一个精确微扰存在性与唯一性定理
An Exact Perturbative Existence and Uniqueness Theorem
AI总结：
针对含小复微扰参数的奇异微扰非线性复微分系统，在雅可比矩阵特征值的几何假设下，证明了具有指定微扰展开的精确全纯解的存在唯一性，且该解为形式微扰解的Borel重求和。
摘要：
我们研究形如$\boldsymbol{\bar{h}} \boldsymbol{\nabla}_x f = F (x, \bar{h}, f)$的奇异微扰非线性复微分系统，其中$\bar{h}$为小复微扰参数。在关于$F$的雅可比矩阵特征值的几何假设下，我们证明了精确微扰解的存在性与唯一性定理：即具有指定$\bar{h}$微扰展开式的全纯解。实际上，这些解是形式微扰解的Borel重求和。
英文摘要：
We investigate singularly perturbed nonlinear complex differential systems of the form $\hbar \partial_x f = F (x, \hbar, f)$ where $\hbar$ is a small complex perturbation parameter. Under a geometric assumption on the eigenvalues of the Jacobian matrix of $F$, we prove an Existence and Uniqueness Theorem for exact perturbative solutions; i.e., holomorphic solutions with prescribed perturbative expansions in $\hbar$. In fact, these solutions are the Borel resummation of the formal perturbative solutions.
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