Convex cones spanned by regular polytopes
我们研究三个家庭的多面体锥的部分是定期单纯形，立方体，和crosspolytopes。我们计算了这些圆锥的立体角和圆锥曲线的固有体积。我们表明，随机几何中出现的几个量可以通过这些圆锥曲线的内禀体积来表示。这些量的列表包括规则单形和交叉多面体的内部和外部立体角，（对称）高斯随机多面体或高斯带形包含一个给定的点，一个规则多面体与一个随机线性子空间通过其中心的交集的预期面数，以及一个规则多面体在一个随机线性子空间上的投影的预期面数。
2020-12-31 math.MG math.PR
Mean Width of a Regular Cross-Polytope
已知n+1个正态分布变量的样本的期望范围与正则n-单形的平均宽度有关。我们证明了n个半正态分布变量的样本的期望最大mu_n与规则n-交叉电解质的平均宽度有关。这两种关系都有对应的均方。发现了mu_5的一个表达式，并认为这是一个新的表达式。
2016-03-12 math.MG math.PR
Expected intrinsic volumes and facet numbers of random beta-polytopes
设$X_1,\ldots,X_n$为i.i.d.\根据以下概率密度之一采样的$d$维欧几里得空间中的随机点：$$ f_{d,β} (x) = \text{const} \cdot (1-\|x\|^2)^β, \quad \|x\|\leq 1, \quad \text{(the beta case)} $$和$$ \tilde f_{d,β} (x) = \text{const} \cdot (1+\|x\|^2)^{-β}, \quad x\in\mathbb{R}^d, \quad \text{(the beta' case).} $$我们精确地计算$X_1,\ldots,X_n$的凸包的期望的固有体积和期望的刻面数。渐近公式，以前获得Affentanger [随机点的凸包与球对称分布，1991年]。通过研究当$β\downarrow -1$，分别为$β\uparrow +\infty$时β情况的极限，我们还可以分别覆盖其中$X_1,\ldots,X_n$在单位球上均匀分布或正态分布的模型。对于定义为$\pm X_1,\ldots,\pm X_n$和$0,X_1,\ldots,X_n$凸包的随机多面体，我们得到了类似的结果.证明中使用的主要工具之一是Blaschke-Petkantschin公式。
2017-12-21 math.MG math.PR
The mean width of random polytopes circumscribed around a convex body
设K是d维凸体，$K^{(n)}$是n个包含$K$的半空间的交，其边界超平面独立同分布.在适当的分布假设下，我们证明了$K^{(n)}$和K的平均宽度差的期望的一个渐近公式，以及$K^{(n)}$的面数的期望的另一个渐近公式.这些结果是通过建立$K$的加权体积近似的渐近结果和使用极性将其“对偶化”来实现的。
2009-01-22 math.MG math.PR
Expected $f$-vector of the Poisson Zero Polytope and Random Convex Hulls in the Half-Sphere
证明了$\mathbb R^d$中齐次各向同性Poisson超平面镶嵌的零多面体的期望面数的一个显式组合公式。期望的$f$-向量通过多项式$$ (1+ (d-1)^2x^2) (1+(d-3)^2 x^2) (1+(d-5)^2 x^2) \ldots. $$的系数来表示。此外，我们显式计算期望的$f$-向量和从$d$维半球均匀且独立地采样的$n$随机点的球形凸包的期望体积。在$n=d+2$的情况下，我们计算的概率，这个球形凸包是一个球形的单纯形，从而解决了一个类似的西尔维斯特四点问题的半球。
2020-08-15 math.CO math.MG math.PR
Concentration of random polytopes around the expected convex hull
本文对凸体空间（在固定或高维情形下）内随机多面体的浓度的弱多元Gnedenko大数定律，以及相应的强大数律，给出了一个简化的证明和改进的估计.
