The height of Mallows trees
通过将$[n]=\{1,\dots,n\}$的均匀随机置换$σ$的元素$σ(1),σ(2),\ldots,σ(n)$递归地插入到二叉搜索树数据结构中来获得随机二叉搜索树。Devroye（1986）证明了这类树的高度是渐近的$c^*\log n$阶，其中$c^*=4.311\ldots$是$c \log((2e)/c)=1$与$c \geq 2$的唯一解。在本文中，我们研究的二叉搜索树$T_{n,q}$的结构，从Mallow排列。$\textrm{Mallows}(q)$置换是概率与$q^{\textrm{Inv}(σ)}$成比例的$[n]=\{1,\ldots,n\}$的随机置换，其中$\textrm{Inv}(σ) = \#\{i < j: σ(i) > σ(j)\}$。该模型推广了随机二叉搜索树，因为具有$q=1$的$\textrm{Mallows}(q)$排列是均匀分布的。$T_{n,q}$和$T_{n,q^{-1}}$的定律通过一个简单的对称性（左右子的角色转换）联系在一起，所以我们只需要把注意力集中在$q\leq1$上就足够了。我们证明，对于$q\in[0,1]$，$T_{n,q}$的高度是渐近$(1+o(1))(c^* \log n + n(1-q))$的概率。根据$n(1-q)/\log n$是否趋于零、趋于无穷大或保持远离零和无穷大的边界，这产生了$T_{n,q}$…
2020-07-27 math.CO math.PR
Asymptotic height of Plancherel random trees
研究Plancherel随机树的高度渐进行为，证明其以对数速率增长，并通过变分原理确定相关常数。
2026-04-28 math.CO math.PR
On exponentially height-penalized random trees
McGill University（麦吉尔大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；University of Illinois, Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Université Sorbonne Paris-Nord（索邦巴黎北大学）
本文研究了指数高度惩罚随机树的渐进行为，证明了在不同参数序列下树的高度收敛到不同结果，并探讨了其局部结构和大偏差原理。
2025-12-19 math.CO math.PR
Almost giant clusters for percolation on large trees with logarithmic heights
本文是基于讲座的谢菲尔德概率日，其主要目的是调查一些最近的渐近结果伯努利债券渗流某些大型随机树木的对数高度。我们还提供了一个一般的标准，在大树，这回答了大卫克罗伊登提出的一个问题，巨渗流集群的存在。
2013-01-28 math.PR
Width and mode of the profile for some random trees of logarithmic height
我们提出了一种新的，直接的，相关性自由的方法的基础上的中心矩的配置文件的宽度（最丰富的水平的大小）的渐近对数高度的随机树。该方法简单，但给出了精确的估计的期望宽度，中心矩的宽度和几乎必然收敛。它广泛适用于对数高度的随机树，包括递归树、二叉查找树、四叉树、面向平面的有序树和其他种类的增长树。
2006-07-05 math.PR
Correction terms for the height of weighted recursive trees
加权递归树是通过将具有预定权重的顶点连续添加到树中来构建的：每个新顶点都附加到与其权重成比例随机选择的父节点。在一些假设的序列的权重，第一秩序的高度，这样的树最近已经建立在[电子。2021年8月26日，第80期，作者之一。本文在类似的假设下，得到了加权递归树高度的二阶和三阶渐近展开。我们的方法的灵感来自那些用来证明分支随机游动的类似结果。我们的研究结果也适用于相关模型的树木生长，称为优先附件树添加剂的适合度。
2021-12-15 math.PR
Height of weighted recursive trees with sub-polynomially growing total weight
加权递归树是通过将具有预定权重的顶点连续添加到树中来构建的：每个新顶点都被附加到随机选择的父节点，其概率与其权重成比例。在步骤$n$中树的总权重在$n$中多项式增长的情况下，我们在（Pain-Sénizergues 2022）中获得了树的高度的渐近展开，它属于分支随机游动的最大值的大学类。在本文中，我们考虑的情况下，总重量增长的次多项式在$n$，并获得渐近树的高度在几个政权，普遍性被打破，并表现出新的行为。
2022-07-11 math.PR
Tree height and the asymptotic mean of the Colijn-Plazzotta rank of unlabeled binary rooted trees
