On the conjecture about Morrey quasiconvexity in L^{\infty}
Hung Vinh Tran
研究了L^{ \infty }中弱Morrey拟凸性与强Morrey拟凸性的区别.指出了弱Morrey拟凸性与强Morrey拟凸性之间的一些关系，并举例说明了弱Morrey拟凸性不能蕴涵强Morrey拟凸性。
We study the difference between weak Morrey quasiconvexity and strong Morrey quasiconvexity in L^{\infty}. We point out some relations as well as give one example to show that weak Morrey quasiconvexity cannot imply strong Morrey quasiconvexity.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Numerical approaches for investigating quasiconvexity in the context of Morrey's conjecture
判断一个给定的函数是否是拟凸的通常是一个困难的任务。在这里，我们讨论了一些数值方法，可用于搜索一个反例的拟凸性的一个给定的功能$W$。我们将使用平面各向同性秩一凸函数\[ W_{\rm magic}^+(F)=\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}-\log\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}+\log\det F=\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}+2\logλ_{\rm min}\,, \]来演示这些方法，其中$λ_{\rm max}\geqλ_{\rm min}$是$F$的奇异值，作为我们的主要例子。在以前的贡献中，我们已经表明，这个函数的拟凸性将意味着拟凸性的所有秩一凸各向同性平面能量$W:\operatorname{GL}^+(2)\rightarrow\mathbb{R}$与添加剂体积等容分裂的形式\[ W(F)=W_{\rm iso}(F)+W_{\rm vol}(\det F)=\widetilde W_{\rm iso}\bigg(\frac{F}{\sqrt{\det F}}\bigg)+W_{\rm vol}(\det F) \]与凹体积部分。因此，这个例子是特别感兴趣的关于莫雷的公开问题是否秩一凸意味着拟凸的平面情况下。
Morrey's conjecture for the planar volumetric-isochoric split. Part I: least convex energy functions
我们考虑Morrey的开放性问题是否秩一凸性已经意味着在平面的情况下拟凸性。对于某些特定的能量族，存在已知的精确条件，在这些条件下秩一凸性甚至蕴涵多凸性。我们将这些发现扩展到更一般的家庭能量$W:\operatorname{GL}^+(n)\rightarrow\mathbb{R}$与添加剂体积等容分裂，即\[ W(F)=W_{\rm iso}(F)+W_{\rm vol}(\det F)=\widetilde W_{\rm iso}\bigg(\frac{F}{\sqrt{\det F}}\bigg)+W_{\rm vol}(\det F)\,, \]，这是自然的有限扩张的各向同性线性弹性。我们的方法是基于最近从经典的二维标准Knowles和Sternberg的秩一凸性的条件，由一个家庭的一维耦合微分不等式。我们确定了许多\enquote{least}一阶凸能量，特别是表明，对于具有凹体积部分的平面体积等容分裂能量，一阶凸性是否意味着拟凸性的问题可以归结为一阶凸能量函数是否的开放问题。一阶凸能量函数\[ W_{\rm magic}^+(F)=\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}-\log\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}+\log\det F=\frac{λ_{\rm max}}{λ_{\rm min}}-2\logλ_{\r…
$L^{\infty}$ estimates and integrability by compensation in Besov-Morrey spaces and applications
利用H.当索伯列夫空间被ad-hoc Morrey空间所取代时，Wente在大于2的维数下失效.然而，在本文中，我们证明了$L^{\infty}$估计保持在任意维数时，Morrey空间取代其Littlewood Paley对应：Besov-Morrey空间。作为应用，我们证明了$-Δu= Ω\cdot \nabla u$形式的椭圆系统解的守恒律的存在性，其中$Ω$是反对称的，并且$\nabla u$和$Ω$都属于系统临界的Besov-Morrey空间.
