Weak index pairs and the Conley index for discrete multivalued dynamical systems. Part II: properties of the index
重新审视离散多值动力系统的康利指数理论的动机源于更广泛的实际应用的需要，特别是在采样动力学或组合动力学。文[B. Batko和M. Mrozek，{ \em SIAM J. Applied动力系统}，15（2016），pp. 1143-1162]基于弱索引对，在放松隔离性导致索引对缺失的情况下，似乎是朝着这个方向迈出的有希望的一步。本文是[B. Batko和M. Mrozek，{ \em SIAM J. Applied动力系统}，15（2016），pp. 1143-1162]中定义的指数的性质，即Wavenewski性质、可加性性质、同伦（延拓）性质和交换性性质。我们还提出了构造弱指标对的隔离块。
2017-06-28 math.DS
Morse-Conley-Floer Homology
对于光滑闭流形上的Morse-Smale对，可以定义Morse-Smale-Witten链复形.相关的Morse同调同构于流形的奇异同调，并产生Morse函数的经典Morse关系。类似的方法可以用来定义光滑流形上孤立不变流集的同调不变量，它给出了Conley指数和Morse-Conley关系的类似物。该方法将被称为Morse-Conley-弗洛尔同调。
2014-04-23 math.DG math.DS
Linking combinatorial and classical dynamics: Conley index and Morse decompositions
我们证明了每一个定义在单纯复形的单形族上的Forman意义下的组合动力系统都能在该单纯复形的几何实现上产生一个多值动力系统F.此外，F可以以这样的方式选择，即两个动力系统的孤立不变集、Conley指标、Morse分解和Conley-Morse图一一对应。
2017-10-16 math.DS
The existence of isolating blocks for multivalued semiflows
本文证明了作用在非局部紧的度量空间上的多值半流的孤立块的存在性，孤立块是孤立不变集的一个特殊邻域。隔离块在单值半流的Conley指数理论中起着重要作用，并被用来定义同调指数的概念。虽然康利的指数推广的背景下，多值（半）流，方法跳过了传统的建设由康利，后来，Rybakowski。我们的目标是提出一个理论的隔离块的多值半流中，我们了解这样一个邻居的弱孤立不变集，以同样的方式，我们了解它的不变集在单值的情况。然后，我们将这个抽象的结果应用到一个微分包含，以表明我们可以为问题的每个平衡点构造隔离块。
2023-02-08 math.DS
Functoriality and duality in Morse-Conley-Floer homology
在~\cite{rotvandervorst}中，发展了有限维流形上任意流的孤立不变集的同调理论--Morse-Conley-弗洛尔同调.本文研究了这种同调论的函性和对偶性。作为一个初步的，我们调查的Morse同调函。闭流形的Morse同调的泛函性是已知的~\cite{abbondandoloschwarz, aizenbudzapolski,audindamian, kronheimermrowka, schwarz}，但是证明使用了与其他同调论的同构。我们通过分析适当的模空间给出了直接的证明。利用孤立映射和流映射的概念，将结果推广到局部Morse同调和Morse-Conley-弗洛尔同调.本文证明了局部Morse同调和Morse-Conley-弗洛尔同调的Poincaré型对偶陈述。
2015-02-03 math.DG math.DS
Homotopy invariance of the Conley index and local Morse homology in Hilbert spaces
本文对（非局部紧的）度量空间中的流引入了一个新的紧性条件-性质（C）。对于这样的流动，可以发展康利型理论。例如，对于属性-（C）流总是存在（常规）索引对，并且可以定义Conley索引。满足这个紧性条件的一类重要流是LS-流。我们将E-上同调应用于LS-流的指数对，得到了E-上同调Conley指数。我们制定了一个延续原则的E-上同调康利指数，并表明所有LS-流可以继续LS-梯度流。我们发现LS-梯度流的Morse同调计算E-上同调Conley指数。我们使用李雅普诺夫函数定义的Morse-Conley-Floer上同调在这种情况下，并表明，它也是同构的E-上同调的康利指数。
2016-12-16 math.DS