本文研究了无标号二叉有根树Colijn-Plazzotta秩与树高的关系，在三种随机模型下推导了秩的渐近均值性质，解决了数学系统发育学中的开放问题。
2024-09-27 math.CO math.PR
Self-similar fragmentations derived from the stable tree I: splitting at heights
我们考虑的基本对象是连续随机树的某种模型，称为稳定树。我们通过移除位于高度$t$下的顶点，从该树构造出一个碎片化过程$(F^-(t), t>=0)$。由于稳定树的自相似性，我们表明，碎片化过程也是自相似的。明确给出了分裂的半群和其他特征。渐近结果，以及一对夫妇的连续状态分支过程的相关结果。
2004-05-10 math.PR
Height and diameter of brownian tree
Szekeres在1983年通过计算生成函数证明了一个具有n个顶点的均匀分布的有根标号树的直径律，通过因子n^{1/2}重新缩放，收敛到一个密度是显式的分布。Aldous在1991年观察到这个极限分布就是布朗树直径的定律。在我们的文章中，我们提供了一个计算这个法律，这是直接基于归一化布朗行程。此外，我们还给出了布朗树的高度和直径的联合律的一个显式公式，这是一个新的结果。
2015-03-17 math.PR
Scaling limit of trees with vertices of fixed degrees and heights
Université Paris Saclay（巴黎萨克雷大学）；CMAP, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（巴黎综合理工学院 CMAP，巴黎理工学院）
本文研究了度数和高度固定的树的标度极限，通过凝聚过程分析路径收敛性，并应用于变化环境下的 Bienaymé-Galton-Watson 树。
2026-03-05 math.PR
Trees with power-like height dependent weight
本文研究高度依赖权重为幂函数$h^α$的平面有根随机树，通过分析生成函数的解析性质确定了总权重$Z_N$的渐近形式，并证明大尺寸局部极限与Uniform Infinite Planar Tree相同且与指数$α$无关。
2022-04-05 math.PR
Atypical Decay Rates for Atypical Heights in Random Recursive Trees
Beijing Normal University（北京师范大学）；Technion - Israel’s Institute of Technology（以色列理工学院）
本文建立了随机递归树高度的大偏差概率，发现上尾呈多项式衰减，下尾呈拉伸指数衰减，且下尾具有异常前因子，其增长速度慢于任何n重迭代对数。
2026-06-16 math.PR
Heights of butterfly trees
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Columbia University（哥伦比亚大学）
本文研究了蝴蝶树的高度分布，通过块模型分析了BST的构造方法，并给出了简单和非简单蝴蝶树的高度增长特性，揭示了其与N的关系。
2026-03-15 cs.DS math.CO math.PR
Oscillations in the height of the Yule tree and application to the binary search tree
对于一个特定的情况下，一个分支随机游动晶格支持，即圣诞树分支随机游动，我们证明了中心的最大值的分布振荡周围的分布对应于一个临界行波在以下意义上：存在连续函数$t \mapsto a_t$和$x \mapsto \overlineϕ(x)$，使得：$$\lim_{t \rightarrow +\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} \vert \mathbb{P}(\overline{X}(t) \leq a_t +x )-\overlineϕ(x- \{ a_t +x\})\vert=0,$$其中$\{x\}=x-\lfloor x \rfloor$和$\overline{X}(t)$是圣诞树的高度。我们还表明，类似的振荡发生$\mathbb{E}\left(f(\overline{X}(t)-a_t)\right)$，当$f$是在一个大类的功能。这个过程与二叉搜索树有着经典的关系，因此二叉搜索树的高度和饱和度也会产生类似的结果。
2016-11-07 math.PR
The cut-tree of large trees with small heights
我们破坏一个有限的树的大小$n$通过削减其边缘一个接一个，并在统一的随机顺序。非正式地，关联的割树描述了由该销毁过程创建的连接组件的谱系。我们提供了一个一般的准则，重新缩放的割树在Gromov-Prohorov拓扑收敛到一个区间赋予了欧几里德距离和一定的概率测度，当底层树有一个小的高度的顺序$o(\sqrt{n})$。特别是，我们考虑均匀随机递归树，二叉搜索树，无标度随机树和混合的定期树。这产生的结果在Bertoin的一致随机递归树的割树的扩展，也使我们能够推广的一些结果Kuba和Panholzer的多重孤立的顶点。该方法依赖于破坏过程和伯努利键渗流之间的密切关系，这可能是有用的研究其他类型的树的割树。
