Construction of the full logical Clifford group for high-rate quantum Reed-Muller codes using only transversal and fold-transversal gates
The University of Tokyo（东京大学）；The University of Osaka（大阪大学）；University of Oxford（牛津大学）
针对自对偶量子Reed-Muller码族，仅用横向和折叠横向门构造完整逻辑Clifford群的生成集，实现任意可寻址Clifford门，无需辅助量子比特。
2026-09-30 quant-ph
Scalable Spider Nests (...Or How to Graphically Grok Transversal Non-Clifford Gates)
作为图形化参悟系列第二篇，本文用可扩展ZX-演算简洁表述蜘蛛巢恒等式并证明其可由单条新规则归纳导出，结合CSS码ZX图景刻画了任意CSS码中Clifford层级第三级的全部横向对角门。
2024-12-13 quant-ph
The Smallest Code with Transversal T
我们证明了在Clifford群外具有一个横向门的最小距离3量子纠错码是著名的15-qubit Reed-Muller码，也被称为三正交码。我们的结果依赖于更少的假设比以前的作品。我们进一步扩展这个结果，找到最小的代码，也拥有任何其他非克利福德横向单量子比特门。
2022-10-25 quant-ph
Transversal Logical Clifford gates on rotated surface codes with reconfigurable neutral atom arrays
提出利用可重构中性原子阵列在旋转表面码上横向实现逻辑 H、S 门的方案，并结合 CNOT 完善 Clifford 门集，S 门性能在电路噪声下与量子存储器相当。
2024-12-02 quant-ph
No-Go Theorem on Fault Tolerant Gadgets for Multiple Logical Qubits
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）；QUICS（量子信息科学中心）
本研究证明了多逻辑量子比特容错装置无法实现完整克莱因群，限制了容错克莱因装置设计，并表明多逻辑量子比特稳定码不存在。
2026-07-14 quant-ph
Transversal Injection: A method for direct encoding of ancilla states for non-Clifford gates using stabiliser codes
容错、纠错的量子计算通常被认为是实现大规模量子算法的关键，这些算法可能会带来极具影响力的科学或商业结果。在容错纠错框架中实现一组通用的量子门操作会受到“不愉快守恒”的影响。一般来说，无论采用什么纠错技术，通用门集合中总是有一个元素携带显著的资源开销-无论是物理量子位，计算时间，还是两者。具体来说，这是由于非Clifford门的应用。一个常见的方法来实现这些门的稳定器代码，如表面码是一个组合的三个协议：状态注入，蒸馏和门隐形传态。这些协议与逻辑运算（如CNOT门）相比会增加资源开销，并为任何纠错量子算法提供量子位资源。在本文中，我们介绍了一个非常简单的协议，以潜在地减少这种开销的非克利福德门：transmittance注入。横向注入在标准编码之前修改稳定器代码中所有数据量子位的初始物理状态，并导致直接准备一大类单量子位状态，包括非克利福德逻辑门的资源状态。初步结果表明，在更大的距离高质量的结晶，并激励对这项技术的进一步研究。
2022-11-22 quant-ph
Low-Overhead and High-Fidelity Preparation of Logical Non-Clifford States with Multi-Level Transversal Injection
针对容错旋转门态蒸馏开销随 Clifford 层级快速增长的问题，提出 MLTI 多级横向注入方法，可高保真制备任意层级旋转态并将时空体积降低数个数量级。
2025-09-28 quant-ph
Asymptotically good CSS codes that realize the logical transversal Clifford group fault-tolerantly
Dept. of ECE, IISc, Bengaluru（印度科学学院电子与电气工程系）
本文提出一种构造支持容错逻辑横贯Z旋转的CSS码框架，得到渐近优良的CSS码，实现逻辑横贯克莱因群，同时研究CSS-T码的性质与条件。
2026-04-07 cs.IT math.IT quant-ph
Efficient Magic State Factory Via Transversal Non-Clifford Gate
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
本文通过端到端模拟比较了基于代码切换的魔法态制备与魔法态培育的资源需求与性能，提出了结合相位反冲检查和横向非克利福德门的两种容错魔法态制备协议。
2026-06-16 quant-ph
Decoding across transversal Clifford gates in the surface code
