Proof of two conjectures on Askey-Wilson polynomials
K. Castillo, D. Mbouna
对M. E. H伊斯梅尔在他的专著[古典和量子正交多项式在一个变量，剑桥大学出版社，2005年]。
We give positive answer to two conjectures posed by M. E. H Ismail in his monograph [Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Cambridge University Press, 2005].
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The factorization method for the Askey-Wilson polynomials.
对Askey-Wilson二阶q-差分算子给出了一种特殊的Infeld-Hall分解.然后，它示出了如何推导相应的Askey-Wilson多项式的推广。
An eigenvalue problem for the associated Askey-Wilson polynomials
为了导出相关的Askey-Wilson多项式的本征值问题，我们考虑了一个二元的辅助函数，它与Ismail和Rahman提出的相关的Askey-Wilson多项式有关.分别应用于每个变量的Askey-Wilson算子将该函数映射到具有不同参数集的普通Askey-Wilson多项式。第三个Askey-Wilson算子的帮助下，发现一个计算机代数程序，连接两个，和一个本征值问题。
Approximation of Askey-Wilson roots
本文提出一种定点公式，用于在小参数值下逼近Askey-Wilson多项式的根。
On First type characterizations of Askey-Wilson polynomials
在这一章中，我们利用第一类结构关系刻画了Askey-Wilson多项式，包括它们的特殊情况和极限情况。
The Askey-Wilson polynomials and q-Sturm-Lioville problems
我们在L^2（-1，1，（1-x^2）^-1/2dx）上找到了Askey-Wilson均差算子关于内积的伴随，并证明了Askey-Wilson多项式是q-Sturm-Liouville问题的解.从这些事实中，我们推导出各种性质的多项式在一个简单而直接的方式。我们还提供了一个运营商理论的描述的Askey-Wilson运营商。
On the Krall-type Askey-Wilson Polynomials
本文引入了一般的Krall型Askey-Wilson多项式。这些多项式是通过在点$\pm1$处将两个质量点添加到它们的权函数而从Askey-Wilson多项式获得的。讨论了这类新族的几个性质，特别是三项递推关系和作为基本超几何级数的表示。
A Characterization of Askey-Wilson polynomials
我们证明了唯一满足$$π(x)\mathcal{D}_{q}^2P_{n}(x)=\sum_{j=-2}^{2}a_{n,n+j}P_{n+j}(x),\; x=\cosθ,\;~ a_{n,n-2}\neq 0,~ n=2,3,\dots,$$的一元正交多项式$\{P_n\}_{n=0}^{\infty}$是Askey-Wilson多项式及其特殊或极限情况，其中$π(x)$是次数至多为$4$的多项式，$\mathcal{D}_{q}$是Askey-Wilson算子。这完成并证明了Ismail关于Askey-Wilson多项式满足的结构关系的猜想。利用这种结构关系，导出了Askey-Wilson多项式及其特殊情形的最小零点的上界和最大零点的下界.
q-Fractional Askey-Wilson Integrals and Related Semigroups of Operators
引入了三个单参数算子半群，并确定了它们的谱。其中两个是与Askey-Wilson算子相关的分数次积分。我们还研究了这些家庭作为家庭的积极线性逼近运营商。应用包括阿斯基-威尔逊多项式的连接关系和双线性公式。我们还介绍了一个q-高斯-维尔斯特拉斯变换，并证明了它的表示和反演定理。
Solutions to the associated q-Askey-Wilson polynomial recurrence relation
使用$\tphin$连续关系来导出非常平稳的$\ephis$的连续关系。这些反过来又产生解决方案相关的$q$ -阿斯基威尔逊多项式递归关系，表达式为相关的连分数，权函数和$q$ -模拟的广义杜格尔定理。
Some Systems of Multivariable Orthogonal Askey-Wilson Polynomials