2016-07-19 math.PR
A phase transition for the heights of a fragmentation tree
我们提供了信息的渐近制度的齐次分裂的有限集。我们建立了一个相变的渐近行为的粉碎时间，定义为第一时刻时，所有的块的分割过程具有基数小于一个固定的整数。我们的结果可应用于某些随机分裂树的研究。
2009-05-21 math.PR
Height and contour processes of Crump-Mode-Jagers forests (I): general distribution and scaling limits in the case of short edges
Crump-Mode-Jagers（CMJ）树通过允许个体在其一生中的任意时间内生活和生育来推广Galton-Watson树。在本文中，我们感兴趣的高度和轮廓过程编码一般CMJ树。我们证明了树的一维高度过程的分布可以用与Lukasiewicz路径相关联的阶梯高度过程的随机变换来表示，作为这个结果的应用，当树的边是“短”的时候，我们证明了：（1）树的高度过程是通过将相应的系谱Galton-Watson树的高度过程拉伸一个常数因子而得到的，（2）等高线过程是由高度过程通过恒定的时变得到的;（3）CMJ树在有限维分布意义下收敛。
2016-07-27 math.PR
Sub-Gaussian tail bounds for the width and height of conditioned Galton--Watson trees
本文研究了后代分布B满足E（B）=1，0 < Var（B）<无穷大的Galton-Watson树的高和宽，条件是树的结点数为n。在此条件下，我们得到的宽度（最大数量的节点在任何级别）和高度（最大级别包含一个节点）的亚高斯尾边界;边界是最佳的常数因子的指数。在相同的条件下，我们还得到了本质上最优的上尾界的节点数在水平k，1 <= k <= n。
2010-11-18 math.PR
On the Height Profile of a Conditioned Galton-Watson Tree
Drmota和Gittenberger（1997）证明了Aldous（1991）关于后代分布为有限方差的Galton-Watson树的高度剖面的猜想，条件是$n$个体的总大小。该猜想指出，在分布的形状，更准确地说，它的缩放高度轮廓与持续时间为1的布朗漂移的局部时间过程渐近一致。我们给出了结果的证明，它扩展到无限方差后代分布的情况。这需要一个不同的策略，因为在无限方差的情况下，不再有布朗响应的本地时间的关系。莱维远足。
2011-01-19 math.PR
Partial orders and monotonicity of logarithmic depth and height in preferential attachment trees
本文研究了具有通用附加函数的偏好附加树，探讨了附加函数对树深度和高度的单调性影响，并引入了双尾序条件来补充生长比率主导条件，以证明期望单调性结果。
2026-08-26 math.PR
A new approximation of the Height process of a CSBP
我们通过一个连续的高度过程来编码Galton-Walton树，以便给出树的森林收敛的精确含义。这使我们能够建立一个大的人口的分支过程的系谱树的森林收敛到极限连续状态分支过程（CSBP）的系谱树。这里考虑的近似是新的，相比之下，已在Etienne Pardoux研究。
2020-03-11 math.PR
Height function localisation on trees
本文研究树上两种离散高度函数模型的局部化现象，证明随机同态模型高度方差有界，并完整分类有向树上单调高度函数的极值梯度吉布斯测度，描述局部化-去局部化转变。
2023-10-27 math.PR
Asymptotics of heights in random trees constructed by aggregation
对于正实数的每个序列$(a_n)$，我们将连续树的生长序列$(T_n)$关联，所述连续树通过在步骤$n$从长度为$a_1$的段$T_1$开始在预先存在的树的一致点上粘合长度为$a_n$的段而递归地构建。以前的工作集中在该模型的$(a_n)$的紧性和豪斯多夫维数的限制树的影响。在这里，我们考虑序列$(a_n)$以非负指数规则变化的情况，使得序列$(T_n)$爆炸。我们确定的$T_n$和$T_n$的根和$\ell$点均匀随机和独立地在$T_n$跨越的子树的高度的渐近性，对于所有$\ell \in \mathbb N$。
2016-06-21 math.PR
Critical trees are neither too short nor too fat