QuTech, Delft University of Technology（代尔夫特理工大学 QuTech）；Delft Institute of Applied Mathematics, Delft University of Technology（代尔夫特理工大学 应用数学研究所）
研究表面码中跨横向门的解码问题，采用基于快速“逻辑可观测量”的最小重量完美匹配（MWPM）解码器，提出窗口逻辑可观测量匹配解码器并分析性能，指出可能导致逻辑失败的错误及应对方法。
2026-07-07 quant-ph
Transversal Diagonal Logical Operators for Stabiliser Codes
本研究针对CSS码，提出识别所有横向对角逻辑算子的更通用或更低复杂度算法，并给出构造具有所需对角逻辑克利福德层级算子的CSS码的方法，以推进容错量子计算。
2023-04-26 quant-ph
Clifford gates with logical transversality for self-dual CSS codes
The University of Tokyo（东京大学）；The University of Osaka（大阪大学）；RIKEN Center for Quantum Computing（理化学研究所量子计算中心）
本文针对自对偶CSS码，证明了存在辛基使横向Hadamard和相位门可实现的充要条件，并推广到级联码，为低开销容错量子计算提供多种横向Clifford门实现。
2026-10-06 quant-ph
Measurement-free code-switching for low overhead quantum computation using permutation invariant codes
University of Sheffield（谢菲尔德大学）；Macquarie University（麦考瑞大学）
本文提出了一种无测量的代码切换协议，利用排列不变码实现低开销的通用量子计算，通过切换稳定器码和PI码来实现更高效的非Clifford门操作。
2025-09-16 quant-ph
Clifford Hierarchy Stabilizer Codes: Transversal Non-Clifford Gates and Magic
Institute for Advanced Study（高等研究院）；IBM Quantum, IBM T.J. Watson Research Center（IBM量子，IBM T.J.沃森研究中心）；Kavli Institute of Theoretical Physics（卡弗里理论物理研究所）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文研究了Clifford层级稳定码中超越Clifford的非Clifford门和魔法，通过自动对称性构造了转置非Clifford逻辑门，并在不同维度中实现了超越Bravyi-König界限的逻辑门。
2026-05-19 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Limitations on transversal gates for hypergraph product codes
我们从推广了表面码的一类量子码中分析了逻辑算子的结构。这些是超图产品代码，仅限于垂直部门。通过推广Bravyi和König的一个论点，我们发现这些码的横截门必须限制在Clifford群中。
2020-12-10 quant-ph
Transversal non-Clifford gates for quantum LDPC codes on sheaves
本文通过将 qLDPC 码的逻辑算子视为几何曲面并利用交点数定义非 Clifford 操作，构造了一类支持横向非 Clifford 门的量子 LDPC 码，其抽象基础是层诱导链复形上的杯积。
2024-10-18 cs.CC cs.IT math.IT
Automorphism in Gauge Theories: Higher Symmetries and Transversal Non-Clifford Logical Gates
King’s College London（伦敦国王学院）；Institute for Advanced Study（普林斯顿高等研究院）
研究规范理论中自同构诱导的对称性，揭示其可扩展为更高对称性或非可逆对称性，并利用其构建拓扑量子码中的非克莱因逻辑门。
2026-05-11 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Fault-Tolerant Constant-Depth Clifford Gates on Toric Codes
针对2D环面码，提出并模拟了结合折叠横向门、Dehn扭转和单次逻辑Pauli测量的容错常深度逻辑门组，其能生成完整Clifford群并具备容错性与常深度特性。
2024-11-27 quant-ph
Quantum Rainbow Codes: Achieving Linear Rate, Growing Distance and Transversal Non-Clifford Gates with Generalised Colour Codes