Conley Index of Limit Cycles in Filippov Vector Fields
该研究在多值动力系统框架下，针对平面Filippov系统的极限环，利用Mrozek提出的多值容许映射的Conley指数，计算不同类型极限环的Conley指数，扩展了相关研究范围。
2026-10-14 math.DS
Discretization strategies for computing Conley indices and Morse decompositions of flows
可以通过使用严格分析离散动力系统的算法来找到流的康利指数和莫尔斯分解。这通常涉及使用区间运算对流的时间离散化进行积分。我们比较了固定时间步长作为参数的旧思想和在相空间中连续变化的时间步长。我们提出了一个例子，这第二种策略必然会产生更好的数值输出，并证明我们的输出产生一个有效的莫尔斯分解的给定流。
2015-11-13 math.DS
Morse Theoretic Templates for High Dimensional Homology Computation
我们介绍了离散莫尔斯理论的模板的概念。模板为计算同调不变量（例如，同源性，持续同源性，康利复合物）。我们证明了有效性的模板在两种设置：第一，通过计算的同源性的某些立方复合物是同伦等价于$\mathbb{S}^d$的$1\leq d \leq 20$，第二，通过计算康利复合物和连接矩阵的收集所产生的例子从康利-莫尔斯理论空间的辫子图。
2021-06-29 math.AT math.DS
Singular Morse-Smale Flows on Pseudomanifolds with Spherical-Cone Singularities: Conley Theory and Intersection Homology
Aix-Marseille University（艾克斯-马赛大学）；Institut de Mathématiques de Marseille（马赛数学研究所）；Federal University of ABC（ABC联邦大学）
将Morse-Conley理论推广到具有球锥奇点的伪流形，通过引入奇异Morse-Smale流，建立了奇点Conley指数的局部动力学公式，证明了全局Lyapunov函数的存在性，并利用磨光化方法关联奇异与光滑情形，最后通过动力系统方法计算交合同调。
2026-08-07 math.AT math.DS
Conley-Morse-Forman theory for combinatorial multivector fields
Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文提出组合多矢量场，研究其拓扑特征，扩展了Forman的组合矢量场，定义了孤立不变集、Conley指数、吸引子、排斥子和Morse分解，并证明了Morse不等式，旨在通过组合化流和采样动态分析动力系统。
2016-05-21 cs.NA math.AT math.CO
The random case of Conley's theorem: III. Random semiflow case and Morse decomposition
本文第一部分将作者\cite{Liu,Liu2}的结果从随机流推广到随机半流，即得到了无穷维随机动力系统的Conley分解定理。第二部分通过引入随机半流的后向轨道，将不变随机紧集（如全局随机吸引子）分解为随机Morse集和它们之间的连接轨道，从而将Conley \cite{Con}提出的不变集的Morse分解推广到随机半流上，肯定地回答了Caraballo和Langa \cite{CL}提出的一个公开问题.
2007-10-30 math.DS math.PR
Covering Action on Conley Theory
在本文中，我们应用Conley指数理论的覆盖空间的不变集$S$，可能不是孤立的，为了描述的动力学$S$。更具体地说，我们考虑的覆盖平移群的行动，以定义一个拓扑分离的$S$区分莫尔斯集之间的连接在一个莫尔斯分解的$S$。本文所发展的理论推广了经典的联络矩阵理论，因为人们获得了关于非孤立不变集以及孤立不变集的联络映射的丰富信息。此外，在由圆值Morse函数诱导的无限循环覆盖的情况下，证明了$f$的Novikov微分是本文定义的$p$ -连接矩阵的特殊情况。
2021-08-03 math.AT math.DS
Topological Inference of the Conley Index
孤立不变集的Conley指标是动力系统研究的一个基本对象。在这里，我们考虑光滑函数的闭子流形的欧几里得空间和描述一个框架推断的康利指数的任何紧凑的，连接孤立的临界集这样的功能具有高的信心，从一个足够大的有限点样本。本文的主要结构是一个特定的指标对，这是局部的临界集的问题。我们建立了这些指数对有积极的影响，因此承认一个抽样论强大的同源性推断。这使我们能够估计康利指数，并作为一个直接的后果，我们也能够估计莫尔斯指数的任何临界点的莫尔斯函数使用许多本地评估。