本文研究了临界尺寸条件Bienaymé树，建立了高度的下尾界和宽度的上尾界，证明了其最优性，并得到了Cauchy分布吸引域内后代分布的精确渐近性，同时提出了相关渐近行为的问题。
2025-03-04 math.CO math.PR
Tail bounds for the height and width of a random tree with a given degree sequence
固定序列c=（c_1，...，c_n）的和为n-1的非负整数。我们说一棵有根树T有子序列c，如果T的节点可以排序为v_1，.，v_n，使得对于每个1 <= i <= n，v_i恰好有c_i个孩子。设T是从所有具有子序列c的平面树中随机均匀抽取的平面树。在本文中，我们证明了T的高度（任何节点的最大深度）和宽度（任何单个深度处的最大节点数）的亚高斯尾界。当c满足c_1^2+.+时，这些界限是最优的，直到指数为常数。c_n^2=O（n）;后者可以被看作是子序列的“有限方差”条件。
2011-09-21 math.PR
Scaling limit of the subdiffusive random walk on a Galton-Watson tree in random environment
考虑了随机环境中Galton-Watson树上的随机游动，在次扩散情形下。我们证明了重新归一化的高度函数的步行走向连续时间的高度过程的谱正严格稳定的Lévy过程的收敛性，与重新归一化的范围的步行走向真正的树编码的后者连续时间的高度过程的收敛性。
2019-04-18 math.PR
The height of discrete-time critical beta-splitting trees
Technion - Israel’s Institute of Technology（以色列理工学院）
本文确定了离散时间临界β分裂树的高度一阶渐近，证明其与$(\nlog n)^2$之比几乎必然收敛于常数约0.976，并回答了Aldous和Janson的开放问题。
2026-09-17 math.PR
Limit laws of random simplex tree-child networks
Universidad de La Laguna（拉古纳大学）；Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
研究随机单纯形树子网络相关指数和高度的极限定律，通过重新缩放证明其联合分布极限及高度极限定律，建立尾部界限，获得叶子高度轮廓缩放极限，确定固定根、随机顶点和叶子周围的局部极限。
2026-07-20 math.CO math.PR
Height and the total mass of the forest of genealogical trees of a large population with general competition
我们考虑在连续时间内具有相互作用的分支过程，其值都是整数和实数（在第二种情况下，我们将自己限制在连续过程中），它模拟了种群规模的演变。我们假设，对于大的总体规模的相互作用的类型的竞争，这限制了人口的规模。我们讨论了在哪些情况下相互作用足够强，使得消亡时（或等价地系谱树森林的高度）保持有限，因为祖先的数量趋于无穷大，或者甚至使得系谱树森林的长度（在连续状态的情况下，更确切地说是它的总质量）保持有限，因为祖先的总体规模趋于无穷大。
2014-10-21 math.PR
Refined Horton-Strahler numbers I: a discrete bijection
本文提出一种新的双射证明，通过引入插值完全二叉树的树列来定义精细化Horton-Strahler数，证明了具有特定内部顶点数和该数的满二叉树与特定长度和高度的Dyck路径数量相同。
2024-06-05 math.CO math.PR
Height and contour processes of Crump-Mode-Jagers forests (III): The binary, homogeneous universality class
本文属于旨在研究Crump-Mode-Jagers（CMJ）树的标度极限的系列论文。在前两篇论文中，我们确定了CMJ树属于Galton-Watson和Bellman-Harris过程的普适类的一般条件。在本文中，我们确定的一般条件CMJ树属于普遍性类的二元，同质CMJ树。这些条件表明，后代过程应该“看起来像”一个更新过程，而且它不应该在原点附近积累太多的原子。我们特别证明了任何更新过程都满足这些条件。
2021-04-15 math.PR
The Critical Beta-splitting Random Tree: Heights and Related Results
本文研究临界贝塔分裂随机树的连续时间模型，精确求出随机叶子时间高度和边高度的前两阶矩并证明中心极限定理，同时分析叶子高度相关性、分裂次数期望、树高度尾部界及随机子树大小的极限分布。
2024-09-06 math.PR
Does freezing impede the growth of random recursive trees?