在1991年特拉特尼克推导出两个系统的多变量正交威尔逊多项式，并认为他们的极限情况。q-模拟这些系统的推导，产生系统的多变量正交Askey-Wilson多项式及其特殊和极限情况。
A right inverse of the Askey-Wilson operator
建立了Askey-Wilson有限差分算子右逆在带权$(1-x^2)^{-1/2}$的$L^2$上的整表示.该积分算子的核是$\vartheta'_4/\vartheta_4$，是黎曼映射函数，它将开单位圆盘保形地映射到椭圆的内部。
Multiple Askey-Wilson polynomials and related basic hypergeometric multiple orthogonal polynomials
我们首先展示了如何通过使用特殊的变换从小$q$ -Laguerre和小$q$ -雅可比多项式得到Al-Salam-Chihara多项式、连续对偶$q$ -Hahn多项式和Askey-Wilson多项式。然后将此过程扩展到从多个小$q$-雅可比多项式和多个小$q$ -Laguerre多项式得到多个Askey-Wilson多项式、多个连续对偶$q$-Hahn多项式和多个Al-Salam-Chihara多项式。
Generalizations of Ramanujan's reciprocity formula and the Askey-Wilson integral
利用两个已知的基本超几何级数的变换公式，建立了Bailey的$_6ψ_6$ -级数恒等式的直接推广.随后，它和米尔恩的身份是驱动多变量的推广拉马努金的互惠公式。然后利用Milne恒等式推导出Askey-Wilson积分的多元推广。
Orthogonal Polynomials of Askey-Wilson Type
研究了两类正交多项式。第一种是与Askey-Wilson多项式相关的有限族，但正交性是在实数线上。这个家庭的一个极限情况是一个无限系统的正交多项式的时刻问题是不定的。我们提供了几个正交措施的无限家庭，并推导出他们的Plancherel-Rotach渐近。
Askey-Wilson continued fraction at $q^N=1$
将$q^N=1$时Askey-Wilson多项式对应的连分数显式表示为两个终止$q$-超几何级数的比值。
Addition formula for 2-parameter family of Askey-Wilson polynomials
对于一类两参数的Askey-Wilson多项式族，即勒让德多项式的基本类似物，导出了一个加法公式。加法公式是Koornwinder的小$q$ -勒让德多项式的加法公式的双参数推广。导出了相应的乘积公式。当基趋于1时，加法与乘积公式转化为勒让德多项式的加法与乘积公式。加法公式是从量子$SU(2)$群上的广义矩阵元的Askey-Wilson多项式的解释中推导出来的。
Terminating basic hypergeometric representations and transformations for the Askey-Wilson polynomials
在这篇综述论文中，我们详尽地探讨了Askey-Wilson多项式的终止基本超几何表示和相应的终止基本超几何变换，这些多项式满足。从这些多项式的终止基本超几何表示，由于其自由参数的对称性，我们能够详尽地探索这些多项式满足的终止基本超几何变换公式。
Some orthogonal very-well-poised $_8φ_7$-functions that generalize Askey-Wilson polynomials
在最近的一篇论文中，Ismail，Masson和Suslov建立了$q$ -二次网格上的$_2φ_1$ -Bessel函数的连续正交关系和其它一些性质. Dick Askey提出，在$_2φ_1$级的“贝塞尔型正交性”确实具有一般性，并且可以扩展到$_8φ_7$级。非常平衡的$_8φ_7$ -函数被称为经典Askey-Wilson多项式的非终止形式。Askey的结论得到了作者的证明。本文详细讨论了正交$_8φ_7$ -函数的一些性质。最近，Askey、Rahman和Suslov发现了另一种非常平稳的$_8φ_7$函数的正交关系。
On another characterization of Askey-Wilson polynomials
本文证明了满足\begin{align*} ϕ(x)\mathcal{D}_q P_{n}(x)=a_n\mathcal{S}_q P_{n+1}(x) +b_n\mathcal{S}_q P_n(x) +c_n\mathcal{S}_q P_{n-1}(x), \end{align*}（$c_n\neq 0$）的正交多项式序列$(P_n)_{n\geq 0}$是Askey-Wilson多项式的倍数，或它们的特殊或极限情况，其中$ϕ$是一个最多为2次的精心选择的多项式，$\mathcal{D}_q$是Askey-Wilson算子，$\mathcal{S}_q$是平均算子.