2022-06-21 math.AT math.DS
Computing Conley-Morse Persistence Barcode Efficiently by Updating Matrix Decompositions
Purdue University（普渡大学）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）
本文针对Conley-Morse持续同调条形码计算成本高的问题，提出用更简单的块取代指数对，通过更新矩阵分解的方法实现高效计算，优化了现有算法。
2026-08-10 cs.CG math.AT math.DS
A computational framework for connection matrix theory
连接矩阵是一个强大的代数拓扑工具，从康利指数理论，捕捉孤立的不变集之间的关系。Conley指数理论是莫尔斯理论的拓扑推广，其中连接矩阵包含莫尔斯边界算子的作用。在过去的几十年里，康利的思想已经被转换成一种纯粹的计算形式。在本文中，我们介绍了一个计算，分类框架的连接矩阵理论。这一贡献将计算Conley理论转化为动力系统的计算同调理论。更具体地说，在本文中，我们有两个目标：1）我们把连接矩阵理论转换成适当的范畴，同伦理论的语言。我们确定对象的适当类别，对应于连接矩阵，并可以计算内的计算康利理论范式，通过使用技术的减少。2)我们描述了一种算法，这种计算的基础上代数离散莫尔斯理论。
2021-06-29 math.AT math.DS
Conley index and stable sets for flows on flag bundles
考虑G-主丛在其紧Hausdorff基上链传递的连续自同构流。这里G是具有有限中心的连通非紧半单李群.在以前的文章中得到了相关旗束上诱导流的最精细Morse分解。在这里，我们描述了这些莫尔斯分量的稳定集，并在一个额外的假设下，他们的康利指数。
2008-04-12 math.DS
On Conley's Fundamental Theorem of Dynamical Systems
本文推广了Conley指标理论中的动力系统的Conley基本定理。我们还得出结论，存在定期索引过滤的每一个莫尔斯分解。
2000-09-20 math.DS
Stable foliations and semi-flow Morse homology
对于闭黎曼流形的自由回路空间上的热流，通过构造与闭路空间的奇异同调的自然同构，建立了半流Morse同调的非平凡性.这种结构在有限维中也是新的。主要思想是在热流的时间- $T$ -映射下利用康利对及其原像建立Morse滤波。关键的一步是将每一个康利对收缩到它在非稳定流形中的那部分。为了实现这一目标，我们使用最近发现的向后$λ$ -引理[31]为Conley对构建稳定的叶状结构。这些叶理是独立的利益[23]。
2014-08-17 math.AP math.AT math.DG
Transition Matrix without Continuation in the Conley Index Theory
本文扩展了无 Morse 分解延续性情况下的奇异转移矩阵定义，以从拓扑动力学视角研究伴随 Morse 分解变化的分岔问题。
2024-12-19 math.DS
Shift Equivalence and the Conley index
在本文中，我们引进过滤对孤立不变集的连续映射。证明了滤子对的存在性，并证明了在平移等价条件下，对应点空间上的诱导映射是孤立不变集的不变量。此外，定义移位等价的映射可以正则地选择。最后，我们定义了偏序Morse分解，并证明了这种分解的Morse集滤子的存在性。
1999-10-29 math.DS
Conley pairs in geometry - Lusternik-Schnirelmann theory and more
首先，我们希望激发通过Salamon的定义实现的Conley对[17]是几何中相当有用的构建块：最初我们在试图构建自由闭路空间的Morse过滤时遇到了Conley对[21]。从这很自然地脱落，首先，另一种证明[20]的细胞附着定理在莫尔斯理论[13]，其次，一些想法[12]如何试图组织的封闭非稳定流形的莫尔斯-斯梅尔梯度流作为CW分解的基础流形。放松非退化的临界点孤立，我们使用这些康利对实现梯度流证明的Lusternik-Schnirelmann定理[10]中提出的Bott的调查[3]。其次，我们将利用这个机会提供一个阐述Lusternik-Schnirelmann（LS）理论的基础上增厚的非稳定流形通过康利对。我们将涵盖Lusternik-Schnirelmann定理[10]，杯长，从属，LS精化极小化极大原理，以及LS范畴的一个变体称为环境范畴。
