Simplifying Algebra in Feynman Graphs, Part II: Spinor Helicity from the Spacecone
显然，洛伦兹协变费曼规则给出了一个“标量”场的每一个螺旋，大大简化了计算振幅与无质量粒子。旋量螺旋度形式被正确地识别为零复类空（而不是类光）规范，其中两个无质量外动量定义了参考系。通常这种规范只适用于外部线因素，我们扩展这种方法的顶点和传播修改的行动本身使用光锥方法。
1998-01-05 hep-ph hep-th
Simplifying Algebra in Feynman Graphs, Part I:Spinors
我们提出了一个通用的形式主义，简化操作的自旋指数的无质量和大量的旋量和矢量在费曼图。形式主义是基于协变减少有利于手征/自对偶领域的行动中的字段组件的数量。在本文中，我们集中在计算简化涉及费米子在规范理论通过消除一半的狄拉克旋量的组件。主要结果是：（1）我们发现无质量费米子的参考动量类似于外规范玻色子的参考动量。(2)许多已知的超对称恒等式（树和单圈）可以从图中以简单的方式看到。(3)对于大质量费米子，用外部线因子的操纵是不必要的。(4)一些简化的几乎最大螺旋违反胶子振幅是内置的费曼规则。
1997-12-18 hep-ph hep-th
Simplifying Algebra in Feynman Graphs, Part III: Massive Vectors
一个T-对偶的自对偶的启发制定的大规模矢量场耦合到任意物质，随后其微扰系列建模自发破缺规范理论进行了分析。新的Feynman规则和外部线因子是手征最小化的意义上，只有一种类型的自旋指数出现在规则。几个过程进行了详细研究，并制定了这种方法的横截面。费曼图的洛伦兹代数的双线公式在这种形式主义中产生，类似于颜色排序，它遵循费曼规则的自旋排序。新的双线形式导致微扰理论中规范不变散射的进一步极小化。还生成了对偶电弱模型。
2001-01-03 hep-ph hep-th
Simple differential equations for Feynman integrals associated to elliptic curves
费曼积分微分方程组的$\varepsilon$ -形式使我们计算费曼积分的能力有了长足的进步，只要它们属于多重多项式类。因此，它是当前的兴趣，如果这些方法扩展到多个polygonms的情况下。在这次演讲中，我讨论费曼积分，这是相关的椭圆曲线和微分方程。我展示了非平凡的例子如何系统的微分方程可以带入一个$\varepsilon$的形式。单尺度和多尺度的情况下进行了讨论。
2019-12-05 hep-ph hep-th
Simplifying Polylogarithms with Machine Learning
Harvard University（哈佛大学）
多对数函数，如对数或双对数，满足许多代数恒等式。对于对数，所有的恒等式都遵循乘积规则。对于双对数和更高权重的经典多项式，恒等式可以涉及五个或更多个函数。在许多与粒子物理学相关的计算中，复杂的多面体组合经常来自费曼积分。虽然从积分得到的初始表达式通常是简化的，但通常很难知道应用哪些恒等式以及以什么顺序应用。为了解决这个瓶颈，我们探索机器学习方法可以在多大程度上提供帮助。我们考虑强化学习方法，其中的身份类似于在游戏中的动作，和一个Transformer网络的方法，其中的问题被视为类似的语言翻译任务。虽然这两种方法都是有效的，但Transformer网络似乎更强大，并有望在数学物理中的符号操作任务中得到实际应用。
2022-06-08 cs.LG hep-ph hep-th
Functions Beyond Multiple Polylogarithms for Precision Collider Physics
费曼图是对对撞机实验进行精确预测的基本要素之一。然而，虽然最简单的费曼图可以用多重多项式来计算--其作为特殊函数的性质已经很好地理解了--但更复杂的图往往涉及复杂代数流形上的积分。这样的图已经在NNLO处对电子的自能、$t \bar{t}$的产生、$γγ$的产生和希格斯衰变做出了贡献，并且出现在最大超对称杨-米尔斯理论的平面极限中的两个环上。这使得研究这些更复杂类型的积分的现象学以及概念的重要性。在本白皮书中，我们为Snowmass社区规划工作做出了贡献，概述了费曼图的研究现状，这些研究涉及多个多面体之外的特殊功能，并强调了一些研究方向，这些研究方向构成了未来研究的重要途径。
2022-03-14 hep-ph hep-th
