Feynman Diagrams from Conformal Integrals
本文提出将含内部无质量场的动量空间费曼图表示为共形积分，从而把费曼图分类为共形族，并利用已知共形积分精确结果给出同族其他费曼图的全阶解。
2024-12-30 hep-ph hep-th
Two decades of algorithmic Feynman integral reduction
Moscow State University（莫斯科国立大学）；Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics of Moscow State University（莫斯科国立大学斯科别尔岑核物理研究所）；Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow State University（莫斯科国立大学莫斯科基础与应用数学中心）
本文对求解费曼积分分部积分关系的算法与代码展开史学回顾，聚焦原则上适用于任意费曼积分族的通用算法，该过程是费曼积分计算的关键步骤，可将积分表示为主积分的线性组合。
2025-11-12 hep-ph hep-th
Feynman integrals and iterated integrals on moduli spaces of curves of genus zero
本文给出了亏格为$0$的曲线的模空间$\mathcal{M}_{0,n}$上周期积分的符号化精确计算算法，并将其应用于Feynman积分的计算.
2015-03-27 hep-ph hep-th
Differential equations for Feynman integrals beyond multiple polylogarithms
微分方程是处理费曼积分的有力工具。在这次演讲中，我们讨论了最近的进展，其中微分方程方法已应用于无法用多重多对数表示的费曼积分。
2017-12-13 hep-ph hep-th
Twisted Feynman Integrals: from generating functions to spin-resummed post-Minkowskian dynamics
Walter Burke Institute for Theoretical Physics, California Institute of Technology（加州理工学院沃尔特·伯克理论物理研究所）；Theoretical Physics Department, CERN（欧洲核子研究中心理论物理部）；Max Planck Institute for Gravitational Physics (Albert Einstein Institute)（马克斯·普朗克引力物理研究所（阿尔伯特·爱因斯坦研究所））；Max Planck Institute für Physik, Werner-Heisenberg-Institut（马克斯·普朗克物理研究所维尔纳·海森堡研究所）
本文提出扭曲费曼积分的概念，探讨其数学框架及性质，揭示其在后闵可夫斯基引力中的应用，发现Symanzik多项式非齐次化，积分属于指数周期类，函数空间几何无法通过广义Baikov参数化推导。
2026-04-07 hep-ph hep-th
Feynman Fox integrals in the physical region
本文研究物理区域内的 Feynman 积分，将其表示为 Fox 函数，重点分析其切割结构。
2025-06-11 hep-ph hep-th
The $\varepsilon$-form of the differential equations for Feynman integrals in the elliptic case
如果微分方程组是$\varepsilon$形式的，费曼积分就很容易解.在这封信中，我们表明，一个明确的例子，风筝积分族的$\varepsilon$ -形式，甚至可以实现，如果费曼积分不评估为多重多项式。$\varepsilon$ -形式是通过主积分的基的（非代数）变化获得的。
2018-04-02 hep-ph hep-th
Status of Intersection Theory and Feynman Integrals
我们给出了最近引入的概念之间的费曼积分和它如何帮助我们理解的微扰S-矩阵的分析结构的“标量积”的教学审查。(This这篇文章是对2019年12月18日至20日在意大利帕多瓦举行的研讨会“MathematemAmplitude 2019：相交理论和费曼积分”的贡献。
2021-01-29 hep-ph hep-th
A Feynman integral depending on two elliptic curves
研究了具有一个内部质量的双圈四点函数。这个费曼积分是依赖于两条椭圆曲线的最简单的费曼积分之一。我们将相关的微分方程转化为$\varepsilon$ -形式。我们研究了微分方程的条目，特别是依赖于两个椭圆曲线的条目。
2022-06-13 hep-ph hep-th
Application of the Meijer theorem in calculation of three-loop massive vacuum Feynman integrals and beyond
