Odd, spoof perfect factorizations
研究了与完满数有关的丢番图方程的整数解。这些解推广了笛卡尔在1638年发现的一个奇怪的、“欺骗”的完美因式分解$3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 22021^1$的例子。最近，Voight发现了一个恶搞的完美因子分解$3^4\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 19^2\cdot(-127)^1$。文献中没有其他例子。我们计算所有非平凡的，奇数的，原始的欺骗完美分解，少于7个基地-总共有21个。我们证明了奇的、欺骗的完全分解的结构是非常丰富的，并且存在多个无限族。这意味着，某些方法的奇数完满数问题，只使用乘法性质的除数和函数是行不通的。另一方面，我们证明了只有100多个非平凡的，奇数的，原始的欺骗完美分解与一个固定数量的基地。
2020-06-18 math.NT
Bounds On Factors Of Odd Perfect Numbers
关于奇完满数的可能存在，最近已经取得了很大进展，形成了后来被称为西尔维斯特条件网的一部分。本文证明了关于奇完满数的因子倒数和的某些性质，或者用更专业的术语，证明了σ_{-1}（n）的子和的性质。利用这一结果，利用奇完满数可能具有的不同素因子的个数，建立了奇完全数的素因子的强界。
2012-11-20 math.NT
Where do odd perfect numbers live?
完全奇数的存在性是数论中一个古老的公开问题。欧拉定理指出，如果奇数$ n $是完全的，则$ n $被写为$ n = p ^ rm ^ 2 $，其中$ r, m $是奇数，$ p $是形式为$ 4 k + 1 $和$ (p, m) = 1 $的素数，其中$ (x, y) $表示$ x $和$ y $的最大公约数。在这篇文章中，我们证明了在这个方程中，$ p $的指数$ r $必然等于1。即，如果$ n $是奇完全数，则$ n $被写为$ n = pm ^ 2. $
2018-01-18 math.NT
On the Density of Spoof Odd Perfect Numbers
本文研究了奇正整数集合$\mathcal{S}$的性质${2n}/{σ(n)} - 1 = 1/x$，对于正整数$x$，与奇完全数和奇“欺骗完全数”有关的集合。结果发现，如果$D=pq$表示一个伪奇完全数，而不是笛卡尔的例子，则$q>10^{12}$是伪素因子$p$.此外，我们发现不规则的整数$n\in\mathcal{S}$和研究方面的密度，导致我们推测，$\mathcal{S}$低于$k$的数量是$\sim10 \log(k)$。
2021-02-06 math.NT
On odd perfect numbers of special forms
本文研究了特殊乘法形式的奇数族成为完全数的必要条件，推广了Steuerwald、Kanold和McDaniel等人的早期工作。
2023-04-08 math.NT
On odd deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors
对于正整数$n$，令$σ(n)$表示$n$的正约数之和。设$d$是$n$的真因子。如果$σ(n)=2n-d$是亏完全数，则称$n$为亏完满数.本文证明了唯一具有四个不同素除子的奇亏完满数是$3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}$ .
2019-08-14 math.NT
On (unitary) perfect polynomials over $\mathbb{F}_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
在$\mathbb{F}_2$上唯一的（酉）完全多项式是$x$，$x+1$和梅森素数的乘积，它们正好是9个（分别是）。九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$。这样的因式分解的其他后果是关于奇完全多项式的新结果。
2019-07-31 math.NT
Conditions Equivalent to the Descartes-Frenicle-Sorli Conjecture on Odd Perfect Numbers
Descartes-Frenicle-Sorli猜想预言$k=1$如果$q^k n^2$是一个奇完满数，且欧拉素数为$q$。在本文中，我们给出了一些等价于这个猜想的条件。
2016-12-29 math.NT
On Dris Conjecture about Odd Perfect Numbers
奇数完满数的欧拉形式，如果有的话，是$n=π^αN^2$，其中$π$是素数，$(π,N)=1$和$π\equiv α\equiv 1 \pmod{4}$。德里斯猜想指出，$N>π^α$。我们发现$N^2>\frac{1}{2}π^γ$，有$γ=max\{ω(n)-1,α\}$ ; $ω(n)\geq 9$是$n$的不同素因子的个数.