Modular transformations of elliptic Feynman integrals
研究了椭圆型费曼积分在模变换下的性质。这有一个实际的动机：通过一个合适的模变换，我们可以实现nome平方是一个小的数量，导致快速的数值计算。与多重多项式的情况相反，在多重多项式的数值计算中只考虑变量变换就足够了，在椭圆情况下考虑变量变换（即模变换）与主积分的重定义的组合是更自然的。因此，我们将基流形上的坐标变换与纤维中的基变换相结合。只有在两个变换的组合中，我们才能保持在同一个函数类中。
2021-01-07 hep-ph hep-th
On a procedure to derive $ε$-factorised differential equations beyond polylogarithms
本文提出一种推导ε-因子化微分方程的方法，用于处理可求值为超越多重对数函数的多尺度多圈费曼积分，并通过从双圈日出图到多尺度椭圆问题及超越单条椭圆曲线的几何结构等实例验证了其广泛适用性。
2023-05-23 hep-ph hep-th
Feynman Graphs
在这些讲座中，我讨论费曼图和相关的费曼积分。特别感兴趣的是类函数，出现在费曼积分的评估。最突出的一类函数是由多重多项式给出的。多重多项式的代数性质在这些讲座的第二部分进行了审查。这些讲座的最后一部分是专门介绍费曼积分，这不能表示在多个多项式。代数几何的方法提供了处理这些积分的工具。
2013-01-29 hep-ph math-ph math.MP
PolyLogTools - Polylogs for the masses
本文综述了多重多项式研究的最新进展，包括多重多项式的Hopf代数和符号映射，以及单值多重多项式的构造，并讨论了寻找纤维化基的算法。我们记录这些算法是如何在Mathematica软件包PolyLogTools中实现的，并展示了它如何用于研究多对数表达式的余积结构，以及如何计算多对数表达式的迭代参数积分，这些表达式出现在费曼积分计算中，在低循环顺序。
2019-04-15 hep-ph hep-th
The $\varepsilon$-form of the differential equations for Feynman integrals in the elliptic case
如果微分方程组是$\varepsilon$形式的，费曼积分就很容易解.在这封信中，我们表明，一个明确的例子，风筝积分族的$\varepsilon$ -形式，甚至可以实现，如果费曼积分不评估为多重多项式。$\varepsilon$ -形式是通过主积分的基的（非代数）变化获得的。
2018-04-02 hep-ph hep-th
Integrand Analysis, Leading Singularities and Canonical Bases beyond Polylogarithms
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；University of Oxford（牛津大学）；Max Planck Institute for Gravitational Physics (Albert Einstein Institute)（马克斯·普朗克引力物理研究所（阿尔伯特·爱因斯坦研究所））
本文探讨了超越多项对数之外的费曼积分的主导奇点与规范基的联系，通过引入复杂几何的主导奇点概念，展示了如何通过新的超越函数描述底层几何的周期，并通过例子展示其数学等价性。
2026-04-28 hep-ph hep-th
Algebraic Algorithms in Perturbative Calculations
我讨论费曼积分的评价算法。这些算法是基于霍普夫代数和评估的费曼积分（多）多项式。
2003-05-30 hep-ph hep-th
Rationalisation of multiple square roots in Feynman integrals
本文研究了Feynman积分中多重平方根有理化的更弱条件，提出在计算不同部分使用对应同一积分路径不同参数化的不同有理化方法，并以涉及七个平方根的一环五边形函数为例，成功将结果表示为多重对数。
2025-04-02 hep-ph hep-th
Some remarks on the epsilon-expansion of dimensionally regulated Feynman diagrams
本文讨论了维数调节的费曼积分的ε展开式的构造问题。对于某些类型的图，ε展开式的任意项可以用与多项式相关的对数正弦积分来表示。它示出了如何解析这些功能的延续，可以构造在广义尼尔森多项式。