2014-03-10 math.FA math.PR
Facets of spherical random polytopes
研究了$\mathbb{R}^d$中单位球面上均匀随机选取的$n$独立随机向量的凸包的刻面。一个特别的重点是在小平面的高度以及预期的小平面数量的尺寸增加。政权为$n$和$d$与不同的渐近行为，这些数量的确定和渐近公式，在每种情况下建立。将固定维数下的一些已知结果推广到维数趋于无穷大的情形。
2019-08-12 math.MG math.PR
Mixed random beta-polytopes
本文将β分布随机多胞形平均体积的结果推广至非同分布情形，推导了广义混合β-多胞形的期望体积与Wieacker泛函的期望值，拓展了已有研究，证明用到Blaschke–Petkantschin公式等技术。
2024-07-15 math.MG math.PR
Variance asymptotics for random polytopes in smooth convex bodies
设$K \subset \R^d$是光滑凸集，$¶_\la$是$\R^d$上强度为$\la$的Poisson点过程. $¶_\la \cap K$的凸包是随机凸多面体$K_\la$。作为$\la \to \infty$，我们表明，方差的数目$k$维面的$K_\la$，当适当缩放，收敛到一个标量倍数的仿射表面积的$K$。类似的渐近性对于$K$中的二项式过程的凸包的$k$维面的数目的方差成立。
2012-06-21 math.PR
Random polytopes in convex bodies: Bridging the gap between extremal containers
本研究探讨块β分布族中随机点凸包构成的随机多面体的渐近性质，建立面期望数量的显式增长率，分析均匀分布下任意维度面的期望数量及体积差，揭示其插值性质以弥合两类凸容器中随机多面体行为的差距。
2024-11-28 math.MG math.PR
The volume of random polytopes circumscribed around a convex body
设$K$是$\mathbb{R}^d$中的一个凸体，它在一个球中自由滑动。令$K^{(n)}$表示包含$K$的$n$闭半空间的交，其边界超平面根据某个指定的概率分布独立且同分布。证明了$K^{(n)}$和$K$的体积差的期望的渐近公式，以及$K^{(n)}$的体积方差的渐近上界.我们实现这些结果，首先证明类似的语句的加权平均宽度近似的凸体，承认一个滚动球的内接随机多面体，然后通过极化这些结果。
2014-09-29 math.MG math.PR
Angle sums of random polytopes
对于两个家庭的随机多面体，我们明确计算预期的总和圆锥曲线的内在体积和格拉斯曼角在所有面临的任何给定的维度的多面体正在考虑中。作为特殊情况，我们计算任何固定尺寸的所有面的内角和外角的期望和。第一类是定义为独立同分布的凸包的高斯多面体。来自$\mathbb R^d$中的非退化高斯分布的样本。第二类是具有可交换增量的随机游动的凸包，满足一定的一般位置假设。期望和分别用正则单形的角度和Stirling数表示。这两种情况之间存在着不小的相似之处。此外，我们计算任意多面体集的高斯投影的角度和，其中高斯多面体是一个特殊的情况。此外，我们还证明了具有旋转不变律的随机多面体的格拉斯曼角和在仿射变换下是不变的。独立的兴趣也可能是多面体集的线性图像的面上的结果。这些结果是众所周知的，但似乎没有详细的证据可以在现有的文献中找到。
2020-07-15 math.CO math.MG math.PR
Variance Asymptotics and Scaling Limits for Random Polytopes
设K是Rd中的凸集，K $λ$是K上强度为$λ$的齐次Poisson点过程P $λ$的凸包.当K是一个简单的多胞形时，我们建立了K $λ$在K顶点附近的边界的标度极限为$λ$ $\rightarrow$ $\infty$，并给出了K $λ$的体积和k-面泛函的方差渐近性，k $\in$ {0，1，.，[18]这是一个开放的问题。本文描述了$λ$边界的标度极限和方差渐近性，该模型是由钉在Rd-1 $\times$ R上Poisson点过程极值点上的锥状晶粒组成的，其强度为$\sqrt$ de dh dhdv.