Symmetry of terminating series representations of the Askey-Wilson polynomials
本文研究了Askey-Wilson多项式的终止基本超几何级数表示的对称性以及这些多项式所满足的相应终止基本超几何变换.特别是我们确定和分类的一组4和7等价类的终止平衡${}_4ϕ_3$和终止非常平衡的${}_8W_7$基本超几何级数与Askey-威尔逊多项式。我们研究这些等价类的反演性质，并确定这两套等价类的连接与对称群$S_6$，对称群的终止平衡${}_4ϕ_3$。然后，我们使用终止平衡的${}_4ϕ_3$和终止非常平衡的${}_8W_7$变换，给出了更广泛的解释沃森的$q$-类似惠普尔定理及其逆。我们给出了一个广泛的描述的对称结构的终止基本超几何级数表示的Askey-Wilson多项式。
Jackson's $(-1)$-Bessel functions with the Askey-Wilson algebra setting
本文的目的是研究当$q\rightarrow -1$满足条件时，Jackson的$q$ -Bessel函数的极限跃迁所产生的新函数.这些函数与$cas$函数在其参数的特定值上一致。我们还证明了这些函数是Dunkl型微分差分算子的本征函数。此外，我们考虑特殊情况下的Askey-Wilson代数$AW(3)$，有这些运营商（常数）作为其三个发电机之一，其定义关系给出的antiqualitators。
The structure relation for Askey-Wilson polynomials
给出了Askey-Wilson多项式的一个显式结构关系。这涉及一个除q-差分算子，它相对于Askey-Wilson内积是斜对称的，并且它将n次多项式发送到n+1次多项式。通过参数的特殊化和取极限，可以得到q-Askey方案和Askey方案中其他族的相似结构关系以及升降关系。这是明确讨论的雅可比多项式，连续q-雅可比多项式，连续q-超球多项式，并为大q-雅可比多项式。利用三项递推关系和二阶q-差分公式，可以从新的结构关系中得到最后一个族的已知结构关系。结果也被放在一个更一般的理论框架。他们的关系与早期工作的Zhedanov和Bangerezako进行了讨论。它也与离散矩阵模型中的弦方程和Sklyanin代数有联系。
Bispectral commuting difference operators for multivariable Askey-Wilson polynomials
我们构造了一个交换代数A_z，它是由d个代数独立的q-差分算子作用于变量z_1，z_2，.生成的，z_d，它被Gasper和Rahman [6]所考虑的多变量Askey-Wilson多项式P_n（z）对角化。通过迭代Sears变换公式，证明了多项式P_n（z）在z与n之间具有一定的对偶性。解析延拓允许我们得到另一个交换代数A_n，它由作用在离散变量n_1，n_2，.上的d个代数独立的差分算子生成，n_d，也被P_n（z）对角化。这导致了一个多变量的q-Askey计划的双谱正交多项式平行的对称函数的理论。
Connection formulas for Askey--Wilson polynomials and related expansions
本文推导了Askey-Wilson多项式的连接公式，并研究了其与相关多项式展开式及极限关系。
An expansion formula for the Askey-Wilson function
Askey-Wilson函数变换是Jacobi函数变换的q-模拟，其核由Askey-Wilson二阶q-差分算子的显式非多项式本征函数给出。这个核函数被称为Askey-Wilson函数。本文证明了Askey-Wilson函数用Askey-Wilson多项式表示的一个显式展开公式。有了这个展开公式，在Askey-Wilson多项式乘以高斯模拟的Askey-Wilson函数变换下的图像被显式计算。作为这些公式的一个特殊情况下的q-模拟（在一个变量）的Macdonald-Mehta积分，其中也有两个替代，直接证明。
Taylor series for the Askey-Wilson operator and classical summation formulas
泰勒公式的一个类似物，它产生由Askey-Wilson型的均差算子取代的经典导数，在这里开发。我们研究了相应的泰勒级数的收敛性。我们的结果补充了伊斯梅尔和斯坦顿最近的工作。令人惊讶的是，在某些情况下，泰勒多项式收敛到一个不同于原始函数的函数。我们给出了积分余项的显式表达式。作为应用，我们得到了基本超几何级数的一些求和公式。据我们所知，其中一个是新的。最后，我们通过研究不同形式的二项式定理在这种情况下。
Bootstrapping and Askey-Wilson polynomials
Askey-Wilson多项式的混合矩使用自举方法和连接系数。一个类似的自举思想的生成函数给出了一个新的Askey-Wilson生成函数。这个层次的一个重要的特殊情况是多项式满足四项递归，并研究其组合。