Okinawa Institute of Science and Technology（冲绳科学技术大学院大学）；University College London（伦敦大学学院）
本研究提出彩虹码，实现线性速率、增长距离和可转置非克莱因门的量子纠错码，为魔法态蒸馏参数γ的减小提供新方法。
2025-12-15 math.CO quant-ph
Restrictions on non-Clifford fault tolerance and ruling out beyond-SQL quantum metrology
Harvard Quantum Initiative（哈佛量子倡议）；California Institute of Technology（加州理工学院）；Department of Physics, Harvard University（哈佛大学物理系）
该研究证明了非Clifford容错的限制，排除了超越SQL的量子计量学，发现恒定强度信号对齐噪声会阻碍量子计量学超越SQL的渐近优势。
2026-07-31 quant-ph
Complementary 3D color codes for transversal quantum logic
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Forschungszentrum Jülich（于利希研究中心）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
研究提出基于四面体三维颜色码及其哈达玛变换对应物的混合架构，二者支持互补横向非克利福德操作，结合相关变换实现几乎通用的横向逻辑门集，还通过构造逻辑受控Z门等完成通用门集。
2026-07-07 quant-ph
Quantum Logic Codes: Complete Transversal Logical Clifford Instruction Sets for High-Rate Stabilizer Quantum Error Correcting Codes
NVIDIA（英伟达）
研究稳定子量子纠错码的横向逻辑门能力，构建了旋转表面码中深度为一的横向S门和2D环面码中深度为一的块内CZ门，并提出一种高码率非LDPC CSS码族，具有常数深度的完全横向逻辑Clifford基指令集架构。
2026-06-12 math-ph math.MP quant-ph
Error-Transparent Code Switching Between Permutation-Invariant Codes with Transversal Clifford and Icosahedral Gates
QodeX Quantum（QodeX量子）
本文研究置换不变码间的误差透明切换，证明切换酉算子存在当且仅当两码由距离三的码路径连接，并在13量子比特上构造出达到机器精度的集体切换算子。
2026-10-06 math-ph math.MP quant-ph
Fold-transversal surface code cultivation
Yale University（耶鲁大学）；Yale Quantum Institute（耶鲁量子研究所）；IBM Quantum, IBM T. J. Watson Research Center（IBM量子，IBM T.J.沃森研究中心）
本文提出一种新的表面码培育方案，通过测量未旋转表面码的折叠横向Hadamard运算，利用单元ary技术在表面码家族内扩展，实现了最低的时空开销。
2026-03-24 quant-ph
Quantum Lego Power-up: Designing Transversal Gates with Tensor Networks
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；Microsoft Quantum（微软量子）
利用量子积木形式设计支持可寻址反向门的代码，克服传统方法的限制，实现高效故障容忍计算。
2026-03-03 quant-ph
Stacked codes: universal fault-tolerant quantum computation in a two-dimensional layout
我们介绍了一类3D色码，我们称之为堆叠码，连同容错变换，将映射逻辑量子比特编码在二维（2D）色码堆叠码和回来。堆叠代码允许非Clifford $π/8$逻辑门的横向实现，其在与在2D颜色代码中横向的逻辑Clifford门组合时给出了容错和通用的门集合，而不需要非稳定器幻态。然后，我们表明，形成堆叠代码的层可以展开，并安排在一个2D布局。由于只有Clifford门可以横向实现2D拓扑稳定器代码，非本地操作必须纳入，以允许这种横向应用的非Clifford门。我们的代码实现了这一操作，通过从一个2D的颜色代码的转换，以未折叠的堆叠的代码引起的测量只有几何本地稳定器和仪表操作员在大量的2D颜色代码与一个非本地的操作员，具有支持这样的2D代码之间的一维边界。我们相信，这种方法来实现非本地操作是一个现实的二维稳定器布局，将有利于避免魔态蒸馏所造成的大开销。
2016-03-04 quant-ph
Fast magic state preparation by gauging higher-form transversal gates in parallel
School of Physics, University of Sydney（悉尼大学物理学院）
本文提出了一种通过并行化高形式横向门规范来加速魔态制备的方法，实现快速且容错的魔态制备。