2017-06-07 math.NT
A short proof for the Descartes-Frenicle-Sorli conjecture on odd perfect numbers
如果$N={q^k}{n^2}$是一个以欧拉形式给出的奇完满数，那么Descartes-Frenicle-Sorli猜想预言$k=ν_{q}(N)=1$。本文给出了这个猜想的一个简短证明。
2022-02-09 math.NT
More on the Nonexistence of Odd Perfect Numbers of a Certain Form
欧拉证明，如果存在一个奇完全数，它必须是$N = p^αq_{1}^{2β_{1}}$ $\ldots$ $q_{k}^{2β_{k}}$的形式，其中$p, q_{1}, \ldots, q_k$是不同的奇素数，$α$，$β_{i} \geq 1$，对于$1 \leq i \leq k$，有$p \equiv α\equiv 1 \pmod{4}$。2005年，Evans和Pearlman证明了$N$并不完美，如果$3|N$或$7|N$和每个$β_{i} \equiv 2 \pmod{5}$。我们通过去除$3|N$或$7|N$的假设来改进这一结果，并表明$N$不是完美的，简单地说，如果每个$β_{i} \equiv 2 \pmod{5}$。
2015-12-03 math.NT
On inequalities involving counts of the prime factors of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数。令$ω(N)$是$N$的不同素因子的数目，令$Ω(N)$是$N$的素因子的总数（计数重数）。我们证明了$\frac{99}{37}ω(N) - \frac{187}{37} \leq Ω(N)$，如果$3\nmid N$，那么$\frac{51}{19}ω(N)-\frac{46}{19} \leq Ω(N)$。
2023-03-21 math.NT
An exponential diophantine equation related to odd perfect numbers
证明了对任意给定的素数$\ell\geq 17$和$p, q\equiv 1\pmod{\ell}$，丢番图方程$(x^\ell-1)/(x-1)=p^m q$至多有四个正整数解$(x, m)$，并给出了它在奇完满数问题中的应用.
2020-12-25 math.NT
A new upper bound for odd perfect numbers of a special form
本文给出了欧拉因子为定指数幂的奇完满数的一个新的有效可计算上界，改进了T. Yamada，Colloq.Math.103（2005），303- 307.
2019-12-31 math.NT
Odd Multiperfect Numbers
如果为$σ(n)=kn$，则自然数$n$称为{ \it多完美}或{ \it $k$ -完美}，其中$σ(n)$是$k\ge2$的正约数之和。本文建立了类似于欧拉关于奇完满数的定理的奇多完满数的结构定理。证明了奇多完全数的欧拉部分的整除性，并刻画了奇完满数$n=π^αM^2$的形式，使得$π\equivα(\text{mod}8)$ .作为应用，我们还举例说明了奇完满数的不存在性。
2011-02-22 math.NT
The sum of the reciprocals of the prime divisors of an odd perfect or odd primitive non-deficient number
本文在奇完全数及更弱的奇本原非亏数假设下，证明了素因子倒数之和 T(n) 与乘积 H(n) 关于最小素因子的新上界。
2025-02-08 math.NT
On a Curious Biconditional Involving Divisors of Odd Perfect Numbers
我们研究了一个奇怪的涉及奇数完满数的因子的双连通性的含义，如果Dris猜想$q^k < n$成立，其中$q^k n^2$是一个具有欧拉素数$q$的奇数完全数.然后，我们表明，这双连续性无条件地举行。最后证明了不等式$q<n$无条件成立.
2017-08-25 math.NT
On the Existence of Odd Perfect Numbers
本文证明了一个猜想：如果存在一个奇完满数，则有无穷多个。
2022-02-09 math.NT
A note on odd perfect numbers
本文证明了：若$N$是奇完满数，且$q^α$是整除它的某个素数幂，则$σ(N/q^α)/q^α>5$ .在一般情况下，我们还表明，如果$σ(N/q^α)/q^α<K$，其中$K$是任何常数，那么$N$是有界的一些功能依赖于$K$。
2016-08-23 math.NT
All bi-unitary perfect polynomials over $\F_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
该研究针对二元素域$\boldsymbol{\text{F}}_2$，找到了仅以梅森多项式为奇不可约因子的所有非分裂双酉完美多项式，是经典算术问题的多项式变体研究成果。
2026-08-03 math.NT
New Results for the Descartes-Frenicle-Sorli Conjecture on Odd Perfect Numbers
如果$N={q^k}{n^2}$是一个以欧拉形式给出的奇完满数，那么Descartes-Frenicle-Sorli猜想预言$k=1$。布朗最近宣布了不等式$q < n$的一个证明，以及$q^k < n$在许多情况下成立的部分证明。本文给出了一种将Brown结果加强到$q^2 < n$的策略.