2016-01-29 math.PR
Simultaneous random polytope approximation characterizes the Euclidean ball
本文通过同时内在体积近似证明欧几里得球体的唯一性，揭示了内接多面体在渐近最优条件下的刚性特性。
2026-10-14 math.MG math.PR
Random Inscribed Polytopes Have Similar Radius Functions as Poisson-Delaunay Mosaics
利用$n$维球面上的测地距离，研究了随机集的Delaunay镶嵌的期望半径函数。具体地说，我们考虑的分区的马赛克到区间的半径函数，并确定预期数量的区间，其半径是小于或等于一个给定的阈值。假设点不包含在一个半球中，Delaunay镶嵌图同构于$\mathbb{R}^{n+1}$中凸包的边界复形，因此我们也得到了随机内接多面体的期望面数。我们发现，期望基本上是相同的泊松-Delaunay镶嵌在$n$维欧几里得空间。正如Antonelli和他的合作者所证明的，$n$ -球面的正交截面与配备有Fisher信息度量的标准$n$ -单纯形等距。因此，后者空间具有与$n$维欧几里得空间相似的随机性质。因此，我们的研究结果是相关的信息几何和群体遗传学。
2017-05-08 math.MG math.PR
Beta Polytopes and Beta Cones: An Exactly Solvable Model in Geometric Probability
本文研究单位球内beta分布随机点生成的beta多胞形及其相关beta锥，精确计算其面数、体积、内蕴体积等泛函的期望，并借助关键函数Θ给出统一公式。
2025-03-28 math.MG math.PR
Beta polytopes and Poisson polyhedra: $f$-vectors and angles
我们研究随机多面体的形式$[X_1,\ldots,X_n]$定义为凸包的独立和同分布的随机点$X_1,\ldots,X_n$在$\mathbb{R}^d$以下密度之一：$$ f_{d,β} (x) = c_{d,β} (1-\|x\|^2)^β, \qquad \|x\| < 1, \quad \text{(beta distribution, $β>-1$)} $$或$$ \tilde f_{d,β} (x) = \tilde{c}_{d,β} (1+\|x\|^2)^{-β}, \qquad x\in\mathbb{R}^d, \quad \text{(beta' distribution, $β>d/2$)}. $$这种设置还包括均匀分布的单位球和标准正态分布的极限情况。对于任意$k\in\{0,1,\ldots,d-1\}$，我们导出了$[X_1,\ldots,X_n]$的$k$ -面的期望个数的精确和渐近公式.我们证明，对于任何这样的$k$，这个预期的数字是严格单调递增的$n$。此外，我们计算预期的内部和外部的角度，这些多面体在每一个维度的面，更一般地说，预期的圆锥曲线的切线锥的内在体积。通过传递到beta'情形下的大$n$极限，我们计算了具有幂律强度函数的Poisson点过程凸包的期望$f$ -向量。利用凸对偶，我们得到了$\mathbb R^d$中一类各向同性Pois…
2020-02-02 math.MG math.PR
The mean width of circumscribed random polytopes
对于$R^d$中给定的凸体K，随机多面体$K^{(n)}$（本质上）定义为包含$K$且具有各向同性和（在特定意义上）均匀分布的$n$独立闭半空间的交集。我们证明了上限和下界，最佳的订单，为差异的平均宽度的$K^{(n)}$和K，n趋于无穷大。对于单纯多胞形P，得到了$P^{(n)}$与P的平均宽度差的精确渐近公式.
2009-01-21 math.MG math.PR
Angles of Random Simplices and Face Numbers of Random Polytopes
在$\mathbb R^d$中的单位球面上随机均匀拾取$d+1$点。这些点所张成的单形的角和的期望值是多少？在$d$维球中随机均匀选择$n$点。他们的凸包的期望面数是多少？我们回答这些和一些相关的问题随机几何。为此，我们计算随机单形的期望内角，其顶点是从以下$d$维分布之一采样的独立随机点：（i）密度与$(1-\|x\|^2)^β$成比例的β分布，其中$x$属于$\mathbb R^d$中的单位球;（ii）密度与$(1+\|x\|^2)^{-β}$成比例的β '分布，其中$x\in\mathbb{R}^{d}$。这些结果意味着以下随机多面体的期望面数的显式公式：（a）典型的Poisson-Voronoi胞;（b）Poisson超平面镶嵌的零胞;（c）定义为i.i.d.凸包的beta和beta'多面体。从相应的分布样本。
2020-03-03 math.CO math.MG math.PR
On Expected Face Numbers of Random Beta and Beta' Polytopes
随机β多面体定义为$n$维单位球上密度与$(1-\|x\|^2)^β$成比例的$n$独立随机点的凸包，其中$β>-1$是参数.类似地，随机β '多面体被定义为$n$独立随机点的凸包，其密度与$\mathbb R^d$上的$(1+\|x\|^2)^{-β}$成比例，其中$β>\frac d2$。在以前的工作[角度的随机单纯形和面对数字的随机多面体，高级数学，380（2021），107612]，我们建立了这些随机多面体的期望$f$ -向量在某些定积分方面的精确和明确的公式。在本文中，我们使用纯粹的代数操作，以获得这些积分的替代公式预期的$f$ -向量的几个身份。类似的代数操作适用于斯特林数，并产生以下恒等式：$$ \sum_{s=0}^k \genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n-s}{d-s} (d-s) \genfrac{[}{]}{0pt}{}{d-s}{k-s} = \sum_{s=0}^k (-1)^s \genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n-s}{d} \genfrac{[}{]}{0pt}{}{d+1}{k-s} = \sum_{s=0}^{d-k} (-1)^s \genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n+1}{d-s} \genfrac{[}{]}{0pt}{}{d-s}{k}. $$
2021-07-14 math.CO math.PR
Variance asymptotics and scaling limits for Gaussian Polytopes
设$K_n$为i.i.d.的凸包。随机变量根据$\R^d$上的标准正态分布进行分布。我们建立方差渐近$n \to \infty$的重新缩放的固有体积和$k$ -面泛函的$K_n$，$k \in \{0,1,...,d-1\}$，解决一个开放的问题。本文给出了在强度为$e^h dh dv$的$\R^{d-1} \times \R$上具有带Poisson点过程顶点的抛物颗粒的胚粒模型的泛函的方差渐近性。$K_n$边界的标度极限为$n \to \infty$收敛于一个抛物曲面的花饰，与随机输入下Burgers方程零黏性解的尺规作图法特征一致.
