New Representations of Epigraphs of Conjugate Mappings and Lagrange, Fenchel-Lagrange Duality for Vector Optimization Problems
本文研究模型\begin{align*} ({\rm VP})\quad\qquad &\rm{WInf} \{F(x): x\in C,\; G(x)\in -S\}. \end{align*}的向量问题，其中$X, Y, Z$是局部凸Hausdorff拓扑向量空间，$F\colon X\rightarrow Y\cup\{+\infty_{Y}\}$和$G\colon X\rightarrow Z\cup\{+\infty_{Z}\}$是真映射，$C$是$X$的非空凸子集，$S$是$Z$中的非空闭凸锥.在不同的限定条件下，建立了与（VP）相关的复合共轭映射的上图的几种新表示。这些表示的意义是双重的：首先，它们在建立新的向量Farkas引理中起着关键作用，这些引理是研究向量最优化问题的工具;其次，它们为定义向量问题的Lagrange对偶问题和两种新的Fenchel-Lagrange对偶问题提供了途径。借助于由这些表示得到的新的Farkas型结果，建立了对应于（VP）的这三个对偶问题的强稳定的强对偶结果.证明了在$Y = \mathbb{R}$的特殊情况下，（VP）的Lagrange和Fenchel-Lagrange对偶问题，回到Lagrange对偶问题，标量问题的Fenchel-Lagrange对偶问题，得到的对偶结果覆盖并在某些情况下推广了文献中标量问题的相应结果.
2021-05-27 math.OC
Fenchel Duality and a Separation Theorem on Hadamard Manifolds
本文在切丛的基础上，给出了Hadamard流形上Fenchel共轭和Fenchel双共轭的定义.我们的定义克服了以往定义中共轭依赖于流形上某一点的选择的不便。另一方面，这个新定义仍然具有已知在欧几里得情况下成立的性质。它甚至产生了一个更广泛的解释芬切尔共轭在欧几里德的情况本身。最突出的是，我们的Fenchel共轭的定义提供了一个Fenchel-Moreau定理测地凸，适当的，低连续函数。此外，这个框架还允许我们发展Hadamard流形上凸集的分离理论，并得到了一个严格的分离定理。
2021-12-03 math.DG math.OC
Duality theory for optimistic bilevel optimization
本文利用二层最优化问题的价值函数重构，得到了该问题的对偶结果。我们的方法建立在Fenchel-Lagrange型对偶建立合适的结果的双层最优化问题。首先，我们概述了一些标准的对偶结果，以表明它们不适用于我们的问题。其次，通过部分平静的概念，我们建立了弱和强对偶结果。特别是，拉格朗日，Fenchel-Lagrange和Toland-Fenchel- Lagrange对偶概念的研究，这类问题在一些适当的条件下。第三，基于我们的双层规划的一些正则化的使用，我们建立了充分条件，确保强的对偶结果下的广义Slater型条件，没有凸性假设和部分平静条件。最后，在不考虑Slater条件的情况下，对带几何约束的双层最优化问题构造了一个强对偶结果。
2022-05-22 math.OC
Fenchel-Rockafellar Theorem in Infinite Dimensions via Generalized Relative Interiors
本文在局部凸拓扑向量（LCTV）空间的一般框架下对Fenchel对偶理论作了进一步的研究。我们证明了Fenchel强对偶的有效性，在一定的条件下，通过广义相对内部施加的epigraphs和域的功能。我们的结果直接推广了经典的Fenchel-Rockafellar强对偶定理从有限维到LCTV空间。
2023-03-26 math.FA math.OC
A Perturbation Approach to Vector Optimization Problems: Lagrange and Fenchel-Lagrange Duality
本文研究定义在局部凸Hausdorff拓扑向量空间中的一般极小向量问题（P），其中WInf表示关于凸锥$K$生成的序的弱下确界.建立了扰动映射的共轭映射的上图的几种表示。从这些，变种向量Farkas引理，然后证明。利用这些基本工具，定义了（P）的{ \it dual}和所谓的{ \it loose dual问题}，并建立了这对原对偶问题之间稳定的强对偶结果.然后将所得结果应用于一类带锥约束的组合向量最优化问题。对于这类问题，提出了四种扰动映射。这些映射产生几种形式的向量Farkas引理和两种形式的对偶问题（CCVP）。具体地说，其中一个扰动映射给出了（CCVP）的著名的{ \it Lagrange}和{ \it loose Lagrange对偶问题}，而另外三个扰动映射分别给出了（CCVP）的两类Fenchel-Lagrange对偶问题.证明了这些原对偶问题的稳定强对偶性。本文最后还讨论了（CCVP）的几种特殊情况，包括：无约束向量组合问题、锥约束向量组合问题和标量组合问题。本文中的结果，当具体到上述两个向量问题时，推广了最近出现的一些Lagrange对偶结果，并导出了稳定的强Fenchel-Lagrange对偶的新结果，据作者所知，这在文献中是第一次出现.