本文提出基于Mellin-Barnes表示并利用Meijer定理的解析方法，用于计算任意维数下的三圈有质量Feynman积分，并可推广至其他多圈积分。
2024-08-05 hep-ph hep-th
Iterated integrals related to Feynman integrals associated to elliptic curves
这个演讲回顾了费曼积分，这是与椭圆曲线。讲座将介绍其背后的数学，涵盖椭圆曲线，椭圆积分，模形式和$n$标记点的模空间的主题在一个属曲线。后者将是重要的，因为椭圆费曼积分可以表示为模空间${\mathcal M}_{1,n}$上的迭代积分，以同样的方式，费曼积分的评估多个多项式可以表示为模空间${\mathcal M}_{0,n}$上的迭代积分。有了正确的语言，许多方法从亏格零情况延续到亏格一情况。特别地，我们将在具体的例子中看到，椭圆费曼积分的微分方程可以转换成$\varepsilon$ -形式。这允许在维度正则化参数中系统地逐阶获得解。
2020-12-15 hep-ph hep-th
Cuts of Feynman Integrals in Baikov representation
基于Baikov表示，我们提出了一个系统的方法来计算切割的费曼积分，适当地定义在$d$维。由这些计算提供的信息可用于确定解析地表示全积分所需的函数类。
2017-04-04 hep-ph hep-th
A Subtraction Scheme for Feynman Integrals
本研究提出一种适用于任意标度的紫外发散、红外安全标量费曼积分的减除方案，通过推广开弦模空间二面体坐标得到$u$-变量，构建低圈积分形变乘积作为减除项，给出将费曼积分表示为带$ε$负幂收敛积分之和的规范算法规则。
2023-11-06 hep-ph hep-th
Internal Reduction method for computing Feynman Integrals
提出了一种计算费曼积分的新方法。它依赖于一个给定的费曼积分的积分表示在简单的。使用这种方法，我们提出，第一次，结果为一定的家庭的非平面五点两圈主积分与一个外部的离壳粒子，相关的，例如$H+2$喷气生产在大型强子对撞机，在欧几里得和物理运动学区域。
2019-10-14 hep-ph hep-th
Feynman integrals via hyperlogarithms
这次演讲总结了最近的事态发展，在评估费曼积分使用hypercurrums。我们讨论了原方法的扩展，新的结果，用这种方法得到的，并指出目前存在的问题和未来的方向。
2014-06-30 hep-ph hep-th
The Worldline Path Integral Approach to Feynman Graphs
本文评述了Bern-Kosower形式的世界线路径积分方法，它为量子场论中的费曼图计算提供了一种替代方法。最近的进展，在构建一个多回路的推广，这种形式主义的报告。
1995-01-18 hep-ph hep-th
Constructing Canonical Feynman Integrals with Intersection Theory
正则Feynman积分是研究多圈水平散射振幅的重要方法。我们建议构造超几何型的$d\log$ -形式积分，将它们作为费曼积分的表示，并利用相交理论将它们投影成主积分。这提供了一个建设性的方式来建立规范的主积分，其微分方程可以很容易地解决。我们使用我们的方法来调查最大切割积分和未切割的一个和两个循环，并证明其适用于多尺度问题。
2021-01-18 hep-ph hep-th
On a class of Feynman integrals evaluating to iterated integrals of modular forms
在这次演讲中，我们讨论了一类费曼积分，它可以表示为模形式的迭代积分的尺寸正则化参数的所有订单。我们回顾了与椭圆曲线和模形式相关的数学前提。Feynman积分是模形式的迭代积分，它超越了多重积分的范畴。尽管如此，我们可以通过非代数变换将所有被考虑的微分方程组转化为$\varepsilon$形式，这使得迭代积分的解是直接的。
2018-07-03 hep-ph hep-th
Vector Space of Feynman Integrals and Multivariate Intersection Numbers
费曼积分服从由交集数控制的线性关系，交集数充当向量空间之间的标量积。我们提出了一种构造与费曼积分相关的多元交叉数的通用算法，并首次展示了如何使用它们来解决通过投影将积分归约为主积分的基础的问题，并直接推导出后者满足的函数方程。我们将其应用于推导的特殊功能承认多重积分表示的邻接关系，并在一个和两个循环的几个费曼积分的分解，作为第一步走向潜在的应用程序，通用的多循环积分。
2019-07-03 hep-ph hep-th
Exploring the linear space of Feynman integrals via generating functions
