Exponential inequalities for the number of triangles in the Erdös-Rényi random graph
Alexander Bystrov, Nadezhda Volodko
在每条边的概率固定的情况下，得到了Erdös-Rényi图的中心三角形数和标准三角形数的尾概率的上指数不等式.结果用随机场表示。
Upper exponential inequalities for the tail probabilities of the centered and normalized number of triangles in the Erdös-Rényi graph are obtained, where the probability of every edge is fixed. The result is formulated in terms of random fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Kolmogorov bounds for the normal approximation of the number of triangles in the Erdos-Renyi random graph
本文给出了Erdos-Renyi随机图中三角形个数的正态近似的误差界。我们的边界匹配Bartheland，Karonski和Rucinski（1989）获得的最佳Wasserstein边界，解决了一个长期存在的开放问题。证明是基于一个新的变形的斯坦-Tikhomirov方法-结合斯坦的方法和特征函数介绍Tikhomirov（1980）。
Moderate Deviations of Triangle Counts in the Erdős-Rényi Random Graph $G(n,m)$: The Lower Tail
设$N_{\triangle}(G)$是图$G$中三角形的个数。在[14]和[25]中分别证明了稠密Erdens-Rényi随机图$G_m\sim G(n,m)$中三角形计数的下尾行为的如下界：\[ \mathbb{P}\big(N_{\triangle}(G_m) \, < \, (1-δ)\mathbb{E}[N_{\triangle}(G_m)]\big) \,=\, \exp\left(-Θ\left(δ^2n^3\right)\right) \qquad \text{if $n^{-3/2}\ll δ\ll n^{-1}$} \]和\[ \mathbb{P}\big(N_{\triangle}(G_m) \, < \, (1-δ)\mathbb{E}[N_{\triangle}(G_m)]\big) \,=\, \exp\left(-Θ(δ^{2/3}n^2) \right) \qquad \text{if $n^{-3/4} \ll δ\ll 1$.} \] Neeman，Radin和Sadun [25]还证明了在“缺失区间”$n^{-1}\ll δ\ll n^{-3/4}$中概率应具有$\exp\left(-Θ\left(δ^2n^3\right)\right)$的形式。我们证明了这个猜想。作为我们的证明的一部分，我们还证明了一些随机图统计，度和余度，正态分布的概率很…
Approximating the cumulant generating function of triangles in the Erdös-Rényi random graph
研究了与Erdös-Rényi随机图中三角形的累积生成函数等价的“边三角形模型”的压力。通过对有限体积图的分析，以及无限体积极限下的图子变分问题的分析，我们在参数空间中找到了一条曲线，在该曲线上发生了一步复本对称性破缺转变.在对称性破缺阶段对一个大型图进行采样，可以用一个结构非常接近于等二分图的图子来描述。
Triadic structures in multislice networks
本文将三元结构分析扩展到多层Erdős-Rényi网络，证明跨多层的三角形分布可由Poisson分布近似，为多层网络的统计拟合优度检验奠定理论基础。
Moderate deviations of triangle counts in sparse Erdős-Rényi random graphs $G(n,m)$ and $G(n,p)$
本文研究稀疏 Erdős-Rényi 随机图中三角形计数的中偏差，给出两种模型下上尾对数概率的常数因子估计，并在非局部化区域获得 $G(n,p)$ 的渐近精确结果。
Breaking of ensemble equivalence for perturbed Erdős-Rényi random graphs
在[18]中，我们分析了一个简单的无向随机图，它受边总数和三角形总数的约束。我们考虑了稠密区，其中每个顶点的边数与顶点数成正比。我们表明，只要约束是\emph{frustrated}，即，不位于Erdens-Rényi线上，则在\emph{microcanonical ensemble}相对于\emph{canonical ensemble}的每条边的特定相对熵在顶点数趋于无穷大的极限中严格为正的意义上，存在系综等价的破坏。在本论文中，我们分析了Erdens-Rényi线附近发生的事情。事实证明，特定相对熵趋于零的方式取决于三角形的总数是比典型的略大还是略小于。我们调查什么样的约束随机图看起来像渐近的微正则系综。
Exponential extinction time of the contact process on rank-one inhomogeneous random graphs
我们证明了对于任意正传染率，秩1非齐次随机图和平均度足够大的Erdos-R{é}nyi图上的接触过程都是按图的大小指数生存的.此外，还证明了一个关于消亡时的亚稳态结果。
Sparse random graphs with many triangles
本文研究稀疏随机图中大量三角形的结构特征，揭示了图在不同条件下的局部极限变化，以及稀疏但高度聚类网络的描述挑战。
Second-order Approximation of Exponential Random Graph Models
为区分ERGMs与Erdös-Rényi随机图，本文提出基于二星和三角形的二阶近似方法，证明其在无三角形情况下达到二阶精度，并通过Hoeffding分解与Stein方法严格论证。
Large random intersection graphs inside the critical window and triangle counts
本研究确定了临界窗口内随机相交图的标度极限，揭示其在两种聚类机制下与连续Erdos--Renyi图一致，并借助二项二分图关联及图探索算法，证明了大型连通分量中三角形数的极限定理。
Upper tails for triangles
用$ξ$表示通常的（Erdens-Rényi）随机图$G(m,p)$，$p>1/m$和$η>0$中的三角形个数，我们证明了（对于某些$C_η>0$）$$\Pr(ξ> (1+η)\E ξ) < \exp[-C_η\min{m^2p^2\log(1/p),m^3p^3}].$$这是紧到$C_η$的值.