2014-09-28 math.PR
Expected hyperbolic volumes of random beta polytopes
研究随机β分布点集的凸包在双曲几何中的体积期望，推导出闭式公式，并给出三维均匀分布的特例结果。
2026-04-30 math.MG math.PR
Volumes of symmetric random polytopes
研究了$n$维对称凸体中独立随机点的对称凸包的体积矩。当给定物体为$B_q^n$时，我们计算了$n$点的二阶和四阶矩（以及$q = 2$情形下的所有矩），并由此导出了这些物体中随机单形的期望体积的渐近行为。
2003-05-28 math.MG math.PR
Phase transition for the volume of high-dimensional random polytopes
beta多面体$P_{n,d}^β$是$n$ i.i.d.的凸包。如果是$β>-1$，则是按照与$(1-\lVert{x}\rVert^2)^β$成比例的密度分布在$\mathbb{R}^d$的单位球中的随机点（特别地，$β=0$对应于球中的均匀分布），或者如果是$β=-1$，则是均匀地分布在单位球上。我们表明，预期的归一化体积的高维β多面体表现出相变，我们描述了它的形状。我们推导出类似的结果β多面体的内在体积，当$β=0$，他们的顶点数。
2021-02-02 math.MG math.PR
Universal Scaling Limits for Generalized Gamma Polytopes
固定一个空间维数$d\ge 2$，参数$α> -1$和$β\ge 1$，设$γ_{d,α, β}$为$\mathbb{R}^d$中密度与\begin{align*} ||x||^α\, \exp\left(-\frac{\|x\|^β}β\right), \qquad x\in \mathbb{R}^d. \end{align*}成正比的各向同性随机向量的概率测度。通过$K_λ$，我们将产生于$\mathbb{R}^d$中强度测度为$λγ_{d,α,β}$，$λ>0$的Poisson点过程的随机凸包的广义Gamma多面体表示为。我们建立的缩放限制的边界的$K_λ$，作为$λ\rightarrow \infty$，是由一个普遍的“花彩”分段抛物面，独立的$α$和$β$。此外，我们还列举了其他一些大规模渐近结果，包括期望和方差渐近性，中心极限定理，浓度不等式，Marcinkiewicz-Zygmund型强大数定律，以及$K_λ$的内禀体积和面数的中偏差原理.
2018-08-29 math.MG math.PR
The Beauty of Random Polytopes Inscribed in the 2-sphere
考虑$\mathbb{R}^d$中单位球面上的随机点集，它可以是均匀采样的，也可以是泊松点过程。它的凸包是一个随机内接多面体，其边界近似于球面。我们专注于案件$d=3$，其中有初等证明和迷人的公式度量性质。特别是，我们研究了急性小平面的分数，预期的内在体积，总的边缘长度，和一个不动点的距离。最后将结果推广到具有同胚密度的椭球。
2020-07-15 math.MG math.PR
The Duality of the Volumes and the Numbers of Vertices of Random Polytopes
一个身份由于埃夫隆追溯到1965年将预期体积的凸包$n$随机点的预期数量的顶点的凸包的$n+1$随机点。40年后，这一身份从期望值扩展到更高的时刻。广义恒等式引起了人们的极大兴趣。广义恒等式的左边--关于体积--有直接的几何解释，而右边--关于顶点数--则不是这样。利用初等对称多项式的恒等式，给出了一种右端变换，克服了这一缺陷。该公式揭示了随机多面体的体积与顶点数之间的对偶性。
2022-09-30 math.PR
Extremal random beta polytopes
本文讨论了多个独立同分布函数的凸包。$\mathbb R^d$中的β分布随机向量称为随机β多面体。最近，它们的固有体积、面数、法向角和切向角以及其他量的期望值已经被明确地和渐近地计算。本文研究了具有极值内禀体积的β多面体的渐近性质。我们提出一个猜想，并解决它在二维。为此，我们得到了一些一般的极限关系的广泛的一类$U$ - $\max$统计，其内核包括周长和面积的凸包的参数。
2021-11-14 math.PR
Monotonicity of functionals of random polytopes
$R^{d}$中的高斯样本$X_{1},...,X_{n}$的凸包$P_{n}$是高斯多面体。我们证明了在$n$中期望的刻面数$E f_{d-1} (P_n)$是单调增加的。此外，我们证明了这一点均匀分布的点在$d$维球产生的随机多面体。
2017-06-26 math.PR