2021-05-29 math.OC
Fenchel Duality Theory and A Primal-Dual Algorithm on Riemannian Manifolds
本文将Fenchel共轭推广到黎曼流形，建立相应对偶理论，并据此提出黎曼原始-对偶算法，证明其在Hadamard流形上收敛，数值实验显示该算法在非正曲率流形上可与Douglas-Rachford算法竞争，且在正曲率流形上也能收敛。
2020-10-09 cs.NA math.NA math.OC
Foundations of gauge and perspective duality
我们重新审视规范对偶的基础，并证明它可以用现代的方法来解释对偶的基础上的扰动框架。因此，我们把规范对偶和Fenchel-Rockafellar对偶平等的基础上，包括解释规范对偶变量的灵敏度措施，并显示如何恢复原始的解决方案，从那些规范对偶。这个有利的观点允许直接证明规范对偶的Fenchel-Rockafellar对偶的最优解正是由最优值重新标度的原始解。我们扩展规范对偶框架的设置中的功能组件是一般的非负凸函数，包括问题与分段线性二次函数和约束所产生的广义线性模型回归。
2018-06-18 math.OC
Generalisation of Farkas' lemma beyond closedness: a constructive approach via Fenchel-Rockafellar duality
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；MAP5；Sorbonne Université（索邦大学）；Laboratoire Jacques-Louis Lions（雅克-路易·利翁斯实验室）；CAGE；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）
本文提出了一种基于对偶优化问题和Fenchel-Rockafellar对偶理论的构造方法，扩展Farkas引理以超越闭合性假设，提供了在非闭合情况下$b \in A(P)$和$b \in \overline{A(P)}$的必要充分条件。
2026-03-12 math.OC
Qualitative and Generalized Differentiation Properties of Optimal Value Functions with Applications to Duality
本文研究扰动优化问题最优值函数的定性与广义微分性质，建立近凸集与函数的基本结果，推导ε-次微分计算法则，并利用集值Fenchel共轭构建约束优化问题的对偶框架。
2025-10-23 math.OC
Duality Theory on Vector Spaces
本文在无拓扑向量空间中利用几何方法建立共轭演算规则，并给出 Fenchel-Rockafellar 与 Lagrange 强对偶及凸优化最优解的条件。
2025-10-06 math.OC
Approximate control of parabolic equations with on-off shape controls by Fenchel duality
本文研究了线性抛物线方程的开关形状控制，利用Fenchel-Rockafellar对偶和浴缸原理构造性地证明了小时间近似可控性，并给出了控制集受限时不可控的结论。
2024-01-08 math.AP math.OC
Multinomial and empirical likelihood under convex constraints: directions of recession, Fenchel duality, perturbations
研究了概率单形凸闭子集上多项式似然极大化的原问题。与普遍持有的观点相反，这个问题的解决方案可能会将正质量分配给零计数的结果。在简化的拉格朗日和Fenchel对偶问题，这是因为经济衰退的方向被忽略，出现相关的缺陷，确定和纠正。原始问题的解可以通过PP（扰动原始）算法获得，即作为扰动原始问题的解序列的极限。PP算法可以通过简化的Fenchel对偶来实现。结果允许我们指定线性集和数据，使得经验似然最大化分布存在，并且与多项式似然最大化分布相同。多项式似然比通常得出与经验似然比不同的结论。最小的歧视信息，成分数据分析，林赛几何，引导辅助信息，和拉格朗日乘子检验的影响进行了讨论。
2014-08-24 math.OC math.ST stat.AP
Regularity conditions via generalized interiority notions in convex optimization: new achievements and their relation to some classical statements
对于凸优化中强对偶的存在性，正则性条件起着无可争议的作用。本文主要讨论由集合内部概念的不同推广所形成的正则性条件。我们调查的原始对偶对是一个一般的表达语言的扰动函数，并通过使用其Fenchel-Moreau共轭。在对已有的广义邻点条件进行综述之后，我们引入了几个新的由拟内部和拟相对内部所构造的条件。我们强调的优点，新的条件相对于经典的，并说明我们的调查，通过大量的例子。我们关闭的文件，具体化的一般方法的经典Fenchel和拉格朗日对偶概念。
