高维格拉斯曼流形上的拟解析性、不确定性与积分变换
Quasianalyticity, uncertainty, and integral transforms on higher grassmannians
AI总结：
本文利用 O(n)-谱的不确定性与拟解析性原理，证明高维格拉斯曼流形上余弦、α-余弦及 Radon 等积分变换不能支集于单个开 Schubert 胞腔，并强化凸几何与几何断层学中的若干经典定理。
摘要：
我们研究实格拉斯曼流形 Gr_k(R^n) 上分布 f 的支集，该分布的谱（即其非平凡 O(n)-分量）被限制在所有 O(n)-型的一个子集 Λ 中。我们证明，除非 Λ 是余稀疏的，否则 f 不可能支集于一点。我们利用这一不确定性原理证明：当 2≤k≤n−2 时，格拉斯曼流形上分布的余弦变换不可能支集于任意单个开 Schubert 胞腔 Σ^k 内。对于某些更一般的 α-余弦变换、格拉斯曼流形之间的 Radon 变换，以及更广泛地对于各种 GL_n(R)-模，同样的结论也成立。这些结果随后被应用于凸几何与几何断层学，在其中获得了 Aleksandrov 投影定理、Funk 截面定理以及 Klain 和 Schneider 关于凸赋值的单射性定理的更精确版本。
英文摘要：
We investigate the support of a distribution $f$ on the real grassmannian $\mathrm{Gr}_k(\mathbb R^n)$ whose spectrum, namely its nontrivial $\mathrm O(n)$-components, is restricted to a subset $Λ$ of all $\mathrm O(n)$-types. We prove that unless $Λ$ is co-sparse, $f$ cannot be supported at a point. We utilize this uncertainty principle to prove that if $2\leq k\leq n-2$, then the cosine transform of a distribution on the grassmannian cannot be supported inside any single open Schubert cell $Σ^k$. The same holds for certain more general $α$-cosine transforms and for the Radon transform between grassmannians, and more generally for various $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$-modules. These results are then applied to convex geometry and geometric tomography, where sharper versions of the Aleksandrov projection theorem, Funk section theorem, and Klain's and Schneider's injectivity theorems for convex valuations are obtained.
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