Lower semicontinuity via W^{1,q}-quasiconvexity
我们在被积函数L上分离出一个我们称之为“局部化原理”的一般条件：\MM \to [0，\infty ]，假设是连续的，在此条件下，W^{1，q}-拟凸性q \in [1，\infty ]是I（u）= \int_Ω L的充分条件（\nabla u（x））dx在W^{1，p}（Ω; \RR^m）上是序列弱下连续的，其中\in ]1，\infty [.给出了一些应用实例。
Asymptotic flatness of Morrey extremals
本文研究了$\mathbb{R}^n$上Morrey不等式的极值函数$u$的极限行为，如$|x|\rightarrow \infty$.特别地，我们计算了$u(x)$的极限为$|x|\rightarrow \infty$，并证明了$|x||Du(x)|$趋于$0$ .为此，我们利用的事实，极值是一致有界的，他们每个人都满足一个PDE的形式$-Δ_pu=c(δ_{x_0}-δ_{y_0})$的一些$c\in \mathbb{R}$和不同的$x_0,y_0\in \mathbb{R}^n$。更一般地，我们解释了如何定量地推导出有界$p$ -调和函数在$\mathbb{R}^n$的外部区域上的渐近平坦性，对于$p>n$。
Adams' trace principle on Morrey-Lorentz spaces over $β$-Hausdorff dimensional surfaces
本文将Adams引入的著名迹原理推广到Morrey-Lorentz空间。更精确地说，我们证明了Riesz势$I_α$是连续的\begin{equation} \Vert I_αf\Vert_{\mathcal{M}_{q, \infty}^{λ_{\ast}}(dμ)}\lesssim \Arrowvertμ\Arrowvert_β^{{1}/{q}}\,\Vert f\Vert_{\mathcal{M}_{p, \infty}^λ(dν)}\nonumber\\[0.02in] \end{equation}当且仅当$Ω\subset \mathbb{R}^n$中支持的Radon测度$dμ$是由$$\Arrowvertμ\Arrowvert_β=\sup_{x\in\mathbb{R}^n,\,r>0}r^{-β}μ(B(x,r))<\infty$$控制的，只要$1<p<q<\infty$满足$n-αp<β\leq n,\; α=\frac{n}λ-\fracβ{λ_\ast}\; \text{ and }\;\frac{λ_\ast}{q}\leq \fracλ{p}\nonumber\,$。我们的结果提供了一类新的函数空间，这是比以前的更大，因为我们有严格连续包含$\dot{B}_{p,\infty}^{s}\hookrightarrow L^{λ, \infty}\hookr…
Leray's backward self-similar solutions to the 3D Navier-Stokes equations in Morrey spaces
本文证明了三维斯托克斯方程在Morrey空间$\dot{\mathcal{M}}^{q,1}(\mathbb{R}^{3})$（$3/2<q<6$）或$\dot{\mathcal{M}}^{q,l}(\mathbb{R}^{3})$（$6\leq q<\infty$和$2<l\leq q$）中不存在非平凡的Leray向后自相似解.这推广了Nečas-Råužička-Šverák [19，Acta.Math. 176（1996）]在$L^{3}(\mathbb{R}^{3})$，Tsai [25，Arch. Ration.机械肛门143（1998）]在$L^{p}(\mathbb{R}^{3})$与$p\geq3$中，Chae-Wolf [3，Arch. Ration.机械肛门225（2017）]中的洛伦兹空间$L^{p,\infty}(\mathbb{R}^{3})$与$p>3/2$，和Guevara-Brack [11，SIAM J. Math. Anal. 12（2018）]在$\dot{\mathcal{M}}^{q,\frac{12-2q}{3}}(\mathbb{R}^{3})$和$12/5\leq q<3$中以及在$L^{q, \infty}(\mathbb{R}^3)$和$12/5\leq q<6$中。
On positive solutions of the $(p,A)$-Laplacian with a potential in Morrey space
