Ulrich 丛的 Koszul 性质与 Del Pezzo 曲面上稳定丛模空间的有理性
Koszul property of Ulrich bundles and rationality of moduli spaces of stable bundles on Del Pezzo surfaces
AI总结：
本文研究 Del Pezzo 曲面上 Ulrich 丛的 Koszul 性质与迭代 syzygy 丛的斜率半稳定性，并证明无穷多个稳定丛模空间具有有理性，为 Costa 和 Miró-Roig 猜想提供新证据。
摘要：
设 $\mathcal{E}$ 是光滑射影簇 $X\subseteq\mathbb{P}^N$ 上的一个关于超平面截面 $H$ 为 Ulrich 的向量丛。本文研究 $\mathcal{E}$ 的 Koszul 性质、对所有 $k\geq 0$ 的第 $k$ 次迭代 syzygy 丛 $\mathcal{S}_k(\mathcal{E})$ 的斜率半稳定性，以及 Del Pezzo 曲面上斜率稳定丛模空间的有理性。作为研究结果，我们证明：若 $X$ 是次数 $d\geq 4$ 的 Del Pezzo 曲面，则任意 Ulrich 丛 $\mathcal{E}$ 都满足 Koszul 性质并且是斜率半稳定的。我们还证明，对于无穷多个 Chern 特征 ${\bf v}=(r,c_1,c_2)$，相应的斜率稳定丛模空间 $\mathfrak{M}_H({\bf v})$ 在非空时是有理的，从而为 Costa 和 Miró-Roig 的一个猜想提供了新的证据。作为推论，我们证明 Ulrich 丛的迭代 syzygy 丛在这些模空间中稠密。
英文摘要：
Let $\mathcal{E}$ be a vector bundle on a smooth projective variety $X\subseteq\mathbb{P}^N$ that is Ulrich with respect to the hyperplane section $H$. In this article, we study the Koszul property of $\mathcal{E}$, the slope-semistability of the $k$-th iterated syzygy bundle $\mathcal{S}_k(\mathcal{E})$ for all $k\geq 0$ and rationality of moduli spaces of slope-stable bundles on Del Pezzo surfaces. As a consequence of our study, we show that if $X$ is a Del Pezzo surface of degree $d\geq 4$, then any Ulrich bundle $\mathcal{E}$ satisfies the Koszul property and is slope-semistable. We also show that, for infinitely many Chern characters ${\bf v}=(r,c_1, c_2)$, the corresponding moduli spaces of slope-stable bundles $\mathfrak{M}_H({\bf v})$ when non-empty, are rational, and thereby produce new evidences for a conjecture of Costa and Miró-Roig. As a consequence, we show that the iterated syzygy bundles of Ulrich bundles are dense in these moduli spaces.
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