2009-06-02 math.OC
The Computational Complexity of Duality
证明了对于任意给定的范数球或真锥，其对偶球或对偶锥中的弱隶属度可多项式时间约简为给定球或锥中的弱隶属度。一个推论是球或锥的弱隶属度或隶属度问题是NP-难的当且仅当对偶球或锥的相应问题是NP-难的。在一个类似的静脉，我们表明，一个给定的范数的对偶范数的计算是多项式时间的计算给定的范数。这扩展到满足多项式增长条件的凸函数：对于这样一个给定的函数，其Fenchel对偶/共轭的计算是多项式时间可简化的给定函数的计算。因此多项式增长的范数或凸函数的计算是NP-难的当且仅当其对偶范数或Fenchel对偶的计算是NP-难的。讨论了这些结果对对称凸体及其极对偶的弱隶属度问题、Mahler体积的多项式可逼近性以及多项式增长的凸函数的上图及其Fenchel对偶的上图的弱隶属度问题的意义.
2016-07-23 cs.CC math.OC
Convex Analysis and Duality
凸性是非线性最优化理论和无穷维泛函分析中的一个重要概念。正如下面将看到的，非常简单和强大的工具将来自基本的对偶参数（这是Moreau-Fenchel变换和Hahn Banach定理的副产品）。我们将着重于对大范围的变分问题的应用。测度论的一些论点将被跳过。
2020-04-20 math.FA math.OC
Fenchel-Young Duality Gaps: Certified Early Stopping for Regularized Inverse Problems
CERMICS, CNRS, ENPC, Institut Polytechnique de Paris（法国国家科学研究中心，国立桥路学校，巴黎理工学院）；Institut Camille Jordan, École Centrale Lyon, CNRS UMR 5208（里昂中央理工学院，法国国家科学研究中心）；Institut Universitaire de France (IUF)（法国高等研究院）
本文提出基于 Fenchel-Young 对偶间隙的可计算误差界与提前停止准则，用于正则化逆问题，并应用于广义 Beurling-Lasso 及深度学习优化器认证。
2026-09-17 math.OC math.ST stat.ML
An Inexact Semi-smooth Newton Method on Riemannian Manifolds with Application to Duality-based Total Variation Denoising
本文提出黎曼流形上的非精确半光滑牛顿方法，用于求解非光滑原始-对偶最优性系统，并证明其不受曲率符号影响的局部收敛性，且在类 l2-TV 去噪实验中验证了超线性收敛。
2021-08-16 math.OC
Nearly Convex Optimal Value Functions and Some Related Topics
在本文中，我们引入了关于近凸集、函数和集值映射的相对内部演算的新性质。这些性质对于对偶理论在最优化中的发展是重要的。然后研究了由近凸函数和近凸集值映射定义的最优值函数，并在一个限定条件下导出了最优值函数的近凸性。我们还开发了这类函数的次梯度和Fenchel共轭公式，并探讨了它们在对偶理论中的应用。
2023-03-14 math.OC
Generalized conditional subgradient and generalized mirror descent: duality, convergence, and symmetry
我们为凸最小化问题\[ \min_x \; \{f(Ax) + h(x)\}.\]提供了{ \em广义条件次梯度}算法和{ \em广义镜像下降}算法的新见解。如Bach在[{ \em SIAM J. Optim.}中所示，25（2015），pp. [115- 129]，将这两个算法中的任何一个应用于该问题等价于将另一个应用于其Fenchel对偶。我们利用这种对偶关系，开发新的上界和收敛结果之间的差距，这两个算法产生的原始和对偶迭代。我们还提出了一个新的{ \em原始-对偶混合}算法，该算法结合了条件次梯度和镜像下降算法的特点，以对称的方式解决原始和对偶问题。我们的算法和主要结果只依赖于$\partial f$和$\partial h^*$，$A$和$A^*$的可计算的神谕的可用性。
2019-06-03 math.OC
Duality-Based Algorithm and Numerical Analysis for Optimal Insulation Problems on Non-Smooth Domains