2017-09-14 math.DG math.DS math.GT
Simplicial Multivalued Maps and the Witness Complex for Dynamical Analysis of Time Series
基于拓扑的分析动力系统的时间序列数据是强大的：它潜在地允许基于计算机的证明存在的各种类别的规则和混沌的高维动力学不变集。标准的方法是基于一个立方离散化的动态和使用的时间序列来构建一个外部近似的基础动力系统。由此产生的多值映射可以用来计算孤立不变集的立方体的Conley指数。在本文中，我们介绍了一种离散化，而不是使用单纯复杂的构造从一个里程碑的关系。我们的目标是获得与时间序列本身的不变密度更紧密联系的自然离散化。数据的时间顺序也直接导致了这个单纯复形上的一个映射，我们称之为见证映射。我们得到的条件下，这个证人映射给出了一个外部近似的动态，从而可以用来计算孤立不变集的康利指数。通过一个简单的例子说明了该方法使用的数据从经典的Hénon映射。
2015-02-15 math.DS nlin.CD
Novikov-Morse theory for dynamical systems
本文用Conley的动力系统理论解释和推广了Novikov的1-形式Morse型不等式理论。
2000-10-30 math.DG math.DS
Large fronts in nonlocally coupled systems using Conley-Floer homology
在本文中，我们研究旅行前解决方案的非局部方程的类型\begin{equation} \partial_t u = N * S(u) + \nabla F(u), \qquad u(t,x) \in \mathbf{R}^d. \end{equation}这里$N *$表示一个卷积型运营商的空间变量$x \in \mathbf{R}$，连续或离散。我们开发了一个莫尔斯型理论，康利-弗洛尔同调，它捕获旅行前的解决方案在一个拓扑上强大的方式，通过编码前线的边界算子的链复形。方程描述的旅行前线涉及向前和向后延迟项，可能是无限的范围。因此，这些方程缺乏自然的相空间，因此经典的动力系统工具不在我们的掌握之中。因此，我们从头开始，一般的横截性理论，并分类有界的解决方案，在没有一个相空间。在各种情况下，所得到的康利-弗洛尔同调可以解释为一个多值向量场的同调康利指数。利用Conley-弗洛尔同调，我们得到的存在性和多重性的结果旅行前解决方案。
2019-07-08 math.AP math.DS math.SG
A Conley index study of the evolution of the Lorenz strange set
本文用 Conley 指标理论研究 Lorenz 方程奇异集随参数的演化，分析全局吸引子的 Morse 分解并计算 Morse 方程，同时证明关于任意余维 Poincaré-Andronov-Hopf 分岔、双同宿环分岔及行进排斥子作用的一般定理。
2024-01-17 math.DS math.GT
Graded differential groups, Cartan-Eilenberg systems and conjectures in Conley index theory
本文定义了偏序集上的Cartan-Eilenberg系统，证明自由P-分次微分群间的过滤链同构等价于关联系统同构，解决了关于连接矩阵唯一性的公开猜想并证明三种理论等价。
2024-06-28 math.AT math.DS
Connection matrices in combinatorial topological dynamics
连接矩阵是一个中心工具，在康利的方法来研究动力系统，因为他们提供的信息存在的连接轨道的莫尔斯分解。它们可以被认为是莫尔斯理论中莫尔斯复形中边界算子的推广。它们的可计算性最近已经解决了哈克，Mischaikow，和Spendlove的背景下，晶格过滤链复形。在本文中，我们扩展了最近推出的康利理论的组合向量和多向量场的Lefschetz复杂的概念转移到这个设置的连接矩阵。这是由任意偏序集过滤链复形的连接矩阵的概念，以及相关的等价，它允许在底层偏序集的变化。我们证明了对于Forman意义下的梯度组合向量场的特殊情形，连接矩阵必然是唯一的.因此，经典的结果Reineck有一个自然的模拟组合设置。
2023-03-07 math.AT math.CO math.DS
Equilibrium-Like Solutions of Asymptotically Autonomous Differential Equations