2016-06-29 math.NT
The Abundancy Index of Divisors of Odd Perfect Numbers
如果$N = {q^k}{n^2}$是一个奇完满数，其中$q$是欧拉素数，那么我们证明了$n < q$对于Sorli猜想$k = ν_{q}(N) = 1$成立是充分的.我们还证明了$q^k < 2/3{n^2}$和$I(q^k) < I(n)$，其中$I(x)$是$x$的抽象指数。
2012-08-03 math.NT
Some Modular Considerations Regarding Odd Perfect Numbers
设$p^k m^2$是具有特殊素数$p$的奇完满数.在这篇文章中，我们提供了另一种证明双凸性，$σ(m^2) \equiv 1 \pmod 4$成立的当且仅当$p \equiv k \pmod 8$。然后，我们给出了应用的情况下，当$σ(m^2)/p^k$是一个正方形的结果。
2020-02-26 math.NT
An improvement of an inequality of Ochem and Rao concerning odd perfect numbers
令$Ω(n)$表示$n$的素因子的总数（计数重数），令$ω(n)$表示$n$的不同素因子的数量。当$N$为奇完全数时，证明了与$ω(N)$和$Ω(N)$有关的各种不等式.我们改进了这些不平等。特别是，我们表明，如果$3 \not| N$，则$Ω\geq \frac{8}{3}ω(N)-\frac{7}{3}$，如果$3 |N$，则$Ω(N) \geq \frac{21}{8}ω(N)-\frac{39}{8}.$
2017-10-29 math.NT
On the Components of an Odd Perfect Number
若$N = {p^k}{m^2}$是具有特殊素因子$p$的奇完满数，则证明了${p^k} < (2/3){m^2}$ .数值结果上的abstraction指数$\frac{σ(p^k)}{p^k}$和$\frac{σ(m^2)}{m^2}$，和比率$\frac{σ(p^k)}{m^2}$和$\frac{σ(m^2)}{p^k}$，使用。还表明，$m^2 > \frac{\sqrt{6}}{2}({10}^{150})$ .
2012-06-14 math.NT
New techniques for bounds on the total number of Prime Factors of an Odd Perfect Number
令$σ(n)$表示$n$的正因子之和。我们说$n$是完美的，如果$σ(n) = 2 n$。目前还没有已知的奇完全数。已知如果存在奇数完满数，则它必须具有$N = p^α\prod_{j=1}^k q_j^{2 β_j}$的形式，其中$p, q_1, ..., q_k$是不同的素数，而$p \equiv α\equiv 1 \pmod{4}$是不同的素数。定义$N$的素因子总数为$Ω(N) := α+ 2 \sum_{j=1}^k β_j$。Sayers展示了$Ω(N) \geq 29$。这后来被Iannucci和Sorli扩展，以表明$Ω(N) \geq 37$。作者对此进行了扩展，以表明$Ω(N) \geq 47$。本文利用Carl Pomerance的思想推广了这些结果。当前的新边界是$Ω(N) \geq 75$。
2006-04-12 math.NT
Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number
Acquaah和Konyagin表明，如果$N$是一个奇数完满数，其中$N= p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$，其中$p_1 < p_2 \cdots < p_k$，那么一个必须有$p_k < 3^{1/3}N^{1/3}$。使用类似的方法，我们表明，$p_{k-1}< (2N)^{1/5}$和$p_{k-1}p_k < 6^{1/4}N^{1/2}.$我们还表明，如果$p_k$和$p_{k-1}$是彼此接近，比这些界限可以进一步加强。
2018-12-14 math.NT
On the divisibility of odd perfect numbers by a high power of a prime
