Adversarial Reinforcement Learning: A Duality-Based Approach To Solving Optimal Control Problems
本文提出对抗深度强化学习（ADRL）算法，利用信息松弛对偶性将高维随机控制问题转化为极小-极大优化，实验证明其能产生紧致对偶间隙，为基于仿真的高维随机控制提供了鲁棒计算框架。
2025-07-02 math.OC
A Novel Canonical Duality Theory for Solving 3-D Topology Optimization Problems
本文介绍了一种数学上正确的和计算功能强大的方法来解决三维拓扑最优化问题。该方法基于Gao在非凸力学和全局优化中发展的正则对偶理论（CDT）。结果表明，拓扑优化中的NP-困难背包问题可以通过一种典型的惩罚对偶（CPD）方法在多项式时间内确定性求解，在每个体积演化过程中获得精确的0-1全局最优解.首次揭示了CPD方法与高纯余能原理的关系。提出了一种线弹性结构三维拓扑优化的CPD算法。基准问题证明了它的新颖性。结果表明，CPD方法不需要任何人工干预，能提供可靠的最优设计，且比著名的BESO和SIMP方法更有效。此外，拓扑优化建模和流行的方法中的计算复杂性和概念/数学错误明确解决。
2018-06-21 math.OC
Hierarchic control for the coupled fourth order parabolic equations
本文采用 Stackelberg-Nash 策略研究耦合四阶抛物系统，证明 Nash 均衡对的存在唯一性，并借助对偶与新的全局 Carleman 估计建立可观测性，从而得到零能控性。
2024-01-19 math.OC
A Gradient-based Kernel Optimization Approach for Parabolic Distributed Parameter Control Systems
针对具有边界控制的抛物型分布参数系统，提出了一种新的基于梯度的优化设计方法。与传统的抛物型方程的核最优化方法不同，我们的新方法不需要求解非标准的Riccati型或Klein-Gorden型偏微分方程（PDE）。相反，反馈核被参数化为二阶多项式，其系数是通过基于梯度的动态最优化调整的决策变量，其中系统成本泛函的梯度（其惩罚核和输出幅度）通过求解标准形式的所谓的共态PDE来计算。对核系数施加特殊约束，以确保在温和的条件下，优化的核产生闭环稳定性。数值模拟验证了该方法的有效性。
2016-03-15 math.OC
Null Controllability for Cascade systems of Coupled Backward Stochastic Parabolic Equations with One Distributed Control
本文证明了含反应、对流项及一般二阶抛物算子的n个耦合后向随机抛物方程级联系统的零能控性，通过施加单一分布控制，开发了新的全局Carleman估计推导能观性不等式，并给出零控制成本估计。
2024-11-13 math.OC
Duality Approach to Bilevel Programs with a Convex Lower Level
双层规划是最优化问题，其中一些变量是最优化问题本身的解，并且它们出现在各种控制应用中，包括：车辆交通网络的控制，逆强化学习和逆优化，以及人类自动化系统的鲁棒控制。本文提出了一种基于对偶的方法来求解下层问题是凸的双层规划。我们的方法是使用部分对偶构造一个新的对偶函数，是可微的，不像拉格朗日对偶，只有方向可微。我们使用我们的对偶定义一个基于对偶的双层规划的重构，证明我们的重构与原双层规划的等价性，然后引入正则化以确保约束规格成立。我们的新的对偶和正则化的对偶为基础的重新制定这些技术成果是用来提供理论证明的算法，我们构造的解决双层规划与凸的较低的水平，我们的结论是证明我们的算法的有效性，通过解决两个实际的例子双层规划。
2017-09-25 math.OC
Solving bilevel programs based on lower-level Mond-Weir duality
本文针对双层规划提出基于下层Mond-Weir对偶的新重构方法MDP，证明其与原问题在最优性意义下等价且可能满足MFCQ，数值实验表明其在可行性、成功率和CPU时间上优于MPCC和WDP。
2024-02-17 math.OC
Solutions of Nonlinear Optimal Control Problems Using Quasilinearization and Fenchel Duality
本文考虑一类特殊的非线性最优控制问题，其中控制变量是箱约束的，目标泛函对应于控制变量是强凸的，且关于状态变量和控制变量是可分的.利用拟线性化方法，将求解原非线性问题转化为求解一系列约束线性二次型最优控制问题。为了有效地求解每个线性二次型问题，我们转而研究其对偶问题。利用Fenchel对偶方法构造对偶问题，证明了对偶问题的强对偶性和原问题与对偶问题对应的鞍点性质，从而保证了对偶问题求解的有效性.这样，用求解控制约束线性二次型最优控制问题的对偶问题代替了用拟线性化方法求解控制约束线性二次型最优控制问题的对偶问题。通过求解对偶问题的序列，利用鞍点性质得到了原始控制约束线性二次型问题的解。证明了每个子问题的解最终收敛于原非线性问题的最优性条件的解。在此基础上，我们利用本文的方法进行了数值实验，对于每个子问题，我们用欧拉离散格式将原问题和对偶问题离散化。数值结果验证了该方法的有效性。
