.NT
A reduction formula for Waring numbers through generalized Paley graphs
给出了有限域$\mathbb{F}_q$上Waring数$g(k,q)$的一个约化公式.利用广义Paley图$Γ(k,q)$的直径与$g(k,q)$之间的关系，并利用Pearce和Praeger（2019）对笛卡尔可分解的$Γ(k,q)$的刻画，在一定的算术条件下，得到了$p$素数和$a,b,c$正整数的约化公式$$g(\tfrac{p^{ab}-1}{bc},p^{ab}) = b g(\tfrac{p^a-1}{c},p^a)$$.然后，我们找到了应用上述公式的一些算术条件，这些条件允许我们获得许多无限族的显式值的Waring数。最后，我们利用Schmidt和White（2002）给出的约化公式和$2$ -权不可约循环码的特征，找到了$g(k,q)$的显偶数值的无限族.
2022-06-06 math.CO math.NT
A random model for the Paley graph
对于一个素数$p$，我们定义Paley图为顶点集为$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，且连接顶点的边的和为二次剩余的图.佩利图是出了名的难研究，特别是找到他们的团数的界限。出于这个原因，期望具有随机模型。Graham和Ringrose的一个著名结果表明，对于无穷多个素数$p$，Paley图的团数是$Ω(\log p\log\log\log p)$（在广义黎曼假设下甚至是$Ω(\log p\log\log p)$）--随机Cayley图没有检测到这种行为，因此作为Paley图的随机模型是有缺陷的。在本文中，我们给出了一个新的概率模型，它结合了一些乘法结构，并作为一个结果捕获的Graham-Ringrose现象。我们证明了，如果我们这样的随机图的样本独立的每个素数，那么几乎肯定（i）无限多个素数$p$的团数是$Ω(\log p\log\log p)$，而（ii）几乎所有的素数的团数是$(2+o(1))\log p$。
2016-03-02 math.NT
Spectral pseudorandomness and the road to improved clique number bounds for Paley graphs
研究了素数阶Paley图的子图$p$，它是由给定的大小为$a$的独立集的顶点集扩展到一个更大的独立集而得到的.利用作者在最近的相关工作中证明的一个充分条件，我们证明了一族特征和估计将意味着，作为$p \to \infty$，任何序列的这类子图的邻接矩阵的经验谱分布具有相同的弱极限（在重新缩放之后）作为在包括每个顶点的随机集合上以概率$2^{-a}$独立地导出的子图的那些，即，a Kesten-McKay定律，参数为$2^a$。我们证明了$a = 1$的必要估计，在这个过程中得到了Xi（2022）的特征和等分布结果的另一个证明，并为$a \geq 2$的弱收敛性提供了数值证据.我们还推测，任何这样的序列的最小特征值收敛（重新缩放后）到相应的Kesten-McKay定律的左边缘，并提供这种收敛的数值证据。最后，我们表明，一旦$a \geq 3$，最小特征值的这种（自然）收敛将意味着Paley图的团数的界限，由于Hanson和Petridis（2021）的当前技术水平的改进，并且这种对所有$a \geq 1$的收敛将意味着团数是$o(\sqrt{p})$。
2023-03-29 math.CO math.NT
On the Paley RIP and Paley graph extractor
本文建立突破平方根瓶颈的RIP矩阵与突破最小熵半壁垒的2源提取器的关联，证明若Paley ETF突破平方根瓶颈则Paley图提取器也能突破半壁垒，为相关猜想提供新支持。
2024-05-15 cs.DM cs.IT math.CO
Paley-type matrices and $1$-factorizations of complete graphs
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Institute for Basic Science（基础科学研究院）；Beijing Jiaotong University（北京交通大学）
本文研究了完全图K_{p+1}中是否存在满足特定算术限制的1-因子，解决了Paley型矩阵与1-因子分解相关的问题。
2026-09-02 math.CO math.NT
Generalized Paley graphs and their complete subgraphs of orders three and four
令$k \geq 2$为整数。令$q$为素数幂，使得如果$q$为偶数，则为$q \equiv 1 \pmod {k}$，或者如果$q$为奇数，则为$q \equiv 1 \pmod {2k}$。$q$阶广义Paley图$G_k(q)$是顶点集为$\mathbb{F}_q$的图，其中$ab$是边当且仅当${a-b}$是$k$次幂剩余.我们提供了一个公式，在有限域超几何函数，$G_k(q)$，$\mathcal{K}_4(G_k(q))$中包含的四阶完全子图的数量，它适用于所有的$k$。这推广了Evans，Pulham和Sheehan关于原始（$k$ =2）Paley图的结果.我们还提供了一个公式，在雅可比和方面，$G_k(q)$，$\mathcal{K}_3(G_k(q))$中包含的三阶完全子图的数量。在这两种情况下，我们给出明确的决定，这些公式为小$k$。我们表明，零值的$\mathcal{K}_4(G_k(q))$（分别）。$\mathcal{K}_3(G_k(q))$）给出了双对角Ramsey数$R_k(4)=R(4,4,\cdots,4)$（分别为$R_k(3)$）。我们明确指出了小$k$的这些下限，并与已知的界限进行比较。我们还检查之间的关系$\mathcal{K}_4(G_k(q))$和$\mathcal{K}_3(G_k(q))$，当$q$是素数，和模形式的傅立叶系数。
2020-06-25 math.CO math.NT
