A new proof of reversibility of $SLE_κ$ for $κ\leq 4$
Gregory F. Lawler, Stephen Yearwood
给出了$κ\leq 4$ Schramm Loewner演化可逆性的一个新证明.在证明中使用的主要思想是类似于那些使用在原来的证明这个结果，由詹。
We give a new proof of the reversibility of the Schramm Loewner evolution for $κ\leq 4$. The main ideas used in the proof are similar to those used in the original proof of this result, given by Zhan.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Reversibility of Some Chordal SLE$(κ;ρ)$ Traces
证明了对于$κ\in(0,4)$和$ρ\ge (κ-4)/2$，从$(0;0^+)$或$(0;0^-)$开始的弦$(κ;ρ)$迹满足可逆性.我们得到了从$(0;b_0)$开始的索状SLE $(κ;ρ)$迹线的反转方程，其中$b_0>0$。
Reversibility of chordal SLE
我们证明，索状SLE $_κ$痕迹是可逆的$κ\in(0,4]$。
Decomposition of Hypergeometric SLE and Reversibility
本文研究了κ∈(4,8)的超几何SLE过程，证明其条件律可由SLE_κ(ρ_)描述，并据此构造曲线对推导出其可逆性。
Reversibility of Whole-Plane SLE
本文的主要结果是：对于$κ\in(0,4]$，全平面SLE $_κ$满足可逆性，即全平面SLE $_κ$迹线的时间反演仍然是全平面SLE $_κ$迹线.此外，我们还发现$κ\in(0,4]$的径向SLE $_κ$迹线的时间反演是一个具有明显边界点的圆盘SLE $_κ$迹线。本文中使用的主要工具是随机耦合技术，该技术用于耦合两个全平面SLE $_κ$迹线，使得它们重叠。使用的另一个工具是Feynman-Kac公式，用于求解PDE。这个偏微分方程的解决方案，然后用于构建上述耦合。
The energy of a deterministic Loewner chain: Reversibility and interpretation via SLE$_{0+}$
本文研究了确定性弦Loewner链的能量的一些特征，定义为它的驱动函数的Dirichlet能量。特别是，使用的解释，这个能量作为一个大偏差率函数SLE $_κ$的$κ$趋于0和已知的可逆性的SLE $_κ$曲线小$κ$，我们表明，能量的确定性曲线从一个边界点A的一个简单连接的域D的另一个边界点B，是等于其时间反转的能量，即。从B到A的同一条曲线。
Reversibility of whole-plane SLE for $κ> 8$
本文证明了κ>8时全平面SLE$_κ$的可逆性，解决了Viklund和Wang猜想的最后情形，其证明依赖于一个新的树配对定理，该定理涉及由独立径向空间填充SLE曲线装饰的圆盘上的Liouville量子引力。
A deterministic proof of Loewner energy reversibility via local reversals
该研究提出弦Loewner能量方向可逆性的纯确定性新证明，通过局部分增量反转弦方向实现，关键证明了过固定有限点集的最小能量弦是分段双曲测地线，思路借鉴SLE可逆性证明但无需概率方法。
Imaginary geometry III: reversibility of SLE_κ for κ\in (4,8)
设D是平面Jordan域，x和y是D的不同边界点.固定κ \in（4，8），设η是D中从x到y的SLE_κ过程。我们证明了在重新参数化之前，η的时间反演律是D中从y到x的SLE_κ过程。更一般地，我们证明了SLE_κ（ρ_1;ρ_2）过程是可逆的当且仅当两个ρ_i至少为κ/2-4，这是临界阈值，在此阈值或低于此阈值时，这类曲线是边界填充的。我们的结果提供了所需的缺失成分，以表明对于所有κ \in（4，8），所谓的共形循环系综CLE_κ是正则定义的，几乎必然是连续的循环。它还提供了一种有趣的方法来耦合两个高斯自由场（具有不同的边界条件），使得它们的差是分段常数，并且常数区域之间的边界是SLE_κ曲线。
Imaginary geometry II: reversibility of SLE_κ(ρ_1;ρ_2) for κ\in (0,4)