研究了多重完全数的一些整除性质。我们的主要结果是：如果在某个有限集S中具有$β_1, ..., β_t$的$N=p_1^{α_1}... p_s^{α_s} q_1^{2β_1}... q_t^{2β_t}$满足$σ(N)=\frac{n}{d}N$，则N有一个小于C的素因子，其中C是仅依赖于s，n，S的有效可计算常数。
2007-07-31 math.NT
On the third largest prime divisor of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数，$a$是它的第三大素除子，$b$是它的第二大素除子，$c$是它的最大素除子.我们讨论的步骤，获得一个非平凡的上界$a$，以及密切相关的问题，提高界限$bc$，和$abc$。特别是，我们证明了两个结果。首先，我们证明了一个新的一般约束的任何素除子因子的奇数完满数，并获得作为一个推论的界限，$$a < 2N^{\frac{1}{6}}.$$第二，我们表明，$$abc < (2N)^{\frac{3}{5}}.$$我们还表明如何在某些情况下，这些界限和相关的不等式可以收紧。将$σ_{m,n}$对定义为素数$p$和$q$对，其中$q|σ(p^m)$和$p|σ(q^n)$。我们的许多结果都围绕着理解$σ_{2,2}$对。我们还证明了结果有关$σ_{m,n}$对其他值的$m$和$n$。
2021-06-26 math.NT
New Results for Sorli's Conjecture on Odd Perfect Numbers - Part II
如果$N={q^k}{n^2}$是以欧拉形式给出的奇完满数，则Sorli猜想预言$k=ν_{q}(N)=1$。在这篇文章中，我们给出了一些进一步的结果有关这个猜想和那些包含在文件\cite{Dris}和\cite{Dris2}。（撤回是因为定理1中的一个关键空白[参见https://arxiv.org/pdf/1309.0906.pdf，了解目前在这方面可证明的内容]，以及第2页至第4页中数值界的基本错误）
2017-08-11 math.NT
All even (unitary) perfect polynomials over $\F_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
讨论了环$\F_2[x]$中与因子和函数的不动点有关的一个算术问题。研究了二元多项式$A$，使得$σ(A)/A $仍是二元多项式.从技术上讲，我们证明了唯一的（酉）完全多项式在$\F_2$是产品的$x$，$x+1$和梅森素数正好是九个（分别.九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$ .
2022-02-13 math.NT
On the number of total prime factors of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数。令$ω(N)$是$N$的不同素因子的数目，令$Ω(N)$是$N$的素因子的总数。我们证明了如果$(3,N)=1$，则$ \frac{302}{113}ω- \frac{286}{113} \leq Ω. $如果$3|N$，则$\frac{66}{25}ω-5\leqΩ.$这是作者对以前类似结果的改进，这是Ochem和Rao的结果的改进。我们还建立了$ω(N)$上关于$N$的最小素因子的新下界，以及$N$上关于它的最小素因子的新下界.
2019-10-20 math.NT
On the Descartes-Frenicle-Sorli and Dris Conjectures Regarding Odd Perfect Numbers
Dris在他的硕士论文中指出，如果$N = {q^k}{n^2}$是具有特殊素数$q$的奇完全数，则不等式$q^k < n$总是成立。在本文中，我们首先证明了$n < q^k$或$σ(q)/n < σ(n)/q$这两个条件中的任何一个成立。这是通过首先证明$σ(q)/n \neq σ(n)/q^k$来实现的，其中$σ(x)$是$x$的约数之和。使用这种分析，我们进一步表明，条件$q < n < q^k$持有在四个共六个案件。最后，我们证明了$n < q^k$，并且这是无条件成立的。这一发现否定了Dris猜想和Descartes-Frenicle-Sorli猜想，即$k = 1$ .
