Linking combinatorial and classical dynamics: Conley index and Morse decompositions
我们证明了每一个定义在单纯复形的单形族上的Forman意义下的组合动力系统都能在该单纯复形的几何实现上产生一个多值动力系统F.此外，F可以以这样的方式选择，即两个动力系统的孤立不变集、Conley指标、Morse分解和Conley-Morse图一一对应。
2017-10-16 math.DS
Functoriality and duality in Morse-Conley-Floer homology
在~\cite{rotvandervorst}中，发展了有限维流形上任意流的孤立不变集的同调理论--Morse-Conley-弗洛尔同调.本文研究了这种同调论的函性和对偶性。作为一个初步的，我们调查的Morse同调函。闭流形的Morse同调的泛函性是已知的~\cite{abbondandoloschwarz, aizenbudzapolski,audindamian, kronheimermrowka, schwarz}，但是证明使用了与其他同调论的同构。我们通过分析适当的模空间给出了直接的证明。利用孤立映射和流映射的概念，将结果推广到局部Morse同调和Morse-Conley-弗洛尔同调.本文证明了局部Morse同调和Morse-Conley-弗洛尔同调的Poincaré型对偶陈述。
2015-02-03 math.DG math.DS
Homotopy invariance of the Conley index and local Morse homology in Hilbert spaces
本文对（非局部紧的）度量空间中的流引入了一个新的紧性条件-性质（C）。对于这样的流动，可以发展康利型理论。例如，对于属性-（C）流总是存在（常规）索引对，并且可以定义Conley索引。满足这个紧性条件的一类重要流是LS-流。我们将E-上同调应用于LS-流的指数对，得到了E-上同调Conley指数。我们制定了一个延续原则的E-上同调康利指数，并表明所有LS-流可以继续LS-梯度流。我们发现LS-梯度流的Morse同调计算E-上同调Conley指数。我们使用李雅普诺夫函数定义的Morse-Conley-Floer上同调在这种情况下，并表明，它也是同构的E-上同调的康利指数。
2016-12-16 math.DS
Discretization strategies for computing Conley indices and Morse decompositions of flows
可以通过使用严格分析离散动力系统的算法来找到流的康利指数和莫尔斯分解。这通常涉及使用区间运算对流的时间离散化进行积分。我们比较了固定时间步长作为参数的旧思想和在相空间中连续变化的时间步长。我们提出了一个例子，这第二种策略必然会产生更好的数值输出，并证明我们的输出产生一个有效的莫尔斯分解的给定流。
2015-11-13 math.DS
Morse Theoretic Templates for High Dimensional Homology Computation
我们介绍了离散莫尔斯理论的模板的概念。模板为计算同调不变量（例如，同源性，持续同源性，康利复合物）。我们证明了有效性的模板在两种设置：第一，通过计算的同源性的某些立方复合物是同伦等价于$\mathbb{S}^d$的$1\leq d \leq 20$，第二，通过计算康利复合物和连接矩阵的收集所产生的例子从康利-莫尔斯理论空间的辫子图。
2021-06-29 math.AT math.DS
Singular Morse-Smale Flows on Pseudomanifolds with Spherical-Cone Singularities: Conley Theory and Intersection Homology
Aix-Marseille University（艾克斯-马赛大学）；Institut de Mathématiques de Marseille（马赛数学研究所）；Federal University of ABC（ABC联邦大学）
将Morse-Conley理论推广到具有球锥奇点的伪流形，通过引入奇异Morse-Smale流，建立了奇点Conley指数的局部动力学公式，证明了全局Lyapunov函数的存在性，并利用磨光化方法关联奇异与光滑情形，最后通过动力系统方法计算交合同调。
2026-08-07 math.AT math.DS
Conley-Morse-Forman theory for combinatorial multivector fields
Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文提出组合多矢量场，研究其拓扑特征，扩展了Forman的组合矢量场，定义了孤立不变集、Conley指数、吸引子、排斥子和Morse分解，并证明了Morse不等式，旨在通过组合化流和采样动态分析动力系统。
2016-05-21 cs.NA math.AT math.CO
The random case of Conley's theorem: III. Random semiflow case and Morse decomposition
本文第一部分将作者\cite{Liu,Liu2}的结果从随机流推广到随机半流，即得到了无穷维随机动力系统的Conley分解定理。第二部分通过引入随机半流的后向轨道，将不变随机紧集（如全局随机吸引子）分解为随机Morse集和它们之间的连接轨道，从而将Conley \cite{Con}提出的不变集的Morse分解推广到随机半流上，肯定地回答了Caraballo和Langa \cite{CL}提出的一个公开问题.