2000-05-31 hep-ph hep-th math-ph
Coaction for Feynman integrals and diagrams
我们提出了一个一般的家庭的积分费曼图，如多重多项式和广义超几何函数的评价中出现的作用。我们进一步推测这种相互作用和费曼图上的图形操作之间的联系。在单圈阶，有一个积分的基，对于这个基，这种对应是完全明确的。我们讨论的特点和目前的例子的图形相互作用的两个循环积分。我们还给出了函数${}_{p+1}F_p$和Appell $F_1$的相互作用。
2018-07-31 hep-ph hep-th
The Elliptic Double-Box Integral: Massless Amplitudes Beyond Polylogarithms
我们推导出一个解析表示的10粒子，两圈双盒积分作为椭圆积分的重量三多项。为了获得这种形式，我们首先推导出积分的四重有理（费曼）参数表示，直接用双共形不变交比表示;由此，很容易获得所需的形式。通过一个简化的玩具模型来说明这个积分的基本特征，并且我们在辅助文件中附上两个积分的相关表达式。我们提出了一个规范化的积分，使他们所有的polylogarithmic退化纯，我们讨论了需要一个新的“符号”的迭代椭圆/polylogarithmic积分，以使他们更规范的形式。
2018-02-14 hep-ph hep-th
Traintracks Through Calabi-Yaus: Amplitudes Beyond Elliptic Polylogarithms
我们描述了一个家庭的有限，四维，$L$ -循环费曼积分，涉及重量- $(L+1)$ hypercurms集成在$(L-1)$维椭圆纤维品种，我们推测是Calabi-Yau。在三个循环，我们确定相关的K3明确，我们提供了有力的证据，四圈积分涉及卡-丘三倍。这些积分是必要的振幅表示在许多理论-从无质量的$φ^4$理论可积的理论，包括最大超对称杨米尔斯理论在平面极限-一个事实，我们证明。
2018-08-09 hep-ph hep-th
Symbology for elliptic multiple polylogarithms and the symbol prime
椭圆多重多项式出现在费曼积分，特别是在散射振幅。它们可以用它们的符号来表征，即所谓的符号字母中的张量积。与非椭圆情形相反，椭圆字母本身满足高度非平凡的恒等式，我们在本文中讨论。此外，我们引入了符号素数，一个模拟的符号椭圆符号字母，这使得这些身份的体现。我们证明了它的使用在两个具体的例子中，在两个循环的顺序：不等质量的日出积分在二维和十点双盒积分在四维。最后，我们还报道了多对数九点双箱积分的结果，它是十点积分的软极限。
2023-02-03 hep-ph hep-th
All orders structure and efficient computation of linearly reducible elliptic Feynman integrals
我们定义线性可约椭圆型费曼积分，我们表明，他们可以算法解决的任意顺序的维调节器在1维积分的polylogarithmic被积函数，我们称之为内部polylogarithmic部分（IPP）。通过直接积分的费曼参数表示的解决方案。当IPP依赖于一条椭圆曲线（并且没有其他代数函数）时，这类费曼积分可以通过使用分部积分以椭圆多重对数（eMPLs）的形式进行算法求解。然后我们详细介绍了微分方程方法。具体来说，我们证明了IPP可以映射到一个广义积分拓扑满足一组微分方程的$ε$ -形式。在例子中，我们认为正则微分方程可以直接求解的eMPLs到任意阶的尺寸调节器。可以执行剩余的1维积分以完全根据eMPLS来表达这样的积分。我们应用这些方法来解决两点和三点积分的eMPLs。我们解析地继续这些积分的物理区域，通过使用它们的1维积分表示。
2019-01-15 hep-ph
On a class of Feynman integrals evaluating to iterated integrals of modular forms
在这次演讲中，我们讨论了一类费曼积分，它可以表示为模形式的迭代积分的尺寸正则化参数的所有订单。我们回顾了与椭圆曲线和模形式相关的数学前提。Feynman积分是模形式的迭代积分，它超越了多重积分的范畴。尽管如此，我们可以通过非代数变换将所有被考虑的微分方程组转化为$\varepsilon$形式，这使得迭代积分的解是直接的。