On the structure and probabilistic interpretation of Askey-Wilson densities and polynomials with complex parameters
我们给出了Askey-Wilson多项式的等价形式，并借助于Al-Salam-Chihara多项式来表示它们。在将Askey-Wilson多项式的参数限制为复共轭的对之后，我们将Askey-Wilson权函数展开成类似于Poisson-Mehler展开公式的级数，并给出其概率解释.特别是这个结果可以用来计算明确的形式的'q-Hermite'矩的Askey-Wilson密度，从而使计算的所有时刻的Askey-Wilson密度。在此过程中（通过将某个参数q设为0），我们得到了一些在快速发展的所谓“自由概率”中有用的公式。
On the families of polynomials forming a part of the Askey--Wilson scheme and their probabilistic applications
我们回顾了六个家庭的正交多项式，形成的主要大部分集合称为阿斯基-威尔逊计划的多项式的属性。我们给出了它们之间的联系系数，以及所谓的线性化公式和其他有用的重要的有限和无限展开式和恒等式。本文的一个重要部分是介绍的概率模型，其中大多数家庭的多项式出现。这些结果分散在近15年来的文献中。我们把它们放在一起，使这些家庭的整体前景，并了解他们的关键作用，试图推广高斯分布，并找到他们的有界支持推广。该文件是基于65项主要是最近的文献。
A note on fractional Askey--Wilson integrals
本文利用$q$ -差分方程方法推广了分数阶$q$ -积分.此外，我们还推导出了分数阶Askey-Wilson积分、反转型分数阶Askey-Wilson积分和Ramanujan型分数阶Askey-Wilson积分.
Askey--Wilson polynomials, quadratic harnesses and martingales
利用Askey-Wilson多项式的正交性测度构造了具有二次条件方差和线性回归的马氏过程。Askey-Wilson多项式是这些过程的正交鞅多项式。
Moments of Askey-Wilson polynomials
给出了Askey-Wilson多项式n阶矩的新公式。这些都来自使用分析技术，并考虑三个组合模型的时刻：Motzkin路径，匹配，和楼梯tableaux。给出了一个相关的正性定理，并证明了另一个正性定理。
Product formulas for basic hypergeometric series by evaluations of Askey--Wilson polynomials
本文通过阿斯凯-威尔逊多项式评估，推导出基本超几何级数的乘积公式，提出新的终止平衡${}_4ϕ_3$求和公式，并给出新的基本超几何变换和积分表示。
Remarks on Askey-Wilson polynomials and Meixner polynomials of the second kind
本文的目的有两个：首先刻画所有正交多项式序列$(P_n)_{n\geq 0}$，使得$$ \frac{\triangle}{{\bf \triangle} x(s-1/2)}P_{n+1}(x(s-1/2))=c_n(\triangle +2\,\mathrm{I})P_n(x(s-1/2)), $$其中$\mathrm{I}$是恒等算子，$x$定义了一类步长一般不一致的格和$\triangle f(s)=f(s+1)-f(s)$ ;其次以友好的方式给出处理这类问题的方法。
Multivariate Askey-Wilson functions and overlap coefficients
研究量子代数$\text{U}_q(\text{sl}_2(\text{C}))$表示论中的重叠系数，将其识别为Askey-Wilson函数乘积以解释多元Askey-Wilson函数，并利用余代数结构推导其$q$-差分方程。
Askey-Wilson polynomials: an affine Hecke algebraic approach
利用双仿射Hecke代数的表示论研究了Askey-Wilson型多项式.特别地，我们证明了非对称和反对称Askey-Wilson多项式关于复测度的双正交关系.我们给出了非对称阿斯基-威尔逊多项式的二元性质，并展示了如何从Sahi的交织器创建非对称阿斯基-威尔逊多项式。与双正交关系相关的对角项（其取代了正交多项式的二次范数评估的概念）使用双仿射Hecke代数作用下的非对称Askey-Wilson变换的交织性质用复权函数的剩余表示。我们评估的常数项，这基本上是众所周知的Askey-Wilson积分，使用移位算子。我们还展示了这些结果如何减少到众所周知的对称阿斯基-威尔逊多项式的属性，因为最初是由阿斯基和威尔逊使用基本的超几何级数理论。