2026-01-30 quant-ph
Beyond transversality: structure of Clifford circuits for CSS codes
Joint Center for Quantum Information and Computer Science, NIST/University of Maryland（量子信息与计算机科学联合中心，美国国家标准与技术研究院/马里兰大学）
本文刻画了与容错逻辑操作相关的四类CSS码的Clifford电路结构，定义了二重横截群等，确定了136个CSS码的二重横截群逻辑像，发现78个码的完整逻辑Clifford群由二重横截电路生成，还构造了三类CSS码。
2026-10-05 cs.IT math.CO math.GR
Self-dual bivariate bicycle codes with transversal Clifford gates
International Center for Quantum Materials, School of Physics, Peking University（北京大学物理学院量子材料国际中心）
本研究提出了一类自对偶双变量自行车码，实现了更高的编码率和横向Clifford门，适用于高阈值、低开销的量子记忆。
2026-01-11 cond-mat.str-el math-ph math.MP
Correlated decoding of logical algorithms with transversal gates
针对横向门逻辑算法的纠错性能问题，提出考虑错误传播的联合相关解码方法，显著提升了Clifford与非Clifford门性能，将症状提取轮数从$O(d)$降至$O(1)$，大幅降低深层电路时空成本。
2025-04-07 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech quant-ph
Towers of generalized divisible quantum codes
可分二进制经典码是其中每个码字具有可被固定整数整除的权重的码。如果除数是$2^ν$，对于正整数$ν$，那么可以构造Calderbank-Shor-Steane（CSS）码，其中$X$稳定器空间是可分的经典码，其在Clifford层次的$ν$层中允许横向门。我们考虑一个推广的整除性，允许一个系数向量的奇整数，每个码字有零点积模的除数。在这种广义上，我们构造了一个CSS码的除数$2^{ν+1}$和代码距离$d$从任何CSS码的代码距离$d$和除数$2^ν$，其中的横向$X$是一个非平凡的逻辑运算符。新码的编码速率比旧码的编码速率大约小$d$倍。特别是，对于大的$d$和$ν\ge 2$，我们的建设产生了一个CSS代码的参数$[[O(d^{ν-1}), Ω(d),d]]$承认一个横向门在$ν$ -th级的Clifford层次结构。对于我们的建设，我们介绍了转换魔术状态蒸馏协议的基础上Clifford测量的基础上的代码与横向$T$门。我们的塔包含，作为一个子类，广义三重甚至CSS代码，出现在所谓的规范固定或代码切换方法。
2018-04-05 quant-ph
Pauli webs spun by transversal $|Y\rangle$ state initialisation
本文运用 ZX 演算与 Pauli web 分析旋转表面码中 $|Y\ angle=S|+\ angle$ 态的（折叠）横向初始化及 $S$ 门实现方案。
2025-02-02 quant-ph
Rigorous estimation of error thresholds of transversal Clifford logical circuits
Cornell University（康奈尔大学）
本文基于统计力学方法，对包含横向逻辑门的电路进行严格分析，推导出故障容忍计算的误差阈值，并展示了其对近似故障容忍架构的系统性评估。
2026-04-18 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el
Implementing fault-tolerant non-Clifford gates using the [[8,3,2]] color code
针对量子比特易出错限制电路深度的问题，本文用囚禁离子与超导硬件测试[[8,3,2]]颜色码的容错性能，发现其实现非Clifford门及控制控制Z门的编码电路性能优于无编码情况，展现了近期量子硬件上用横向门编码实现非平凡算法的潜力。
2025-08-01 quant-ph
Code conversion with the quantum Golay code for a universal transversal gate set
本文提出利用量子Golay码与三正交码之间的码转换实现通用横向门集，避免魔法态蒸馏开销，并给出基于横向CNOT的转换方法。
2024-04-18 quant-ph
Color code with a logical control-$S$ gate using transversal $T$ rotations
IBM Quantum, T. J. Watson Research Center（IBM量子，T.J.沃森研究中心）；IBM Denmark（IBM丹麦）
本文提出一种颜色码，利用横向T和T†旋转实现逻辑控制-S门，展示了非克莱因门的实现方法。
2025-07-25 quant-ph
