A new upper bound for odd perfect numbers of a special form
Tomohiro Yamada
本文给出了欧拉因子为定指数幂的奇完满数的一个新的有效可计算上界，改进了T. Yamada，Colloq.Math.103（2005），303- 307.
We shall given a new effectively computable upper bound of odd perfect numbers whose Euler factors are powers of fixed exponent, improving our old result in T. Yamada, Colloq. Math. 103 (2005), 303--307.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Non-Euler Part of a Spoof Odd Perfect Number is Not Almost Perfect
如果$n$是奇数，则称$n$为欺骗奇数完满数，如果$n$是奇数，则称$n=km$为两个整数$k,m>1$，使得$σ(k)(m+1)=2n$，其中$σ$是除数和函数。在本文中，我们将展示如何建立类似于奇完满数的结果，欺骗奇完满数（在文献中称为笛卡尔数）。特别地，我们证明了$k$不是几乎完美的。
We give necessary conditions satisfied by the set of odd prime divisors of binary perfect polynomials. This allows us to get a new characterization of all the known perfect binary polynomials.
Odd Perfect Numbers Have At Least Nine Distinct Prime Factors
奇数完满数N至少有9个不同的素因子。如果3不能整除N，则N必须至少有12个不同的素除子。证明最终避免了以前的计算结果为奇数完满数。
On the Sum and Product of Distinct Prime Factors of an Odd Perfect Number
我们提出了一个奇完满数的不同的素因子的和与积的下界，它提供了一个奇完满数的大小作为其不同的素因子的数量的函数的下界。
On the Form of Odd Perfect Gaussian Integers
通过高斯整数将因子和函数推广到复平面上。然后证明了奇完满数的欧拉分类的一种修正形式。
Bounds for Odd $k$-Perfect Numbers
令$k\ge2$为整数。一个自然数$n$称为$k$ -完全数，如果$σ(n)=kn.$对于任意整数$r\ge1$，我们证明了至多具有$r$不同素因子的奇数$k$ -完满数的个数有界于$k4^{r^3}$ .
We investigate the integer solutions of Diophantine equations related to perfect numbers. These solutions generalize the example, found by Descartes in 1638, of an odd, ``spoof'' perfect factorization $3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 22021^1$. More recently, Voight found the spoof perfect factorization $3^4\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 19^2\cdot(-127)^1$. No other examples appear in the literature. We compute all nontrivial, odd, primitive spoof perfect factorizations with fewer than seven bases -- there are twenty-one in total. We show that the structure of odd, spoof perfect factorizations …
Bounds On Factors Of Odd Perfect Numbers
关于奇完满数的可能存在，最近已经取得了很大进展，形成了后来被称为西尔维斯特条件网的一部分。本文证明了关于奇完满数的因子倒数和的某些性质，或者用更专业的术语，证明了σ_{-1}（n）的子和的性质。利用这一结果，利用奇完满数可能具有的不同素因子的个数，建立了奇完全数的素因子的强界。
Where do odd perfect numbers live?
完全奇数的存在性是数论中一个古老的公开问题。欧拉定理指出，如果奇数$ n $是完全的，则$ n $被写为$ n = p ^ rm ^ 2 $，其中$ r, m $是奇数，$ p $是形式为$ 4 k + 1 $和$ (p, m) = 1 $的素数，其中$ (x, y) $表示$ x $和$ y $的最大公约数。在这篇文章中，我们证明了在这个方程中，$ p $的指数$ r $必然等于1。即，如果$ n $是奇完全数，则$ n $被写为$ n = pm ^ 2. $
We study the set $\mathcal{S}$ of odd positive integers $n$ with the property ${2n}/{σ(n)} - 1 = 1/x$, for positive integer $x$, i.e., the set that relates to odd perfect and odd "spoof perfect" numbers. As a consequence, we find that if $D=pq$ denotes a spoof odd perfect number other than Descartes' example, with pseudo-prime factor $p$, then $q>10^{12}$. Furthermore, we find irregularities in the ending digits of integers $n\in\mathcal{S}$ and study aspects of its density, leading us to conjecture that the amount of numbers in $\mathcal{S}$ below $k$ is $\sim10 \log(k)$.
On odd perfect numbers of special forms
本文研究了特殊乘法形式的奇数族成为完全数的必要条件，推广了Steuerwald、Kanold和McDaniel等人的早期工作。
On odd deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors
对于正整数$n$，令$σ(n)$表示$n$的正约数之和。设$d$是$n$的真因子。如果$σ(n)=2n-d$是亏完全数，则称$n$为亏完满数.本文证明了唯一具有四个不同素除子的奇亏完满数是$3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}$ .
