有限维代数的阿德尔与有理格拉斯曼流形
Adelic and Rational Grassmannians for finite dimensional algebras
AI总结：
本文针对任意有限维复代数 R 建立阿德尔与有理格拉斯曼流形理论，用不可分解投射模和本原幂等元给出等价刻画，证明其分类 R 值指数函数的双谱 Darboux 变换，并基于完美配对构造两类格拉斯曼流形间的典范嵌入。
摘要：
我们发展了与任意有限维复代数 R 相关联的 Wilson 阿德尔格拉斯曼流形 Gr^{ad}(R) 和 Segal-Wilson 有理格拉斯曼流形 Gr^{rat}(R) 的理论。我们利用 R 的不可分解投射模及其本原幂等元给出了前者的若干等价描述，并证明它对 R 值指数函数的双谱 Darboux 变换进行分类。有理格拉斯曼流形 Gr^{rat}(R) 通过使用 R(z) 的某些自由子模来定义，并证明它也可以在表示论背景下施加 Wilson 型条件来等价定义。基于取值于 R 的拟指数函数构成的 R-双模与 R-双模 R[z] 之间的完美配对，构造了典范嵌入 Gr^{ad}(R) ↪ Gr^{rat}(R)。
英文摘要：
We develop a theory of Wilson's adelic Grassmannian ${\mathrm{Gr}}^{\mathrm{ad}}(R)$ and Segal-Wilson's rational Grasssmannian ${\mathrm{Gr}}^ {\mathrm{rat}}(R)$ associated to an arbitrary finite dimensional complex algebra $R$. We provide several equivalent descriptions of the former in terms of the indecomposable projective modules of $R$ and its primitive idempotents, and prove that it classifies the bispectral Darboux transformations of the $R$-valued exponential function. The rational Grasssmannian $ {\mathrm{Gr}}^{\mathrm{rat}}(R)$ is defined by using certain free submodules of $R(z)$ and it is proved that it can be alternatively defined via Wilson type conditions imposed in a representation theoretic settings. A canonical embedding ${\mathrm{Gr}}^{\mathrm{ad}}(R) \hookrightarrow {\mathrm{Gr}}^{\mathrm{rat}}(R)$ is constructed based on a perfect pairing between the $R$-bimodule of quasiexponentials with values in $R$ and the $R$-bimodule $R[z]$.
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