给定一个单连通平面区域D，不同点x，y \in \partial D，且κ>0，Schramm-Loewner演化SLE_κ是D从x到y的闭包中的随机连续非自交叉路径.定义为ρ_1，ρ_2 >-2的SLE_κ（ρ_1; ρ_2）过程在某种意义上是SLE_κ的最自然推广。当κ \leq为4时，我们证明了\SLE_κ（ρ_1;ρ_2）从x到y的时间反演律在参数化之前是SLE_κ（ρ_2;ρ_1）从y到x的时间反演律。这假设用于定义SLE_κ（ρ_1;ρ_2）的“力点”紧邻SLE种子的左侧和右侧。推广到任意（和任意多个）力点适用于任何时候的路径不（或条件不）击中边界的D，除了在端点。当路径与高斯自由场耦合并被视为随机几何的射线时，时间反演对称性有一个特别自然的解释。它允许我们耦合高斯自由场的两个实例（具有不同的边界条件），使得它们的差在路径的任何一侧几乎肯定是常数。在相当普遍的意义上，在射线的两侧添加适当的常数会使其方向反向。
Imaginary geometry IV: interior rays, whole-plane reversibility, and space-filling trees
我们建立了平面区域上{ \em interior}点开始的高斯自由场流线的存在性和唯一性。我们将这些解释为具有假想曲率的随机几何形状的射线，并描述不同射线彼此相交和边界的方式。本系列以前的工作处理从{ \em边界}点开始的射线，并使用高斯自由场机制来确定当κ< 8时哪些弦\SLE_κ（ρ_1; ρ_2）过程是时间可逆的。在这里，我们将这些结果推广到全平面\SLE_κ（ρ），并建立这些路径的连续性和瞬态。特别地，我们将普通的全平面SLE可逆性（由Zhan为κ \in [0，4]建立）扩展到所有κ \in [0，8]。我们还表明，一个给定的角度（与可变的起点）的射线形成一个空间填充的平面树。每个分支都是某个κ \in（0，4）的SLE_κ的一种形式，并且以自然序跟踪树的曲线（如果x的分支在y的分支的左边，则在y之前到达x）是\SLE_{κ'}的一种空间填充形式，其中n '：= 16/κ \in（4，\infty）。通过改变边界数据，我们得到了\SLE_{κ'}（ρ）的一族空间填充变体，它们的时间反转属于同一个族。当κ' \geq为8时，普通的\SLE_{κ'}也属于这个族，我们的结果表明它的时间反演是\SLE_{κ'}（κ'/2 - 4; κ '/2 - 4）.作为这个理论的应用，我们得到了\CLE_{κ'}对κ' \in（4，8）的局部有限性，并描述了停于停时的\SLE_{κ'}过程…
Stochastic Loewner evolution in doubly connected domains
本文在双连通区域上引入了环SLE $_κ$过程。瓣环SLE $_6$与停止的径向SLE $_6$具有相同的规律，直到时间变化。对于$κ\not=6$，环SLE $_κ$和径向SLE $_κ$之间存在某种弱等价关系。环SLE $_2$是相应的环擦除条件随机游动的标度极限，这意味着SLE $_2$的某种形式满足可逆性。我们还考虑将SLE椎间盘$_κ$过程定义为瓣环SLE的极限情况。圆盘SLE $_6$具有与停止的全平面SLE $_6$相同的规律，直到时间变化。圆盘SLE $_2$是环擦除随机游动的标度极限，并且是径向SLE $_2$的反转。
Multiple-paths $SLE_κ$ in multiply connected domains
当$κ\leq 4$为多连通区域时，我们定义了多路径Schramm-Loewner演化（$SLE_κ$），并证明了在环上，分拆函数是光滑的.此外，我们给出了双弦环$SLE_κ$测度的分拆函数的最大常数估计，并建立了单位圆盘上双弦环测度与双边$SLE_κ$之间的联系。
Hypergeometric SLE: Conformal Markov Characterization and Applications
本文研究具有共形马尔可夫性和对称性的简单随机曲线对的分类问题。我们给出了这类曲线的完整分类：共形马尔可夫性和对称性，并从中选出一个双参数随机曲线族--超几何SLE--记为hSLE $_κ(ν)$（对于$κ\in (0,4]$和$ν<κ-6$）.证明依赖于Dubédat的交换关系[Dub 07]和唯一性结果证明[MS 16 b]。分类表明，超几何SLE是交替边界条件下拓扑矩形中临界格点模型（已证明或证明为共形不变量）中界面唯一可能的尺度极限。我们还证明了hSLE的各种属性：连续性，可逆性，目标独立性，和条件法表征。作为副产品，我们给出了这些属性的两个应用。第一个是关于关键的伊辛接口。我们证明了具有交替边界条件的矩形中Ising界面的收敛性。这个结果首先由Izyurov在[Izy 15]中证明，但我们的证明是新的，它是基于hSLE的性质。第二个应用是多个SLE的所谓纯分拆函数的存在。在[KP 16]中证明了$κ\in (0,8)\setminus \mathbb{Q}$的这种存在，随后在[PW 17]中证明了$κ\in (0,4]$的这种存在。利用hSLE的性质给出了$κ\in (0,6]$存在性的新证明.