2007-10-30 math.DS math.PR
Covering Action on Conley Theory
在本文中，我们应用Conley指数理论的覆盖空间的不变集$S$，可能不是孤立的，为了描述的动力学$S$。更具体地说，我们考虑的覆盖平移群的行动，以定义一个拓扑分离的$S$区分莫尔斯集之间的连接在一个莫尔斯分解的$S$。本文所发展的理论推广了经典的联络矩阵理论，因为人们获得了关于非孤立不变集以及孤立不变集的联络映射的丰富信息。此外，在由圆值Morse函数诱导的无限循环覆盖的情况下，证明了$f$的Novikov微分是本文定义的$p$ -连接矩阵的特殊情况。
2021-08-03 math.AT math.DS
Topological Inference of the Conley Index
孤立不变集的Conley指标是动力系统研究的一个基本对象。在这里，我们考虑光滑函数的闭子流形的欧几里得空间和描述一个框架推断的康利指数的任何紧凑的，连接孤立的临界集这样的功能具有高的信心，从一个足够大的有限点样本。本文的主要结构是一个特定的指标对，这是局部的临界集的问题。我们建立了这些指数对有积极的影响，因此承认一个抽样论强大的同源性推断。这使我们能够估计康利指数，并作为一个直接的后果，我们也能够估计莫尔斯指数的任何临界点的莫尔斯函数使用许多本地评估。
2022-06-21 math.AT math.DS
A computational framework for connection matrix theory
连接矩阵是一个强大的代数拓扑工具，从康利指数理论，捕捉孤立的不变集之间的关系。Conley指数理论是莫尔斯理论的拓扑推广，其中连接矩阵包含莫尔斯边界算子的作用。在过去的几十年里，康利的思想已经被转换成一种纯粹的计算形式。在本文中，我们介绍了一个计算，分类框架的连接矩阵理论。这一贡献将计算Conley理论转化为动力系统的计算同调理论。更具体地说，在本文中，我们有两个目标：1）我们把连接矩阵理论转换成适当的范畴，同伦理论的语言。我们确定对象的适当类别，对应于连接矩阵，并可以计算内的计算康利理论范式，通过使用技术的减少。2)我们描述了一种算法，这种计算的基础上代数离散莫尔斯理论。
2021-06-29 math.AT math.DS
Conley index and stable sets for flows on flag bundles
考虑G-主丛在其紧Hausdorff基上链传递的连续自同构流。这里G是具有有限中心的连通非紧半单李群.在以前的文章中得到了相关旗束上诱导流的最精细Morse分解。在这里，我们描述了这些莫尔斯分量的稳定集，并在一个额外的假设下，他们的康利指数。
2008-04-12 math.DS
On Conley's Fundamental Theorem of Dynamical Systems
本文推广了Conley指标理论中的动力系统的Conley基本定理。我们还得出结论，存在定期索引过滤的每一个莫尔斯分解。
2000-09-20 math.DS
Transition Matrix without Continuation in the Conley Index Theory
本文扩展了无 Morse 分解延续性情况下的奇异转移矩阵定义，以从拓扑动力学视角研究伴随 Morse 分解变化的分岔问题。
2024-12-19 math.DS
Stable foliations and semi-flow Morse homology
对于闭黎曼流形的自由回路空间上的热流，通过构造与闭路空间的奇异同调的自然同构，建立了半流Morse同调的非平凡性.这种结构在有限维中也是新的。主要思想是在热流的时间- $T$ -映射下利用康利对及其原像建立Morse滤波。关键的一步是将每一个康利对收缩到它在非稳定流形中的那部分。为了实现这一目标，我们使用最近发现的向后$λ$ -引理[31]为Conley对构建稳定的叶状结构。这些叶理是独立的利益[23]。
2014-08-17 math.AP math.AT math.DG
Shift Equivalence and the Conley index
在本文中，我们引进过滤对孤立不变集的连续映射。证明了滤子对的存在性，并证明了在平移等价条件下，对应点空间上的诱导映射是孤立不变集的不变量。此外，定义移位等价的映射可以正则地选择。最后，我们定义了偏序Morse分解，并证明了这种分解的Morse集滤子的存在性。
1999-10-29 math.DS
Conley pairs in geometry - Lusternik-Schnirelmann theory and more
