Analysis of the finite element method for the Laplace--Beltrami equation on surfaces with regions of high curvature using graded meshes
本文研究了在一般形状正则网格上，针对具有高曲率区域的表面拉普拉斯-贝特拉米算子的线性有限元近似误差估计，通过分级网格证明了高曲率区域的误差估计与曲率无关。
2017-05-11 cs.NA math.NA
Error analysis of numerical methods on graded meshes for stochastic Volterra equations
本文针对弱奇异核随机Volterra方程，在分级网格上分析数值方法，证明解具有初始奇异性，构造Euler-Maruyama、快速Euler-Maruyama和Milstein方法，给出最优分级指数，数值实验验证理论。
2023-08-31 cs.NA math.NA
Error analysis of the L1 method on graded and uniform meshes for a fractional-derivative problem in two and three dimensions
University of Limerick（利默里克大学）
本文研究了具有Caputo分数阶时间导数的初始-边界值问题，分析了L1型离散化在L∞和L2范数下的误差，通过数值实验验证了理论结果。
2018-10-23 cs.NA math.NA
The BEM with graded meshes for the electric field integral equation on polyhedral surfaces
University of Birmingham（伯明翰大学）；Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis（瓦朗谢纳及埃诺-卡姆布雷大学）
本文研究了在多面体表面上的电场积分方程变分公式，采用最低阶Raviart-Thomas表面元进行伽辽金边界元离散化，分析了分级网格下的近优收敛性。
2015-04-10 cs.NA math.NA
Inverse source in two-parameter anomalous diffusion, numerical algorithms and simulations over graded time-meshes
考虑了一类具有非局部初始条件的逆源双参数亚扩散模型。该问题模拟了几个物理过程，其中包括微波加热和光在光电管中的传播。采用双正交基对构造解的级数表示和源项的Volterra积分方程。我们开发了一个数值算法来近似未知的含时源项。由于解在$t=0$附近的奇异性，采用梯度网格来提高收敛速度。数值实验说明了预期的分析收敛阶。
2019-12-13 cs.NA math.NA
A Second-order method on graded meshes for fractional Laplacian via Riesz fractional derivative with a singular source term
针对低正则解及奇异或超奇异源项，本文在分级网格上结合网格映射与右预条件子，提出通过 Riesz 分数阶导数求解分数阶 Laplacian 的二阶数值方法并验证其理论收敛性。
2025-02-16 cs.NA math.NA
An L1 approximation for a fractional reaction-diffusion equation, a second-order error analysis over time-graded meshes
对具有Riemann-Liouville时间分数阶导数的次扩散方程构造了一个时间步长L1格式，并分析了该格式的收敛性.这是第一篇论文表明，L1计划的模型问题正在考虑的是二阶准确（尖锐的误差估计）超过非均匀的时间步长。所建立的收敛性分析方法新颖、创新、简洁。为了完整性，将L1格式与用于空间离散的标准Galerkin有限元相结合，从而定义完全离散的数值格式。对该方案进行了误差分析。为了支持我们的理论贡献，在最后提供了一些数值试验。所考虑的（典型的）数值例子表明，施加的时间梯度网格假设可以进一步放宽。
2019-09-15 cs.NA math.NA
Pointwise-in-time error bounds for semilinear and quasilinear fractional subdiffusion equations on graded meshes
University of Limerick（利默里克大学）
本文研究了半线性和拟线性分数次扩散方程在分级网格上的点时间误差界，结合L1时间方案和一般离散化方法，通过数值实验验证理论结果。
2026-01-23 cs.NA math.NA
Constructive approximation on graded meshes for the integral fractional Laplacian
