$\boldsymbol{\text{R}^{2 \times 4}}$与$\boldsymbol{\text{R}^{3 \times 3}_\text{sym}}$中的莫雷问题
Morrey's problem in $\mathbb{R}^{2 \times 4}$ and $\mathbb{R}^{3 \times 3}_\mathrm{sym}$
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中文总结 AI 辅助
针对莫雷问题，在R²ˣ⁴中构造显式秩一凸非拟凸积分元，通过特定映射证伪拟凸性不等式；还基于已有例子转置限制得R⁴ˣ⁴_sym中对应积分元，修改Šverák例子得到R³ˣ³_sym中此类积分元。
中文摘要 AI 辅助
我们在$\boldsymbol{\text{R}^{2 \times 4}}$中找到一个显式的秩一凸非拟凸积分元：为证伪拟凸性不等式，构造了一个具有12个非零傅里叶模的映射$\boldsymbol{\text{T}^4 \to \text{R}^2}$。该映射由标量势得到，因此我们还在$\boldsymbol{\text{R}^{4 \times 4}_\text{sym}}$中找到一个非拟凸的秩一凸积分元。这些例子源于对Grabovsky在$\boldsymbol{\text{R}^{8 \times 2}}$中构造的秩一凸非拟凸积分元进行转置和限制；我们还修改了Šverák的例子，在$\boldsymbol{\text{R}^{3 \times 3}_\text{sym}}$中构造了一个秩一凸非拟凸积分元。
英文摘要
We find an explicit rank-one convex non-quasiconvex integrand in $\mathbb{R}^{2\times 4}$: to falsify the quasiconvexity inequality, we exhibit a map $\mathbb{T}^4\to \mathbb{R}^2$ with $12$ non-zero Fourier modes. In fact, this map is obtained from a scalar potential, so we also find a rank one convex integrand in $\mathbb{R}^{4\times 4}_\text{sym}$ which is not quasiconvex. These examples are obtained by transpositions and restrictions of Grabovsky's example of a rank-one convex, non-quasiconvex integrand in $\mathbb{R}^{8 \times 2}.$ We also modify Šverák's example to construct a rank-one convex non-quasiconvex integrand in $\mathbb{R}^{3\times 3}_\text{sym}$.