On the evolution of topology in dynamic clique complexes
考虑Erd{ \H o}s-R{\' e}nyi图的一个时变类似图，并研究了它的团复形的拓扑变化.图的动态是平稳的，由边决定，边作为连续时间马尔可夫链独立地演化。我们的主要结果是，当边包含概率为$p = n^α$（$n$为顶点数，$α\in (-1/k, -1/(k + 1)),$为顶点数）时，这些动态团复形的规范化$k-$的贝蒂数的过程弱收敛于Ornstein-Uhlenbeck过程为$n \to \infty.$
Limit theorems for walks and triangles on Erdös-Rényi random graphs with large interaction radius
本文研究了Erdös-Rényi随机图中q步行走数量的累积量，在顶点数N、浓度c和相互作用半径R趋于无穷时，通过树型图示来关联这些累积量，并证明了非闭合行走和三角形数量的极限定理，同时指出了三角形数量在随机图中的渐近阈值。
The missing log in large deviations for triangle counts
通过在指数中引入一个对数因子，解决了Erdos-Renyi随机图中三角形个数上尾的大偏差估计问题.这种证明方法有可能推广到一般的子图数。
A local central limit theorem for the number of triangles in a random graph
本文证明了Erdos-Renyi随机图$G(n,p)$中三角形个数分布的一个局部极限定理，其中$p \in (0,1)$为固定常数.我们的证明是基于边界的三角形的数量的特征函数$ψ(t)$，并使用几个不同的条件参数处理不同范围的$t$。
The importance sampling technique for understanding rare events in Erdős-Rényi random graphs
在稠密的Erdens-Rényi随机图中，我们感兴趣的是给定子图中出现大量事件的情况。子图计数的平均行为是已知的，直到最近才发现相关的大偏差结果。因此，很自然地会问，是否可以开发有效的数值方案来估计Erdens-Rényi图包含过多数量的固定给定子图的概率？利用大偏差原理，我们研究了一种重要抽样方案，作为一种方法，数值计算大三角计数出现在Erdens-Rényi图的小概率。我们表明，指数倾斜直接建议的大偏差原则并不总是产生一个最佳方案。在重要抽样方案中使用的指数倾斜来自指数随机图的广义类。渐近最优性是重要抽样方案效率的一个度量，它是通过指数随机图中参数的特殊选择来实现的，这使得它与在大网络极限中有许多三角形的Erdens-Rényi图无法区分。我们展示了如何在副本对称阶段以及部分副本破碎阶段的条件Erdens-Rényi图的这种选择，以产生渐近最优的数值方案来估计这种罕见事件的概率。
Random triangle removal
从$n$顶点上的完全图开始，重复删除均匀选择的三角形的边。这个随机过程一旦到达一个无三角形图就终止了，基本问题是估计最终的边数（相当于完成这个过程所需的时间，或者通过随机贪婪算法打包了多少个边不相交的三角形）。Bollobás和Erdás（1990）在对Ramsey数$R(3,t)$的研究的启发下，证明了期望的最终边数具有$n^{3/2}$阶。$o(n^2)$的上界由Spencer（1995）给出，Rödl和Thoma（1996）独立给出。对于变体和推广给出了几个界限（例如，Alon，Kim and Spencer（1997）and Wormald（1999）），而Bollobás和Erdós的原始问题的最著名的上界是由Grable（1997）提出的$n^{7/4+o(1)}$。没有非平凡的下限是可用的。在这里，我们证明了随机三角形删除中的最终边数很可能等于$n^{3/2+o(1)}$，从而证实了Bollobás和Erdés所提出的3/2指数，并与Spencer等人的预测相匹配。对于上界，对于任何固定的$ε>0$，我们通过按规定的方式顺序粘合$O(1/ε)$三角形来构造一族$\exp(O(1/ε))$图，并动态跟踪它们的所有同态，以任意两个顶点为根，直到保留$n^{3/2+ε}$边的点。一个鞅系统建立了这些随机变量的浓度在其类似的平均值在一个随机图与相应的边缘密度，和一个关键的作用…
Moderate deviations of subgraph counts in the Erdős-Rényi random graphs $G(n,m)$ and $G(n,p)$