A quadratic formula for basic hypergeometric series related to Askey-Wilson polynomials
本文证明了基本超几何级数的一个一般二次公式，并由此得到了几个新近行列式公式和Pfiran公式的简单证明。二次公式的一个特例实际上与Askey-Wilson多项式的格拉姆行列式公式有关。我们还展示了如何从牛顿的插值公式中推导出最近的Askey-Wilson多项式矩的双和公式。
Non-Symmetric Askey--Wilson Shift Operators
本文分类了对称 Askey-Wilson 多项式的平移算子，利用其两种分解构造了非对称 Askey-Wilson 多项式的差分-反射平移算子，并以此计算其范数与 $q\ o1$ 特化，揭示了其与 $BC_1$ 型非对称 Heckman-Opdam 多项式平移算子的联系。
Bernstein-type bases on $q$-quadratic lattices and Askey--Wilson\slash $q$-Racah connection coefficients
该研究在承载Askey–Wilson多项式的q二次格上拆分了线性格伯恩斯坦基的双重角色，确定了广义幂基与Askey–Wilson多项式的q-Racah型连接系数，并通过翼型案例阐释了正交机制。
Terminating representations, transformations and summations for the $q$ and $q^{-1}$-symmetric subfamilies of the Askey--Wilson polynomials
本文详尽探讨了Askey--Wilson多项式的$q$和$q^{-1}$对称子族的终止基本超几何表示与变换公式，并据此研究了其终止变换结构及$q$-Askey方案的对称群结构。
The Askey-Wilson function transform scheme
本文对Askey的q-超几何正交多项式方案作了一个补充，它涉及到q-特殊函数类，这些函数类不仅由多项式组成。这些特殊函数是Jacobi函数和Bessel函数的q-模拟，它们是Askey-Wilson函数、大q-Jacobi函数和小q-Jacobi函数以及相应的q-Bessel函数。给出了这些族的广义正交关系和二阶q-差分方程。这些家庭之间的极限转换进行了讨论。简要讨论了量子群的理论解释。
The Askey-Wilson function transform
本文提出了一种显式（秩一）函数变换，它包含几个Jacobi型函数变换和Hankel型变换作为退化情况。该变换的核是根据基本超几何级数显式给出的，因此推广了雅可比函数和贝塞尔函数。核函数被称为Askey-Wilson函数，因为它提供了Askey-Wilson多项式在其阶上的解析延拓。本文建立了Askey-Wilson函数变换的$L^2$ -理论，明确地确定了它的反演公式。
A Taylor expansion theorem for an elliptic extension of the Askey-Wilson operator
本文利用E. Askey-Wilson均差算子的Rains椭圆延拓我们考虑的扩展定理扩展了M.E.H. Ismail的Askey-Wilson单项基展开式三个直接的应用（基本上已经由于雨）包括简单的证明弗伦克尔和Turaev的椭圆扩展杰克逊的8-phi-7求和和贝利的10-phi-9变换，并计算连接系数Spiridonov的椭圆扩展拉赫曼的双正交有理函数。我们预示其他的例子，包括杰克逊的8-phi-7求和和二次扩展的无限扩展。
Nonsymmetric Askey-Wilson polynomials as vector-valued polynomials
非对称的阿斯基-威尔逊多项式通常写成劳伦特多项式。我们把它们等价地写成2-向量值对称洛朗多项式。然后，Dunkl-Cherednik算子，它们是本征函数，表示为一个2 × 2矩阵值算子。作为一个新的结果，通过这种方法，我们得到了正定的正交关系的内积，在一定的约束下的参数。用这种方法也可以实现到非对称小q-雅可比多项式的极限过渡。非对称雅可比多项式被认为是Askey-Wilson和小q-雅可比情形的极限。
Selberg integrals, Askey-Wilson polynomials and lozenge tilings of a hexagon with a triangular hole
我们得到了一个显式公式的某种加权计数菱形镶嵌的六边形与任意三角形孔。我们的表达式的复杂性取决于从洞到六边形中心的距离。这证明并概括了Ciucu等人的观点，他考虑了当三角形位于中心或非常接近中心时的简单枚举的情况。我们的证明使用Askey-Wilson多项式作为工具，将离散和连续Selberg型积分联系起来。