On (unitary) perfect polynomials over $\mathbb{F}_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
在$\mathbb{F}_2$上唯一的（酉）完全多项式是$x$，$x+1$和梅森素数的乘积，它们正好是9个（分别是）。九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$。这样的因式分解的其他后果是关于奇完全多项式的新结果。
Conditions Equivalent to the Descartes-Frenicle-Sorli Conjecture on Odd Perfect Numbers
Descartes-Frenicle-Sorli猜想预言$k=1$如果$q^k n^2$是一个奇完满数，且欧拉素数为$q$。在本文中，我们给出了一些等价于这个猜想的条件。
On Dris Conjecture about Odd Perfect Numbers
奇数完满数的欧拉形式，如果有的话，是$n=π^αN^2$，其中$π$是素数，$(π,N)=1$和$π\equiv α\equiv 1 \pmod{4}$。德里斯猜想指出，$N>π^α$。我们发现$N^2>\frac{1}{2}π^γ$，有$γ=max\{ω(n)-1,α\}$ ; $ω(n)\geq 9$是$n$的不同素因子的个数.
If $N={q^k}{n^2}$ is an odd perfect number given in Eulerian form, then the Descartes-Frenicle-Sorli conjecture predicts that $k=ν_{q}(N)=1$. In this article, we give a short proof for this conjecture.
More on the Nonexistence of Odd Perfect Numbers of a Certain Form
欧拉证明，如果存在一个奇完全数，它必须是$N = p^αq_{1}^{2β_{1}}$ $\ldots$ $q_{k}^{2β_{k}}$的形式，其中$p, q_{1}, \ldots, q_k$是不同的奇素数，$α$，$β_{i} \geq 1$，对于$1 \leq i \leq k$，有$p \equiv α\equiv 1 \pmod{4}$。2005年，Evans和Pearlman证明了$N$并不完美，如果$3|N$或$7|N$和每个$β_{i} \equiv 2 \pmod{5}$。我们通过去除$3|N$或$7|N$的假设来改进这一结果，并表明$N$不是完美的，简单地说，如果每个$β_{i} \equiv 2 \pmod{5}$。
Let $N$ be an odd perfect number. Let $ω(N)$ be the number of distinct prime factors of $N$ and let $Ω(N)$ be the total number (counting multiplicity) of prime factors of $N$. We prove that $\frac{99}{37}ω(N) - \frac{187}{37} \leq Ω(N)$ and that if $3\nmid N$, then $\frac{51}{19}ω(N)-\frac{46}{19} \leq Ω(N)$.
We shall show that, for any given primes $\ell\geq 17$ and $p, q\equiv 1\pmod{\ell}$, the diophantine equation $(x^\ell-1)/(x-1)=p^m q$ has at most four positive integral solutions $(x, m)$ and give its application to odd perfect number problem.
Odd Multiperfect Numbers
如果为$σ(n)=kn$，则自然数$n$称为{ \it多完美}或{ \it $k$ -完美}，其中$σ(n)$是$k\ge2$的正约数之和。本文建立了类似于欧拉关于奇完满数的定理的奇多完满数的结构定理。证明了奇多完全数的欧拉部分的整除性，并刻画了奇完满数$n=π^αM^2$的形式，使得$π\equivα(\text{mod}8)$ .作为应用，我们还举例说明了奇完满数的不存在性。
The sum of the reciprocals of the prime divisors of an odd perfect or odd primitive non-deficient number
本文在奇完全数及更弱的奇本原非亏数假设下，证明了素因子倒数之和 T(n) 与乘积 H(n) 关于最小素因子的新上界。
On a Curious Biconditional Involving Divisors of Odd Perfect Numbers
我们研究了一个奇怪的涉及奇数完满数的因子的双连通性的含义，如果Dris猜想$q^k < n$成立，其中$q^k n^2$是一个具有欧拉素数$q$的奇数完全数.然后，我们表明，这双连续性无条件地举行。最后证明了不等式$q<n$无条件成立.
In this paper, we prove the conjecture that if there is an odd perfect number, then there are infinitely many of them.