2018-07-03 hep-ph hep-th
Symbolic integration and multiple polylogarithms
本文综述了一类含有多重多项式的函数族的代数处理方法及其在费曼积分的符号计算中的应用。
2012-09-28 hep-ph math-ph math.MP
Elliptic polylogarithms and iterated integrals on elliptic curves II: an application to the sunrise integral
我们引入了一类迭代积分，它将多重多项式推广到椭圆曲线。这些椭圆多重多项式与纯数学和弦论中定义的类似函数密切相关。然后，我们专注于等质量和非等质量的日出积分，我们开发了一种形式主义，使我们能够计算这些费曼积分在椭圆曲线上的迭代积分。其关键思想是使用分部积分恒等式来确定一组积分核，其精确形式由所讨论的积分的分支点确定。这些核允许我们用它们来表示椭圆曲线上的所有迭代积分。我们的方法的灵活性使我们期望它将适用于各种各样的高能物理积分。
2018-07-17 hep-ph hep-th
Sequential Discontinuities of Feynman Integrals and the Monodromy Group
我们推广了散射振幅的不连续性和割图之间的关系，以涵盖任意动量通道中的连续不连续性（不连续性的不连续性）。新的关系推导出使用时间有序微扰理论，并保持在相空间点，所有切割动量通道是同时访问。作为此分析的一部分，我们解释如何计算连续的不连续性作为monodromies和探索使用monodromy组在表征费曼积分的分析性质。我们在多对数示例中对我们的新公式进行了一些交叉检查，在某些情况下对所有循环顺序进行了交叉检查。
2020-07-27 hep-ph hep-th
Multiple polylogarithms with algebraic arguments and the two-loop EW-QCD Drell-Yan master integrals
考虑了具有代数导奇点的费曼积分和$ε\,\mathrm{d}\ln$形式的全微分。我们表明，它是第一次，它是可能的评估积分与奇异涉及unrationalizable根在传统的多重多项式，无论是参数集成或匹配的符号。作为我们的主要应用，我们计算了强子对撞机上Drell-Yan轻子对产生的$αα_s$修正的双圈主积分。我们优化我们的功能基础，允许快速和稳定的数值计算相空间的物理区域。
2020-08-14 hep-ph hep-th
One-loop Feynman integrals for $2\to3$ scattering involving many scales including internal masses
研究了几个多尺度单圈五点费曼积分族。更具体地说，我们采用简化的微分方程的方法来获得结果的Goncharov多项式的超越重量四个家庭有两个和三个大规模的外部腿和无质量传播，以及一个大规模的内部线和两个大规模的外部腿。这是第一次将这种计算方法应用于涉及内部质量的情况。
2021-09-10 hep-ph hep-th
Generalized Harmonic, Cyclotomic, and Binomial Sums, their Polylogarithms and Special Numbers
本文综述了多圈费曼图中出现的数学结构。这些都是多重嵌套的总和，并与它们相关联的逆梅林变换，具体的迭代积分。这两个类都导致特殊数的集合。从调和求和和多项式，我们讨论这些数量的割圆，广义（割圆），二项式加权求和，相关的迭代积分和特殊常数及其关系的最近扩展。
2013-10-21 hep-ph hep-th math-ph
Massive Feynman integrals at high energies: recent analytic results
CERN（欧洲核子研究组织）
本文报告了解析工具 AsyInt，用于求解高能极限下含质量多圈费曼积分，并展示了具有内外质量的两圈四点费曼积分的近期解析结果。
2025-10-10 hep-ph hep-th
Feynman Integrals
这门课程从基础开始，只需要狭义相对论和本科数学的知识。根据需要介绍了量子场论和高等数学的主题。该课程涵盖了费曼积分领域的现代发展。本课程的主题包括：费曼积分的表示，分部积分，微分方程，相交理论，多重多项式，Gelfand-Kapranov-Zelevinsky系统，相互作用和符号，簇代数，椭圆费曼积分，与费曼积分相关的动机。