本文考虑整分数Laplacian算子$(-Δ)^s$的齐次狄利克雷问题.我们证明了Lipschitz域上的最优Sobolev正则性估计，只要解是$C^s$到边界。我们提出了一个贪婪算法的梯度二分法网格的建设，并获得准最佳的收敛速度的近似解决这样的问题，由连续的分段线性函数。非线性Sobolev尺度决定了正则性和可逼近性之间的关系。
2022-12-28 cs.NA math.AP math.NA
High order approximation to Caputo derivative on graded mesh and time-fractional diffusion equation for non-smooth solutions
本文针对解在初始时刻具有奇异性的Caputo型时间分数阶扩散方程，提出基于Lagrange插值的分级网格高阶逼近方法，构造了无条件稳定的差分格式，并分析了非光滑解下的收敛性。
2023-09-23 cs.NA math.NA
Numerical analysis of two Galerkin discretizations with graded temporal grids for fractional evolution equations
分析了分数阶发展方程的两种时间梯度网格数值方法。一种是分数阶$0<α<1$情形下的低阶间断Galerkin（DG）离散，另一种是分数阶$1<α<2$情形下的低阶PetrovGalerkin（PG）离散.利用一种新的对偶方法，在对初值作合理的正则性假设下，分别得到了DG和PG的一阶和$ (3-α) $阶时间精度的逐点时间误差估计.数值实验验证了理论结果。
2020-03-06 cs.NA math.NA
A sharp $α$-robust $L1$ scheme on graded meshes for two-dimensional time tempered fractional Fokker-Planck equation
本文研究了具有$α$阶回火分数阶导数的二维时间分数阶Fokker-Planck方程的数值解。虽然它的一些变体被认为是在最近的许多数值分析论文，仍然有一些显着的差异。这里我们首先给出解的正则性估计。然后，在梯度网格上，利用中间矩形求积公式的启发，采用一种改进的$L$ 1格式，以补偿在$t\rightarrow 0^{+}$处解的奇异性，而在空间上采用五点差分格式。在$L^{\infty}$范数意义下证明了算法的稳定性和收敛性，并在梯度网格上得到了算法的精确误差估计$\mathscr{O}(τ^{\min\{2-α, rα\}})$.此外，与在以前的作品中证明的边界不同，在我们的分析中，常数乘子不会在Caputo分数阶导数$α$接近经典值1时爆炸。最后通过数值实验验证了算法的有效性和收敛阶。
2022-06-08 cs.NA math.NA
$α$-Robust Error Analysis of $L2$-$1_σ$ Scheme on Graded Mesh for Time-fractional Nonlocal Diffusion Equation
针对时间分数阶非局部扩散方程，提出分级网格上的全离散 $L2$-$1_σ$ 有限元方法，证明解的存在唯一性并建立 $α$-鲁棒误差界，且通过数值实验验证理论结论。
2023-06-05 cs.NA math.NA
Error analysis for a fractional-derivative parabolic problem on quasi-graded meshes using barrier functions
针对分数阶Caputo时间导数初边值问题，利用屏障函数在拟分级网格上给出简单通用的稳定性分析，得到逐点时间误差界，并证明温和分级在正时间可达最优收敛速率。
2023-12-24 cs.NA math.NA
Symmetric fractional order reduction method with $L1$ scheme on graded mesh for time fractional nonlocal diffusion-wave equation of Kirchhoff type
在这篇文章中，我们提出了一个线性化全离散格式来求解基尔霍夫型时间分数非局部扩散波方程。该格式在空间上采用有限元法，在时间上采用$L1$格式。在$L^{\infty}\big(H^1_0(Ω)\big)$范数下得到了全离散解的$α$ -鲁棒\textit{a priori}界和\textit{a priori}误差估计，其中$α\in (1,2)$是时间分数阶导数的阶数.最后，我们进行了一些数值实验来验证理论结果。
2023-01-04 cs.NA math.NA
L1 scheme on graded mesh for subdiffusion equation with nonlocal diffusion term
时间分数阶偏微分方程的解在初始时刻附近一般具有弱奇异性。本文提出了一种求解含非局部扩散项的时间分数阶扩散方程的方法。该方法包括梯度网格上的L1格式、有限元法和牛顿法。我们讨论了弱形式在离散水平上的适定性，得到了全离散形式在$L^2(Ω)$和$H^1(Ω)$范数下的\emph{a priori}误差估计.最后，通过数值实验验证了理论分析的正确性.