本文给出了一个非局部凸非光滑极小化问题的数值逼近。该物理问题涉及确定由$h\colon Γ_I\to [0,+\infty)$给出的、附着到导热体$Ω\subseteq \mathbb{R}^d$、$d \in \mathbb{N}$的边界部分$Γ_I\subseteq \partialΩ$的给定量的绝缘材料的最佳分布。为了解决问题的非局部性和非光滑性，本文引入了一个（Fenchel）对偶框架：（a）在连续层次上，利用（Fenchel）对偶关系，我们得到了一个后验误差恒等式，它可以处理凸非局部非光滑极小化问题的原始和对偶公式的任意可容许逼近;（b）在离散水平上，使用离散（Fenchel）对偶关系，我们推导出适用于原始公式的Crouzeix-Raviart离散化和对偶公式的Raviart-Thomas离散化的先验误差恒等式。所提出的框架导致的错误衰减率是最佳的特定规律的极小。此外，我们证明了收敛的数值逼近下的最小正则性假设。由于离散对偶公式可以写成一个二次规划，它是用半光滑牛顿法解释的原始对偶有效集策略求解的。离散原始配方的解决方案是重建的离散对偶配方的解决方案，通过逆广义马里尼公式。这是第一个这样的公式，这类凸非局部和非光滑极小化问题。
2025-05-07 cs.NA math.AP math.NA
Convex duality contracts for production-grade mathematical optimization
Google Research（谷歌研究院）
本文提出了一种基于简化弗恩切尔对偶性方案的抽象对偶对，用于统一MathOpt中各类问题的对偶解和不可行性证书，提升优化问题的清晰度和可操作性。
2026-02-03 math.OC
A duality-based approach for solving linear parabolic control constrained optimal control problems
本文研究了由线性抛物型方程控制的最优控制问题，并对控制变量进行了箱形约束。这类问题在加热和冷却系统中有重要的应用。通过应用Fenchel对偶的方法，我们明确地导出了原问题中的控制约束嵌入对偶问题的目标泛函中的对偶问题。证明了对偶问题解的存在唯一性，并给出了一阶最优性条件最优性条件。此外，我们还讨论了原问题解与对偶问题解之间的鞍点性质。原问题的解可由对偶问题的解得到。为了数值求解这一对偶问题，我们设计了两种可实现的方法：共轭梯度法和半光滑牛顿法。算例结果表明，该方法具有较高的精度和有效性.
2022-04-01 math.OC
Duality Between Lagrangians and Rockafellians
在他的专著\emph{Conjugate Duality and Optimization}中，Rockafellar提出了一种“扰动+对偶”的方法来获得一个原始极小化问题的对偶问题。首先，将极小化问题嵌入到一类扰动问题中（从而给出一个所谓的扰动函数）;要极小化的原始函数的扰动最近被称为罗克费利。第二，当扰动变量属于一个原始向量空间，通过双线性型与一个对偶向量空间配对时，我们可以从一个洛克费利函数建立一个拉格朗日函数;我们还可以得到一个所谓的对偶函数（和一个对偶问题）。该方法已从Fenchel对偶扩展到广义凸性：当扰动属于一个原始集配对，通过耦合函数，与一个对偶集，一个也建立了一个Rockafellian从拉格朗日。遵循这些路径，我们强调拉格朗日和Rockafellians之间的二元性。在上面提到的材料主要集中在从洛克费利到拉格朗日的移动中，我们平等地对待它们并显示两种方式的公式。我们提出了一个定义的Lagrangian-Rockafellian夫妇。我们的特点，后者作为对偶函数，关于耦合，也在广义凸函数。微扰和对偶函数之间的对偶性并不那么清楚。
2023-03-10 math.OC
Lagrange duality on DC evenly convex optimization problems via a generalized conjugation scheme
本文研究DC优化问题的拉格朗日对偶，提出两种对偶形式，分析均匀凸条件下的等价性，并给出弱对偶、强对偶及零对偶间隙的充分条件。
2024-03-17 math.OC
Linearly-Convergent FISTA Variant for Composite Optimization with Duality
提出 FISTA 的新变体 C-FISTA，利用 Fenchel 对偶性证明其在更广泛的复合模型上实现全局线性收敛，并在组 Lasso 和组逻辑回归模型上优于现有求解器。
2023-07-28 math.OC
Duality-Based Distributed Optimization With Communication Delays in Multi-Cluster Networks
针对多簇网络中具有通信延迟的分布式优化问题，本文利用Fenchel共轭构建对偶问题，提出异步分布式对偶近端梯度算法，证明了遍历收敛性并通过仿真验证了可行性。
2023-09-14 math.OC
Testing composite hypotheses via convex duality
我们研究的问题，测试复合假设与复合替代品，使用凸对偶的方法。与Krafft和Witting（Z.华什弗鲁Gebiete 7（1967）289- 302），其中充分的最优性条件是通过Lagrange对偶得到的，我们在紧性假设下通过Fenchel对偶得到了充要的最优性条件.这一方法也不同于Cvitanić和Karatzas（Bernoulli 7（2001）79- 97）所采用的方法。
2010-11-26 math.OC math.PR math.ST
Constructive reachability for linear control problems under conic constraints