研究带冻结的均匀附着模型，证明移除附着步骤可增加期望高度，而冻结不能显著降低随机递归树高度，方法基于耦合论证。
2025-05-22 math.PR
The height of the infection tree
本文研究了随机SIR模型中感染树的高度，证明在感染未迅速灭绝的情况下，当初始健康个体数趋于无穷时，树高渐近于$κ(λ) \log n$，并发现$κ(λ)$在$λ_{c}\simeq 1.8038$处发生二阶相变。
2025-04-04 math.PR
Scaling limit of the random walk on a Galton-Watson tree with regular varying offspring distribution
本文研究了具有正则变化后代分布的 Galton-Watson 树上的随机游动，证明了其重标度高程函数和迹分别收敛于谱正严格稳定 Lévy 过程的连续时间高程过程及由其编码的连续统树。
2024-03-26 math.PR
Fragmentation at height associated to Lévy processes
本文研究了无负跳Lévy过程的高度过程及其相关的连续树表示。利用Duquesne和Le Gall开发的工具，我们构造了一个高度破碎过程，推广了Miermont给出的稳定树的高度破碎。在这个更一般的框架中，我们恢复的位错措施是相同的位错措施，在节点处的亚伯拉罕和Delmas介绍的碎片，到一个因子等于碎片的大小。我们还计算了小碎片的数量的渐近。
2006-03-08 math.PR
Depth properties of scaled attachment random recursive trees
本文研究了一类随机递归树的深度性质，其中每个结点i都与随机结点iX_i相连，X_0，.，X_n是独立同分布的序列。取值于[0，1）的随机变量。我们称这种树为标度连接随机递归树（SART）。我们证明了典型深度D_n、最大深度（或高度）H_n和SARRT的最小深度M_n由D_n \sim μ ^{-1} \log n、H_n \sim α_{\max} \log n和M_n \sim α_{\min} \log n渐近给出，其中μ，当X_0有密度时，α_{\max}和α_{\min}是只与X_0的分布有关的常数。特别地，给出了不使用分支随机游动的均匀随机递归树H_n \sim e \log n的高度的一个新的初等证明.
2012-10-26 math.CO math.PR
Height-offset variables and pinning at infinity for gradient Gibbs measures on trees
TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）；Ruhr University Bochum（波鸿鲁尔大学）
本文研究了树上梯度吉布斯测度通过高度偏移变量进行无限远处固定，揭示了其在结构性质上的权衡与丢失。
2025-11-28 math-ph math.MP math.PR
Trees with exponential height dependent weight
本文研究了高度依赖权重呈指数形式的平面有根随机树，确定了其总权重大 $N$ 渐近行为，发现 $μ=0$ 处存在从单脊相到多脊相的相变，且根节点球体体积增长率随 $μ$ 变化呈现线性、二次和三次增长。
2022-04-05 math-ph math.MP math.PR
Typical behavior of the harmonic measure in critical Galton-Watson trees
研究了后代分布具有有限方差的大型临界Galton-Watson树中球的调和测度的典型行为。本文所考虑的调和测度是指在一棵临界Galton-Watson树上通过简单随机游动得到的树高$n$的首中分布，条件是树高大于$n$ .证明了在高度$n$中均匀选取的随机顶点所携带的调和测度的质量近似等于$n^{-λ}$，其中常数$λ>1$不依赖于子代分布.这个普适常数$λ$等于尺寸偏置的Galton-Watson树的电导的渐近分布的一阶矩减1。
2016-03-03 math.PR
A sharp estimate for cover times on binary trees
我们计算的覆盖时间的二叉树深度$n$（连续时间）随机游动的二阶校正，并显示概率接近1的$n$增加，$\sqrt{τ_{\mathrm{cov}}}=\sqrt{|E|}[\sqrt{2\log 2}\cdot n - {\log n}/{\sqrt{2\log 2}} + O((\log\logn)^8]$，从而表明，二阶校正不同于相应的树上的高斯自由场的最大值。