2020-11-14 math.NT
A Sufficient Condition for Disproving Descartes's Conjecture on Odd Perfect Numbers
令$σ(x)$为$x$的约数之和。如果$N$是奇数且$σ(N) = 2N$，则奇完全数$N$被称为以欧拉形式给出，如果$N = {q^k}{n^2}$，其中$q$与$q \equiv k \equiv 1 \pmod 4$和$\gcd(q,n) = 1$互素。本文证明了$q < n$蕴涵着笛卡尔猜想（以前称为Sorli猜想）$k = ν_{q}(N) = 1$不成立.这就意味着一个无条件的证明双约束$$k = ν_{q}(N) = 1 \Longleftrightarrow n < q.$$最后，根据最近的结果科恩和Sorli，我们表明，如果$q < n$，那么无论是$q > 5$或$k > 5$是真的。(Note：这是撤回，因为这篇论文目前是一个正在进行的工作。）
2022-02-09 math.NT
A Rationality Condition for the Existence of Odd Perfect Numbers
给出了一个包含乘积的平方根的奇完满数存在的合理性条件，该乘积由一列代表单位乘以其中一个代表单位的基数的两倍组成.该约束还提供了可以满足${{σ(N)}\over N}=2$的奇数密度的上限，其中$N$属于具有大于$10^{300}$的下限的固定区间。代表单位的素除子的特征用于确定包含代表单位的乘积是否可以是完满平方。证明了具有不同素基的算术本原因子只有在指数不同时才相等，但由解素方程的解导出的一组情况除外.证明这一结果需要证明一个更一般的素数方程的解的不存在性，这是一个相当于加泰罗尼亚猜想的问题。得到了关于代表单位的素除子的指数的结果，并结合归纳法证明了一个关于不存在满足合理性条件的素除子的一般定理.
2000-11-24 math.NT
A new approach to odd perfect numbers via GCDs
设$q^k n^2$是具有特殊素数$q$的奇完全数。定义了GCD $$G = \gcd\bigg(σ(q^k),σ(n^2)\bigg)$$ $$H = \gcd\bigg(n^2,σ(n^2)\bigg)$$和$$I = \gcd\bigg(n,σ(n^2)\bigg).$$，证明了$G \times H = I^2$ . (Note证明$G \mid I$和$I \mid H$都成立是微不足道的。）然后，我们根据$σ(q^k)/2, n,$和$\gcd\bigg(σ(q^k)/2,n\bigg)$计算$G, H,$和$I$的表达式。然后证明了如果$G = H = I$，则$σ(q^k)/2$不是无平方的.其他自然的和相关的结果进一步推导。最后，我们猜想集合$$\mathscr{A} = \{m : \gcd(m,σ(m^2))=\gcd(m^2,σ(m^2))\}$$有渐近密度零。
2022-02-10 math.NT
Some Extensions to Touchard's Theorem on Odd Perfect Numbers
奇数完全数$n$的乘法结构是$n=π^αM^2$，其中$π$是素数，$\gcd(π,M)=1$和$π\equiv α\equiv1\pmod{4}$。Touchard建立的$n$的加性结构是“$\bigl(n\equiv 9\pmod{36}\bigr )$ OR $\bigl (n\equiv1\pmod{12}\bigr )$“。Touchard的结果的第一个扩展是命题“$\bigl(n\equiv x^2\pmod{4 x^2}\bigr )$ OR $\bigl (n\equiv π\equiv1\pmod{4 x}\bigr )$“对$x=3$成立（该扩展是由于第二个同余也包含$π$的事实）。我们进一步扩展的证明$x=α+2$，$α+2$素数，与限制的同余模$4 x$不包括$n$。此外，我们还注意到Touchard结果的第一个推广在一个异或条件下也成立，从而$π\equiv 1\pmod{12}$是一个充分条件，因为$3\nmid n$ .
2017-09-14 math.NT
On a theorem of Kanold on odd perfect numbers
本文改进 Kanold 关于奇完全数的经典定理，在特定素数分解和同余条件下，将整除因子从原有结论提升为 t^5 整除 N。
2024-02-24 math.NT
On the divisibility of odd perfect numbers, quasiperfect numbers and amicable numbers by a high power of a prime
我们将给出形式为$N=p_1^{α_1}\cdots p_s^{α_s} q_1^{β_1}\cdots q_t^{β_t}$且$β_1, \ldots, β_t$受给定常数约束的多完全数的最小素因子的一个显式上界。对于拟完全数和相反宇称的互素亲和对，我们也将给出类似的结果。