A limit theorem for Hausdorff approximation by random inscribed polytopes
本文研究用边界随机采样点的凸包逼近光滑凸体，证明在最优密度下Hausdorff逼近误差经重标度后趋于Gumbel分布。
2025-08-22 math.MG math.PR
Random volumes in d-dimensional polytopes
假设我们从$d$维的凸体中均匀随机地选择$N$点。$N$相对于$d$渐近地必须有多大，才能使点的凸包几乎与凸体本身一样大？戴尔-富雷迪-麦克迪米德证明，当凸体是超立方体时，指数级的样本数就足够了，而巴茨瓦罗夫则证明，欧几里得球大约需要$d^{d/2}$样本。我们表明，当凸体是单纯形，指数许多样本就足够了，这意味着相同的结果为任何凸单纯多面体至多指数许多面。
2020-09-19 math.MG math.PR
Facets of high-dimensional Gaussian polytopes
本文研究高维高斯点凸包的面数，建立了维度随样本量增长时期望面数的显式渐近公式，并给出了d接近n时的渐近值。
2024-01-10 math.PR
Random ball-polytopes in smooth convex bodies
研究光滑凸体的随机球多面体逼近。我们研究了以下概率模型：设$K\subset{\bf R}^d$是凸体，使得$K$在半径为$R>0$的球中自由滑动，并且具有$C^2$光滑边界。令$x_1,\ldots, x_n$为i.i.d. $K$中的均匀随机点。对于$r\geq R$，让$K^r_{(n)}$表示包含$x_1,\ldots, x_n$的所有半径$r$闭合球的交点。则$K^r_{(n)}$是$K$中的（半径为$r$的）（均匀）随机球多面体。研究了$K_{(n)}^r$的面数期望为$n\to\infty$的渐近性质。虽然足够圆的凸体在球多面体的随机近似方面与经典多面体的行为类似，但当单位球由单位半径随机球多面体近似时，可以观察到一个有趣的现象：预期的小平面数量接近有限的极限，如$n\to\infty$。
2020-08-06 math.MG math.PR
Estranged facets and $k$-facets of Gaussian random point sets
本文研究维数趋于无穷且点数与维数成正比时的高斯随机多胞体，证明了面与 $k$-面期望数量的渐近公式，并确定了 $n=2d$ 时疏离面对期望数量的常数 $C$。
2023-07-02 math.MG math.PR
Mean Width of Random Perturbations of Random Polytopes
我们证明了随机多面体的随机扰动的平均宽度的期望值的一些“高概率”结果。考虑高斯和$p$稳定随机向量的随机扰动，以及$\ell_p^N$ -球和单位球上的均匀分布。
2013-03-22 math.FA math.PR
Real Gaussian exponential sums via a real moment map
本文通过实矩映射研究高斯指数和系统的期望解数，将其化为牛顿多胞体上的积分，并证明添加支撑点可导致解数减少，否定局部猜想，同时给出Aronszajn乘法新下界。
2025-04-22 math.MG math.PR
The convex hull of random points on the boundary of a simple polytope
研究了R^n中简单多面体边界上N个独立随机点的凸包。渐近公式的预期数量的顶点和刻面，并为预期的体积差。这是第一次调查导致严格的结果随机多面体既不简单也不单纯。结果对比现有的结果，当点选择在一个凸集的内部。
2022-01-10 math.PR
Mean width of regular polytopes and expected maxima of correlated Gaussian variables
一个古老的猜想指出，在所有的单形内接在单位球的规则有最大的平均宽度。一个等价的公式是，对于任何满足$\mathbb Eξ_1^2= \dots =\mathbb Eξ_n^2=1$的中心高斯向量$(ξ_1,\dots,ξ_n)$，有$$ \mathbb E\,\max\{ξ_1,\dots,ξ_n\}\leq\sqrt{\frac{n}{n-1}}\, \mathbb E\,\max\{η_1,\dots,η_n\}, $$，其中$η_1,η_2,\dots,$是独立的标准高斯变量。使用这种概率解释，我们推导出一个渐近版本的猜想。我们还证明了具有$2n$顶点的正则单形的平均宽度非常接近于具有相同顶点数的正则交叉单形的平均宽度。从概率上解释，我们的结果表明，$$ 1\leq\frac{\mathbb E\,\max\{|η_1|,\dots,|η_n|\}}{\mathbb E\,\max\{η_1,\dots,η_{2n}\}} \leq\min\left\{\sqrt{\frac{2n}{2n-1}}, \, 1+\frac{C}{n\, \log n} \right\}, $$，其中$C>0$是一个绝对常数。本文还计算了正立方体、单形和交叉多面体在任意方向直线上的投影长度$W$的高阶矩，从而证明了S.芬奇最后，我们证明了随机投影长度的分布极限定理的维数去$\infty$。在$n…