2022-01-07 cs.NA math.AP math.NA
Fractional-order dependent Radial basis functions meshless methods for the integral fractional Laplacian
本文基于分数阶依赖的广义多二次径向基函数推导伪谱公式，提出一种求解积分分数阶拉普拉斯算子及分数阶扩散方程的简单高效无网格方法，并通过数值实验验证了其准确性与效率。
2024-11-16 cs.NA math.NA
$L2$-$1_σ$ Scheme on a Graded Mesh for a Multi-term Time-fractional Nonlocal Parabolic Problem
针对多项时间分数阶非局部抛物PDE，提出时间分级网格 $L2$-$1_σ$ 与空间Galerkin FEM结合的全离散格式，建立多项离散分数阶Grönwall不等式、先验界与误差估计，并经数值实验验证。
2023-06-05 cs.NA math.NA
High Order Finite Difference Methods on Non-uniform Meshes for Space Fractional Operators
School of Mathematics and Statistics, Gansu Key Laboratory of Applied Mathematics and Complex Systems, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院，甘肃省应用数学与复杂系统重点实验室）
本文提出在非均匀网格上构造一阶和高阶分数算子有限差分方案的方法，通过误差估计和数值实验验证了其稳定性和收敛性。
2015-06-06 cs.NA math.NA
Mesh Grading in Isogeometric Analysis
Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM) of the Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院计算与应用数学约翰·拉德恩研究所）
本文探讨了通过多块不连续Galerkin Isogeometric分析方案构造分级网格，以近似椭圆边界值问题中的奇解。通过分析解的解析行为，构造奇点附近的分级网格，验证了其收敛性。
2015-09-23 cs.NA math.NA
A Graded Mesh Refinement for 2D Poisson's Equation on Non Convex Polygonal Domains
本文针对非凸多边形区域中凹角导致的泊松方程数值解奇异问题，提出分级网格细化算法，推导了H1和L2误差估计，并通过MATLAB数值实验验证了理论结果。
2024-07-03 cs.NA math.NA
Second-order accurate numerical scheme with graded meshes for the nonlinear partial integrodifferential equation arising from viscoelasticity
本文建立并分析了具有弱奇异核的非线性偏积分微分方程的二阶精度数值格式。在时间方向上，时间导数采用Crank-Nicolson方法，Riemann-Liouville分数次积分采用乘积积分规则。在此基础上，利用非均匀网格来补偿$t=0$精确解的奇异性，使算法在时间上达到二阶收敛。为了构造一个全离散的隐式差分格式，我们采用标准的二阶空间导数中心差分公式，并采用基于分段线性检验函数的Galerkin方法来逼近非线性对流项。然后，我们推导出所提出的隐式差分格式的数值解的存在性和唯一性。同时，利用离散能量法证明了该方法的稳定性和收敛性。此外，为了证明所提出的方法的有效性，我们利用一个不动点迭代算法来计算离散格式。最后通过数值实验验证了该方法的可行性和有效性，数值结果与理论分析一致.
