Morrey猜想下拟凸性研究的数值方法
Numerical approaches for investigating quasiconvexity in the context of Morrey's conjecture
摘要：
判断一个给定的函数是否是拟凸的通常是一个困难的任务。在这里，我们讨论了一些数值方法，可用于搜索一个反例的拟凸性的一个给定的功能$W$。我们将使用平面各向同性秩一凸函数\[ W_{\rm magic}^+(F)=\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}-\log\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}+\log\det F=\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}+2\logλ_{\rm min}\,, \]来演示这些方法，其中$λ_{\rm max}\geqλ_{\rm min}$是$F$的奇异值，作为我们的主要例子。在以前的贡献中，我们已经表明，这个函数的拟凸性将意味着拟凸性的所有秩一凸各向同性平面能量$W:\operatorname{GL}^+(2)\rightarrow\mathbb{R}$与添加剂体积等容分裂的形式\[ W(F)=W_{\rm iso}(F)+W_{\rm vol}(\det F)=\widetilde W_{\rm iso}\bigg(\frac{F}{\sqrt{\det F}}\bigg)+W_{\rm vol}(\det F) \]与凹体积部分。因此，这个例子是特别感兴趣的关于莫雷的公开问题是否秩一凸意味着拟凸的平面情况下。
英文摘要：
Deciding whether a given function is quasiconvex is generally a difficult task. Here, we discuss a number of numerical approaches that can be used in the search for a counterexample to the quasiconvexity of a given function $W$. We will demonstrate these methods using the planar isotropic rank-one convex function \[ W_{\rm magic}^+(F)=\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}-\log\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}+\log\det F=\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}+2\logλ_{\rm min}\,, \] where $λ_{\rm max}\geqλ_{\rm min}$ are the singular values of $F$, as our main example. In a previous contribution, we have shown that quasiconvexity of this function would imply quasiconvexity for all rank-one convex isotropic planar energies $W:\operatorname{GL}^+(2)\rightarrow\mathbb{R}$ with an additive volumetric-isochoric split of the form \[ W(F)=W_{\rm iso}(F)+W_{\rm vol}(\det F)=\widetilde W_{\rm iso}\bigg(\frac{F}{\sqrt{\det F}}\bigg)+W_{\rm vol}(\det F) \] with a concave volumetric part. This example is therefore of particular interest with regard to Morrey's open question whether or not rank-one convexity implies quasiconvexity in the planar case.
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