2016-04-06 math.MG math.PR
Doubly random polytopes
考虑了一个生成随机多面体的两步模型。对于参数$d$、$m$和$p$，第一步是生成一个简单的多面体$P$，其小平面由与$\mathbb{R}^d$中的单位球面相切的$m$均匀随机超平面给出，第二步是以概率$p$独立地对$P$的每个顶点进行采样，并使$Q$为采样顶点的凸包。我们建立的结果如何以及$Q$近似单位球方面的$m$和$p$以及渐近的组合复杂性的$Q$的某些制度的$p$。
2021-08-12 math.CO math.MG math.PR
Asymptotic Bounds on the Combinatorial Diameter of Random Polytopes
多面体$P$的组合直径$\operatorname{diam}(P)$是任意一对顶点之间的最大最短路径距离。在本文中，我们提供了一个随机的“球形”多面体，这是紧的一个因素的尺寸时，不等式的数量是大的尺寸相比，组合直径的上界和下界。更确切地说，对于由$n$ i.i.d.\半空间，其法线是从球均匀选择，我们证明了$\operatorname{diam}(P)$是$Ω(n m^{\frac{1}{n-1}})$和$O(n^2 m^{\frac{1}{n-1}} + n^5 4^n)$的高概率时，$m \geq 2^{Ω(n)}$。对于上界，我们首先证明，在任何固定的二维投影的顶点数急剧集中在其期望时，$m$是大的，我们依赖于$Θ(n^2 m^{\frac{1}{n-1}})$界的期望，由于Borgwardt [数学。结果：1999年]。为了获得直径上限，我们使用最坏情况的直径界限将这些“阴影路径”缝合在一起，以将顶点连接到最近的阴影。对于下界，我们首先减少到下界的对偶多面体$P^\circ$，对应于一个随机凸包的直径，通过显示关系$\operatorname{diam}(P) \geq (n-1)(\operatorname{diam}(P^\circ)-2)$。然后证明了$P^\circ$的任意“nearly”对映对顶点之间的最短路径的长度为$Ω(m^{\frac{1}{n-1}})$…
2021-12-24 cs.DM math.CO math.MG
Threshold for the expected measure of random polytopes
本文基于 Cramer 变换研究 ${\mathbb R}^n$ 上对数凹测度下随机多胞体期望测度的阈值问题，证明了在参数 $β(μ)$ 较小时存在精确阈值。
2023-09-15 math.FA math.MG math.PR
Recursive Scheme for Angles of Random Simplices, and Applications to Random Polytopes
考虑一个随机单形$[X_1,\ldots,X_n]$，定义为$\mathbb{R}^{n-1}$中独立同分布的随机点$X_1,\ldots,X_n$的凸包，具有以下β密度：$$ f_{n-1,β} (x) \propto (1-\|x\|^2)^β 1_{\{\|x\| < 1\}}, \qquad x\in\mathbb{R}^{n-1}, \quad β>-1. $$令$J_{n,k}(β)$为单形$[X_1,\ldots,X_n]$在其面$[X_1,\ldots,X_k]$的期望内角。与i.i.d.类似地定义$\tilde J_{n,k}(β)$。根据β '密度分布的随机点$$ \tilde f_{n-1,β} (x) \propto (1+\|x\|^2)^{-β}, \qquad x\in\mathbb{R}^{n-1}, \quad β> \frac{n-1}{2}. $$我们推导出$J_{n,k}(β)$和$\tilde J_{n,k}(β)$的公式，这些公式使得对于$β$的任何整数或半整数值，可以符号化地、在许多步骤中计算这些量。对于$J_{n,1}(\pm 1/2)$，我们甚至提供了明确的公式，在产品的伽玛功能。我们将这些结果应用于两个看似无关的随机几何问题。(i)我们计算预期的$f$向量的典型泊松-Voronoi细胞的尺寸$10$。(ii)考虑随机多面体$K_{…
2020-07-12 math.MG math.PR
Many Facets in Random Polytopes from Product and Log-Concave Measures
University of Crete（克里特大学）；University of Athens（雅典大学）