2021-09-07 math.NT
A note on the Diophantine equation $2ln^{2} = 1+q+ \cdots +q^α$ and application to odd perfect numbers
本文利用二次序中的素理想分解和广义Fermat方程本原解，证明奇完全数中比值 $σ(n^{2})/q^α$ 在 $α\neq 1$ 时既非平方数也非平方数乘单素数，并推广到奇多重完全数。
2023-11-30 math.NT
Unitary super perfect numbers
我们将证明9，165都是奇酉超完满数。
2008-02-29 math.NT
Recursively abundant and recursively perfect numbers
除数函数$σ(n)$对$n$的除数求和。当$σ(n) - n > n$为$n$时，我们称其为丰富的，当$σ(n) - n = n$为完美的。我最近介绍了递归除数函数$a(n)$，它是除数函数的递归模拟。它衡量一个数在多大程度上是高度可分的，以至于这些部分是高度可分的，等等，就像除数函数激发了丰富数和完满数一样，递归除数函数激发了它们的递归类似物，我在这里介绍。一个数如果是$a(n) > n$，则是递归丰富的或充足的;如果是$a(n) = n$，则是递归完美的或原始的。丰富数和完满数与它们的递归对应数之间有着惊人的相似之处。两个充足数的乘积是充足数，而充足数是富足数或奇完满数。奇丰数是存在的，但很少，我猜想，有这样的数字不能整除的第一个$k$素数-这是已知的是真实的丰富的数字。有无穷多个原始数，但除了1之外，它们不可能是奇数。原始数是2的幂和某些丢番图方程的奇素数的乘积，让人想起完满数是2的幂和梅森素数的乘积。这两类数字之间的相似之处暗示了除数函数和它的递归类似物之间更深层次的联系，值得进一步研究。
2020-08-24 math.NT
Perfect forms and the Vandiver conjecture
设p是奇素数，n是奇正整数，C是有理数的p-分圆扩张的子群.当log（p）大于n**（224 n **4）时，证明了C上的Teichmuller特征标的（p-n）次幂所对应的特征空间是平凡的.证明使用整数的K-理论和二次型的Voronoi约化理论。
1998-12-22 math.NT
On Sinha's note on perfect numbers
我们将证明不存在$2^n+1$或$n^n+1$形式的奇完满数。
2020-06-28 math.NT
Some multiplicative functions over $\mathbb{F}_2$
我们适应（在$\mathbb{F}_2$）的一般概念的乘性函数，Dirichlet卷积和逆。我们得到了一些有趣的结果，即二元奇多项式为完全多项式的必要条件。请注意，我们的灵感来自于\cite{Gall-Rahav-newcongr}和\cite{Touchard}中关于奇数完满数的“类似”作品。
2023-01-12 math.NT
Solving the Odd Perfect Number Problem: Some Old and New Approaches
完满数是正整数$N$，使得$N$的所有正因子之和等于$2N$，由$σ(N) = 2N$表示。奇完全数（OPN）的存在性问题是数论中最长的未解决问题之一。本文介绍了一些旧的以及新的方法来解决OPN问题。特别地，证明了一个猜想，该猜想预言了OPN $N = {p^k}{m^2}$（具有欧拉因子$p^k$）与双曲弧$XY = 2$上的有理点之间的内射和满射$X = σ(p^k)/p^k, Y = σ(m^2)/m^2$，其中$XY = 2$具有$1 < X < 1.25 < 1.6 < Y < 2$和$2.85 < X + Y < 3$.在反证中使用了关于abstract指数和孤波数的各种结果。反对上述猜想的数值证据也将被讨论。我们将证明，如果OPN $N$具有上述形式，则$p^k < (2/3){m^2}$从\cite{D10}得出。我们还将尝试通过观察所有病例中的$σ(p^k)/m \neq 1$和$σ(p^k)/m \neq σ(m)/p^k$来证明最后一个结果对$p^k < m$的明显改善。最后，我们还证明了以下推广：如果$N = \displaystyle\prod_{i=1}^r {{p_i}^{α_i}}$是一个OPN $N$的典型因式分解，则对所有$i$，都有$$σ({p_i}^{α_i}) \leq (2/3){\frac{N}{{p_i}^{α_i}}}$$。这就产生…
2014-07-02 math.NT
A Partial Proof of a Conjecture of Dris
欧拉证明，如果一个奇完满数$N$存在，它必须由两部分$N=q^k n^2$组成，其中$q$是素数，$q \equiv k \equiv 1 \pmod{4}$和gcd $(q,n)=1$。Dris证实了$q^k < n$。首先证明了对所有奇数完满数都有$q<n$.之后，我们展示了$q^k < n$在许多情况下成立。