本文分析了由非自治微分方程--常微分方程和半线性抛物型微分方程得到的斜积半流的链回归集。对于许多类梯度动力系统，Morse-Smale动力系统，例如，链式递归集只包含孤立的平衡点。渐近自治情形下的结构更丰富，但仍接近于Morse-Smale动力系统的结构.本文所用的主要工具是作者提出的非自治的Conley指数理论。我们将看到，对于一类好的方程，康利指数可以用均衡（广义上的）和它们的联系来理解。这使我们能够找到具体的解决方案的渐近自治方程和推广性质的Morse-Smale动力系统的渐近自治设置。
2018-01-30 math.DS
Robustness of dynamically gradient multivalued dynamical systems
本文研究动态梯度多值动力系统的鲁棒性，并通过Chafee-Infante问题证明弱解生成动态梯度多值半流。
2025-11-17 math.AP math.DS
Topological-numerical analysis of global dynamics in the discrete-time two-gene Andrecut-Kauffman model
Gdańsk University of Technology（格但斯克理工大学）
该研究通过拓扑-数值分析方法，揭示了离散时间双基因Andrecut-Kauffman模型中多稳态和混沌吸引子等复杂动力学现象。
2026-08-13 math.DS
Lusternik-Schnirelmann Theory for a Morse Decomposition
设$ϕ^t$是度量空间$X$上的连续流，$I$是具有指标对$(N,L)$和Morse分解$\{M_i\}^n_{i=1}$的孤立不变集.对于$N/L$上的每个范畴$ν$，我们证明了$ν(N/L)\leq ν([L])+\sum_{i=1}^n ν(M_i)$ .因此，如果$ϕ^t|_I$是类梯度的且$X$是半局部可收缩的，则$ϕ^t$在$I$中至少有$ν_H(h(I))-1$静止点，其中$h(I)$是$I$的Conley指数，$ν_H$是同伦Lusternik-Schnirelmann范畴。
2000-09-26 math.DS
Classical Morse theory revisited I -- Backward $λ$-Lemma and homotopy type
我们引入了两个工具，动态增厚和流选择器，以克服臭名昭著的不连续性的梯度流端点映射附近的非退化临界点。更准确地说，我们解释某些康利对$(N,L)$，建立在[2，3]，作为一个动力学增厚的稳定流形的稳定纤维化。作为第一个应用，为了说明这个概念的有效性，我们重新证明了经典莫尔斯理论的一个基本定理，Milnor的同伦细胞附着定理[1]。动力加厚导致一个概念上简单和简短的证明。
2016-01-29 math.DS math.GT
Coarse chain recurrence, Morse graphs with finite errors, and persistence of circulations
本文提出了一种参数化的粗链复发框架，用于研究动力系统在有限扰动下的持续性及循环行为，通过粗莫尔斯图和过滤器揭示了系统在扰动消失时的奇异极限行为。
2025-12-02 math.DS
Understanding Deep Learning using Topological Dynamical Systems, Index Theory, and Homology
University of Virginia（弗吉尼亚大学）
在本文中，我们使用拓扑动力系统、指数理论和计算同调来研究深度学习模型。这些数学机器最初由亨利·庞加莱在1900年左右发明，并随着时间的推移而发展，以理解形状和动力系统，其结构和行为过于复杂，无法通过分析解决，但可以通过全局关系来理解。特别是，我们展示了如何在一个神经网络中的单个神经元可以对应于单纯形复杂流形近似的决策面学习的NN，以及如何这些单纯形可以用来计算拓扑不变量从代数拓扑的决策流形与显式计算的同源群手在一个简单的情况下。我们还展示了NN学习的概率密度函数的梯度如何创建一个动态系统，该系统可以通过无数的拓扑工具进行分析，如Conley指数理论，Morse理论和稳定流形。我们解析地解决了与应用于MINST数字数据集的256个神经元的单个隐藏层相关联的训练NN的微分方程，并且近似地数值地表示，对于10个类中的每一个类，它都是吸引力的汇和盆，但是汇和强吸引流形位于与实际数字图像不对应的区域中。指数理论暗示了鞍点的存在。概率函数的水平集是783维流形，它只能在动力系统的临界点改变拓扑，这些拓扑变化可以用Morse理论来研究。
2022-07-25 cs.LG math.DS math.GT