本文的主要贡献是给出了Erdens-Rényi随机图$G(n,m)$中子图计数中偏差率的渐近表达式。我们的方法是基于应用弗里德曼不等式的概率偏差的鞅表示的子图计数偏差。此外，我们还证明了不同子图的子图数偏差都是通过两个特定图的偏差，即长为2的路和三角形的偏差来联系的。我们还推出了新的界限相关的$G(n,p)$模型。
The large deviation principle for the Erdős-Rényi random graph
当一个罕见事件发生时，Erdos-Renyi图是什么样子的？本文通过在适当的拓扑结构下建立大偏差原理，回答了p固定且n趋于无穷大时的这个问题。主要结果的公式化和证明利用了Lovasz及其合著者的图极限理论的最新发展和图论中的Szemeredi正则引理。作为一般原理的一个基本应用，我们求出了G（n，p）中三角形个数的大偏差。令人惊讶的是，即使是这个简单的例子也产生了有趣的双相变。
A large deviation principle for the Erdős-Rényi uniform random graph
从Erdens-Rényi二项随机图$\mathcal{G}(n,p)$的大偏差原理（LDP）开始（边指示符是i.i.d.），由于Chatterjee和Varadhan（2011），我们导出了均匀随机图$\mathcal{G}(n,m)$（具有$n$顶点和$m$边的图上的均匀分布）在合适的$m=m_n$处的LDP。应用后一个LDP，我们发现$\mathcal{G}(n,m_n)$中子图计数的尾衰减是由变分问题控制的，这与Kenyon等人和Radin等人在约束随机图的背景下研究的结果一致，例如，边/三角形模型
The t-improper chromatic number of random graphs
研究Erd{ \H o}s-R{é}nyi随机图$G(n,p)$的$t$ -反常色数. $G$的t-非正常色数$χ^t(G)$是顶点着色所需的最小颜色数，其中每个颜色类最多诱导$t$一个最大度的子图.如果是$t = 0$，那么这就是正常着色的通常概念。当边缘概率$p$是恒定的，我们提供了一个详细的描述的渐进行为的$χ^t(G(n,p))$的选择范围内的增长$t = t(n)$。
Typical large graphs with given edge and triangle densities
本文利用Erdoes-Renyi图的大偏差，将边密度和三角形密度具有极值的单图的分析推广到具有固定中间密度的典型图的统计结构.我们证明了典型的图具有尖锐的奇异性的约束密度之间的不同曲线的极值，我们确定的精确性质的奇异性。扩展到具有固定密度的边和k-圈的图（奇数k>3）是简单的，我们注意到证明中的简单变化。
Wasserstein distances between ERGMs and Erdős-Rényi models
本文研究了ERGM与Erdős-Rényi模型之间的Wasserstein距离，证明了其为Θ(n^{3/2})，并提出了新的技术方法用于超临界领域。
Structural Properties of the Geometric Preferential Attachment Model
本文研究了几何优先附着模型的结构特性，证明了三角形数量与标准模型的比例关系，揭示了最大度数的增长特性，并扩展了连通性和直径的研究结果。
Algorithmic Decorrelation and Planted Clique in Dependent Random Graphs: The Case of Extra Triangles
研究依赖噪声对计算复杂度的影响，通过在带三角形的随机图与Erdős-Rényi图间建立平均情形归约，首次将依赖噪声转化为独立噪声，并基于对扰动的低敏感性提出新框架证明归约有效性。
The large deviation principle for interacting dynamical systems on random graphs
利用大偏差的弱收敛方法，给出并证明了割范数拓扑下W-随机图的大偏差原理。这推广了Chatterjee和Varadhan关于Erdens-R {\' e}nyi随机图的LDP.此外，我们将随机图的LDP转化为此类图上的一类相互作用的动力系统。为此，我们证明了动力学模型的解决方案连续依赖于基本图形的切割规范和应用收缩原理。
Estimation of on- and off-time distributions in a dynamic Erdős-Rényi random graph
针对仅能观测边总数的动态Erdős-Rényi图，提出基于矩法的参数化估计量以估计边的连通/断开时间分布，证明其渐近正态性并给出协方差辨识方法，还可适配楔形、三角形等其他子图计数观测场景。
Optimal detection of planted stars via a random energy model