首先，我们希望激发通过Salamon的定义实现的Conley对[17]是几何中相当有用的构建块：最初我们在试图构建自由闭路空间的Morse过滤时遇到了Conley对[21]。从这很自然地脱落，首先，另一种证明[20]的细胞附着定理在莫尔斯理论[13]，其次，一些想法[12]如何试图组织的封闭非稳定流形的莫尔斯-斯梅尔梯度流作为CW分解的基础流形。放松非退化的临界点孤立，我们使用这些康利对实现梯度流证明的Lusternik-Schnirelmann定理[10]中提出的Bott的调查[3]。其次，我们将利用这个机会提供一个阐述Lusternik-Schnirelmann（LS）理论的基础上增厚的非稳定流形通过康利对。我们将涵盖Lusternik-Schnirelmann定理[10]，杯长，从属，LS精化极小化极大原理，以及LS范畴的一个变体称为环境范畴。
2017-09-14 math.DG math.DS math.GT
Computing a Connection Matrix and Persistence Efficiently from a Morse Decomposition
本研究证明经典穷约化持久性算法可计算Morse分解的连接矩阵，简化了现有算法，还发现持久性概念可适配经Lyapunov函数过滤的Morse分解，并给出初步实验结果。
2025-07-30 cs.CG math.AT math.DS
Novikov-Morse theory for dynamical systems
本文用Conley的动力系统理论解释和推广了Novikov的1-形式Morse型不等式理论。
2000-10-30 math.DG math.DS
Persistence modules with operators in Morse and Floer theory
我们引入了一个新的概念，持久化模块赋予运营商。它封装了Floer类型持久化模块上的额外结构，这些结构来自与环境（量子）同源性中的类的交集积，以及一些其他几何情况。我们提供了示例应用程序的$C^0$ -几何的莫尔斯函数和哈塞尔的几何的哈密顿量的同形，超越了谱不变量和传统的持久同源。
2017-03-04 math.AT math.DS math.SG
A Conley index study of the evolution of the Lorenz strange set
本文用 Conley 指标理论研究 Lorenz 方程奇异集随参数的演化，分析全局吸引子的 Morse 分解并计算 Morse 方程，同时证明关于任意余维 Poincaré-Andronov-Hopf 分岔、双同宿环分岔及行进排斥子作用的一般定理。
2024-01-17 math.DS math.GT
Persistent Homology of Morse Decompositions in Combinatorial Dynamics
本文研究了单纯复形上的组合动力系统，它被认为是{ \em有限拓扑空间}。这样的系统以自然的方式从采样动态中产生，并且可以用于直接从样本重建动态的一些特征。我们研究的同调持久性{ \em莫尔斯分解}这样的系统，一个重要的描述符的动力学，作为一种工具，用于验证重建。我们的框架可以被看作是一个步骤，将经典的持久性理论扩展到“向量云”数据。我们提出了两个数值例子的实验结果。
2018-07-11 cs.CG math.AT math.DS
Persistence of Morse decompositions over grid resolution for maps and time series
通过将紧致度量空间离散成网格，我们可以近似紧致度量空间的连续自映射$f$。通过地图本身或时间序列，$f$诱导多值网格地图$\mathcal F$。$\mathcal F$的动力学性质依赖于网格的分辨率，我们研究这些属性的持久性，因为我们改变的分辨率。特别是，我们看看莫尔斯分解的持久性，在全球（莫尔斯图）和本地（个人莫尔斯集）的水平，使用几个概念的持久性-图结构，持久的同源性，混合属性。
2020-12-09 math.DS
Equilibrium-Like Solutions of Asymptotically Autonomous Differential Equations
本文分析了由非自治微分方程--常微分方程和半线性抛物型微分方程得到的斜积半流的链回归集。对于许多类梯度动力系统，Morse-Smale动力系统，例如，链式递归集只包含孤立的平衡点。渐近自治情形下的结构更丰富，但仍接近于Morse-Smale动力系统的结构.本文所用的主要工具是作者提出的非自治的Conley指数理论。我们将看到，对于一类好的方程，康利指数可以用均衡（广义上的）和它们的联系来理解。这使我们能够找到具体的解决方案的渐近自治方程和推广性质的Morse-Smale动力系统的渐近自治设置。