2016-02-04 math.NT
Perfect Powers of Five with Few Ternary Digits
本文将分析Michael Bennett在[1]中提出的一个丢番图方程，它是证明五的幂在其三进制展开式中有几位数的关键。我们将证明丢番图方程$3^{a}+3^{b}+2=n^5$，其中$(n,3)=1$和$a>b>0$对于两个正整数对$(a,b)$都是偶数或一个是偶数另一个是奇数是不解的。在两个$(a,b)$是奇数的情况下，有一个已知的解决方案$2^5=3^3+3^1+2.$我们将表明，没有其他解决方案的丢番图方程$n^{5}<32\left(1+3(10^6)\right)^5$。
2013-04-18 math.NT
On Deficient Perfect Numbers with Four Distinct Prime Factors
对于正整数$n$，如果$σ(n)$表示$n$的正因子之和，则称$n$为亏完满数，如果对于$n$的某个正因子$d$，有$σ(n)=2n-d$.本文证明了具有四个不同素因子的奇亏完满数的一些结果。
2019-06-18 math.NT
Odd Spoof Multiperfect Numbers
本研究将伪完全数定义推广到多完全数范畴，提出相应搜索算法，发现多个类似笛卡尔数的新奇伪多完全数（如8999757），并探讨了这类数的部分性质。
2025-02-24 math.NT
Solving the Odd Perfect Number Problem: Some New Approaches
证明了一个猜想，即OPN $N = {p^k}{m^2}$（含Euler因子$p^k$）与双曲弧$XY = 2$上的有理点之间存在一个单射和满射映射$X = \displaystyle\frac{σ(p^k)}{p^k}, Y = \displaystyle\frac{σ(m^2)}{m^2}$，其中$X = \displaystyle\frac{σ(p^k)}{p^k}, Y = \displaystyle\frac{σ(m^2)}{m^2}$含有$1 < X < 1.25 < 1.6 < Y < 2$和$2.85 < X + Y < 3$.我们将证明，如果OPN $N$具有上述形式，则$p^k < {2/3}{m^2}$。然后，我们给出了一个较弱的推论，这最后一个结果（$m^2 - p^k \ge 8$），并沿着这些路线给出可能的改进。我们还将尝试通过观察所有病例中的$\displaystyle\frac{σ(p^k)}{m} \ne 1$和$\displaystyle\frac{σ(p^k)}{m} \ne \displaystyle\frac{σ(m)}{p^k}$来证明$p^k < m$的明显改善。最后，我们还证明了以下推广：如果$N = \displaystyle\prod_{i = 1}^{r}{{p_i}^{α_i}}$是一个OPN $N$的典型因式分解，则对所有$…
2013-10-15 math.NT
On Exactly $3$-Deficient-Perfect Numbers
设$n$和$k$为正整数，$σ(n)$为$n$的所有正因子之和。如果$d_1, d_2, \ldots, d_k$是$n$和$σ(n)=2n-(d_1+d_2+\ldots + d_k)$的不同真因子，则称$n$是具有亏因子$d_1, d_2, \ldots, d_k$的$k$亏完全数.本文证明了唯一的具有至多两个不同素因子的奇正$3$亏完全数是$1521=3^2 \cdot 13^2$ .
2020-01-20 math.NT
Euclid-Euler Heuristics for Perfect Numbers
一个奇完全数$N$称为以欧拉形式给出，如果$N = {q^k}{n^2}$，其中$q$与$q \equiv k \equiv 1 \pmod 4$和$\gcd(q,n) = 1$互素。类似地，如果$M = (2^p - 1)\cdot{2^{p - 1}}$，其中$p$和$2^p - 1$是素数，则称偶完全数$M$以欧几里得形式给出。在这篇文章中，我们将展示如何围绕完满数的欧拉形式和欧几里德形式的基本性质之间的差异进行简单的考虑，从而产生我们将称之为完满数的欧几里德-欧拉算法。
2017-08-24 math.NT
On Even Perfect Numbers II
设$k>2$是素数，使得$2^k-1$是梅森素数。令$n = 2^{α-1}p$，其中$α>1$和$p<3\cdot 2^{α-1}-1$是奇素数。继续蔡等和江的工作，我们证明了$n\ |\ σ_k(n)$当且仅当$n$是偶完全数$\neq 2^{k-1}(2^k-1)$ .此外，如果$n = 2^{α-1}p^{β-1}$对于某个$β>1$，则$n\ |\ σ_5(n)$当且仅当$n$是偶完全数$\neq 496$。
2020-01-17 math.NT