2011-04-03 math.PR
Most trees are short and fat
这项工作证明了新的概率界有关的高度，宽度和大小的高尔顿-沃森树。例如，如果$T$是任何Galton-Watson树，并且$H$、$W$和$|T|$分别是$T$的高度、宽度和大小，则$H/W$具有亚指数尾部，而$H/|T|^{1/2}$具有亚高斯尾部。虽然我们的方法适用于没有任何假设的后代分布，当提供有关分布的信息时，该方法可以相应地进行调整，并且似乎总是产生严格的界限。
2017-03-30 math.PR
The genealogy of self-similar fragmentations with negative index as a continuum random tree
我们编码的随机碎裂过程，即自相似碎裂过程的一个负指数的自相似性，到一个度量的家庭树属于家庭的连续随机树的Aldous。当碎片的分裂时间在0附近密集时，树可以反过来被编码为连续高度函数，就像布朗连续随机树被编码为归一化布朗偏移一样。在温和的假设下，我们然后计算这些树的豪斯多夫维数，和高度函数的最大Hölder指数。
2004-01-05 math.PR
Sub-exponential tail bounds for conditioned stable Bienaymé-Galton-Watson trees
本文建立了临界Bienaymé-Galton-Watson树的宽度、高度和最大出度的一致次指数尾界，条件是具有一个大的固定尺寸，其后代分布属于稳定律的吸引区域.这扩展了由Addario-Berry，Devroye和Janson在有限方差情况下获得的高度和宽度的结果。
2016-04-04 math.PR
Decomposition of Levy trees along their diameter
本文研究了随机紧度量空间L{é}vy树的直径，并将其作为Galton-Watson树的标度极限. L{é}vy树是由Le Gall和Le Jan（1998）引入的，它们推广了Aldous' Continuum Random Tree（1991），对应于布朗情形。本文首先刻画了L{é}vy树的直径律，并证明了它是由一对唯一的点实现的。我们证明了具有固定直径r $\in$（0，$\infty$）的L{é}vy树的规则是通过在它们各自的根上粘合两个具有高度r/2的独立的大小偏置的L{é}vy树，然后通过一致地重根得到的树;我们还用泊松点测度描述了嫁接在直径上的子树的规则。作为L{é}vy树根据其直径的这种分解的应用，我们刻画了以其总质量为条件的稳定L{é}vy树的高度和直径的联合律;我们还提供了这种归一化稳定树的高度和直径的律的渐近展开，这推广了Szekeres（1983）在布朗情形下的恒等式。
2015-03-17 math.PR
Random Trees, Levy Processes and Spatial Branching Processes
我们研究一般临界或亚临界连续态分支过程的谱系结构。类似于离散树的轮廓函数的编码，这个谱系结构是由称为高度过程的实值随机过程编码的，高度过程本身被构造为没有负跳的Levy过程的局部时间泛函。我们提出了一个详细的研究的高度过程和相关的测量值的过程称为勘探过程，这在大多数应用中起着关键作用。在适当的假设下，我们证明了，每当一个序列的重新标度的Galton-Watson过程收敛于分布，其谱系也收敛到连续的分支结构编码的适当的高度过程。我们应用这个不变原理的各种渐近的高尔顿-沃森树。然后，我们使用的对偶性质的探索过程中明确计算的分布与泊松标记的高度过程中，和所谓的稳定连续树的有限维边缘的减少树。这最后一个计算推广到稳定的情况下的结果Aldous的布朗连续随机树。最后，我们结合系谱结构与一个独立的空间运动，开发一个新的方法来超过程的一般分支机制。在这种情况下，我们得到某些明确的分布，如法律的空间减少树在一个域，包括所有的历史路径，击中边界的集合。
2005-09-23 math.PR
Limiting Behavior Of Additive Functionals On The Stable Tree