该研究针对高维随机多面体的期望面数问题，推导了乘积测度下的下界、对数凹测度下的普适标度界，并构造非对数凹反例，揭示了测度性质对随机多面体面数的影响。
2026-08-28 math.MG math.PR
Central limit theorems for high dimensional lattice polytopes: cosmological polytopes
Universität Osnabrück（奥斯纳布吕克大学）；Ruhr University Bochum（波鸿鲁尔大学）
本文研究由Erdős–Rényi随机图诱导的宇宙学多面体在高维区域中的几何特征，推导边数和单模三角剖分边数的期望与方差的渐近公式，并证明量化中心极限定理。
2026-05-22 math.CO math.PR
Bernstein measures on convex polytopes
定义了一般凸多胞体上的Bernstein测度和Bernstein逼近的概念。这推广了著名的伯恩斯坦多项式，用于证明一维区间上的维尔斯特拉斯逼近定理。讨论了Bernstein测度和逼近的一些性质，证明了Bernstein逼近对光滑函数的渐近展开式，它是Abel-Ivan和Hörmander关于标准$m$ -单形的伯恩斯坦多项式的渐近展开式的推广.这些是不同的Bergman-Bernstein近似Delzant多面体最近推出的Zelditch。讨论了本文定义的Bernstein逼近与Zelditch的Bergman-Bernstein逼近之间的关系。
2008-09-23 math.FA math.PR
On the geometry of random convex sets between polytopes and zonotopes
在这项工作中，我们研究了一类随机凸集，“插值”之间的多面体和zonotopes。这些集合产生于考虑$\mathbb R^n$中$N\geq n$独立随机向量序列的$1$维边缘的顺序统计量的平均值的$q^{th}$矩（$q\geq 1$）。本文考虑了各向同性对数凹分布的随机模型以及关于锥概率测度的$\ell_p^n$球（$1\leq p < \infty$）上的均匀分布，并根据支撑函数和平均宽度研究了这些集合的几何性质.我们提供了渐近公式的期望，这些几何泛函是尖锐的绝对常数。我们的模型包括和推广的标准随机多面体。
2017-01-05 math.FA math.MG math.PR
Random points in halfspheres
本文所考虑的球凸集$K \subset S^d$中的随机球多面体$P_n$是$K$中$n$独立的均匀分布的随机点的球凸包。对于包含在开半球中的球凸集$K$，$P_n$的行为与欧几里得空间中类似生成的随机凸多胞体的行为非常相似，但是当$K$是半球时的情况是不同的。这就是我们在这里调查，建立的渐近行为，$n$趋于无穷大，期望的几个特性的$P_n$，如面和顶点数，体积和表面积。对于Hausdorff距离，我们也得到了一些几乎必然的渐近估计。
2015-05-18 math.MG math.PR
Intrinsic volumes of random polytopes with vertices on the boundary of a convex body
设$K$是$\R^d$中的一个凸体，设$j\in\{1, ..., d-1\}$，$\varrho$是关于$K$的边界$\partial K$上的$(d-1)$维Hausdorff测度的正的连续概率密度函数.用$K_n$表示根据$\varrho$确定的概率分布从$\partial K$中随机独立选择的$n$点的凸包。当$\partial K$是$\R^d$的处处具有正高斯曲率的$C^2$子流形时，M. Reitzner证明了$K$和$K_n$的$j$ th本征体积之差的期望的渐近公式为$n\to\infty$。在这篇文章中，我们将这个结果推广到$K$上的唯一条件是球在$K$中自由滚动的情况。
2011-03-25 math.MG math.PR
Central limit theorems for high dimensional lattice polytopes: symmetric edge polytopes
Universität Osnabrück（奥斯纳布吕克大学）；Ruhr University Bochum（鲁尔大学波鸿）
本文研究了由Erdős--Rényi随机图生成的高维对称边多面体，推导了其边数和单模三角剖分边数的中心极限定理，并揭示了主导方差项抵消导致的非典型波动机制。
2026-03-11 math.CO math.PR
Counting faces of randomly-projected polytopes when the projection radically lowers dimension
本文发展渐近方法计数随机高维多面体的面，并揭示在统计、概率、信息论和信号处理中的意外应用，包括高斯点云凸包、随机投影信号恢复以及高斯纠错码可纠正的粗差数量。