Askey-Wilson Type Functions, With Bound States
Ismail和Rahman在[22]中发现了相关的Askey-Wilson多项式的三项递归关系的两个线性无关解，并对其进行了稍微修改，以使这些函数满足美丽的对称性变得透明。这实质上意味着几何参数和光谱参数在这些函数中是可互换的。我们将得到的函数称为Askey-Wilson函数。然后，我们表明，通过添加绑定状态（任意权重）在特定点以外的连续谱的一些情况下的Askey-Wilson差分算子，我们可以生成的功能，满足一个双重无限的三项递归关系，也是本征函数的$q$ -差分算子的任意阶。我们的结果提供了在Duistermaat和Grünbaum的开创性工作[8]中发现的双谱问题的纯微分版本的解决方案的离散模拟。
Askey-Wilson polynomials and the quantum SU(2) group: survey and applications
量子$SU(2)$群的不可约表示的广义矩阵元使用表示空间的某些规范正交基来定义。广义矩阵元相对于$sl(2)$的量子化泛包络代数的类李代数元是相对无穷小不变的。Noumi和Mimachi [Proc. Japan Acad. Sci. { \bf 66}，系列A（1990），第[146- 149]给出了用Askey-Wilson多项式的全四参数族描述广义矩阵元的方法。介绍了这种解释的各种已知和新的应用。
Discrete orthogonality of the polynomial sequences in the $q$-Askey scheme
我们得到的权函数与$q$ -线性和$q$ -二次格，产生离散正交的准定矩功能的Askey-Wilson多项式和所有的多项式序列中的q-Askey计划，连续的$q$ -厄米多项式除外。
Generalizations of generating functions for higher continuous hypergeometric orthogonal polynomials in the Askey scheme
我们利用连接关系和级数重排推广生成函数的几个更高的连续正交多项式的Askey计划，即威尔逊，连续对偶哈恩，连续哈恩，和Meixner-Pollaczek多项式。利用这些多项式的正交关系，我们还确定了相应的定积分。
Askey--Wilson Integral and its Generalizations
我们扩展的Askey-威尔逊（AW）密度在一系列产品的连续$q-$厄米多项式倍的密度，使这些多项式正交。作为副产品，我们得到AW积分的值以及$q-$ Hermite多项式乘以AW密度的积分值（AW密度的$q-$ Hermite矩）。我们的方法使用良好的，旧的公式Carlitz和一般性足以冒险推广。我们证明了这是可能的，并为如何实现这一点铺平了道路，从而得到了一个递归系统，如果成功地求解该系统，将得到一个参数越来越多的广义AW密度序列。
Bilateral discrete and continuous orthogonality relations in the $q^{-1}$-symmetric Askey scheme
本文在$q^{-1}$-对称Askey框架下计算了五类正交多项式的双边离散与连续正交关系，并由$q^{-1}$-Askey--Wilson多项式的连续正交关系导出$q$-beta积分，其在$q\ o 1^{-}$极限下对应一个Ramanujan型beta积分并给出两种证明。
Multi-indexed Wilson and Askey-Wilson Polynomials
作为多指标正交多项式计划的第三阶段，我们在一维纯虚位移的离散量子力学框架下，提出了多指标Wilson和Askey-Wilson多项式。他们从原来的威尔逊和阿斯基威尔逊多项式的离散模拟的达布变换或Crum-Krein-Adler删除的“虚拟状态解决方案”的I型和II型，以类似的方式，多指标Laguerre，Jacobi和（q-）拉卡多项式的多次应用。
Infinitely many shape invariant discrete quantum mechanical systems and new exceptional orthogonal polynomials related to the Wilson and Askey-Wilson polynomials
给出了与Wilson多项式和Askey-Wilson多项式相关的两组无穷多例外正交多项式。它们被导出为形状不变的本征函数，因此精确可解的量子力学哈密顿量，这是Wilson和Askey-Wilson多项式在次数\ell（\ell = 1，2，.）方面的变形。特征多项式这些多项式是例外的，因为它们从次数\ell \ge 1开始，因此不受Bochner定理的任何推广的约束。
Casoratian Identities for the Wilson and Askey-Wilson Polynomials