2022-06-13 hep-ph hep-th math-ph
Iterated Elliptic and Hypergeometric Integrals for Feynman Diagrams
我们计算了重夸克的三圈主积分和对$ρ$参数的三圈QCD修正。它们服从具有三个以上奇点的二阶非因式分解微分方程，这些方程在Mellin- $N$空间中也不能因式分解。齐次方程组的解可以用收敛的闭整数幂级数表示为有理宗量的$_2F_1$ Gauss超几何函数。在某些情况下，这种类型的积分可以映射到有理宗量的完全椭圆积分。这类函数似乎是下一个出现在计算更复杂的费曼积分谐波多项式，广义多项式，分圆谐波多项式，平方根值迭代积分，及其组合，出现在简单的情况下。相应微分方程的非齐次解可以用迭代积分给出，其中新的最内层字母本身不是迭代积分。引入一类新的迭代积分，其中包含（多重）定积分作为因子出现的字母。对于椭圆的情况下，我们也得到的解决方案中的积分模块功能，也模块化的形式，使用$q$产品和系列表示隐含的Jacobi的$\vartheta_i$功能和戴德金的$η$功能。相应的表示可以追溯到Lambert-Eisenstein级数的多项式，也有表示为椭圆多项式，$q$ -阶乘$1/η^k(τ)$，$q$的多项式和多项式及其$q$ -积分。由于物理变量$x(q)$在不同过程中的特殊形式，通常会出现不同的表示。数值结果也被提出。
2017-06-05 cs.SC hep-ph hep-th
Iterated integrals related to Feynman integrals associated to elliptic curves
这个演讲回顾了费曼积分，这是与椭圆曲线。讲座将介绍其背后的数学，涵盖椭圆曲线，椭圆积分，模形式和$n$标记点的模空间的主题在一个属曲线。后者将是重要的，因为椭圆费曼积分可以表示为模空间${\mathcal M}_{1,n}$上的迭代积分，以同样的方式，费曼积分的评估多个多项式可以表示为模空间${\mathcal M}_{0,n}$上的迭代积分。有了正确的语言，许多方法从亏格零情况延续到亏格一情况。特别地，我们将在具体的例子中看到，椭圆费曼积分的微分方程可以转换成$\varepsilon$ -形式。这允许在维度正则化参数中系统地逐阶获得解。
2020-12-15 hep-ph hep-th
First look at the evaluation of three-loop non-planar Feynman diagrams for Higgs plus jet production
本文计算了三环Higgs加喷流产生的Feynman积分，首次给出非平面积分结果，并发现对邻接关系猜想的反例及新字母表字母，为未来bootstrap方法提供信息。
2023-02-24 hep-ph hep-th
A computation of two-loop six-point Feynman integrals in dimensional regularization
本文首次解析计算了具有八个尺度的三族双圈六点无质量费曼积分，采用规范微分方程方法，给出均匀超越度积分基、函数字母表及边界值，并将结果表达为适合快速高精度计算的一重积分。
2024-03-28 hep-ph hep-th
Introduction to Feynman Integrals
在这些讲座中，我将介绍费曼积分。在课程的第一部分，我将回顾量子场论中微扰展开的基础知识。在课程的第二部分，我将讨论更高级的主题：与周期相关的循环积分的数学方面，shuffle代数和多重多项式，以及计算Feynman积分的实用算法。
2010-05-11 hep-ph
Numerical evaluation of iterated integrals related to elliptic Feynman integrals
我们报告内GiNaC的实施，以评估迭代积分相关的椭圆费曼积分数值任意精度的收敛区域内的级数扩展的积。实现包括迭代积分的模块化形式，以及迭代积分涉及克罗内克系数函数$g^{(k)}(z,τ)$。对于克罗内克系数函数，实现了$dτ$和$dz$中的迭代积分。这包括椭圆多重多边形。
2021-04-27 hep-ph hep-th math-ph
Algorithms for the symbolic integration of hyperlogarithms with applications to Feynman integrals