2006-09-26 cs.NA math.MG math.NA
On the Gaussian behavior of marginals and the mean width of random polytopes
证明了均匀分布在$\R^n$中各向同性凸体上的$N$随机向量（$n\leq N\leq e^{\sqrt n}$）生成的随机多面体的平均宽度的期望值为$\sqrt{\log N} L_K$阶.这完成了Dafnis，Giannopoulos和Tsolomitis的结果。我们还证明了一些结果与1维边缘的均匀概率测度上的各向同性凸体，延长的间隔，在这些边缘的分布函数的平均值的行为在一个子或supergaussian的方式。
2012-05-28 math.FA math.PR
Random polynomials with prescribed Newton polytope
我们表明，牛顿多面体的多项式有很强的影响，其质量和零点的分布。基本的主题是，牛顿多面体确定这些分布的允许和禁止区域。本文在$m$复变函数的$\leq p$次（全纯）多项式空间上，赋予其通常的$SU(m + 1)$不变高斯概率测度，然后考虑在具有固定牛顿多面体$P$的多项式子空间上诱导的条件测度.然后我们确定了$k$多项式的同时零点的条件期望$E_{|N P}(Z^k)$的渐近性，其中牛顿多面体$NP$为$N \to \infty$。当$P = Σ$，单位单形，那么它是明显的和众所周知的，预期的零分布$E_{|NΣ}(Z^k)$是均匀的相对于Fubini研究形式。对于凸多面体$P\subset pΣ$，我们证明了存在一个允许区域，在该区域上$N^{-k}E_{|N P}(Z^k)$渐近一致地作为比例因子$N\to\infty$。然而，零点在互补禁带中具有奇异的分布，并且当$k=m$时，禁带中同时零点的预期百分比接近于0为$N\to\infty$，产生Kouchnirenko-Bernstein定理的定量版本。
2003-06-04 math.AG math.CV math.PR
Random polynomials with prescribed Newton polytope, I
众所周知，多项式$f$的牛顿多面体$P_f$对它的零点有很大的影响，就像Kouchnirenko-Bernstein定理中关于给定牛顿多面体的$m$多项式的同时零点的数量一样。在这篇文章中，我们表明，$P_f$也有一个或几个多项式的零点分布的强烈影响。本文在$m$复变函数中的$\leq N$次（全纯）多项式空间上，赋予其通常的$SU(m+1)$不变高斯测度，然后考虑在其牛顿多面体$P_f\subset NP$的多项式子空间上诱导的条件测度$γ_{|NP}$.当$P=Σ$，单位单纯形，那么它是显而易见的和众所周知的，预期的分布的零$Z_{f_1,...,f_k}$（视为电流）的$k$多项式$f_1,...,f_k$的程度$N$是均匀的相对于Fubini研究形式。我们的主要结果涉及的条件期望$E_{|NP} (Z_{f_1,...,f_k})$的$k$多项式与牛顿多面体$NP\subset NpΣ$（其中$p=°P$）的零，这些结果是渐近的缩放因子$N\to\infty$。通过射影空间的矩映射$μ:CP^m\toΣ$证明了$E_{|NP} (Z_{f_1,...,f_k})$在开标度多面体$p^{-1}P^\circ$的逆像$A_P$上是渐近一致的.然而，零在$A_P$之外具有奇异分布，并且当$k=m$（Kouchnirenko-Bernstein定理的情况）时，$A_P$之外的零的百…
2002-03-12 math.AG math.CV math.PR
A simplicial polytope that maximizes the isotropic constant must be a simplex
各向同性常数$L_K$是凸体$K$的展度的仿射不变测度。对于$d$维凸体$K$，$L_K$可以定义为$L_K^{2d} = \det(A(K))/(\mathrm{vol}(K))^2$，其中$A(K)$是$K$上均匀分布的协方差阵.寻找各向同性常数随维数变化的渐近上界是一个突出的公开问题。已经证明存在一个普适的常数上界。已知该猜想对几类物体都成立，特别是高度对称的物体，如具有无条件基的物体。我们也知道最大化者不可能是光滑的。在这项工作中，我们研究了光滑的机构和高度对称的机构之间的差距，显示减少到一个高度对称的情况下，非光滑机构的进展。更准确地说，我们研究了一组单纯多面体之间的极大化，我们表明，如果一个单纯多面体$K$是一个最大化的各向同性常数之间的$d$维凸体，那么当$K$是放在各向同性的位置，它是对称的任何超平面由$(d-2)$维面和原点。根据Campi，Colesanti和Gronchi的结果，这意味着使迷向常数最大化的单纯多面体必须是单纯形。
2014-05-28 math.FA math.MG math.PR