2018-01-30 math.DS
Connection matrices in combinatorial topological dynamics
连接矩阵是一个中心工具，在康利的方法来研究动力系统，因为他们提供的信息存在的连接轨道的莫尔斯分解。它们可以被认为是莫尔斯理论中莫尔斯复形中边界算子的推广。它们的可计算性最近已经解决了哈克，Mischaikow，和Spendlove的背景下，晶格过滤链复形。在本文中，我们扩展了最近推出的康利理论的组合向量和多向量场的Lefschetz复杂的概念转移到这个设置的连接矩阵。这是由任意偏序集过滤链复形的连接矩阵的概念，以及相关的等价，它允许在底层偏序集的变化。我们证明了对于Forman意义下的梯度组合向量场的特殊情形，连接矩阵必然是唯一的.因此，经典的结果Reineck有一个自然的模拟组合设置。
2023-03-07 math.AT math.CO math.DS
Graded differential groups, Cartan-Eilenberg systems and conjectures in Conley index theory
本文定义了偏序集上的Cartan-Eilenberg系统，证明自由P-分次微分群间的过滤链同构等价于关联系统同构，解决了关于连接矩阵唯一性的公开猜想并证明三种理论等价。
2024-06-28 math.AT math.DS
Graph Multivector Persistence: A Unified Framework for Dynamic Systems
African Institute For Mathematical Science (AIMS)（非洲数学科学研究院）
本文提出一种基于组合多向量动力学的图多向量持久性不变量，用于分析动态系统的多尺度结构特性。
2026-02-28 math.AT math.CO math.DS
Topological-numerical analysis of global dynamics in the discrete-time two-gene Andrecut-Kauffman model
Gdańsk University of Technology（格但斯克理工大学）
该研究通过拓扑-数值分析方法，揭示了离散时间双基因Andrecut-Kauffman模型中多稳态和混沌吸引子等复杂动力学现象。
2026-08-13 math.DS
Persistent homology of Morse decomposition in Markov chains based on combinatorial multivector fields
本文提出一种基于组合多向量场的持续框架，用于马尔可夫链中的Morse分解，通过转移概率定义过滤，构建多向量场并应用Morse分解，得到不变集的层次结构及持续图，以分析有限状态随机过程的复发性和稳定性。
2025-03-28 math.AT math.CO math.DS
Lusternik-Schnirelmann Theory for a Morse Decomposition
设$ϕ^t$是度量空间$X$上的连续流，$I$是具有指标对$(N,L)$和Morse分解$\{M_i\}^n_{i=1}$的孤立不变集.对于$N/L$上的每个范畴$ν$，我们证明了$ν(N/L)\leq ν([L])+\sum_{i=1}^n ν(M_i)$ .因此，如果$ϕ^t|_I$是类梯度的且$X$是半局部可收缩的，则$ϕ^t$在$I$中至少有$ν_H(h(I))-1$静止点，其中$h(I)$是$I$的Conley指数，$ν_H$是同伦Lusternik-Schnirelmann范畴。
2000-09-26 math.DS
Jordan decomposition and dynamics on flag manifolds
设$\g$是半单李代数，且$G = \Int(\g)$ .在这篇文章中，我们将$X \in \g$（或$g \in G$）的若尔当分解与由$X$产生的右不变连续时间流（或由$g$产生的离散时间流）在广义旗流形上诱导的动力学联系起来。我们刻画了这些流的递归集和最精细的Morse分解（包括其稳定集），并证明了其熵总是为零。我们描述了结构稳定的吸引子，并计算了吸引子Morse分量的Conley指数。当$X$的幂零部分是平凡的，我们计算的Conley指数的所有莫尔斯分量。最后，我们考虑了$\g$中周期系数线性微分方程的动力学问题，它可以被看作是由元素$X \in \g$产生的动力学的扩展。在这种情况下，我们推广Floquet理论，并将以前的结果推广到这种情况。