A note on odd perfect numbers
本文证明了：若$N$是奇完满数，且$q^α$是整除它的某个素数幂，则$σ(N/q^α)/q^α>5$ .在一般情况下，我们还表明，如果$σ(N/q^α)/q^α<K$，其中$K$是任何常数，那么$N$是有界的一些功能依赖于$K$。
All bi-unitary perfect polynomials over $\F_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
该研究针对二元素域$\boldsymbol{\text{F}}_2$，找到了仅以梅森多项式为奇不可约因子的所有非分裂双酉完美多项式，是经典算术问题的多项式变体研究成果。
New Results for the Descartes-Frenicle-Sorli Conjecture on Odd Perfect Numbers
如果$N={q^k}{n^2}$是一个以欧拉形式给出的奇完满数，那么Descartes-Frenicle-Sorli猜想预言$k=1$。布朗最近宣布了不等式$q < n$的一个证明，以及$q^k < n$在许多情况下成立的部分证明。本文给出了一种将Brown结果加强到$q^2 < n$的策略.
The Abundancy Index of Divisors of Odd Perfect Numbers
如果$N = {q^k}{n^2}$是一个奇完满数，其中$q$是欧拉素数，那么我们证明了$n < q$对于Sorli猜想$k = ν_{q}(N) = 1$成立是充分的.我们还证明了$q^k < 2/3{n^2}$和$I(q^k) < I(n)$，其中$I(x)$是$x$的抽象指数。
Some Modular Considerations Regarding Odd Perfect Numbers
设$p^k m^2$是具有特殊素数$p$的奇完满数.在这篇文章中，我们提供了另一种证明双凸性，$σ(m^2) \equiv 1 \pmod 4$成立的当且仅当$p \equiv k \pmod 8$。然后，我们给出了应用的情况下，当$σ(m^2)/p^k$是一个正方形的结果。
An improvement of an inequality of Ochem and Rao concerning odd perfect numbers
令$Ω(n)$表示$n$的素因子的总数（计数重数），令$ω(n)$表示$n$的不同素因子的数量。当$N$为奇完全数时，证明了与$ω(N)$和$Ω(N)$有关的各种不等式.我们改进了这些不平等。特别是，我们表明，如果$3 \not| N$，则$Ω\geq \frac{8}{3}ω(N)-\frac{7}{3}$，如果$3 |N$，则$Ω(N) \geq \frac{21}{8}ω(N)-\frac{39}{8}.$
On the Components of an Odd Perfect Number
若$N = {p^k}{m^2}$是具有特殊素因子$p$的奇完满数，则证明了${p^k} < (2/3){m^2}$ .数值结果上的abstraction指数$\frac{σ(p^k)}{p^k}$和$\frac{σ(m^2)}{m^2}$，和比率$\frac{σ(p^k)}{m^2}$和$\frac{σ(m^2)}{p^k}$，使用。还表明，$m^2 > \frac{\sqrt{6}}{2}({10}^{150})$ .
New techniques for bounds on the total number of Prime Factors of an Odd Perfect Number
令$σ(n)$表示$n$的正因子之和。我们说$n$是完美的，如果$σ(n) = 2 n$。目前还没有已知的奇完全数。已知如果存在奇数完满数，则它必须具有$N = p^α\prod_{j=1}^k q_j^{2 β_j}$的形式，其中$p, q_1, ..., q_k$是不同的素数，而$p \equiv α\equiv 1 \pmod{4}$是不同的素数。定义$N$的素因子总数为$Ω(N) := α+ 2 \sum_{j=1}^k β_j$。Sayers展示了$Ω(N) \geq 29$。这后来被Iannucci和Sorli扩展，以表明$Ω(N) \geq 37$。作者对此进行了扩展，以表明$Ω(N) \geq 47$。本文利用Carl Pomerance的思想推广了这些结果。当前的新边界是$Ω(N) \geq 75$。
Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number
Acquaah和Konyagin表明，如果$N$是一个奇数完满数，其中$N= p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$，其中$p_1 < p_2 \cdots < p_k$，那么一个必须有$p_k < 3^{1/3}N^{1/3}$。使用类似的方法，我们表明，$p_{k-1}< (2N)^{1/5}$和$p_{k-1}p_k < 6^{1/4}N^{1/2}.$我们还表明，如果$p_k$和$p_{k-1}$是彼此接近，比这些界限可以进一步加强。
On the divisibility of odd perfect numbers by a high power of a prime
研究了多重完全数的一些整除性质。我们的主要结果是：如果在某个有限集S中具有$β_1, ..., β_t$的$N=p_1^{α_1}... p_s^{α_s} q_1^{2β_1}... q_t^{2β_t}$满足$σ(N)=\frac{n}{d}N$，则N有一个小于C的素因子，其中C是仅依赖于s，n，S的有效可计算常数。
Let $p^k m^2$ be an odd perfect number with special prime $p$. Extending previous work of the authors, we prove that the inequality $m < p^k$ follows from $m^2 - p^k = 2^r t$, where $r \geq 2$ and $\gcd(2,t)=1$, under the following hypotheses: (a) $m > t > 2^r$, or (b) $m > 2^r > t$. We also prove that the estimate $m^2 - p^k > 2m$ holds. We can also improve this unconditional estimate to $m^2 - p^k > {313m^2}/315$.