2022-03-23 cs.NA math.NA
Some Grönwall inequalities for a class of discretizations of time fractional equations on nonuniform meshes
本文研究了非均匀网格上分数阶常微分方程的完全正离散化，利用预解式建立比较原理并证明了无步长比限制的离散Grönwall不等式，为耗散方程的数值解提供了一致时间误差控制和衰减估计，并应用于次扩散和Allen-Cahn方程。
2024-01-04 cs.NA math.NA
Isogeometric analysis of the Laplace eigenvalue problem on circular sectors: Regularity properties, graded meshes & variational crimes
针对圆扇形 Laplace 特征值问题的角点奇异性，提出单补片分级网格增强的等几何算法，实现特征值与特征函数最优收敛，并以层次网格克服参数化奇异带来的变分犯罪。
2024-02-26 cs.NA math.AP math.NA
Higher-order time domain boundary elements for elastodynamics -- graded meshes and hp versions
针对多面体域或屏障外部弹性动力学方程解的角/棱边奇异性，推导解的Dirichlet迹与面力分段多项式逼近的拟最优估计，将其应用于时域边界元法的hp和分级版本，数值算例验证了理论结果与预期收敛性。
2023-05-01 cs.NA math.AP math.NA
A numerical study for tempered time-fractional advection-dispersion equation on graded meshes
School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学与系统科学学院）；School of Mathematics and Physics, University of South China（南华大学数理学院）
本文提出了一种基于SOE近似的二阶时间推进方案，用于求解tempered时间分数阶对流扩散方程，在减少存储和计算成本的同时保持相同收敛阶数。
2026-02-09 cs.NA math.NA
A Finite Difference Method on Quasi-uniform Mesh for Time-Fractional Advection-Diffusion Equations with Source Term
University of Messina（墨西拿大学）
本文提出一种无条件稳定的隐式有限差分方法，用于求解含源项的时间分数阶对流-扩散方程，通过特殊设计的准均匀网格提高经典离散分数公式计算精度，并通过误差估计和数值实验验证方法的有效性。
2018-02-13 cs.NA math.NA
Error Estimates and Graded Mesh Refinement for Isogeometric Analysis on Polar Domains with Corners
针对带角点极坐标域的角点奇异性，本文提出保持张量积结构的极坐标分级网格细化策略，并建立误差估计框架，实现最优收敛。
2025-05-15 cs.NA math.NA
Nodal discontinuous Galerkin methods for fractional diffusion equations on 2D domain with triangular meshes
Lanzhou University（兰州大学）；École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文发展了用于二维有限域上分数扩散方程的数值方案，采用高阶节点基函数进行全空间离散化，通过多变量拉格朗日多项式定义在三角形上，提供稳定性分析和误差估计，证明多项式阶数为N时方法具有(N+1)阶精度，数值实验验证了最优收敛阶。
2014-10-03 cs.NA math.NA
Mesh-free mixed finite element approximation for nonlinear time-fractional biharmonic problem using weighted b-splines
针对非线性时间分数阶双调和问题，提出加权B样条无网格混合有限元全离散格式，结合L2-1_σ时间离散，推导α-鲁棒先验界与收敛估计，并通过数值实验验证。
2024-03-17 cs.NA math.NA
Finite element method for a constant time delay subdiffusion equation with Riemann-Liouville fractional derivative
本文针对含常数时滞和Riemann-Liouville分数阶导数的次扩散方程，提出全离散有限元格式，分别基于一致网格和对称分级网格证明了格式的稳定性与收敛性，并通过数值实验验证理论结果。
2025-09-16 cs.NA math.NA
On the fractional transversely isotropic functionally graded nature of soft biological tissues
本文着重于起源的孔隙弹性各向异性行为的岩石组织及其空间变化的属性。我们提供了从三个方向（周向、径向和垂直）的三个组织部分（中央体、前角和后角）中提取的样本的有限压缩蠕变试验结果。我们表明，孔隙弹性模型中的流体流动的演变是由非整数阶运营商（分数达西定律）提供准确的协议与实验蠕变数据。该模型根据另外两组实验数据进行了验证：应力松弛和固结过程中的液体损失（以重量减轻来衡量）。结果表明，弯月面可视为横观各向同性多孔弹性材料。这种行为是由于在弯月面的主体区域中，在圆周方向上的流体流速比在径向和垂直方向上的流体流速高大约三倍。在前角中，弹性性质是横向各向同性的，其中径向方向上的总模量高于周向和垂直方向。在有限元软件中实现了3D分数孔隙弹性模型，并确定了固结过程中间隙流体的通量等量，这是一个非平凡的实验测量。