2022-01-19 math.OC
Lagrangian dual method for solving stochastic linear quadratic optimal control problems with terminal state constraints
研究了在终态上具有逐点线性等式约束的随机线性二次型（LQ）最优控制问题。在代价泛函的一致凸性条件和线性约束映射的满射性条件下，证明了一个强Lagrange对偶定理。基于拉格朗日对偶，提出了两种求解约束随机LQ问题的方法。首先，给出了利用强对偶性构造封闭解的理论方法。其次，提出了一种迭代算法，称为增广拉格朗日方法（ALM）。证明了ALM产生的迭代序列的强收敛性。此外，还得到了约束映射满射的一些充分条件。
2023-01-20 math.OC
An Efficient Parallel-in-Time Method for Optimization with Parabolic PDEs
在求解带抛物型偏微分方程约束的最优化问题时，通常采用降阶目标泛函的方法。它们是计算昂贵的，由于求解状态方程和向后的时间伴随方程的必要性，以评估在每次迭代的最优化方法的减少的梯度。在这项研究中，我们研究了使用并行的时间方法PFASST在PDE约束优化的设置。为了开发一个有效的完全时间并行算法，我们讨论了不同的选择PFASST的伴随梯度计算，包括PFASST迭代的状态和伴随方程同时进行的可能性。我们还探讨了在解决每个方程时，从以前的优化迭代重用信息的效率的额外收益。线性和非线性反应扩散最优控制问题的数值结果表明了不同方法的并行加速比和效率。
2019-12-16 math.OC
An Inexact Alternating Direction Method of Multipliers for Constrained Parabolic Optimal Distributed Control Problems
Jilin University（吉林大学）；Lanzhou University（兰州大学）；Beijing University of Post and Telecommunications（北京邮电大学）；Key Laboratory of Mathematics and Information Networks (Beijing University of Posts and Telecommunications), Ministry of Education（教育部数学与信息网络重点实验室（北京邮电大学））
本文提出了一种近似交替方向乘子法，用于求解带约束的抛物最优分布控制问题，通过解耦控制约束和非光滑目标函数，提高了计算效率和实用性。
2026-02-28 math.OC
Canonical Duality Theory and Algorithm for Solving Bilevel Knapsack Problems with Applications
提出了一种新的正则对偶理论（CDT），用于求解由线性和二次背包问题控制的一般两层混合整数非线性最优化。这表明，具有挑战性的背包问题可以解析地解决他们的规范对偶解。证明了这些解析解的存在唯一性。讨论了背包问题的NP-困难性。提出了一种结合交替迭代和体积缩减的CDT算法来求解NP难双层背包问题。最后以最优拓扑设计中的一个基准问题为例说明其应用。该方法的性能和新颖性与流行的商业代码进行了比较。
2018-11-26 cs.DM math.OC
Radial Duality Part II: Applications and Algorithms
这项工作的第一部分建立了非负最优化问题之间的径向对偶的基础，灵感来自（Renegar，2016）的工作。在这里，我们利用我们的径向对偶理论来设计和分析无投影优化算法，通过解决径向对偶问题。特别是，我们考虑径向次梯度，平滑，加速的方法，能够解决一系列的约束凸和非凸最优化问题，可以扩大规模更有效地比他们的经典同行。这些算法享有相同的好处，因为他们的前辈，避免Lipschitz连续性假设和昂贵的正交投影，在我们新发现的，更广泛的背景下。我们的径向对偶进一步使我们能够理解光滑性和生长条件对径向对偶的影响和好处，从而对我们的径向算法。
2022-11-13 math.OC
A Fast Eigenvalue Approach for Solving the Trust Region Subproblem with an Additional Linear Inequality
研究了扩展置信域子问题（eTRS），其中置信域与单位球相交，且带有一个线性不等式约束.通过将eTRS的Lagrangian对偶转化为一个双参数线性本征值问题，给出了其强对偶性的一个充要条件，即线性约束二元凹极大化问题的最优解.这将导致一个有效的算法，用于解决大尺寸的eTRS时，检测到的强对偶性。最后，通过数值实验验证了该方法的有效性.