Linear programming bounds for cliques in Paley graphs
Lovász theta数是给定图（的补图）的团数上的半定规划界。给定一个顶点传递图，每个顶点都属于一个最大团，因此可以将这个半定规划限制应用于局部图。在佩利图的情况下，局部图是循环的，因此该界可简化为线性规划界，从而允许快速计算。令人印象深刻的是，这个程序与Schrijver的非负约束的竞争对手的国家的最先进的封闭形式的限制最近证明了汉森和Petridis。我们猜想，这个线性规划界改善汉森-佩特里迪斯界无限经常，我们推导出的对偶程序，以方便证明这一猜想。
2019-07-12 cs.IT math.CO math.IT
Van Lint-MacWilliams' conjecture and maximum cliques in Cayley graphs over finite fields
由van Lint和MacWilliams提出的一个著名猜想指出，如果$A$是$\mathbb{F}_{q^2}$的子集，使得$0,1 \in A$、$|A|=q$和$a-b$对于每个$a,b \in A$都是正方形，则$A$必须是子字段$\mathbb{F}_q$。这个猜想经常被用Paley图中的最大团来表述。它首先由Blokhuis证明，后来由Sziklai推广到广义Paley图。本文给出了这个猜想及其变形的一个新的证明，并证明了Paley图的Erdens-Ko-Rado性质推广到一个更大的Cayley图族，我们称之为Peisert型图，解决了Mullin和Yip的猜想.
2022-08-28 math.CO math.NT
Extractors in Paley graphs: a random model
解析数论中一个著名的猜想是，对于每一对集合$X,Y\subset\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，每一个集合的大小至少为$\log ^C p$（对于某个常数$C$），我们有$(x,y)\in X\times Y$对的数目使得$x+y$是模$p$的二次剩余，与$\frac12|X||Y|$相差$o\left(|X||Y|\right)$。我们解决这个问题的概率模拟，即对于每一个固定的$δ>0$，给定一个有限群$G$和$A\subset G$的随机子集的密度$\frac12$，我们证明，具有高概率的所有子集$|X|,|Y|\geq \log ^{2+δ} |G|$，对$(x,y)\in X\times Y$的数量，使$xy\in A$不同于$\frac12|X||Y|$的$o\left(|X||Y|\right)$。
2015-12-17 math.CO math.NT
A trace Paley-Wiener theorem for $\mathrm{GL}_{n}(F)\backslash \mathrm{GL}_{n}(E)$, with $E/F$ a quadratic extension of non-Archimedean local fields
该研究将p进约化群的经典迹Paley-Wiener定理推广到非阿基米德局部域二次扩张下的相对情形，得到GL_n(F)\GL_n(E)上相对贝塞尔分布的标量Paley-Wiener定理，并结合局部朗兰兹对应与基变换刻画了相对特征的性质。
2026-10-14 math.NT math.RT
A degree 4 sum-of-squares lower bound for the clique number of the Paley graph
本文证明了Paley图团数的4次SOS松弛下界为$\Omega(p^{1/3})$，表明4次SOS有望打破$\sqrt{p}$障碍，但最多只能将指数从1/2改进到1/3。
2024-04-25 cs.CC cs.DS math.NT
Revisiting Block-Diagonal SDP Relaxations for the Clique Number of the Paley Graphs
本文通过计算 821 至 997 之间素数的 Paley 图块对角 SDP（L2）松弛值，为团数上界及 SOS-4 松弛可能以小于平方根数量级增长提供了新的数值证据，同时指出更大规模计算仍是一个开放问题。
2023-09-16 cs.CC cs.DS math.CO
Reinforcing a Philosophy: Littlewood--Paley theory for the moment curve over generic local fields
本文利用Girard--Newton公式证明了generic local fields上沿moment curve的extension operators的各向同性平方函数估计，并借助Bezout定理和隐函数定理为实或复非退化多项式曲线提供了更尖锐的替代证明。
2023-09-15 math.CA math.NT
Polynomial actions of rings of integers of global fields and quasirandomness of Paley-type graphs
本文在整体域整数环框架下给出 Furstenberg–Sárközy 定理的充要条件，并将其推广到有限主理想环，进而利用渐近完全遍历性与拟随机性的双向联系构造新的代数拟随机图族。
2025-09-22 math.CO math.DS math.NT
Stabilisation de la formule des traces tordue IV: transfert spectral archimédien
这是一个系列的文件，其目标是稳定的扭曲的痕迹公式。这里我们考虑实域上的一个“扭曲空间”。我们证明在这种扭曲的情况下，亚瑟在他的Selecta的文件中获得的结果。这就是调和表象转移的存在性。我们使用Paley-维纳定理的Renard和Delorme-Mezo，工作Shelstad关于转移的功能和最近的结果Moeglin关于超回火表示。作为推论，我们得到一个稳定的版本的Paley-Wiener定理和事实，即转移的功能保持K-有限。
2014-03-06 math.NT math.RT