Let $N$ be an odd perfect number and let $a$ be its third largest prime divisor, $b$ be the second largest prime divisor, and $c$ be its largest prime divisor. We discuss steps towards obtaining a non-trivial upper bound on $a$, as well as the closely related problem of improving bounds $bc$, and $abc$. In particular, we prove two results. First we prove a new general bound on any prime divisor of an odd perfect number and obtain as a corollary of that bound that $$a < 2N^{\frac{1}{6}}.$$ Second, we show that $$abc < (2N)^{\frac{3}{5}}.$$ We also show how in certain circumstances these bounds …
New Results for Sorli's Conjecture on Odd Perfect Numbers - Part II
如果$N={q^k}{n^2}$是以欧拉形式给出的奇完满数，则Sorli猜想预言$k=ν_{q}(N)=1$。在这篇文章中，我们给出了一些进一步的结果有关这个猜想和那些包含在文件\cite{Dris}和\cite{Dris2}。（撤回是因为定理1中的一个关键空白[参见https://arxiv.org/pdf/1309.0906.pdf，了解目前在这方面可证明的内容]，以及第2页至第4页中数值界的基本错误）
We address an arithmetic problem in the ring $\F_2[x]$ related to the fixed points of the sum of divisors function. We study some binary polynomials $A$ such that $σ(A)/A $ is still a binary polynomial. Technically, we prove that the only (unitary) perfect polynomials over $\F_2$ that are products of $x$, $x+1$ and of Mersenne primes are precisely the nine (resp. nine "classes") known ones. This follows from a new result about the factorization of $M^{2h+1} +1$, for a Mersenne prime $M$ and for a positive integer $h$.
On the number of total prime factors of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数。令$ω(N)$是$N$的不同素因子的数目，令$Ω(N)$是$N$的素因子的总数。我们证明了如果$(3,N)=1$，则$ \frac{302}{113}ω- \frac{286}{113} \leq Ω. $如果$3|N$，则$\frac{66}{25}ω-5\leqΩ.$这是作者对以前类似结果的改进，这是Ochem和Rao的结果的改进。我们还建立了$ω(N)$上关于$N$的最小素因子的新下界，以及$N$上关于它的最小素因子的新下界.
Dris conjectured in his masters thesis that the inequality $q^k < n$ always holds, if $N = {q^k}{n^2}$ is an odd perfect number with special prime $q$. In this note, we initially show that either of the two conditions $n < q^k$ or $σ(q)/n < σ(n)/q$ holds. This is achieved by first proving that $σ(q)/n \neq σ(n)/q^k$, where $σ(x)$ is the sum of the divisors of $x$. Using this analysis, we further show that the condition $q < n < q^k$ holds in four out of a total of six cases. Finally, we prove that $n < q^k$, and that this holds unconditionally. This finding disproves both the Dris Conjecture a…
Let $σ(x)$ be the sum of the divisors of $x$. If $N$ is odd and $σ(N) = 2N$, then the odd perfect number $N$ is said to be given in Eulerian form if $N = {q^k}{n^2}$ where $q$ is prime with $q \equiv k \equiv 1 \pmod 4$ and $\gcd(q,n) = 1$. In this note, we show that $q < n$ implies that Descartes's conjecture (previously Sorli's conjecture), $k = ν_{q}(N) = 1$, is not true. This then implies an unconditional proof for the biconditional $$k = ν_{q}(N) = 1 \Longleftrightarrow n < q.$$ Lastly, following a recent result of Cohen and Sorli, we show that if $q < n$, then either $q > 5$ or $k > 5$ i…
A Rationality Condition for the Existence of Odd Perfect Numbers
给出了一个包含乘积的平方根的奇完满数存在的合理性条件，该乘积由一列代表单位乘以其中一个代表单位的基数的两倍组成.该约束还提供了可以满足${{σ(N)}\over N}=2$的奇数密度的上限，其中$N$属于具有大于$10^{300}$的下限的固定区间。代表单位的素除子的特征用于确定包含代表单位的乘积是否可以是完满平方。证明了具有不同素基的算术本原因子只有在指数不同时才相等，但由解素方程的解导出的一组情况除外.证明这一结果需要证明一个更一般的素数方程的解的不存在性，这是一个相当于加泰罗尼亚猜想的问题。得到了关于代表单位的素除子的指数的结果，并结合归纳法证明了一个关于不存在满足合理性条件的素除子的一般定理.