2015-10-28 math.OC
Controllability for semi-discrete semilinear stochastic parabolic operators
Universidad Técnica Federico Santa María（智利联邦圣玛丽亚技术大学）；Universidad del Bío-Bío（比奥比奥大学）
本文研究了任意维度下半离散半线性随机抛物算子的可控性，通过建立新的Carleman估计和固定点论证，证明了ϕ-零可控性。
2026-04-06 math.OC
Internal Stabilization of a Class of Parabolic Integro-Differential Equations: Application to Viscoelastic Fluids
本文利用有限维反馈形式的控制器，证明了希尔伯特空间中具有衰减率$e^{-γt} $的抽象抛物型积分微分方程（PIDE）对一定的$γ> 0,$的可镇定性.我们确定了一个线性反馈法，这是通过求解代数Riccati方程。为了证明Riccati算子的存在性，我们考虑一个具有无界观测算子的线性二次最优控制问题.本文所发展的稳定化抽象理论适用于粘弹性流体的具体问题，如Oldroyd B模型和Jeffreys模型。
2017-06-15 math.OC
Null controllability for stochastic parabolic equations with Robin boundary conditions
本文研究带线性 Robin 边界条件且含零阶、一阶有界系数项的正反向线性随机抛物型方程，通过对偶方法为负 Sobolev 空间中的伴随方程弱解建立两个新的全局 Carleman 估计，从而证明其零能控性。
2024-06-12 math.AP math.OC
Multi-objective control for stochastic parabolic equations with dynamic boundary conditions
本文针对带动态边界条件的随机抛物方程，提出分层多目标控制框架，通过Nash和Stackelberg策略结合Carleman估计与控制对偶方法，实现领导者的零可控性与跟随者的状态跟踪目标。
2024-05-24 math.AP math.OC
Duality-based Dynamical Optimal Transport of Discrete Time Systems
结合最优控制与Kantorovich对偶理论，研究离散时间系统的动态最优传输问题，提出一种无需解方程且高度可并行化的一阶分裂算法，并给出线性高斯系统的半定规划公式。
2024-10-13 math.OC
Insensitizing controls for stochastic parabolic equations with dynamic boundary conditions
本文针对带动态边界条件的正向随机热方程，在仅用一个控制且噪声无额外力的条件下，通过强可测性条件与谱不等式建立伴随系统能观性不等式，再经对偶方法得到零可控性和近似可控性结果。
2024-11-27 math.AP math.OC
A Monotone+Skew Splitting Model for Composite Monotone Inclusions in Duality
本文的基本原理是：同时求解一大类复合单调包含及其伴随问题可以归结为求极大单调算子与线性斜伴随算子之和的零点问题。一个算法框架，解决这个一般性的问题，在希尔伯特空间设置。在此基础上，对复合单调算子包含问题导出了新的原始-对偶分裂算法，并证明了算法的收敛性。这些算法的简单性和有效性来自于它们以完全分解的方式操作的事实，在这个意义上，所涉及的单调算子和线性变换在每次迭代时被单独激活。与现有的方法进行了比较，并证明了复合变分问题的应用。
2010-11-24 math.OC
Parabolic Relaxation for Quadratically-constrained Quadratic Programming -- Part I: Definitions & Basic Properties
University of Texas, Arlington（德克萨斯大学阿灵顿分校）；Cognitiv；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
对于一般的二次约束二次规划（QCQP），我们提出了一个用凸二次约束描述的抛物松弛。抛物松弛的一个有趣性质是原始非凸可行集包含在抛物松弛的边界上。在某些假设下，这个属性使人们能够通过客观惩罚来恢复接近最优的可行点。此外，通过一个适当的坐标的变化，需要一个最佳的基础一次性计算，求解器-求解抛物线松弛可以做得像半定规划（SDP）松弛一样强，这可以有效地加速算法，需要解决一系列凸代理。大部分理论和计算结果将在本工作的下一部分中给出[57]。
2022-08-07 cs.LG math.OC
Observability and null-controllability for parabolic equations in $L_p$-spaces