针对锥约束下的线性无限维控制问题，本文利用Fenchel对偶提出构造性方法，统一处理近似与精确可达性，并给出凸情形充要条件及非凸情形的充分条件。
2024-05-13 math.OC
Characterization by observability inequalities of controllability and stabilization properties
给定希尔伯特空间中具有有界控制算子的线性控制系统，利用可观测性不等式建立了指数可镇定性的一个刻画.这样的对偶特征是众所周知的精确（零）可控性。我们的方法利用经典的Fenchel对偶参数，反过来，导致的可观测性不等式的近似零可控性和$α$ -零可控性的特征。我们评论这些不同的概念之间的关系，在光的可观测性不平等的特点。
2018-11-05 math.OC
Duality between polyhedral approximation of value functions and optimal quantization of measures
EDF Lab Paris-Saclay（法国电力巴黎萨克雷实验室）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；CMAP, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（巴黎综合理工学院数学与应用中心，巴黎理工学院）
该研究建立了凸函数多面体逼近与正测度最优量化的对偶关系，提出基于Newton多面体顶点聚类的贪心简约逼近方法，在量子门合成、电价双层优化中验证了有效性。
2025-09-04 math.OC
Two-stage stochastic algorithm for solving large-scale (non)-convex separable optimization problems under affine constraints
Université Paris-Saclay, CNRS, CentraleSupélec, Inria, Laboratoire des Signaux et Systèmes（巴黎萨克雷大学）；Fédération de Mathématiques de CentraleSupélec France（中央理工-高等电力学院数学联合会）；EDF R&D（法国电力集团研发中心）；Inria, Ecole Normale Supérieure, PSL Research University（法国国家信息与自动化研究所）
本文提出了一种两阶段随机算法，用于求解带仿射约束的大规模（非）凸分离优化问题，在凸情况下达到ε-最优解，非凸情况下获得近似解。
2026-02-06 math.OC
Generalized support vector regression: duality and tensor-kernel representation
本文研究了Banach函数空间中支持向量回归机的变分问题。利用Fenchel-Rockafellar对偶理论，我们给出了对偶问题的显式表达式以及相关的最优性条件。此外，我们提供了一个新的计算框架来解决依赖于张量核表示的问题。这种分析克服了典型的困难，在巴拿赫空间学习。最后，我们提出了一个大类的张量核，我们的理论完全适用：幂级数张量核。这种类型的内核描述了解析函数的巴拿赫空间，包括指数和多项式内核的推广，以及在复杂的情况下，Szegö和Bergman内核的推广。
2017-05-05 math.FA math.OC stat.ML
Duality-Based $\textit{A Posteriori}$ Error Identities for Subgradient Flows Based on the Brézis-Ekeland-Nayroles Principle
Technical University of Berlin（柏林工业大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）；George Mason University（乔治梅森大学）
本文基于Brézis-Ekeland-Nayroles原理推导次梯度流的基于对偶性的后验误差恒等式，将其应用于多个物理相关非稳态变分问题，为次梯度流的误差分析提供了新框架。
2026-08-19 cs.NA math.AP math.FA
Frank-Wolfe meets Shapley-Folkman: a systematic approach for solving nonconvex separable problems with linear constraints
针对仿射约束下的可分非凸优化问题，提出结合Frank-Wolfe与Shapley-Folkman的两阶段方法，通过可行解逼近与Caratheodory表示精简构造原问题解，在凸和非凸定义域下均能恢复经典对偶间隙界。
2025-05-21 math.OC
A minimax approach to duality for linear distributional sensitivity testing
针对波兰空间上最优输运距离约束下的期望最大化优化问题，提出通过施加空间紧性、采用K. Fan极小极大定理推导对偶形式的方法，可规避测度向量空间与额外对偶变量的使用。