研究了规范化稳定Lévy树$\mathcal{T}$在其根附近的形状。我们表明，当放大的根在适当的速度与缩放依赖于稳定性指数，我们得到的非规范化的凯斯滕树。特别是极限描述的树值泊松点过程，它不依赖于初始规范化。我们应用这一方法研究了\[\mathbf{Z}_{α,β}=\int_{\mathcal{T}} μ(\mathrm{d} x) \int_0^{H(x)} σ_{r,x}^α\mathfrak{h}_{r,x}^β\,\mathrm{d} r\]作为$\max(α,β) \to \infty$的可加泛函的渐近行为，其中$μ$是$\mathcal{T}$上的质量测度，$H(x)$是$x$的高度，而$σ_{r,x}$（分别为. $\mathfrak{h}_{r,x}$）为质量（分别为高度）。这样的泛函出现的规模和高度的条件Bienaym{é}-Galton-Watson树的加性泛函的缩放限制。
2021-06-30 math.PR
A study of large fringe and non-fringe subtrees in conditional Galton-Watson trees
本文研究了大小为$n$的Galton-Walton树的子树族以高概率存在的条件。我们首先给出了一个泊松近似的条纹子树计数，它产生的高度的最大完整的$r$ -ary条纹子树。然后，我们确定最大的$K_n$，使每棵树的大小最多$K_n$出现作为边缘子树whp。最后，我们研究了非边缘子树的个数，并确定了最大完全$r$元非边缘子树的高度。
2016-02-11 math.PR
Height and contour processes of Crump-Mode-Jagers forests (II): The Bellman-Harris universality class
Crump-Mode-Jagers（CMJ）树通过允许个体在其一生中的任意时间内生活和生育来推广Galton-Watson树。本文给出了CMJ森林的高度过程和等高线过程属于Bellman-Harris过程普适类的一个简单条件。这个条件正式的时间和谱系结构之间的渐近独立性。我们表明，它是满足一大类CMJ过程，特别是，相当令人惊讶的是，CMJ过程的有限方差的后代分布。在此过程中，我们证明了一个一般的紧性结果。
2018-07-24 math.PR
Condensation in subcritical Cauchy Bienaymé trees
本文研究亚临界稳定指数为1的Bienaymé树，证明其出现唯一宏观度数的凝聚现象，高度收敛于几何分布且随尺寸对数增长，行为与指数在(1,2]时相似，完成了重尾情形的高度研究。
2025-10-08 math.PR
Exact distribution of the maximal height of p vicious walkers
利用路径积分技术，对所有整数p \ge 1，我们精确地计算了p个不相交的布朗游动者在一维单位时间间隔内的最大高度H_p的分布，其中既包括有墙的p-西瓜的游动，也包括无墙的p-西瓜的游动.对于大的p，我们表明，< H_p >\sim \sqrt{2p}（游览），而< H_p >\sim \sqrt{p}（桥梁）。我们的精确结果证明了以前的数值实验只测量了前渐近行为，而不是正确的渐近行为。此外，我们的方法建立了恶性步行者和随机矩阵理论之间的物理联系。
2008-11-27 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
The Critical Beta-splitting Random Tree IV: Mellin analysis of Leaf Height
本文通过极限树结构与 Mellin 变换分析，对临界 Beta 分裂随机树中叶高的期望、方差、正态近似及大偏差行为给出更精确的估计。
2024-12-16 math.CV math.PR
A limit theorem for the contour process of conditioned Galton-Watson trees
本文研究了高尔顿--沃森过程的谱系在全子代条件下的渐近性。我们考虑一个固定的，非周期的和临界的后代分布，使重新标度的Galton-Watson过程收敛到一个连续状态的分支过程（CSBP）与一个稳定的分支机制的指数$α\in (1, 2]$。我们通过两种不同的过程来编码家谱：Le Gall和Le Jan最近引入的\cite{LGLJ1, LGLJ1}的轮廓过程和高度过程。我们表明，相应的高尔顿-沃森家族树，有一个祖先和条件下的总后代，重新标度的高度过程，收敛在一个功能意义上，一个新的过程：归一化漂移的连续高度过程与$α$稳定CSBP。我们推导出一个类似的极限定理的轮廓过程。在布朗情形$α=2$中，极限过程是编码连续统随机树的标准化布朗偏移：结果是由于Aldous使用了不同的方法。
2005-09-22 math.PR