本文研究拟线性方程组\[ Q'_{A,p,V}[v] := -\mathrm{div}(|\nabla v|_A^{p-2}A(x)\nabla v) + V(x)|v|^{p-2}v =0 \qquad x\inΩ, \]的定性正性，其中$Ω$是$\mathbb{R}^n$，$1<p<\infty$中的区域，$A=(a_{ij})\in L^\infty_{\rm loc}(Ω;\mathbb{R}^{n\times n})$是对称的局部一致正定矩阵，$V$是某个局部Morrey空间中的实位势（取决于$p$），和\[ |ξ|_{A}^{2}:=A(x)ξ\cdotξ=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x)ξ_iξ_j \qquad x\inΩ,~ξ=(ξ_1,\ldots,ξ_n)\in \mathbb{R}^n. \]我们对$p\geq 2$的算子系数的假设是最小的（在Morrey尺度下），保证了局部Harnack不等式的有效性，从而保证了解的Hölder连续性。对于一些结果的文件，我们需要稍微强有力的假设时，$p<2$。我们证明了一个Allegretto-Piepenbrink型定理的运营商$Q'_{A,p,V}$，并扩展临界理论，我们的设置。此外，我们建立了一个Liouville型定理，并得到了一些扰动结果。此外，在$1<p\leq n,$的情况下，我们研究了一个…
Positive Liouville theorem and asymptotic behaviour for $(p,A)$-Laplacian type elliptic equations with Fuchsian potentials in Morrey space
研究拟线性椭圆型方程$$-\text{div}(|\nabla u|_A^{p-2}A\nabla u)+V|u|^{p-2}u =0\quad\text{in } Ω\setminus\{ζ\},$$的Liouville型定理和孤立奇点$ζ\in\partialΩ\cup\{\infty\}$附近正解的渐近性态，其中$Ω$是$\mathbb{R}^d$（$d\geq 2$）中的一个区域，$A=(a_{ij})\in L_{\rm loc}^{\infty}(Ω;\mathbb{R}^{d\times d})$是对称的局部一致正定矩阵.势$V$位于某个局部Morrey空间（依赖于$p$），并在$ζ$处具有Fuchsian型孤立奇点。
Critical Morrey Rigidity and Removable Singularities for Five-Dimensional Stationary Navier-Stokes Flows
该研究证明了五维定常Navier-Stokes方程的临界Morrey刚性定理，推导了五维可去奇点准则，还通过有限能量论证证明了四维对应的三次Morrey刚性定理。
On Weighted Local Morrey-type and Complementary Local Morrey-Type Spaces
该研究针对加权局部Morrey型与互补局部Morrey型空间，通过一维归约方法结合Cesàro和Copson空间嵌入刻画的最新结果，给出两类空间间连续嵌入的充要条件，覆盖所有有限参数情形。
Kinetic SDEs and kinetic Fokker-Planck equations with critical Morrey-type drifts, and local blow-ups
该研究针对受奇异Morrey型力场的动力学Fokker-Planck方程建立Sobolev理论，通过分数表示与动力学Adams型估计构造布朗驱动动力学SDE的弱解，得到相关估计与传播子并建立弱解唯一性准则。
The localized characterization for the singularity formation in the Navier-Stokes equations
本文研究了Navier-斯托克斯方程解$u$在位势奇点附近的局部化行为。我们用$3\leq p\leq\infty$建立了$u$的$L^{p,\infty}$标准的集中率。也就是说，我们表明，如果$z_0=(t_0,x_0)$是一个奇点，那么对于任何$r>0$，它持有\begin{align} \limsup_{t\to t_0^-}||u(t,x)-u(t)_{x_0,r}||_{L^{3,\infty}(B_r(x_0))}>δ^*,\notag \end{align}和\begin{align} \limsup_{t\to t_0^-}(t_0-t)^{\frac{1}μ}r^{\frac{2}ν-\frac{3}{p}}||u(t)||_{L^{p,\infty}(B_r(x_0))}>δ^*\notag for~3<p\leq\infty, ~\frac{1}μ+\frac{1}ν=\frac{1}{2}~and~2\leqν\leq\frac{2}{3}p,\notag \end{align}，其中$δ^*$是一个独立于$p$和$ν$的正常数。我们的主要工具是$L^{p,\infty}$空间中的一些$\varepsilon$ -正则性准则和从$L^{p,\infty}$空间到Morrey型空间的嵌入定理。这些都是独立的利益。