我们提供了算法的符号集成的hypercurms乘以有理函数，其中还包括多个polycurms时，他们的参数是有理函数。这些算法在Maple中实现，我们讨论了各种应用。特别地，许多费曼积分可以通过这种方法计算。
2014-03-13 hep-ph hep-th math-ph
Rationalizing roots: an algorithmic approach
在计算费曼积分评估多个多项式之一，经常遇到平方根。为了用多重多项式来表示费曼积分，人们寻求变量的变换，它使平方根有理化。本文给出了一个有理化根的算法。该算法适用于任何与根相关的代数超曲面具有重点$(d-1)$的情况，其中$d$是代数超曲面的次数。我们表明，可以使用该算法迭代合理化多根同时进行。文中讨论了高能物理中的几个例子。
2018-12-05 hep-ph hep-th math-ph
Diagrammatic Hopf algebra of cut Feynman integrals: the one-loop case
我们构造了一个作用于单圈费曼图及其割集的图解余作用。这些图自然地与维数正则化中相应的（切割）Feynman积分相一致，其在维数调节器中的Laurent展开的系数是多重多项式（MPLS）。我们的主要结果是猜想，这个图形的相互作用再现的组合学的相互作用的MPLS顺序顺序的Laurent扩展。我们表明，我们的猜想持有在广泛的非平凡的单圈积分。然后，我们探讨其后果的研究费曼积分的不连续性，和微分方程，他们满足。特别是，使用图形的相互作用，以及从削减的信息，我们明确推导出微分方程的任何一个循环费曼积分。我们还解释了如何构造任何单圈费曼积分的符号递归。最后，我们表明，我们的图解共同作用如下，在特殊情况下的单圈积分，从最近提出的更一般的共同作用，这是由配对主被积函数与相应的主轮廓。
2018-02-01 hep-ph hep-th
From polygons and symbols to polylogarithmic functions
我们提出了一个符号图，数学工具，可以在简化多个多面体之间的表达式，并回顾其主要属性的审查。给出了一个如何利用相关带根装饰多边形的组合性质求多重对数的符号的方法。我们还概述了一个系统的方法来构建一个函数对应于一个给定的符号，并说明它在特定的情况下，调和多项式的重量四。此外，这个过程中的模糊性的一部分，突出展示了一个家庭的非平凡的元素在核的符号映射的任意权重。
2011-10-03 hep-ph math-ph math.MP
Analytical Calculation of Two-Loop Feynman Diagrams
我们回顾了Laporta算法减少标量积分的主积分和微分方程的技术，他们的评价。我们讨论了使用的基础上的调和多项式的结果的分析表达和一些推广的基础上更广泛的超越函数。
2004-10-14 hep-ph
Cluster algebras for Feynman integrals
我们在费曼积分的维数正则化中开创了簇代数的研究。我们提供的证据表明，四点费曼积分与一个离壳腿描述的$C_{2}$集群代数，我们发现集群邻接关系，限制允许的功能空间。通过嵌入$C_{2}$内的$A_3$集群代数，我们确定这些邻接与扩展的Steinmann关系的六粒子无质量散射。集群代数连接，我们发现限制矢量玻色子或希格斯加喷流振幅的功能空间，以及最近考虑的形状因子在$\mathcal{N}=4$超级杨米尔斯。我们解释了一般程序的广义多对数函数和集群代数的字母表之间的关系进行研究，并使用它们提供各种标识的单循环字母与集群代数。特别是，我们展示了如何可以获得一个循环字母表的五粒子散射从最近讨论的双共形八粒子字母表相关的$G(4,8)$集群代数。
2021-01-04 hep-ph hep-th
A double integral of dlog forms which is not polylogarithmic
费曼积分是微扰量子场论中所有计算的核心。它们经常会产生具有代数参数的dlog形式的迭代积分，在许多情况下可以用多重多项式来计算。这导致了某些民间传说中的信仰，在社会上说，所有这些积分的评估，以polygolms。在这里，我们讨论一个具体的例子，一个双重迭代积分的两个dlog形式，评估一个周期的尖点形式。这些积分的motivic版本被证明是代数独立于所有多个polyacrylms在代数参数评估。从数学的角度，我们研究了$\mathbb{P}^2$中由一个简单的几何构型所产生的混合椭圆Hodge结构，它由一条模平面椭圆曲线和一组在扭点处与之相交的直线组成，从周期、动机的扩展和L函数的角度来看，这可能是一个有趣的工作例子.