Constant-depth magic state cultivation with Clifford measurements by gauging
IBM Quantum, IBM T. J. Watson Research Center（IBM量子，IBM托马斯·J·沃森研究中心）；IBM Denmark（IBM丹麦）；University of Sydney（悉尼大学）；IBM Almaden Research Center（IBM阿尔马登研究中心）
本文提出通过测量实现常深度的魔态培养，利用测量得到逻辑XS†测量，从而减少深度需求，获得与魔态培养相当的逻辑错误率。
2026-09-30 quant-ph
Improved Transversal Non-Clifford Gates from Cup Products
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；IBM Quantum（IBM量子）
本文通过杯积变换构造支持横向非 Clifford 门的量子 LDPC 码，实现常数重量稳定子下多项式距离与接近线性逻辑量子比特数，降低魔法态开销指数。
2026-09-24 cs.IT math.IT quant-ph
Transversal Clifford and T-gate codes of short length and high distance
本文构造了距离最高达31的三类短长度稳定子码，分别支持Clifford群和逻辑T门的横向实现，并在给定距离下实现了已知最小的物理量子比特开销。
2025-03-24 cs.IT math.IT math.NT
Good quantum codes with addressable and parallelizable transversal non-Clifford gates
Inria Paris（法国国家信息与自动化研究所巴黎分部）
该研究提出了一种支持可寻址和并行化非克利福德门的优质量子码，显著减少了多控制-Z电路的深度开销。
2025-12-10 cs.IT math.IT quant-ph
Parallelizable and addressable transversal non-Clifford gates on good quantum LDPC codes
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
本文通过覆盖空间方法构造非零杯积配对，在优秀量子局部可测试码上实现渐近最优的非平凡横向多控制-Z门。
2026-10-07 cs.IT math-ph math.IT
Error mitigation for universal gates on encoded qubits
Eastin-Knill定理指出，没有量子纠错码可以有一个通用的横向门集合。对于可以横向实现Clifford门的CSS代码，提供一个额外的非Clifford门（例如T门）就足够了，以实现通用性。实现容错T门的常见方法，如魔态蒸馏，会产生显著的硬件开销，这可能会阻止它们在不久的将来的实际使用。最近，已经开发了一些方法来减轻不受纠错保护的浅量子线路中的噪声影响。错误缓解方法不需要额外的硬件资源，但遭受一个坏的渐近缩放，并只适用于一类有限的量子算法。在这项工作中，我们将这两种方法相结合，并展示了如何实现编码的Clifford+T电路，其中Clifford门通过纠错来保护免受噪声的影响，而噪声编码的T门引入的错误则使用准概率方法来减轻。其结果是，Clifford+T电路的T门的数量与物理噪声率成反比，可以实现在小的错误校正的设备没有魔态蒸馏。我们认为，这样的电路可以达到国家的最先进的经典仿真算法。
2021-10-12 quant-ph
Automated logical Clifford gadgets for heterogeneous architectures via chain maps
Quantinuum
提出基于链映射的自动框架，为任意CSS码对合成逻辑CNOT电路，通过搜索仿射空间找到浅层稀疏物理电路，并推广至逻辑CZ门。
2026-07-03 quant-ph
Universal fault-tolerant quantum computation with Bacon-Shor codes
提出了一种基于Bacon-Shor子系统码的由Hadamard和受控-受控-Z（CCZ）组成的容错通用门集。这些代码上的transmitting非Clifford门是有趣的，因为随着代码变得更加不对称，Clifford层次结构的更高级别变得可访问。例如，在适当的规范中，$m\times m^k$晶格上的培根-肖尔码具有横向$k$ -量子比特控制的$Z$。通过各种技巧，包括中间纠错和非泡利恢复，我们减少了容错CCZ所需的开销。我们计算我们的通用门设置最小的$3\times3$培根-肖尔代码的伪阈值，也比较我们的门与魔术状态的框架内提出的离子阱架构。
2017-05-04 quant-ph
Transversal non-Clifford gates on almost-good quantum LDPC and quantum locally testable codes
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
本文提出在近好的量子LDPC和量子局部可测试码上构造非平凡的横向逻辑多控Z门，结合近最优码参数与容错非克莱弗门，证明其通过几乎纯代数拓扑方法得出。