Stability of solutions of stationary Boussinesq systems on weak-Morrey spaces
本文在$\mathbb{R}^n$（$n \geqslant 3$）临界弱-Morrey空间笛卡尔积框架下，通过双线性估计和算子插值等技术，证明了Boussinesq系统全局小温和解的存在性及稳态解的渐近稳定性。
Old and New Morry Spaces via Heat Kernel Bounds
给定$p\in [1,\infty)$和$λ\in (0,n)$，研究了${\mathbb R}^n$上所有局部可积复值函数$f$的Morrey空间${\rm L}^{p,λ}({\mathbb R}^n)$，使得对于每个半径为$r_B$的开欧氏球$B\subset{\mathbb R}^n$，（取决于$f$）和$c=c(f,B)$（依赖于$f$和$B$）满足$$ r_B^{-λ}\int_{B}|f(x)-c|^pdx\le C $$并导出旧的和新的，选择$c=f_B=|B|^{-1}\int_{B}f(y)dy$或用$P_{t_B}(x)=\int_{t_B}p_{t_B}(x,y)f(y)dy$代替$c$所引起的两种本质上不同的情况--其中$t_B$被缩放为$r_B$，$p_t(\cdot,\cdot)$是上的解析半群$\{e^{-tL}\}_{t\ge0}$的无穷小生成元$L$的核${\rm L}^2({\mathbb R}^n)$。因此，我们导致同时表征旧的和新的Morrey空间，但也表明，对于一个合适的操作$L$，新的Morrey空间是等价的旧的。
On a new scale of regularity spaces with applications to Euler's equations
我们引入了一个新的梯形函数空间，它填补了弱$L^{p\infty}$空间和较大的Morrey空间，$M^p$之间的差距。我们引入这些新空间的动机，记为$\V^{pq}$，是为了获得一个更准确的信息（紧）嵌入适当的索伯列夫空间的Morrey空间。正是在这里，第二参数q（--和另一个对数细化参数$α$，表示为$\V^{pq}(\log \V)^α$）给出了更精细的缩放，这允许我们进行嵌入具有固定阶光滑度的空间所需的细微区分。本文利用最近在{Lopes Filho M C，Nussenzveig Lopes H J and Tadmor E 2001近似解中引入的$H^{-1}$ -稳定性准则，研究了近似解的强收敛性.我们展示了如何新的细化规模的空间，$\V^{pq}(\log \V)^α$，使我们接近的边界情况下，分离之间的$H^{-1}$ -紧性和现象的浓度取消。表示在他们的$\V^{pq}(\log \V)^α$边界方面，这些边界线的情况下被证明是密切相关的总（库仑）能量和相关的涡度配置的统一边界。
Fuchsian-type singularity for the Finsler $p$-Laplacian with potential
研究具有势的Finsler $p$-Laplace方程在孤立边界点处的Fuchs型奇点，分析正解及其商在奇点附近的渐近行为。
Weak Hardy-Type Spaces Associated with Ball Quasi-Banach Function Spaces II: Littlewood--Paley Characterizations and Real Interpolation
设$X$是${\mathbb R}^n$上的球拟Banach函数空间。本文假设赋幂Hardy-Littlewood极大算子满足$X$上的某个向量值极大不等式，且在弱球拟Banach函数空间$WX$及其相关空间上都有界，在对Littlewood-Paley函数的一些弱假设下，建立了$WH_X({\mathbb R}^n)$的各种Littlewood-Paley函数刻画.证明了$X$的Hardy空间、$H_{X}({\mathbb R}^n)$和Lebesgue空间$L^\infty({\mathbb R}^n)$之间的实插值中间空间$(H_{X}({\mathbb R}^n),L^\infty({\mathbb R}^n))_{θ,\infty}$是$WH_{X^{{1}/{(1-θ)}}}({\mathbb R}^n)$，其中$θ\in (0, 1)$ .这些结果具有广泛的应用价值。特别地，当$X:=M_q^p({\mathbb R}^n)$（Morrey空间），$X:=L^{\vec{p}}({\mathbb R}^n)$（混合范数Lebesgue空间）和$X:=(E_Φ^q)_t({\mathbb R}^n)$（Orlicz切片空间），所有这些结果甚至是新的;当$X:=L_ω^Φ({\mathbb R}^n)$（加权Orlicz空间），实插值的结果是新的，当$X:=L^{p(\…
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