本文通过随机能量模型研究了在随机图中检测嵌入星体的最优方法，并揭示了临界检测的标度窗口及相变特性。
The Rank of the Sandpile Group of Random Directed Bipartite Graphs
本文证明了不太不平衡的随机有向二部图的沙堆群的$p$ -秩的渐近分布。我们发现这与Erd{<$}s-R{é}nyi随机有向图模型完全匹配，表明该模型的Sylow $p$ -子群也可能是Cohen-Lenstra分布的。Koplewitz研究了不平衡随机二部图的$p$ -秩分布，并证明了对于充分不平衡的图，$p$ -秩的分布不同于Cohen-Lenstra分布. Koplewitz \cite{K}证明了对于随机平衡二部图，对于任意$p$，$p$ -秩的期望值为$O(1)$.本文证明了他的猜想，并给出了有向图子类的精确分布。
Normal approximation for sums of discrete $U$-statistics - application to Kolmogorov bounds in random subgraph counting
我们推导出了离散多重积分和由独立Bernoulli随机变量组成的$U$ -统计量之和在Kolmogorov距离中的正规逼近界。这种界被应用于Erd{ \H o}s-Rényi随机图的重正化子图计数的正规逼近。这种方法完全解决了一个长期存在的猜想，在一般设置的任意图计数，同时恢复和改善最近的结果，三角形以及使用Wasserstein距离的结果。
Metastability of Glauber dynamics with inhomogeneous coupling disorder
该研究引入含随机耦合的类平均场自旋系统，通过势论方法与集中不等式证明其Glauber动力学的亚稳态可由耦合取平均后的对应系统推导，拓展了Erdős–Rényi随机图上Ising模型的相关结果。
The triangle-free process and the Ramsey number $R(3,k)$
拉姆齐理论和随机图的领域一直密切相关，因为Erdibes '著名的证明，在1947年的“对角线”拉姆齐数$R(k)$增长指数$R(k)$。在20世纪90年代早期，引入了无三角过程作为一个模型，它可能为“非对角”Ramsey数$R(3,k)$提供良好的下界。在这个模型中，$K_n$的边被随机地一个接一个地引入，如果它们没有创建三角形，则添加到图中;最终（随机）图被表示为$G_{n,\triangle}$。2009年，Bohman成功地跟踪了这个过程的一个正部分，从而获得了Kim著名结果的第二个证明，即$R(3,k) = Θ\big( k^2 / \log k \big)$。本文改进了Bohman和Kim的结果，并遵循无三角形过程一直到其渐近结束。特别是，我们将证明$$e\big( G_{n,\triangle} \big) \,=\, \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} + o(1) \right) n^{3/2} \sqrt{\log n },$$很有可能是$n \to \infty$。我们还获得了几个伪随机性质的$G_{n,\triangle}$，并使用它们来绑定其独立数，这给作为一个直接的推论$$R(3,k) \, \ge \, \left( \frac{1}{4} - o(1) \right) \frac{k^2}{\log k}.$$这显着提高金的下限，并…
Edge Universality of Sparse Random Matrices
该研究针对稀疏随机矩阵极端特征值统计问题，在pN>N^ε的参数区间下，证明了所有特征值相对于显式随机测度的最优刚性，以及极端特征值经随机平移后涨落服从Tracy-Widom分布。
Counting triangles, tunable clustering and the small-world property in random key graphs (Extended version)
通过引入随机密钥图，研究了无线传感器网络（WSNs）中的M-G密钥预分配方案的各种性质.最近，这类随机图在推荐系统、社会网络建模、聚类和分类分析等不同的背景下受到了广泛的关注。本文研究了随机密钥图的各种性质。特别地，我们建立了随机密钥图中三角形存在的0 - 1定律，并确定了相应的临界标度。该零-一定律与Erdos-Renyi（ER）图中的相应结果存在显著差异。我们还计算了随机密钥图的聚类系数，并将其与ER图在多节点状态下的聚类系数进行了比较，当它们的期望平均度渐近等价时。对于无线传感器网络和社交网络应用中实际相关的参数范围，随机密钥图比相应的ER图更加聚类。我们还探讨了适合的随机密钥图作为小世界模型的意义上的瓦茨和Strogatz。