2023-01-05 cs.NA math.NA
An advanced meshless approach for the high-dimensional multi-term time-space-fractional PDEs on convex domains
提出了一种求解凸区域上高维多项时空分数阶偏微分方程的改进微分求积方法。首先，引入一族高阶差分格式来离散时间分数阶导数，并对所考虑的问题给出一个半离散格式。我们严格证明了它的无条件稳定性和误差估计。在此基础上，我们推导了一类以径向基函数（RBFs）为检验函数的DQ公式。利用这些DQ公式在空间离散化，一个完全离散的DQ格式，然后提出。我们的方法提供了一个灵活的和高精度的替代方案来解决凸区域上的高维多项TSFPES和它的实际性能示出了在公开文献中的其他方法相比。数值结果证实了理论分析和我们提出的方法的能力。
2021-01-27 cs.NA math.NA
Graded Parametric CutFEM and CutIGA for Elliptic Boundary Value Problems in Domains with Corners
本文提出了一种参数化割有限元方法，用于具有棱角的椭圆边界值问题，通过在边界附近控制解的高阶导数，实现最优阶的能量范数和L2范数的收敛性。
2019-04-30 cs.NA math.NA
An adaptive multimesh rational approximation scheme for the spectral fractional Laplacian
University of Birmingham（伯明翰大学）
本文提出了一种自适应多网格有理逼近方案，用于高效求解谱分数阶拉普拉斯算子的狄利克雷问题，通过自适应网格细化提升计算效率。
2026-01-31 cs.NA math.NA
A symmetric fractional-order reduction method for direct nonuniform approximations of semilinear diffusion-wave equations
本文介绍了一种对称分数阶约化（SFOR）方法来构造半线性分数阶扩散波方程在一般非均匀时间网格上的数值算法。利用新的降阶方法，将控制问题转化为一个等效的耦合系统，其中所涉及的时间分数阶导数的显式阶数均为$α/2$ $(1<α<2)$ .然后在一般时间网格上构造了线性化的L1格式和Alikhanov格式。在合理的正则性假设和较弱的网格约束条件下，利用$H^2$能量方法，证明了这两种差分格式的最优收敛性。针对半线性扩散波方程，设计了一种基于快速线性化L1和Alikhanov算法的自适应时间推进策略。数值算例验证了算法的准确性和有效性。
2021-06-12 cs.NA math.NA
An unstructured mesh control volume method for two-dimensional space fractional diffusion equations with variable coefficients on convex domains
本文提出一种处理任意形状凸区域上空间分数阶导数的非结构网格控制体积法，给出基于三角形单元的有限体积格式及实现细节，探讨刚度矩阵性质并开发快速迭代法，数值实验表明该方法在保持与有限元法相同精度下显著减少了CPU时间，有效可靠。
2019-01-13 cs.NA math.NA
Variable-order fractional Laplacian and its accurate and efficient computations with meshfree methods
本文首次提出基于径向基函数的无网格方法求解变阶分数阶拉普拉斯算子，结合伪微分与超奇异积分形式，以较少点数实现高精度，并应用于研究变阶分数阶偏微分方程的解行为。
2024-02-03 cs.NA math.NA
A two-dimensional fractional-order element-free Galerkin method for nonlocal elasticity and complex domain problems
提出二维分数阶无单元Galerkin方法求解分数阶微分方程，能处理复杂区域并缓解FEM缺点，通过MLS近似有效求解非局部弹性问题并经基准验证。
2025-10-30 cs.NA math.NA
A scale-dependent finite difference method for time fractional derivative relaxation type equations
分数阶导数弛豫型方程包括分数阶扩散方程和分数阶弛豫方程，广泛用于描述物理学中的反常现象。针对分数阶动力系统的特点，提出了一种尺度相关的有限差分法（S-FDM）。目的是通过在分数阶导数阶数和时空离散步骤之间架起一座桥梁，建立一种稳定的低计算量的分数阶导数数值方法。证明了该方法是无条件稳定的，具有（2-α）阶收敛速度.并通过三个算例对均匀差分法、普通非均匀差分法和S-FDM方法在精度、收敛速度和计算量等方面进行了比较。结果表明，S-FDM方法在计算效率方面比均匀网格方法有明显的优势，特别是在长时间范围的计算中（例如，当时间T=500，分数阶导数α =0.4时，S-FDM方法的CPU时间约为均匀网格方法的1/400，且具有更好的相对误差）。
2017-11-17 cs.NA math.NA