本文提出利用费曼积分的生成函数建立并求解微分方程，从而导出一组能将任意相关费曼积分有效约化到基的约化规则，为长期存在的费曼积分约化挑战提供了有效解决方案。
2023-06-28 hep-ph hep-th
Recent developments from Feynman integrals
本文回顾了费曼积分解析计算的最新进展，重点讨论从黎曼球面到高亏格曲线及卡拉比-丘流形等复杂几何结构，并介绍相关计算方法。
2023-12-22 hep-ph hep-th
From multiple unitarity cuts to the coproduct of Feynman integrals
我们开发的技术计算和分析费曼积分的多个么正性切割，并从这些切割重建积分。研究了通过图解切割规则计算的费曼积分的么正性切割、相应分支切割上的不连续性和积分的余积之间的关系。对于单一么正性切割，这些关系是熟悉的。在这里，我们表明，他们可以推广到序列的酉削减在不同的渠道。使用具体的一个和两个循环的标量积分的例子，我们证明，它是可能的重建费曼积分从单或双么正切割。我们的结果提供了深入了解费曼积分的解析结构，以及一种新的方法来计算它们。
2014-06-27 hep-ph hep-th
Simple differential equations for Feynman integrals associated to elliptic curves
费曼积分微分方程组的$\varepsilon$ -形式使我们计算费曼积分的能力有了长足的进步，只要它们属于多重多项式类。因此，它是当前的兴趣，如果这些方法扩展到多个polygonms的情况下。在这次演讲中，我讨论费曼积分，这是相关的椭圆曲线和微分方程。我展示了非平凡的例子如何系统的微分方程可以带入一个$\varepsilon$的形式。单尺度和多尺度的情况下进行了讨论。
2019-12-05 hep-ph hep-th
Logarithmic forms and differential equations for Feynman integrals
我们描述了如何dlog表示费曼积分导致简单的微分方程。我们利用局部化技巧和广义么正性直接在回路动量或嵌入空间中导出这些微分方程。对于我们研究的例子，字母表的微分方程是相关的运动空间中的特殊点，由某些切割方程编码的几何形状的费曼积分。在一个循环中，我们再现了Goncharov \cite{Goncharov:1996tate}描述的动机公式，该公式在\cite{Spradlin:2011wp,Arkani-Hamed:2017ahv}中的费曼参数积分中重新出现。dlog表示允许我们将微分方程推广到更高的循环，并激发了某些混合维积分的研究。
2020-04-05 hep-ph hep-th
About calculation of massless and massive Feynman integrals
我们报告了无质量和有质量的费曼积分的计算结果，特别是对级数展开系数的差分方程的计算结果
2020-05-06 hep-ph hep-th
Geometric approach to asymptotic expansion of Feynman integrals
我们提出了一个算法，揭示了相关的贡献，在非阈值型渐近展开的费曼积分的一个小参数。结果表明，该问题减少到找到一个凸包的一组点在多维向量空间。
2010-11-22 hep-ph hep-th
Decomposition of Feynman Integrals by Multivariate Intersection Numbers
我们提出了一个详细的描述，最近的想法直接分解的费曼积分的基础上的主积分的投影，以及直接推导的微分方程满足的主积分，采用多元交叉数。我们讨论了一个递归算法的计算多变量的交集数，并提供了三种不同的方法直接分解的费曼积分，我们称之为直接分解，自底向上分解，自顶向下分解。这些算法利用的酉结构的费曼积分计算交叉数支持削减，在不同的顺序，从而显示合成的交集理论的概念与酉为基础的方法和被积函数分解。我们进行显式计算，以证明所有这些方法适用于费曼积分，铺平了道路，对潜在的应用程序，通用多圈积分。
2021-03-11 hep-ph hep-th
FaRe: a Mathematica package for tensor reduction of Feynman integrals
我们提出了FaRe，一个软件包的Mathematica，实现了一个通用的张量费曼积分的分解，任意循环数，在更高的维度标量积分。为了使FaRe工作，需要包FeynCalc，以便保留不同贡献的张量结构，并相应地对获得的标量积分进行分组。当需要处理具有自由洛伦兹指数的费曼积分和高阶积分的张量约化时，FaRe可以证明是特别有用的。这可以通过几个强大的现有工具来实现。
2015-07-13 hep-ph hep-th
Generalizations of polylogarithms for Feynman integrals
在这次演讲中，我们讨论了最近的进展，在应用推广的多项式的符号计算的多圈积分。我们简要地回顾了Maple程序MPL，它支持计算费曼积分的多重多项式的某种方法。此外，我们讨论了椭圆推广的多面体已被证明是有用的计算大量的双圈日出积分。