2023-05-04 math.OC math.PR
Dualization of Signal Recovery Problems
在凸优化中，对偶理论有时可以得到比直接原始分析更简单的求解方法。在本文中，这一原则适用于一类复合变分问题，特别是在信号恢复。这些问题是不容易服从解决目前的方法，但他们的功能Fenchel-Moreau-Rockafellar对偶问题，可以解决的向前向后分裂。该算法同时产生一个弱收敛到对偶解的序列和一个强收敛到原解的序列。我们的框架是捕获和扩展现有的几个基于对偶的信号恢复方法，并适用于各种新的问题超出其范围。
2010-06-20 math.FA math.OC
Optimal control of elliptic equations with positive measures
无控制成本的最优控制问题由于缺乏可拓性而一般不具有解。然而，单边约束条件加上预伴随状态方程严格正解存在的假设，就足以得到Radon测度空间中最优解的存在性.这些广义最小值的最优性条件可以使用Fenchel对偶获得，如果控制到观测映射不连续（例如，用于三维中的Neumann边界控制）。结合一致的离散化的测度空间的半光滑牛顿法允许数值解的最优控制问题。
2017-02-24 math.OC
Composite Optimization with Indicator Functions: Stationary Duality and a Semismooth Newton Method
针对含正区间指示函数的强凸复合优化，本文构造等价 ℓ0 稀疏对偶问题，并提出兼具全局与局部超线性收敛的低复杂度对偶半光滑 Newton 方法。
2025-06-10 math.OC
Duality Framework for Flux Constrained Flow in Porous Media: Analysis and Numerics
George Mason University（乔治梅森大学）
研究多孔介质中通量约束流动问题，通过芬切尔对偶性建立基于速度的双凹能量最大化问题与基于压力的预对偶公式，推导误差恒等式和先验误差衰减率，数值实验验证理论，为该领域提供对偶框架及分析方法。
2026-07-16 cs.NA math.AP math.NA
A Unified Kantorovich Duality for Multimarginal Optimal Transport
Université de Technologie de Compiègne（法国技术大学）；LMAC (Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne)（孔皮涅应用数学实验室）
本文提出了多边际最优运输问题的统一Kantorovich对偶理论，通过凸分析和截断-紧致性程序，在一般波兰空间上建立了对偶性并证明了对偶值的保持性，扩展了经典双边际共轭原理。
2026-10-02 math.OC stat.ML
Duality Perspective on Nonlinear Eigenproblems
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）；Johannes Kepler Universität Linz（林茨约翰内斯开普勒大学）
本文从对偶视角研究非线性本征问题，通过Fenchel共轭建立对偶形式，分析逆幂方法在p-齐次函数下的收敛性，并验证p-Laplace的数值实验。
2025-11-26 cs.NA math.AP math.NA
Entropic regularization of continuous optimal transport problems
我们分析连续的最优输运问题，在所谓的康托洛维奇形式，在那里我们寻求一个运输计划之间的两个边缘是欧几里得空间的紧凑子集的概率测度。我们考虑正则化的情况下与负熵的勒贝格测度，这引起了人们的注意，因为它可以解决非常简单的Sinkhorn算法。我们首先分析了正则化问题的经典Fenchel对偶的背景下，并得出一个强的对偶结果的前对偶问题的空间中的连续函数。然而，这个问题可能不允许最小化，这阻止获得原始-对偶最优性条件。然后，我们表明，原始的问题是自然分析的Orlicz空间中的功能与有限熵的意义上说，熵正则化的问题承认一个最小的当且仅当边缘有有限的熵。然后，我们在相应的对偶空间中导出一个对偶问题，对于这个对偶问题，可以用纯变分的方法证明其存在性，并导出原始对偶最优性条件。对于边缘不具有有限熵，我们最终显示伽玛收敛的正则化问题与平滑边缘的原始Kantorovich问题。
2020-06-15 math.OC
Learning to Optimize by Differentiable Programming
Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本教程介绍利用可微编程学习设计一阶优化算法，通过端到端训练提升收敛性和解质量，并基于Fenchel-Rockafellar对偶性展示ADMM和PDHG等算法的学习与适应。
2026-09-01 cs.LG cs.MS math.OC