Efficient shifted fractional trapezoidal rule for subdiffusion problems with nonsmooth solutions on uniform meshes
针对一类二阶时间步进方法，即移位分数梯形法则（SFTR），本文致力于发展稳健而简单的修正技术和有效的算法，以解决子扩散问题的初始奇异性和非局部性。根据初始数据和源项的光滑性，给出了稳定性分析和尖锐误差估计。作为数值试验的一个副产品，我们惊奇地发现，对于具有光滑初值和源项的次扩散问题，不加初值修正的Crank-Nicolson格式（$θ=\frac{1}{2}$）可以恢复最优的收敛速度.为了处理非局部性，快速算法被认为是减少计算成本从$O(N^2)$到$O(N \log N)$和节省存储器存储从$O(N)$到$O(\log N)$，其中$N$表示的时间水平的数量。数值试验验证了理论结果的正确性，验证了初始修正和快速算法的有效性和准确性。
2020-10-23 cs.NA math.NA
Mathematical analysis and symmetric fractional-order reduction method for diffusion-wave equations
Southern University of Science and Technology（南方科技大学）；University of Macau（澳门大学）
本文提出一种对称分数阶约简方法，用于在低正则性假设下开发非均匀时间网格上的分数波方程数值算法，通过新的最优参数选择和数值实验验证了算法的效率和准确性。
2026-04-07 cs.NA math.NA
Double fast algorithm for solving time-space fractional diffusion problems with spectral fractional Laplacian
针对含谱分数阶拉普拉斯算子的高维时空分数阶扩散问题，提出结合空间半离散格式与快速时间步进L1格式的双快速算法，证明其稳定性与最优时间收敛阶，并通过数值算例验证有效性。
2024-04-15 cs.NA math.NA
Suitably graded THB-spline refinement and coarsening: Towards an adaptive isogeometric analysis of additive manufacturing processes
University of Pavia（帕维亚大学）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；Università degli Studi di Firenze（佛罗伦萨大学）；Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche “E. Magenes” del CNR（意大利国家研究委员会应用数学与信息技术研究所）
本文提出了一套完整的算法，利用适当分级的等几何网格上的截断层次B-spline（THB-spline）高效地进行自适应细化与粗化，应用于二维线性热传导问题的加性制造简化模型。研究展示了THB-spline自适应方案在精度和每时间步的自由度数量上的最优性。
2018-11-01 cs.NA math.NA
A grid-overlay finite difference method for the fractional Laplacian on arbitrary bounded domains
针对任意有界区域上的分数阶 Laplace 算子，提出叠加均匀网格与非结构网格的有限差分方法，并给出可解性条件、稀疏预条件子及结合 MMPDE 的自适应数值验证。
2024-04-04 cs.NA math.NA
Alikhanov-XfPINNs: Adaptive Physics-Informed Learning for Nonlinear Fractional PDEs on Nonuniform Meshes
IIT (BHU)（印度理工学院（贝拿勒斯印度教大学））；University of Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文提出Alikhanov-XfPINNs方法，结合高阶时间离散化与深度学习，解决分数阶PDEs的初始奇异性和非均匀网格上的计算效率问题，通过自适应激活函数提升训练效率，实现正反问题的数据驱动求解。
2026-05-02 cs.NA math.NA
Asymptotically Compatible Fractional Grönwall Inequality and its Applications
本文通过估计离散卷积互补核，建立了渐近相容的分数阶Grönwall不等式，并将其用于非均匀网格上差分格式的稳定性与逐点误差分析，数值实验验证了理论结果。
2024-04-30 cs.NA math.NA
Highly efficient and energy dissipative schemes for the time fractional Allen-Cahn equation
本文提出并分析了时间分数阶Allen-Cahn方程的时间步方法。该方法的关键特性是其对一般网格的无条件稳定性，包括常用于此类方程的分级网格。通过建立一个离散的非局部自由能耗散律，证明了该问题的无条件稳定性，这对连续问题也成立。分析中使用的主要思想是将时间分数阶导数分为两部分：局部部分和历史部分，这是由众所周知的L1，L1-CN和$L1^{+}$ -CN格式离散。在此基础上，采用扩展的辅助变量法处理非线性项和历史项。本文的主要贡献是：第一，发现时间分数阶Allen-Chan方程是一个与非局部自由能有关的耗散系统。其次，我们构造了在离散水平上满足相同耗散律的有效时间推进格式。特别是，我们证明了所提出的计划是无条件稳定的相当一般的网格。最后，通过一系列数值实验验证了该方法的有效性.