Defining SLE in multiply connected domains with the Brownian loop measure
利用布朗环测度定义了多连通域上kappa \leq 4的Schramm-Loewner演化（SLE）.我们表明，在环的情况下，这是相同的措施，最近获得的大鹏詹。我们使用的环路配方给一个不同的推导偏微分方程的分拆函数的环。
Escape probability and transience for SLE
对于$κ\leq 4$，我们给出了弦向、径向或双侧径向SLE $_κ$曲线在接近终点后远离终点的概率估计。估计值在曲线的所有初始段上是一致的，并且尖锐到一个普适常数。
Global and Local Multiple SLEs for $κ\leq 4$ and Connection Probabilities for Level Lines of GFF
本文涉及多重Schramm-Loewner演化（SLE）的分类。利用$κ\in (0,4]$构造了多重SLE $(κ)$的纯分拆函数，并将其与某些极值多重SLE测度联系起来，从而验证了[BBK 05，KP 16]中的一个猜想.我们证明了构造多个SLE的两种方法-[KL 07，Law 09 a]的全局构型构造和[BBK 05，Dub 07，Gra 07，KP 16]的局部生长过程构造-是一致的。在临界统计力学模型中，纯分拆函数与交叉概率密切相关。在$κ= 4$的特殊情况下，我们用显式公式证明了这些函数给出了交替边界数据的高斯自由场（GFF）能级线的连接概率。我们还表明，某些函数，称为共形块，产生多个SLE（4），可以自然地耦合到GFF与适当的边界数据。
Uniqueness of signature for simple curves
我们提出了一个拓扑方法来确定一条曲线的迭代积分的问题。特别地，我们证明了有限p变差的二维闭曲线1 \leq p<2的特征级数中的一族项实际上是其卷绕数的矩.这个关系使我们能够证明一类简单的非平滑曲线的签名序列唯一地确定曲线。这意味着在Chordal SLE_κ零集之外，其中0<κ \leq 4，曲线的签名系列唯一地确定曲线。我们的计算也使我们能够表达的傅里叶变换的n-点函数的SLE曲线的预期签名。虽然本文中使用的技术是确定性的，结果提供了一个平台，通过其样本路径的签名研究SLE曲线。
Connectivity of the adjacency graph of complementary components of the SLE fan
本文研究单连通区域上高斯自由场流线扇的补集结构，证明其分量的邻接图几乎必然连通，并证明扇作为集合几乎必然唯一确定构造中使用的每条流线。
The canonical SLE-reversible Weil--Petersson response diffusion
本文为SLE焊接律构造了规范可逆扩散，证明其拟正则性并识别生成元，同时建立了不可约性与L^2收敛性。
Conformal removability of non-simple Schramm-Loewner evolutions
我们考虑了$κ\in (4,8)$的Schramm-Loewner演化（SLE $_κ$），这是曲线自相交但不填充空间的区域。设${\mathcal K}$是$κ\in (4,8)$的集合，对于该集合，SLE $_κ$的补的连通分支的邻接图是a. s。连接的，这意味着对于每一对互补分量$U, V$，对于每个$1 \leq i \leq n-1$，存在具有$U_1 = U$、$U_n = V$和$\partial U_i \cap \partial U_{i+1} \neq \emptyset$的互补分量$U_1,\ldots,U_n$。我们证明了$κ\in {\mathcal K}$的SLE $_κ$的范围是a.s.共形可移动的，这回答了谢菲尔德的问题。作为一个步骤的证明，我们构建了一个典型的共形协变体积测量的SLE $_κ$为$κ\in (4,8)$的截点，并建立一个精确的上限的措施，它分配给任何Borel集的直径。
Multiple chordal SLE(0) and classical Calogero-Moser system
本文发展了(n,m)型多重弦SLE(0)系统的一般理论，将其扩展至n=2m情形之外，并证明其在特定单值化下的迹对应于实有理函数的实轨迹，且Loewner动力学遵循经典Calogero-Moser哈密顿量演化。
Active spanning trees and Schramm-Loewner evolution
考虑嵌入平面图上的Peano曲线，其中树和对偶树的权值由$y$表示，权值为活动边的个数，“活动”是Tutte多项式的意义.当图形是近似单连通域的正方形网格的一部分时，已知（$y=1$和$y=1+\sqrt{2}$）或相信（$1<y<3$）Peano曲线收敛于空间填充SLE $_κ$环，其中$y=1-2\cos(4π/κ)$，对应于$4<κ\leq 8$。我们认为$0\le y<1$也应该如此，它对应于$8<κ\leq 12$。
Multiradial Schramm-Loewner evolution: Infinite-time large deviations and transience
本文研究多径SLE(κ)在无限时间内的大偏差原理及瞬时性，改进了证明方法，并推导了多径SLE(κ)曲线的逃逸概率估计，证明了κ≤8/3时曲线在公共终端点瞬时性。
The six-vertex model and Schramm-Loewner evolution
方形冰是二维冰的统计力学模型，广泛认为具有共形不变的标度极限。我们关联的Peano（空间填充）曲线的方形冰配置，更一般的是所谓的6顶点模型配置，并认为它的缩放限制是一个空间填充版本的随机分形曲线SLE $_κ$，Schramm-Loewner演化参数$κ$，其中$4<κ\leq 12+8\sqrt{2}$。对于方形冰，使用$κ=12$。在六顶点模型的“自由费米子点”，$κ=8+4\sqrt{3}$。这些异常值位于经典区间$2\le κ\le 8$之外。
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