2020-06-16 hep-ph hep-th math.NT
On the maximal cut of Feynman integrals and the solution of their differential equations
计算标量多圈费曼积分的标准程序包括将它们减少到所谓的主积分的基础上，推导出后者所满足的外部不变量中的微分方程，最后，尝试将它们作为$ε= (4-d)/2$中的洛朗级数来求解，其中$d$是时空维度。微分方程，在一般情况下，耦合，可以解决使用欧拉常数的变化，提供了一组齐次解决方案是已知的。给定一阶以上的任意微分方程，不存在求其齐次解的一般方法。在本文中，我们表明，考虑下的积分的最大削减提供了一组齐次解决方案，大大简化了微分方程的解决方案。
2017-01-20 hep-ph hep-th
Feynman integrals for binary systems of black holes
双黑洞系统内旋过程的初相可以用微扰理论描述。在第三个后闵可夫斯基阶，一个双圈双盒图，称为H-图，贡献。在这次演讲中，我们报告了如何在多重多项式中表达具有相等质量的H-图的所有主积分，直到权重为4。我们还讨论了不等质量情况下的技术。基本的复杂性（也是演讲的重点）是几个平方根的出现。
2021-10-29 gr-qc hep-ph hep-th
Empirical determinations of Feynman integrals using integer relation algorithms
当人们有理由怀疑存在一个基的线性组合的简化时，有理关系算法可以将费曼积分的数值结果转换为精确的估计，其中有理系数或代数系数。一旦得到了一个试探性的约简，通过计算更多的项的小数位数并验证结果的稳定性，可以大大提高其有效性的置信度。在这里，我们给出的例子如何PSLQ和LLL算法产生了显着减少费曼积分的多个多项式和期间和准期间的模块化形式。此外，这些算法揭示了费曼积分之间的二次关系。关于黑洞的一个最近的应用涉及费曼积分与代数系数的组合之间的二次关系。
2021-03-10 hep-ph math.NT
Mathematical aspects of scattering amplitudes
在这些讲座中，我们讨论了一些数学结构时，出现计算多圈费曼积分。我们重点讨论了一类特殊的函数，即所谓的多重多项式，并讨论了它们的Hopf代数结构。我们展示了这些数学概念是如何在物理学中有用的几个例子说明这些代数结构是如何有用的执行分析计算的循环积分，特别是导出函数方程之间的多面体。
2014-11-27 hep-ph hep-th math-ph
Three loop master integrals for ${\mathcal{O}} (αα_s^2)$ corrections to quark form factor
本文计算了夸克形状因子的三圈混合强-电弱修正中的全部303个主积分，利用微分方程方法，并通过并发变换处理多个平方根，最终以广义多重对数表示结果。
2025-06-18 hep-ph hep-th
Baikov-Lee Representations Of Cut Feynman Integrals
基于纯虚费曼积分的Baikov-Lee表示，我们开发了一个评价$d$维切割费曼积分的一般框架。我们实现了广义Cutkosky切割规则使用柯西的留数定理，并确定了一组约束，确定的集成域。该方法同样适用于费曼积分与一个单一的运动通道中的酉切和最大切割费曼积分。我们的切Baikov-Lee表示再现了预期的切割和不连续性之间的关系，在一个给定的运动通道，而且使运动变量的依赖性从一开始就表现出来。结合极大割Feynman积分的Baikov-Lee表示和代数曲线周期的性质，得到了超越多重多项式的Feynman积分所满足的齐次微分方程的完全解集.我们应用我们的形式主义的直接评估一些有趣的削减费曼积分。
2017-07-03 hep-ph
Analytic results for planar three-loop integrals for massive form factors
我们使用微分方程的方法来分析评估所有的平面三圈费曼积分相关的形状因子计算涉及大量的粒子。我们对一般$q^2$下的90个主积分的结果用多重多项式表示，对阈值$q^2=4m^2$下的51个主积分的结果用自变量为1的多重多项式表示，其指数等于零或等于单位的六次方根。