2026-07-03 cs.IT math-ph math.IT
Quantum Codes with Addressable and Transversal Non-Clifford Gates
本研究构造了支持可寻址横向非克利福德门的量子码，提出可寻址正交性框架，实现任意或预设逻辑量子比特三元组的CCZ门操作，且参数渐近良好。
2025-07-07 cs.IT math.IT quant-ph
Asymptotically Good Quantum Codes with Transversal Non-Clifford Gates
本研究构造了恒定素数幂维度下支持横向CCZ门、码维与码距随分组长度线性增长的渐近优质量子码，解决了此前需增大字母表规模的难题，推导出开销指数趋于0的魔态蒸馏协议，并给出两种参数不同的构造方案。
2024-08-17 cs.IT math.IT quant-ph
Quantifying Nonstabilizerness of Codeword-Stabilized Codes
MIIT Key Laboratory of Complex-field Intelligent Exploration, School of Optics and Photonics, Beijing Institute of Technology（工业和信息化部复杂场智能探测重点实验室，光电学院，北京理工大学）
本文针对码字稳定码建立非稳定度的定量理论，将其转化为加性组合学的经典计数问题，得出非稳定度的上限、陪集闭包下的不变性等关键结果，还给出Kerdock码的闭式值。
2026-10-20 quant-ph
Non-Abelian Quantum Low-Density Parity Check Codes and Non-Clifford Operations from Gauging Logical Gates via Measurements
California Institute of Technology（加州理工学院）；Harvard University（哈佛大学）；Stanford University（斯坦福大学）
本文提出通过测量和反馈校准逻辑门来构造非阿贝尔qLDPC码的方法，并展示了该方法可用于实现非Clifford操作。
2026-02-12 cond-mat.str-el quant-ph
Asymptotically Good Quantum Codes with Addressable Transversal T Gates
International Quantum Academy, Shenzhen（深圳国际量子研究院）；Centre for Quantum Technologies, National University of Singapore（新加坡国立大学量子技术中心）
本文构造了具有恒定速率和线性距离的二元CSS码族，实现完全可寻址的横向T门，无需后续校正，并优化了渐近界限常数。
2026-09-29 quant-ph
New techniques for fault-tolerant decomposition of Multi-Controlled Toffoli gate
可扩展量子体系结构的物理实现面临着脆弱量子态形式的巨大挑战。为了克服它，需要具有容错的量子体系结构。目前，这是通过使用表面代码以及横向门组来实现的。这就要求用一个横向门集来分解通用多控制Toffoli~（MCT）门。此外，横向非Clifford相位门的延迟很大，这使得它成为分解时需要考虑的一个重要因素。此外，没有辅助电路的大型多控制Toffoli~（MCT）门的分解也是一个额外的障碍。本文通过介绍Clifford+ $Z_N$门函数库来解决这两个问题。我们提出了一个无辅助的MCT门分解与线性相位深度和二次相位计数。此外，我们提供了一种技术，用于分解的MCT门在单位相位深度使用Clifford+ $Z_N$库，虽然在辅助线和二次相位计数的成本。
2019-04-28 cs.ET quant-ph
Constant Rate Codes with Fully Addressable Transversal T: Good Codes, Sparse Checks
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Perimeter Institute for Theoretical Physics（理论物理前沿研究所）
本文构造了具有完全可寻址横向T门的渐近好CSS码及多种相关码，实现了对逻辑量子比特的选择性T门控制，并推广至任意有限阶单比特门，同时指出构建渐近好Pauli-LDPC码的剩余挑战。
2026-10-01 quant-ph
Multispin Clifford codes for angular momentum errors in spin systems
本文利用自旋系统的角动量对称性，在集体对称子空间中构造了具有八面体对称性的多自旋量子纠错码，可纠正二阶角动量误差，并实现了与surface code距离缩放相当且支持横向Clifford操作的新编码。
2023-05-02 quant-ph
Finding the disjointness of stabilizer codes is NP-complete
本文证明计算稳定子码的c-不相交性及其常数因子近似均为NP完全，并给出多种码族的界限与数值方法，表明为通用量子纠错码寻找容错逻辑门在计算上极具挑战性。
2021-08-10 quant-ph