2016-03-01 hep-ph hep-th
Elliptic polylogarithms and Feynman parameter integrals
本文研究了不能用多重多项式表示的多圈费曼积分的计算。我们详细展示了某些类型的两个和三个点的功能，在两个循环，这出现在计算高阶修正QED，QCD和电弱理论（EW），可以自然地表示在最近推出的椭圆推广的多个polyphilms通过直接集成在他们的费曼参数表示。此外，我们表明，在所有的例子中，我们认为纯费曼积分的基础可以找到。
2019-02-26 hep-ph hep-th
Looping the loops: a tale of elliptic dual Feynman integrals
本文回顾了逐圈方法，用于生成多尺度对偶Feynman积分的微分方程，并以不等质量椭圆日出为例进行说明。
2023-09-08 hep-ph hep-th
Feynman parameter integration through differential equations
提出了一种计算一般多圈费曼积分的新方法。该方法依赖于迭代应用费曼技巧结合两个传播。费曼技巧的每一个应用都引入了一个简化的费曼积分拓扑，它依赖于一个应该积分的费曼参数。对于每一个积分家庭，我们建立了一个系统的微分方程，我们解决了分段收集的广义级数展开的费曼参数。这些广义级数展开式可以有效地逐项和分段积分。这种方法导致一个完全算法的方法计算费曼积分微分方程，这不需要手动确定的边界条件。此外，该方法中出现的最复杂的拓扑结构往往比原始拓扑结构具有更少的主积分。我们说明了我们的方法的强度与五点两圈积分家庭。
2022-06-29 hep-ph hep-th
Simplifying differential equations for multi-scale Feynman integrals beyond multiple polylogarithms
在本文中，我们利用Picard-Fuchs算子的因式分解性质解耦微分方程的多尺度费曼积分。该算法减少了微分方程的块的大小的顺序的Picard-Fuchs算子的不可约因子。作为一个副积，我们的方法可以用来很容易地转换的费曼积分的微分方程，评估多个多项式的$\varepsilon$ -形式。
2017-03-23 hep-ph hep-th
Connection between Feynman integrals having different values of the space-time dimension
维数正则化Feynman积分递推关系的系统算法。提出了时空维$d$。给出了$d$与$d-2$维积分之间的关系，并给出了一个微分算子的形式，对于每个费曼图都可以得到一个显式公式.我们展示了如何工作的方法，一，二，三圈积分。新的递推关系w.r.t. $d$是从分部积分法导出的递推关系的补充。我们发现，费曼积分中的不可约分子的问题，可以很自然地解决所提出的广义递归关系的框架。
1996-06-04 hep-ph hep-th
Asymptotic Expansions of Feynman Integrals on the Mass Shell in Momenta and Masses
简要回顾了费曼积分在质量壳上的动量和质量渐近展开式及其在2-圈计算中的应用的最新结果。
1997-08-21 hep-ph hep-th
Coaction for Feynman integrals and diagrams
我们提出了一个一般的家庭的积分费曼图，如多重多项式和广义超几何函数的评价中出现的作用。我们进一步推测这种相互作用和费曼图上的图形操作之间的联系。在单圈阶，有一个积分的基，对于这个基，这种对应是完全明确的。我们讨论的特点和目前的例子的图形相互作用的两个循环积分。我们还给出了函数${}_{p+1}F_p$和Appell $F_1$的相互作用。
2018-07-31 hep-ph hep-th
Seedless Reduction of Feynman Integrals
Institut de Physique Théorique, Université Paris-Saclay, CEA, CNRS（理论物理研究所，巴黎萨克雷大学，法国原子能和替代能源委员会，法国国家科学研究中心）
本文提出通过构建降算子将任意费曼积分简化为主积分组合的方法，利用IBP生成向量构建方程组并求解。
2026-02-25 hep-ph hep-th
Kinematics, cluster algebras and Feynman integrals
CAS Key Laboratory of Theoretical Physics, Institute of Theoretical Physics, Chinese Academy of Sciences（中国科学院理论物理研究所）；School of Fundamental Physics and Mathematical Sciences, Hangzhou Institute for Advanced Study, UCAS（杭州高等研究院基础物理与数学学院，中国科学院大学）；ICTP-AP International Centre for Theoretical Physics Asia-Pacific（亚太理论物理中心）；School of Physical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学物理科学学院）；Peng Huanwu Center for Fundamental Theory（彭桓武基础研究中心）