2016-11-20 hep-ph
Analytic and Algorithmic Aspects of Generalized Harmonic Sums and Polylogarithms
在最近的量子色动力学（QCD）中的大质量Feynman积分的三圈计算中，在最近的组合问题中，出现了所谓的广义调和和（简称$S$ -和）。它们的特征在于有理（或实）分子权重也不同于$\pm 1$。在这篇文章中，我们将系统地探讨这些和的算法和分析性质。我们工作的梅林和逆梅林变换连接的总和与相关的庞加莱迭代积分，也称为广义调和多项式。在这方面，我们得到明确的解析延拓的$S$ -和开始经常出现在当前的QCD计算的渐近展开的手段。此外，我们推导出代数和结构关系，如微分w.r.t.外和指标和不同的多变量关系，对$S$ -和式的紧化进行了研究.最后，我们计算代数关系的无限$S$ -总和，或等价的广义调和多项式在特殊值评估。相应的算法和关系被编码在计算机代数包{ \tt HarmonicSums}中。
2013-02-02 cs.SC hep-ph hep-th
Harmonic Sums and Polylogarithms Generated by Cyclotomic Polynomials
在可重正化量子场论的大规模高阶微扰计算中，Feynman积分的计算需要多重套调和和的延拓，而多重套调和和可以通过Poincaré迭代积分的Mellin变换（包括高阶分圆多项式的展开子）生成为实表示.我们导出了分圆调和多项式与调和和，并研究了它们的代数关系和结构关系。利用解析表示法将分圆调和和解析延拓到$N$的复值.我们还考虑了分圆调和多项式在自变量$x=1$上的特殊值，对于与色重zeta值有关的$N \rightarrow \infty$上的分圆调和和，基于stuffle代数和shuffle代数以及三个重宗量关系，导出了它们之间的各种关系.我们还考虑了与无限分圆调和和相关的单位根上的无限广义套调和和。导出了权重{ \sf w = 1，2}和到分圆{ \sf l = 20}的基表示。
2011-05-30 cs.SC hep-ph hep-th
An algorithmic approach to finding canonical differential equations for elliptic Feynman integrals
针对含椭圆多重对数的费曼积分典范微分方程求解问题，本文提出一种有效算法化方法，复现已知结果并给出新算例，还更新了公开Mathematica工具INITIAL。
2023-08-25 hep-ph hep-th math-ph
Harmonic Sums, Polylogarithms, Special Numbers, and their Generalizations
在这些介绍性讲座中，我们讨论目前已知的嵌套求和类，相关的迭代积分，和特殊的常数，这些常数分层出现在无质量和大规模费曼图在更高的循环评估。这些数量是元素的填充和洗牌代数代数意味着代数关系广泛独立的特殊数量考虑。它们由结构关系补充。给出了广义调和和，（广义）分圆和，并在此外二项式和逆二项式权重的总和。所有这些量都与迭代积分和特殊数有关。我们还讨论了不同类型套和到外和界N的复值的解析延拓。
2013-04-26 cs.SC hep-ph hep-th
The algebraic structure of cut Feynman integrals and the diagrammatic coaction
我们研究了费曼积分的代数和分析结构，提出了一个操作，将一个积分映射成从主被积函数和相应的主轮廓得到的积分对。这个操作是一个共同作用。它减少到已知的共同作用在多个多面体，但适用于更普遍的，例如超几何函数。共同作用也适用于一般的单圈费曼积分与任何配置的内部和外部质量，并在维正则化。在这种情况下，我们证明，它可以给出一个图形表示纯粹在图上的操作，即收缩和切割的边缘。的共同作用，使直接访问（迭代）不连续的费曼积分，并促进了直接推导的微分方程，他们承认。特别是，任何一个回路积分的微分方程确定的图形的相互作用，使用有限的信息，他们的最大，次最大的削减。
2017-03-15 hep-ph hep-th math-ph