Spectral recovery of a planted triangle-dense subgraph
针对最坏情况计算困难的三角密集k子图问题，提出基于局部带符号三角计数的谱算法和半定规划，在Erdős-Rényi随机图中恢复种植的三角密集子图，并揭示统计-计算间隙。
On the chromatic number of random triangle-free graphs
本研究针对边数为$Θ(n^{3/2}(\log n)^{1/2})$的随机无三角形图，通过与随机2-SAT、双Erdős–Rényi图着色问题的高概率等价性，确定了色数3→4、4→5转变的标度窗口宽度及后者的极限概率。
Mixing time for an epidemic model on graphs with external sources of infection
研究图上带有外部感染源的SIS模型的混合时间，证明其在顶点数n的顺序为Θ(n log n)，并分析随机图家族上的模型特性。
Upper tail behavior of the number of triangles in random graphs with constant average degree
设$N$是一个Erdens-Rényi图$\mathcal{G}(n,p)$在$n$顶点上的三角形个数，其边密度为$p=d/n,$，其中$d>0$是一个固定常数.众所周知，$N$弱收敛于泊松分布，其平均${d^3}/{6}$为$n\rightarrow \infty$。我们解决的上尾问题$N,$，即，我们调查如何快速$k$必须增长，使$\{N\ge k\}$的概率是不是很好地近似了相应的泊松变量的尾部。证明尾部表现出尖锐的相变，我们基本上表明，上尾是由泊松行为只有当$k^{1/3} \log k< (\frac{3}{\sqrt{2}})^{2/3} \log n$（亚临界制度），以及钉下的尾部行为时，$k^{1/3} \log k> (\frac{3}{\sqrt{2}})^{2/3} \log n$（超临界制度）。我们进一步证明了一个结构定理，表明亚临界上尾的行为是由几乎$k$顶点不相交的三角形的外观，而在超临界状态下，多余的三角形产生的大小约$(6k)^{1/3}$的集团状结构。这解决了长期存在的上尾问题，在这种情况下，回答了一个问题的奥尔德斯，补充了一个长序列的作品，跨越几十年，最终在（哈雷尔，穆萨，萨莫蒂杰，'19）分析的问题，只有在政权$p\gg \frac{1}{n}.$的证明依赖于几个新的图论结果，可以有其他应用。
Concentration inequalities for non-Lipschitz functions with bounded derivatives of higher order
利用R.在本文中，我们给出了高阶导数有界的非必然Lipschitz函数$f\colon \R^n \to \R$的一个集中不等式，当基本测度满足Sobolev型不等式族$\|g- \E g\|_p \le C(p)\|\nabla g\|_p.$时，该不等式成立。如果基本测度满足log-Sobolev不等式（在这种情况下为$C(p) \le C\sqrt{p}$）或Poincaré不等式（则为$C(p) \le Cp$）。我们的浓度估计表示在张量积范数的衍生物的$f$。当基本度量是高斯的并且$f$是多项式（不一定是四面体或齐次）时，我们的估计可以被逆转（直到一个常数，仅取决于多项式的次数）。我们还表明，对于多项式函数，类似的估计对于具有独立亚高斯坐标的任意随机向量也成立。我们将这些不等式应用于随机向量的一般可加泛函（特别是随机矩阵的线性特征值统计量）和Erdens-R {é}nyi随机图中定长圈的计数问题，得到了在一定参数范围内最优的新估计.
A probabilistic view of latent space graphs and phase transitions
我们研究具有潜在几何结构的随机图，其中每条边的概率取决于对应于两个端点的潜在随机位置。我们专注于设置这个条件概率是一个一般的单调增函数的内积的两个向量，这样的功能可以自然地被视为累积分布函数的一些独立的随机变量。我们考虑一个单参数的随机图族，其特征在于这个随机变量的方差，平滑地插入一个随机点积图和Erdens-Rényi随机图之间。我们证明了相变的检测几何在这些图中，在底层的几何空间的维数和方差参数的条件概率。当维数很高或方差很大时，图类似于具有相同边密度但不具有几何形状的Erdens-Rényi图;在其他参数区域，存在计算效率高的符号三角形统计量来区分它们。证明利用信息论不等式和测量现象的浓度。
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