本文研究了四维 conformal 费曼积分的平面运动学的簇代数，发现其作为 G(4,n) 簇代数的子代数，并通过八点三环积分示例展示簇代数对费曼积分奇点的编码作用。
2026-04-15 hep-th
Baikov representations, intersection theory, and canonical Feynman integrals
正则微分方程方法是计算量子场论中费曼积分的重要工具。人们已经认识到，规范基与$d$ -维$d\log$ -形式被积函数密切相关.本文引入了广义逐圈Baikov表示的概念，并利用交理论的语言阐明了它与Feynman积分的联系和区别。然后利用广义Baikov表示构造了$d$维$d\log$形式的被积函数，并讨论了如何将其转化为Feynman积分.我们描述了我们的方法的技术细节，特别是如何处理在施工过程中遇到的困难。我们的方法提供了一个建设性的方法来寻找规范基础的费曼积分的问题，我们证明了它的适用性复杂的散射振幅涉及多个物理尺度。
2022-09-17 hep-ph hep-th
Landau-based Schubert analysis
本文提出基于Landau的Schubert分析方法，通过将几何结构与Landau奇异性联系，将Feynman积分的Landau奇异性提升为符号字母，并成功应用于平面N=4超Yang-Mills理论中振幅和形状因子的字母表研究。
2024-10-15 hep-th
GKZ hypergeometric systems of the four-loop vacuum Feynman integrals
本文基于Mellin-Barnes表示和Miller变换，构建了任意质量4-loop真空Feynman积分的GKZ超几何系统，从而在原点邻域内获得了其解析超几何解，并将其解析表达式表述为基本解系统的线性组合。
2025-03-04 hep-ph hep-th
Diagrammatic Hopf algebra of cut Feynman integrals: the one-loop case
我们构造了一个作用于单圈费曼图及其割集的图解余作用。这些图自然地与维数正则化中相应的（切割）Feynman积分相一致，其在维数调节器中的Laurent展开的系数是多重多项式（MPLS）。我们的主要结果是猜想，这个图形的相互作用再现的组合学的相互作用的MPLS顺序顺序的Laurent扩展。我们表明，我们的猜想持有在广泛的非平凡的单圈积分。然后，我们探讨其后果的研究费曼积分的不连续性，和微分方程，他们满足。特别是，使用图形的相互作用，以及从削减的信息，我们明确推导出微分方程的任何一个循环费曼积分。我们还解释了如何构造任何单圈费曼积分的符号递归。最后，我们表明，我们的图解共同作用如下，在特殊情况下的单圈积分，从最近提出的更一般的共同作用，这是由配对主被积函数与相应的主轮廓。
2018-02-01 hep-ph hep-th
Periods and Feynman integrals
我们考虑多圈积分的维数正则化和相应的洛朗级数。我们研究的积分在欧几里德区域和所有的比例的不变量和质量有合理的价值。我们证明在这种情况下，所有系数的洛朗级数的周期。
2009-03-04 hep-ph hep-th
Feynman Integral Reduction without Integration-By-Parts
Zhejiang Institute of Modern Physics, School of Physics, Zhejiang University（浙江大学物理学院现代物理研究所）
本文提出一种不依赖分部积分恒等式的费曼积分约化方法，通过研究费曼参数化中积分轮廓的等价关系，推导出通用的一圈积分约化公式，并有望推广至多圈积分。
2026-04-29 hep-ph hep-th
Reclassifying Feynman integrals as special functions
本文提出将费曼积分重新定义为一类新的特殊函数，并指出借助 AMFlow 方法与运动学空间微分方程可实现系统高效计算，同时展望了该方向的若干关键研究途径。
2024-03-31 hep-ph hep-th
A quasi-finite basis for multi-loop Feynman integrals
提出了一种将多圈欧氏费曼积分分解为拟有限费曼积分的新方法。这些被定义在移动的维度与更高的权力的传播，明确的红外和紫外发散，并允许立即和平凡的扩展的尺寸正则化的参数。我们的方法避免了引入虚假的结构，从而使积分特别容易直接分析积分技术。或者，所得的收敛费曼参数积分可以数值计算。我们的方法是由第二作者以前的工作指导，但克服了实际的限制，采用部分减少集成的原始程序。
2017-04-20 hep-ph hep-th