我们研究了抛物型方程在$L_p(\mathbb{R}^d)$中的零能控性，并给出了控制代价的显式界。特别是我们考虑系统的形式$\dot{x}(t) = -A_p x(t) + \mathbf{1}_E u(t)$，$x(0) = x_0\in L_p (\mathbb{R}^d)$，内部控制的所谓的厚集$E \subset \mathbb{R}^d$，其中$p\in [1,\infty)$，和其中$A$是一个椭圆算子的顺序$m \in \mathbb{N}$在$L_p(\mathbb{R}^d)$。我们通过对偶性和可观察性的充分条件证明了该系统的零能控性。这个条件由不确定性原理和耗散估计给出。我们的结果统一和推广了早先在Hilbert和Banach空间中得到的结果。特别地，我们的结果适用于情况$p=1$。
2022-10-28 math.AP math.FA math.OC
The tangential cone condition for some coefficient identification model problems in parabolic PDEs
切向条件在[Hanke et al.，95]作为解不适定问题的Landweber迭代收敛的充分条件。在本文中，我们提出了一系列的不定常基准反问题，我们可以验证这个条件。
2021-08-05 cs.NA math.AP math.DS
Observability and Null Controllability for Parabolic Systems with Delay and Memory
Indian Institute of Space Science and Technology（印度空间科学与技术学院）
本文研究了同时包含记忆和延迟效应的发展方程的零能控性问题，采用延迟与记忆型零能控性概念，利用对偶论证、Carleman估计和移动控制策略推导出实现能控性的充分条件，并通过数值模拟验证了理论结果。
2026-10-06 math.AP math.OC
Playing with Duality: An Overview of Recent Primal-Dual Approaches for Solving Large-Scale Optimization Problems
Laboratoire d’Informatique Gaspard Monge（加斯帕尔·蒙日信息实验室）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文综述了近期用于解决大规模优化问题的对偶方法，探讨了对偶问题在信号处理、计算机视觉和机器学习中的应用，强调了对偶算法在求解凸优化和离散问题中的优势。
2014-12-03 cs.CV cs.LG cs.NA
General duality and dual attainment for adapted transport
本文在最小假设下研究了适应最优传输问题的对偶性与对偶优化子存在性，涵盖因果与双因果传输、重心及多边际问题，并证明其在稳健金融中计算超对冲价格与策略的应用。
2024-11-19 math.OC math.PR q-fin.MF
Tracking controllability on moving targets for parabolic equations
University of the Basque Country UPV/EHU（巴斯克大学）
本文研究了抛物型方程的边界控制跟踪问题，证明了通过一个边界点可控制一个目标点，通过两个边界点可控制两个目标点，并通过数值方法验证了理论结果。
2026-07-24 cs.NA math.NA math.OC
Space-time finite element discretization of parabolic optimal control problems with energy regularization
我们分析了在Bochner空间$L^2(0,T;H^{-1}(Ω))$中能量正则化的分布式抛物型最优控制问题的时空有限元数值解。利用对偶性，相关范数可以通过椭圆型拟定常边值问题的解来计算。当消除控制时，我们最终得到约化的最优性系统，它只不过是耦合的向前-向后原始方程和伴随方程的变分公式。利用Babuška定理，我们证明了在连续情况下的唯一可解性。此外，我们建立了任何协调时空有限元离散产生准最优离散化误差估计的离散inf-sup条件。各种数值例子证实了理论研究结果。我们强调，能量正则化的结果在一个更本地化的控制与更清晰的轮廓不连续的目标函数，这是证明了与$L^2$正则化和稀疏最优控制方法的比较。
2020-04-20 cs.NA math.NA math.OC
An Adaptive Method for Optimal Control Problems Constrained by Parabolic Differential Equations
University of Florida（佛罗里达大学）；Air Force Research Laboratory（空军研究实验室）
针对抛物型偏微分方程约束的最优控制问题，本文提出结合hp-Galerkin有限元、hp翻转勒让德-高斯-拉道配置、类基尔霍夫变换与自适应网格调整的直接配置方法，数值实验显示其可将时空维度误差最高降五个数量级。
2026-03-16 cs.NA math.NA math.OC
Canonical Primal-Dual Method for Solving Non-convex Minimization Problems
University of Ballarat（巴拉瑞特大学）；The Australian National University（澳大利亚国立大学）
提出一种基于规范对偶理论的新原始-对偶算法，将非凸最小化问题重构为凸-凹鞍点优化问题，并通过二次扰动原始-对偶方法求解，数值实验表明性能优于现有方法。
2012-12-28 cs.DS cs.NA math.NA