Let $q^k n^2$ be an odd perfect number with special prime $q$. Define the GCDs $$G = \gcd\bigg(σ(q^k),σ(n^2)\bigg)$$ $$H = \gcd\bigg(n^2,σ(n^2)\bigg)$$ and $$I = \gcd\bigg(n,σ(n^2)\bigg).$$ We prove that $G \times H = I^2$. (Note that it is trivial to show that $G \mid I$ and $I \mid H$ both hold.) We then compute expressions for $G, H,$ and $I$ in terms of $σ(q^k)/2, n,$ and $\gcd\bigg(σ(q^k)/2,n\bigg)$. Afterwards, we prove that if $G = H = I$, then $σ(q^k)/2$ is not squarefree. Other natural and related results are derived further. Lastly, we conjecture that the set $$\mathscr{A} = \{m : \g…
Some Extensions to Touchard's Theorem on Odd Perfect Numbers
奇数完全数$n$的乘法结构是$n=π^αM^2$，其中$π$是素数，$\gcd(π,M)=1$和$π\equiv α\equiv1\pmod{4}$。Touchard建立的$n$的加性结构是“$\bigl(n\equiv 9\pmod{36}\bigr )$ OR $\bigl (n\equiv1\pmod{12}\bigr )$“。Touchard的结果的第一个扩展是命题“$\bigl(n\equiv x^2\pmod{4 x^2}\bigr )$ OR $\bigl (n\equiv π\equiv1\pmod{4 x}\bigr )$“对$x=3$成立（该扩展是由于第二个同余也包含$π$的事实）。我们进一步扩展的证明$x=α+2$，$α+2$素数，与限制的同余模$4 x$不包括$n$。此外，我们还注意到Touchard结果的第一个推广在一个异或条件下也成立，从而$π\equiv 1\pmod{12}$是一个充分条件，因为$3\nmid n$ .
On a theorem of Kanold on odd perfect numbers
本文改进 Kanold 关于奇完全数的经典定理，在特定素数分解和同余条件下，将整除因子从原有结论提升为 t^5 整除 N。
We shall give an explicit upper bound for the smallest prime factor of multiperfect numbers of the form $N=p_1^{α_1}\cdots p_s^{α_s} q_1^{β_1}\cdots q_t^{β_t}$ with $β_1, \ldots, β_t$ bounded by a given constant. We shall also give similar results for quasiperfect numbers and relatively prime amicable pairs of opposite parity.
A note on the Diophantine equation $2ln^{2} = 1+q+ \cdots +q^α$ and application to odd perfect numbers
本文利用二次序中的素理想分解和广义Fermat方程本原解，证明奇完全数中比值 $σ(n^{2})/q^α$ 在 $α\neq 1$ 时既非平方数也非平方数乘单素数，并推广到奇多重完全数。
Unitary super perfect numbers
我们将证明9，165都是奇酉超完满数。
The divisor function $σ(n)$ sums the divisors of $n$. We call $n$ abundant when $σ(n) - n > n$ and perfect when $σ(n) - n = n$. I recently introduced the recursive divisor function $a(n)$, the recursive analog of the divisor function. It measures the extent to which a number is highly divisible into parts, such that the parts are highly divisible into subparts, so on. Just as the divisor function motivates the abundant and perfect numbers, the recursive divisor function motivates their recursive analogs, which I introduce here. A number is recursively abundant, or ample, if $a(n) > n$ and recu…
Perfect forms and the Vandiver conjecture
设p是奇素数，n是奇正整数，C是有理数的p-分圆扩张的子群.当log（p）大于n**（224 n **4）时，证明了C上的Teichmuller特征标的（p-n）次幂所对应的特征空间是平凡的.证明使用整数的K-理论和二次型的Voronoi约化理论。
In this paper we discuss near-perfect numbers of various forms. In particular, we study the existence of near-perfect numbers in the Fibonacci and Lucas sequences, near-perfect values taken by integer polynomials and repdigit near-perfect numbers.