2021-04-25 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin method for the integral fractional Laplacian
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文提出了一种局部间断Galerkin方法用于求解积分分数拉普拉斯算子问题，通过混合公式和正则性分析，建立了最优误差估计并验证了数值结果。
2025-12-13 cs.NA math.NA
Multigrid Methods for Space Fractional Partial Differential Equations
Changsha University of Science and Technology（长沙理工大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出多网格方法求解空间分数偏微分方程的有限元近似代数系统，证明方法最优，收敛率与网格大小无关，且无需假设模型问题的正则性。
2015-01-07 cs.NA math.NA
Numerical approximation for a nonlinear variable-order fractional differential equation via an integral equation method
利用积分方程方法研究了一类非线性变阶分数阶微分方程的数值逼近。由于标准近似格式中变阶分数阶导数离散系数的单调性不足，现有的数值分析技术不能直接应用。通过近似反演技术，将该模型转化为第二类Volterra积分方程，并在此基础上提出了均匀网格和梯度网格下的配置法，并进行了分析。特别是，误差估计改善了现有的结果，通过证明一个一致的和尖锐的网格分级参数和表征的收敛速度的变量阶的初始值，这表明其关键作用，在确定的解决方案的光滑性，从而数值精度。
2021-10-10 cs.NA math.NA
The variable-step L1 scheme preserving a compatible energy law for time-fractional Allen-Cahn equation
在这项工作中，我们重新审视的自适应L1时间步进计划解决时间分数Allen-Cahn方程的Caputo的形式。利用最近的离散分析工具，即，L1隐格式被证明在任意非均匀时间网格上保持变分能量耗散律，离散正交卷积核和离散互补卷积核。然后利用离散嵌入技术和分数阶Grönwall不等式，建立了非均匀时间网格上的$L^2$范数误差估计.根据系统的动力学特性，提出了一种自适应的时间步长策略，以捕捉系统的多尺度行为，提高计算性能。
2021-02-15 cs.NA math.NA
Highly efficient schemes for time fractional Allen-Cahn equation using extended SAV approach
本文提出并分析了时间分数阶Allen-Cahn方程的高阶有效格式。所提出的方案是基于时间分数阶导数的L1离散化和最近发展的扩展标量辅助变量（SAV）方法来处理方程中的非线性项。本文的主要贡献在于：1）构造了适用于不同网格类型的一阶和高阶无条件稳定格式，并证明了所构造格式在均匀网格下的无条件稳定性; 2）通过数值实验验证了格式的有效性，并研究了时间分数阶Allen-Cahn方程的粗化动力学.特别地，分数阶对粗化行为的影响被仔细检查。我们的数值证据表明，所提出的计划是更强大的比现有的方法，其效率是不受限制的特定形式的非线性势。
2020-11-11 cs.NA math.NA
Fast implicit difference schemes for time-space fractional diffusion equations with the integral fractional Laplacian
本文对一类具有分数阶积分Laplacian算子的变系数时-空分数阶扩散方程提出了两种快速隐式差分格式。该格式利用Caputo分数阶导数的分次$L1$公式和IFL的特殊有限差分离散，分次网格可以捕获初始时刻具有弱奇异性的模型问题。通过对IFL空间离散矩阵的$M$ -矩阵分析，严格证明了算法的稳定性和收敛性。此外，所提出的计划使用快速指数和近似和Toeplitz矩阵算法，以减少时间和空间分数阶导数的非局部性的计算成本，分别。该快速格式大大减少了从$\mathcal{O}(MN^3 + M^2N)$到$\mathcal{O}(MN(\log N + N_{exp}))$的直接求解的计算工作量，并减少了从$O(MN^2)$到$O(NN_{exp})$的存储需求，其中$N$和$(N_{exp} \ll)~M$是空间和时间网格节点的数目.为了保证循环预条件子的加速效益，给出了预条件矩阵的谱。最后，数值结果显示所提出的方法的实用性。
2020-07-05 cs.NA math.NA