2008-07-21 math.DS math.GR
Computing Connection Matrices via Persistence-like Reductions
本文提出一种单次遍历的类持续性算法，用于从单纯复形上的组合向量场高效计算连接矩阵，比现有两次遍历递归算法更简单高效。
2023-09-23 cs.CG math.AT math.DS
Classical Morse theory revisited I -- Backward $λ$-Lemma and homotopy type
我们引入了两个工具，动态增厚和流选择器，以克服臭名昭著的不连续性的梯度流端点映射附近的非退化临界点。更准确地说，我们解释某些康利对$(N,L)$，建立在[2，3]，作为一个动力学增厚的稳定流形的稳定纤维化。作为第一个应用，为了说明这个概念的有效性，我们重新证明了经典莫尔斯理论的一个基本定理，Milnor的同伦细胞附着定理[1]。动力加厚导致一个概念上简单和简短的证明。
2016-01-29 math.DS math.GT
Coarse chain recurrence, Morse graphs with finite errors, and persistence of circulations
Saitama University（埼玉大学）
本文提出了一种参数化的粗链复发框架，用于研究动力系统在有限扰动下的持续性及循环行为，通过粗莫尔斯图和过滤器揭示了系统在扰动消失时的奇异极限行为。
2025-12-02 math.DS
Creating Semiflows on Simplicial Complexes from Combinatorial Vector Fields
由Robin Forman引入的单纯复形上的组合向量场近年来得到了广泛的应用。然而，它们与经典动力系统的关系还不太清楚。最近的工作表明，对于有限单纯复形上的任意组合向量场，可以在其基础多面体X上构造一个多值离散时间动力系统，该系统表现出与Conley指标理论意义下的组合流相同的动力学性质.然而，福尔曼对组合流的原始描述似乎更直接地受到流的概念的激励，即，连续时间动力系统在本文中，它表明，人们可以构建一个半流X表现出相同的动力学作为潜在的组合向量场。动力学行为的等价性建立在Conley-Morse图的意义上，并使用拓扑空间X的平铺，这使得有可能直接构造隔离块的所有涉及的孤立不变集的基础上纯粹的组合信息。
2021-10-05 math.DS
Finding attracting sets using combinatorial multivector fields
本文介绍组合多向量场理论，通过图算法和连接矩阵识别全局动力学中的吸引集。
2025-03-29 math.DS
Understanding Deep Learning using Topological Dynamical Systems, Index Theory, and Homology
University of Virginia（弗吉尼亚大学）
在本文中，我们使用拓扑动力系统、指数理论和计算同调来研究深度学习模型。这些数学机器最初由亨利·庞加莱在1900年左右发明，并随着时间的推移而发展，以理解形状和动力系统，其结构和行为过于复杂，无法通过分析解决，但可以通过全局关系来理解。特别是，我们展示了如何在一个神经网络中的单个神经元可以对应于单纯形复杂流形近似的决策面学习的NN，以及如何这些单纯形可以用来计算拓扑不变量从代数拓扑的决策流形与显式计算的同源群手在一个简单的情况下。我们还展示了NN学习的概率密度函数的梯度如何创建一个动态系统，该系统可以通过无数的拓扑工具进行分析，如Conley指数理论，Morse理论和稳定流形。我们解析地解决了与应用于MINST数字数据集的256个神经元的单个隐藏层相关联的训练NN的微分方程，并且近似地数值地表示，对于10个类中的每一个类，它都是吸引力的汇和盆，但是汇和强吸引流形位于与实际数字图像不对应的区域中。指数理论暗示了鞍点的存在。概率函数的水平集是783维流形，它只能在动力系统的临界点改变拓扑，这些拓扑变化可以用Morse理论来研究。
2022-07-25 cs.LG math.DS math.GT
Streams and Graphs of Dynamical Systems
本文提出统一推广动力系统非游荡集分解与定性图编码两条研究路线的streams理论，研究闭传递关系的性质，证明现有回复性概念可由其定义，并给出对应定性图的构造方法。
2025-02-24 math.DS nlin.CD