We shall show that there is no odd perfect number of the form $2^n+1$ or $n^n+1$.
On special perfect polynomials over $\mathbb{F}_2$
本文给出了 $\mathbb{F}_2$ 上特殊完全多项式满足的一些必要条件。
We adapt (over $\mathbb{F}_2$) the general notions of multiplicative function, Dirichlet convolution and Inverse. We get some interesting results, namely necessary conditions for an odd binary polynomial to be perfect. Note that we are inspired by the "analogous" works in \cite{Gall-Rahav-newcongr} and \cite{Touchard}, about odd perfect numbers.
Solving the Odd Perfect Number Problem: Some Old and New Approaches
完满数是正整数$N$，使得$N$的所有正因子之和等于$2N$，由$σ(N) = 2N$表示。奇完全数（OPN）的存在性问题是数论中最长的未解决问题之一。本文介绍了一些旧的以及新的方法来解决OPN问题。特别地，证明了一个猜想，该猜想预言了OPN $N = {p^k}{m^2}$（具有欧拉因子$p^k$）与双曲弧$XY = 2$上的有理点之间的内射和满射$X = σ(p^k)/p^k, Y = σ(m^2)/m^2$，其中$XY = 2$具有$1 < X < 1.25 < 1.6 < Y < 2$和$2.85 < X + Y < 3$.在反证中使用了关于abstract指数和孤波数的各种结果。反对上述猜想的数值证据也将被讨论。我们将证明，如果OPN $N$具有上述形式，则$p^k < (2/3){m^2}$从\cite{D10}得出。我们还将尝试通过观察所有病例中的$σ(p^k)/m \neq 1$和$σ(p^k)/m \neq σ(m)/p^k$来证明最后一个结果对$p^k < m$的明显改善。最后，我们还证明了以下推广：如果$N = \displaystyle\prod_{i=1}^r {{p_i}^{α_i}}$是一个OPN $N$的典型因式分解，则对所有$i$，都有$$σ({p_i}^{α_i}) \leq (2/3){\frac{N}{{p_i}^{α_i}}}$$。这就产生…
Let $k$ be an imaginary quadratic number field, and $F/k$ a finite abelian extension of Galois group $G$. We investigate the relationship between the conjectural special elements introduced in \cite{Burns-DeJeu-Gangl} and ETNC in the semi-simple case. This provides a partial proof of the conjecture for $F/k$ under certain conditions.
A Partial Proof of a Conjecture of Dris
欧拉证明，如果一个奇完满数$N$存在，它必须由两部分$N=q^k n^2$组成，其中$q$是素数，$q \equiv k \equiv 1 \pmod{4}$和gcd $(q,n)=1$。Dris证实了$q^k < n$。首先证明了对所有奇数完满数都有$q<n$.之后，我们展示了$q^k < n$在许多情况下成立。
Perfect Powers of Five with Few Ternary Digits
本文将分析Michael Bennett在[1]中提出的一个丢番图方程，它是证明五的幂在其三进制展开式中有几位数的关键。我们将证明丢番图方程$3^{a}+3^{b}+2=n^5$，其中$(n,3)=1$和$a>b>0$对于两个正整数对$(a,b)$都是偶数或一个是偶数另一个是奇数是不解的。在两个$(a,b)$是奇数的情况下，有一个已知的解决方案$2^5=3^3+3^1+2.$我们将表明，没有其他解决方案的丢番图方程$n^{5}<32\left(1+3(10^6)\right)^5$。
On Deficient Perfect Numbers with Four Distinct Prime Factors
对于正整数$n$，如果$σ(n)$表示$n$的正因子之和，则称$n$为亏完满数，如果对于$n$的某个正因子$d$，有$σ(n)=2n-d$.本文证明了具有四个不同素因子的奇亏完满数的一些结果。
The endoscopic classification of representations of non-quasi-split odd special orthogonal groups
本文沿 Kaletha、Minguez、Shin 与 White 的路线，证明非拟分裂奇特殊正交群在一般参数下表示的内窥镜分类，补全经典群表示分类的一类情形。
Odd Spoof Multiperfect Numbers
本研究将伪完全数定义推广到多完全数范畴，提出相应搜索算法，发现多个类似笛卡尔数的新奇伪多完全数（如8999757），并探讨了这类数的部分性质。
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