Multidimensional Residues for Feynman Integrals with Generic Power of Propagators
我们提出了多维留数的概念，可以用来直接提取系数的标量主积分（只有单个传播子）从一个循环的费曼积分与一般的权力的传播子。与通常的分部积分（IBP）技术不同，其中必须迭代求解一组复杂的方程来进行简化并确定标量主积分的系数，使用多维留数提供了直接提取主积分系数的可能性。作为这种思想的第一个应用，我们展示了如何直接提取标量盒积分系数。
2011-12-18 hep-ph hep-th
Leading singularities in Baikov representation and Feynman integrals with uniform transcendental weight
我们提供了一个领先的奇异性分析协议在Baikov表示，搜索的费曼积分与统一超越（UT）的重量。这种方法是由最近的发展，合理化的平方根和syzygy计算，特别适合于寻找UT积分与多个质量尺度。我们证明了我们的方法的力量，通过确定UT基础上的两个回路图与三个外部质量尺度。
2021-03-08 hep-ph hep-th
The diagrammatic coaction and the algebraic structure of cut Feynman integrals
本文给出了一类积分的余作用的新公式。当应用于单圈（切割）费曼积分时，它可以纯粹根据图的边的收缩和切割给出一个图形表示。余作用编码了这些积分的代数结构，并提供了从简单函数中提取复杂积分的重要性质的方法。特别是，它提供了直接访问的费曼积分的不连续性，并有利于直接推导的微分方程，他们满足，我们说明的情况下，五边形。
2018-03-15 hep-ph hep-th
Feynman Integral Reduction and Landau Singularities
Ghent University（根特大学）
本文提出通过兰道方程解控制费曼积分约简，利用syzygy方法求解积分关系，为两环五点积分提供高效且物理透明的解法。
2025-12-05 hep-ph hep-th
Determining Feynman integrals with only input from linear algebra
我们发现，所有的费曼积分（FI），有任何数量的循环，可以完全确定一旦FI之间的线性关系提供。因此，FI计算在概念上转变为线性代数问题。最多给出5个循环的例子来验证这一观察。作为一个副产品，我们得到了一个强大的方法来计算微扰修正的量子场论。
2022-11-03 hep-ph hep-th
Feynman Integrals from Positivity Constraints
本研究提出利用正性约束数值计算费曼积分的新方法，通过将积分约化为主积分的线性组合得到约束，借助半定规划求解得到快速收敛的严格双侧界，可高精度计算费曼积分并揭示维数正规化中ε展开项的一致性关系。
2023-10-03 hep-ph hep-th
Symmetries of Feynman integrals and the Integration By Parts method
分部积分是计算费曼积分的一种重要方法。本工作描述了一个涉及参数空间中的一组微分方程的理论的制定，特别是相关的李群G的定义和研究。该群作用于参数空间并将其叶化成G-轨道。微分方程基本上提供了轨道内的积分梯度，积分与退化图。这样，参数空间中一般点上的Feynman积分的计算就归结为在同一轨道上任意选取的基点上的Feynman积分的计算，以及G-轨道内的线积分和沿轨道的退化积分的计算，本文仅限于真空图和无分子积分，但这种方法可望推广。该方法被证明是通过应用到两个回路的真空图。推测了IBP对图的归约与Y-Delta变换对相关电路的归约之间的关系。
2015-07-06 hep-ph hep-th
Truncated cluster algebras and Feynman integrals with algebraic letters
我们建议，符号字母表类的平面，双共形不变的费曼积分可以得到截断集群代数纯粹从他们的运动学，对应于（紧化）$G_+(4,n)/T$的$n$ -粒子无质量运动学的边界。对于含$n=7,8,9$的单、二、三质量易六边形运动学，根据已有的关于这些积分的字母表的结果，分别得到了有限簇代数$D_4$、$D_5$和$D_6$.作为主要的例子，我们考虑了两个角在相对侧的六边形运动学，并找到了一个截断的仿射$D_4$簇代数，其多面体实现是$G_+(4,8)/T$的39个小平面的余维4边界;其中38个的法向量对应于G向量而剩余的一个给出极限射线，其产生具有唯一四质量盒平方根的$38$有理字母和$5$代数字母的字母表。我们构建的可积符号的空间，这个字母表和物理的第一次进入的条件，其尺寸可以减少使用的条件，从一个截断版本的集群邻接。已经在重量$4$，通过施加最后进入条件的启发$n=8$双五边形积分，我们能够唯一地确定一个可积符号，给出了最通用的双五边形积分的代数部分。最后，利用由Wilson环$d\log$形式导出的微分方程，将$n=8$双五边形梯形积分在空间中定位到四个环，并发现了一个关于代数字母出现的显著模式.
2021-07-01 hep-th