本文导出了Wilson多项式和Askey-Wilson多项式的许多Casoratian恒等式，并与作者最近报道的Hermite多项式、Laguerre多项式和Jacobi多项式的Wronskian恒等式并行地导出了许多Casoratian恒等式。这些恒等式构成了可解（离散）量子力学系统本征态增删达布变换等价性的基础。类似的恒等式适用于威尔逊多项式和阿斯基-威尔逊多项式的各种简化形式的多项式，例如连续的q-Jacobi，连续的（对偶）（q-）Hahn，Meixner-Pollaczek，Al-Salam-Chihara，连续的（大）q-Hermite等。
Generalized Bochner theorem: characterization of the Askey-Wilson polynomials
假设存在一组满足二阶差分方程$$ A(s) P_n(z(s+1)) + B(s) P_n(z(s)) + C(s) P_n(z(s-1)) = λ_n P_n(z(s)), n=0,1,2,..., N$$的一元多项式$P_n(z)$，其中$z(s), A(s), B(s), C(s)$是离散自变量$s$的一些函数，并且$N$可以是有限的或无限的。不可约条件$A(s-1)C(s) \ne 0$被假定为$s$的所有容许值。在有限的情况下，我们假设有$N+1$不同的网格点$z(s), \: s=0,1,..., N$，使得$z(i) \ne z(j), \: i \ne j$。如果是$N=\infty$，我们假设网格$z(s)$对于不同的$s$值有无穷多个不同的值。在有限和无限的情况下，我们还假设该问题是非退化的，即$λ_n \ne λ_m, n \ne m$。然后我们证明，必然：（i）网格$z(s)$在$s$中至多是二次或q-二次的;（ii）对应的多项式$P_n(z)$至多是对应于网格$z(s)$的Askey-Wilson多项式。这一结果可以看作是Bochner定理（刻画普通经典多项式）在任意网格上任意差分算子的一般情形的推广。
Degenerate Sklyanin algebras, Askey-Wilson polynomials and Heun operators
在三维和四维退化Sklyanin代数$\mathfrak{ska}_3$和$\mathfrak{ska}_4$的框架下，建立了$q$ -差分方程、Askey-Wilson多项式的移位和邻接关系.它示出的$q$ -para拉卡多项式对应于一个非传统的截断的Askey-Wilson多项式形成的基础上有限维表示的$\mathfrak{ska}_4$。一阶Heun算子定义的多项式上的一个度提升条件，形成一个五维向量空间，包括$\mathfrak{ska}_4$。在五个基算子中，最一般的二次表达式是Heun-Askey-Wilson算子。
Askey-Wilson Polynomials and Branching Laws
本文推导了非对称 Askey-Wilson 多项式参数平移的连接系数公式，并利用该结果重新证明了对称情形下 Askey 和 Wilson 的经典结论。
A class of q-orthogonal polynomial sequences that extends the q-Askey scheme
在推广了q-Askey格式的一类q-正交多项式序列中，得到了新的递推系数的显式表达式.我们的公式表示的递归系数的四个参数，确定零点和极点。通过直接代入这四个参数的特定值，我们得到了q-Askey方案中的所有多项式序列，包括Askey-Wilson多项式和Racah多项式。我们还得到了一些可能是新的序列族。
Bispectral extensions of the Askey-Wilson polynomials
继Duistermaat和Grünbaum的开创性工作之后，我们称一个多项式族$\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$为双谱的，如果多项式同时是两个交换代数的本征函数：一个由作用于度指数$n$的差分算子组成，另一个由作用于变量$x$的算子组成。本文的目标是构造和参数化Askey-Wilson多项式的双谱扩张，其中第二代数由$q$ -差分算子组成.特别是，我们明确地描述措施的实际线路上，相应的正交多项式满足（高阶）$q$ -差分方程扩展所有已知的正交多项式满足$q$ -差分，差分或微分方程$x$。
Askey-Wilson functions and quantum groups
构造了$0<q<1$和$|q|=1$的Askey-Wilson二阶$q$ -差分算子的本征函数作为量子化泛包络代数$U_q(sl(2,\mathbb{C}))$的主级数表示的形式矩阵系数.本征函数是积分形式的，可以看作是高斯超几何级数的欧拉整表示的类似物。我们表明，$0<q<1$的本征函数可以重写为一个非常平衡的${}_8ϕ_7$系列，并减少了特殊的参数值的余弦核的自然椭圆模拟。
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