From Value Bounds to Policy-Distance and Active-Face Certificates: Same-Grid Duality for Constrained Dynamic Portfolios
Sungkyunkwan University（成均馆大学）
该研究针对约束动态投资组合，提出同网格对偶框架，利用原始对偶 bracket 实现价值损失证明与最优策略定位，通过多类实验验证了方法在不同资产规模下的有效性及高维瓶颈问题。
2026-08-07 math.OC q-fin.MF
Double Duality: Variational Primal-Dual Policy Optimization for Constrained Reinforcement Learning
Princeton University（普林斯顿大学）；Northwestern University（西北大学）；Yale University（耶鲁大学）
针对约束凸MDP的挑战，提出基于模型的VPDPO算法，利用拉格朗日与Fenchel对偶性转化为无约束原始-对偶优化，结合OFU价值迭代与梯度上升更新，在核化非线性调节器与低秩MDP中实现次线性遗憾与约束违反，并获全局最优策略。
2024-02-16 cs.LG math.OC stat.ML
A Dual ADMM Framework for Inverse Parameter Identification in Elliptic Variational Inequalities
Cadi Ayyad University（卡迪·阿亚德大学）；Ecole Normale Supérieure, Université Sidi Mohamed Ben Abdellah（西迪穆罕默德·本阿卜拉赫大学高等师范学院）；Sidi Mohamed Ben Abdellah University（西迪穆罕默德·本阿卜拉赫大学）
针对第二类椭圆变分不等式控制的逆参数识别问题，提出一种基于增广拉格朗日与交替方向乘子法（ADMM）的对偶框架，利用Fenchel对偶处理非光滑边界项，实现Robin系数的高效重建。
2026-06-23 math.OC
GPU-friendly and Linearly Convergent First-order Methods for Certifying Optimal $k$-sparse GLMs
本文提出了一种适用于GPU且线性收敛的一阶方法，用于高效证明稀疏GLMs的最优性，通过复合优化和对偶间隙理论提升计算效率。
2026-03-01 cs.LG math.OC
Primal-Dual Error Bounds and KKT Metric Subregularity in Convex Composite Optimization
School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）；Beijing Key Laboratory on MCAACI/Key Laboratory of Mathematical Theory and Computation in Information Security, Beijing Institute of Technology（北京理工大学计算机辅助设计与图形学北京市重点实验室/信息安全数学理论与计算北京市重点实验室）
本文针对凸复合优化问题，引入约化原始-对偶KKT映射，建立了其度量次正则性与原始、对偶局部误差界的等价关系，并统一应用于多类模型。
2026-10-07 math.OC
An optimal three-way stable and monotonic spectrum of bounds on quantiles: a spectrum of coherent measures of financial risk and economic inequality
在尾概率P（X \geq x）上的上界P_a（X;x）的一个特定谱（由\in [0，\infty ]索引），其中P_0（X;x）=P（X \geq x）且P_ \infty（X;x）是P（X \geq x）上的最佳可能指数上界，被证明在a，x和X中是稳定和单调的，其中x是实数且X是随机变量. P_a（X;x）是某些极小化问题的最优值。Q_a（X;p）在X的（1-p）-分位数上的上界的相应谱也由\in [0，\infty ]索引，在a，p和X中是稳定和单调的，其中Q_0（X;p）等于X的最大（1-p）-分位数。在一定意义下，分位数界Q_a（X;p）通常足够接近真实分位数Q_0（X;p）。此外，Q_a（X; p）在X中是次可加的，如果a \geq 1，以及正齐次和不变性，因此是所谓的相干风险度量。建立了P_a（X;x）和Q_a（X;p）的一些其它有用的性质。特别地，与尾部概率的界P_a（X;x）非常类似，分位数界Q_a（X;p）是某些极小化问题中的最优值。这允许相对容易地将边界P_a（X;x）和Q_a（X;p）并入更专门的最优化问题。证明了以P_a（X;x）和Q_a（X;p）为最优值的极小化问题在某种意义上是对偶的，当a= \infty时，这对应于双线性Legendre-Fenchel对偶.在金融学中，（1-p）分位数Q_0（X;p）被称为风险价值（VaR），而Q_1（X;p）的值被称…
2013-10-22 math.OC math.PR math.ST
